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大连市第四十八中学 2025~2026 学年下学期高三校内二模 高三数学试卷
(时间: 120 分钟 总分: 150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域.
2. 第I卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.
3.第II卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内. 第I卷
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一个选项符合题 意)
1. 已知集合 ，且 ，则下列说法一定正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,其中 是虚数单位,则 的值为( )
A. B. C. 5 D. 25
3. 函数 在点 处的切线与直线 垂直，则 ( )
A. 0 B. 1 C. -1 D.
4. 已知直线 ，甲说: 过 ，乙说: 过 ，丙说: 过 ，丁说: ，若其中仅有一人判断错误，则此人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 某校举行数学文化节活动, 准备从 5 名同学中选 2 人作为宣传员, 则甲被选中的概率为 ( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
6. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数 ,若直线 与 图象的交点为 , ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,其中向量 是两个不共线向量,若 的面积为 6,则 的面积为 ( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 对于 的展开式,下列说法正确的有( )
A. 有理项有 3 项 B. 第 4 项的系数为 -160
C. 常数项为 -160 D. 各项系数之和为
10. 已知函数 ,下列说法正确的有( )
A. 有无数条对称轴 B. 没有对称中心
C. 在 有三个零点 D. 的最大值为 1
11. 数学家称 为黄金比,记为 . 定义: 若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比 ,则称该椭圆为“黄金椭圆”. 以椭圆中心为圆心, 半焦距长为半径的圆称为焦点圆. 若黄金椭圆”: 与它的焦点圆在第一象限的交点为 ,则下列结论正确的有( )
A. B. 黄金椭圆离心率
C. 设直线 的倾斜角为 ,则 D. 交点 坐标为
第II卷
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
12. 已知正项等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
13. 在平面直角坐标系 中,已知圆 与 轴和直线 都相切,则满足要求的一个圆 的标准方程是_____.
14. 已知点 是边长为 12 的等边三角形 的两边 的中点，沿 折叠 ，使得二面角 - - 为 ，则四棱锥 - 外接球的表面积为_____.
四、解答题:(本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
15. 已知数列 的前 项和为 .
(1)证明:数列 是等比数列;
(2)设 的前 项和为 ，求 .
16. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品, 保障抗疫一线医疗物资供应, 在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组: ， ， ， ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)规定:口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩, 质量指标值不低于 130 的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取 8 个口罩,再从抽取的 8 个口罩中随机抽取 3 个,记其中一级口罩的个数为 , 求 的分布列及均值.
(2)甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由 个该型号口罩构成. 假定甲、乙两人在 两店订单“秒杀”成功的概率均为 ,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为 .
① 求 的分布列及均值;
② 求 的均值取最大值时,正整数 的值.
17. 如图,在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
18. 在平面直角坐标系 中,过点 的直线与抛物线 的两个交点为 , 为抛物线 上异于 的一点,直线 与直线 交于 , 两点.
(1)① ；② ，其中 ， ， 分别是直线 ， ， 的斜率； ③ ，其中 为抛物线 的焦点. 请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(2)若 ，求实数 的值.
19. 设 .
(1)讨论 在 上的单调性;
(2)令 ，试证明 在 上有且仅有三个零点.
参考答案
1. D
2. C
3. A
4. A
5. B
6. C
7. A
8.
9. BC
10. ACD
11. AC
12. 155
13.
14.
15.解: (1) 由 得 ,
由 得当 时, ,两式相减得
即 ,
所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(2)由(1)知 ，所以 ；
由 得
16.(1)结合频率分布直方图, 得用分层随机抽样抽取 8 个口罩, 其中二级、一级口罩的个数分别为6,2,所以 的可能取值为0,1,2.
所以 的分布列为
0 1 2
5 14 15 28
所以 .
(2)①由题意，知 的可能取值为0,1,2.
,所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号.
所以 取最大值时, 的值为 2 .
17.(1)证明:在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
又 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)如图以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立如图所示直
角空间坐标系 ,设 ,则 ,
由 ,
则
所以
设平面 的法向量为 ,得 ,
取 ，则
设直线 与平面 所成角为 ,则有 ,
即 ,化简得: ,
解得: 或 ,即 或 .
18解: (1) 设过 点的直线方程为 ,与 联立消去 得 , 所以 .
① .
② .
③ .
(2)设 ，则 ，所以 ，
即 ,
令 ,则 ,同理: ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
由点 的任意性知, 且 ,所以 .
19. ,
令 ,则 或 .
时, 单调递增,
时 单调递减,
时, 单调递增,
时, 单调递减.
的单调递增区间是 ,
递减区间是 .
(2) ，
因为 ,所以 是 的一个零点.
所以 是偶函数,
即要确定 在 上的零点个数,需确定 时, 的零点个数即可.
① 当 时，
令 ,即 或 .
时, 单调递减,
且 ,
时, 单调递增,
且
在 有唯一零点
② 当 时，由于 .
而 在 单调递增,
所以 恒成立,故 在 无零点,
所以 在 有一个零点,
由于 是偶函数,所以 在 有一个零点,而 ,
综上 在 有且仅有三个零点.

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