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计算题专项练(五)
1.如图甲所示,一粗细均匀的U形细管右侧竖直部分长为L,左侧竖直管长度未知,在细管中倒入长度为的水银后封闭左侧管口,右侧管口盖一轻质薄活塞,此时水平部分水银柱长度为,两侧竖直管内水银面距底部的高度均为。现缓慢向右侧活塞上加水银,直到左侧水银面上升到距底部高度为处,如图乙所示。若将细管中空气视为理想气体,活塞与管壁无摩擦且不漏气,整个过程温度不变,水银密度为ρ,重力加速度为g,大气压强p=ρgL。求:
(1)图乙状态下右侧细管中空气的压强;
(2)U形细管左侧竖直管的长度。
答案 (1)　(2)L
解析 (1)设右侧活塞上加的水银高度为L0,两侧细管水平截面面积为S,对右侧气柱,活塞上加水银前
压强p1=p=ρgL
体积V1=S=LS
加水银后
压强p2=ρgL+ρgL0
体积V2=(L-L0)S
又p1V1=p2V2
联立得L0=L
则p2=。
(2)设左侧竖直管长度为L,对左侧气柱,活塞上加水银前
压强p11=p=ρgL
体积V11=S
加水银后
压强p22=p2-ρgL=ρgL
体积V22=S
又p11V11=p22V22
联立得L1=L。
2.如图所示,质量均为m的物块A、B用绕过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳连接,A与地面接触,B离地面的高度h为1.2 m,质量为2m的圆环C套在轻绳上,C在B上方d=0.8 m处。由静止释放圆环C,C下落后与B碰撞并粘在一起,碰撞时间极短,不计C与绳之间的摩擦和空气阻力,A、B、C均可视为质点,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)C、B碰撞后瞬间,共同速度为多大;
(2)碰撞后,B经过多长时间到达地面。
答案 (1)2 m/s　(2)0.4 s
解析 (1)设C与B碰撞前瞬间的速度大小为vC,碰撞前,由动能定理有
2mgd=×2m-0
得vC==4 m/s
设碰撞后共同速度为v,碰撞过程由动量守恒有2mvC=4mv
得v=2 m/s。
(2)C与B碰撞后粘在一起,一起向下做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律
3mg-mg=4ma
得a=g=5 m/s2
由运动学公式有h=vt+at2
得t=0.4 s
故碰撞后,B经过t=0.4 s后到达地面。
3.(2025济南市模拟)如图所示,光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接,导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放,脱离弹簧后经过B点时的速度大小为,之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy,在x≥-R区域有方向与x轴夹角为θ=45°的匀强电场,进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变,重力加速度为g。求:
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能;
(2)小球经过O点时的速度大小;
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
答案 (1)mgR
(2)
(3)y2=6Rx
解析 (1)小球从A到B,根据能量守恒定律得
Ep=mgR。
(2)小球从B到O,根据动能定理有
-mgR+qE·R=
解得vO=。
(3)小球运动至O点时速度竖直向上受电场力和重力作用,将电场力分解到x轴和y轴,则x轴方向有
qEcos 45°=max
竖直方向有
qEsin 45°-mg=may
解得ax=g,ay=0
说明小球过O点后沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动,沿y轴方向做匀速直线运动,即做类平抛运动,则有
x=gt2,y=vOt
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程为
y2=6Rx。
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