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计算题专项练(一)
1.如图所示,将一个粗细均匀的小玻璃瓶装入适量的水后,开口向下倒扣入塑料水瓶中,使小玻璃瓶中封闭一段空气,拧紧塑料水瓶的瓶盖。用手挤压塑料水瓶,小玻璃瓶会缓慢下沉到底部;适当减小挤压塑料水瓶的力度,小玻璃瓶会缓慢上浮。已知小玻璃瓶的质量为7.5 g,瓶子的底面积为2.5 cm2,外界大气压强为p0。环境温度始终保持不变,忽略小玻璃瓶的厚度及小玻璃瓶上升到水面时对塑料瓶内气体体积的影响,小瓶中的空气视为理想气体,水的密度ρ水=1.0×103 kg/m3。
(1)在初始不用手挤压塑料水瓶时,小玻璃瓶中气柱的长度至少为多少,小玻璃瓶才会浮在水面上
(2)若某时刻小玻璃瓶内气体压强为1.1p0,瓶内气柱长为5.2 cm,再用力缓慢挤压塑料水瓶,当小玻璃瓶内气体压强稳定在1.3p0时,小玻璃瓶内气柱长度为多少
答案 (1)3 cm　(2)4.4 cm
解析 (1)不用手挤压塑料水瓶时,为保证小玻璃瓶会浮在水面上,则至少应保证小玻璃瓶刚好完全浸没时,所受浮力与重力大小相等,设小玻璃瓶中气柱的长度为h,则有ρ水gSh=mg
解得h=3 cm。
(2)由于环境温度始终保持不变,则小玻璃瓶内气体发生等温变化,设此次挤压塑料水瓶前、后小玻璃瓶内气柱长度分别为l1、l2,可得1.1p0×Sl1=1.3p0×Sl2
解得l2=4.4 cm。
2.(2025辽宁沈阳高三质量检测)如图所示,有一上下无底的圆筒,它的下端距水平地面的高度为H。圆筒上端中心处有一小球。现让小球和圆筒同时由静止自由下落,圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的,不计碰撞时间和空气阻力,运动过程中圆筒始终保持竖直,重力加速度为g。
(1)求圆筒第一次落地后,弹起的最大高度hm;
(2)若圆筒第一次反弹后落下时,下端与小球同时落地(此前小球未碰地),求圆筒的长度L。
答案 (1)H
(2)H
解析 (1)圆筒做自由落体运动,设第一次落地速率为v1,有2gH=
圆筒第一次落地后弹起到最高点过程中做匀减速运动,有2ghm=
联立解得hm=H。
(2)设圆筒下端第一次运动到地面的时间为t1,根据自由落体运动规律有
H=
设圆筒第一次弹起后到最高点的时间为t2,则
hm=
圆筒第一次弹起后与小球同时到达地面,所以小球从释放到第一次落地所经历的时间
t=t1+2t2
小球下落高度h=gt2=H
圆筒长度L=h-H
解得L=H。
3.如图甲所示,两根光滑平行导轨固定在水平面内,相距为L,电阻不计,整个导轨平面处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中,导轨左端接有阻值为R的电阻,沿导轨方向建立x坐标轴。质量为m、电阻为r的金属棒ab垂直导轨放置在x=-x0处。在金属棒ab上施加沿x轴方向的外力F,使金属棒ab开始做简谐运动,将金属棒运动到x=0处时作为计时起点,其速度随时间变化的图线如图乙所示,其最大速度为v1。求:
(1)金属棒做简谐运动过程中流过的电流i随时间t变化的函数关系;
(2)在0~ s时间内通过金属棒的电荷量;
(3)在0~ s时间内外力F所做的功。
答案 (1)i=·cos t
(2)
(3)
解析 (1)由图乙可知金属棒做简谐运动的周期T=2π s
由此可得ω==1 rad/s
根据图乙可知速度与时间的变化关系满足余弦函数,可得其关系为
v=v1cos ωt m/s
由闭合回路的欧姆定律有
i=·cos t。
(2)根据对称性可知在t= s时,金属棒到达x=x0处,
则在0~ s时间内通过金属棒的电荷量q=。
(3)金属棒做简谐运动过程中,回路中电流为余弦式交变电流,在0到 s时间内,
电路产生热量
Q=I2(R+r)t
其中I=,t= s
解得Q=
设在0到 s的时间内外力F所做的功为WF,安培力所做的功为WA,由动能定理得
WF-WA=0-
其中WA=Q
解得WF=。
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