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2026 年初中学业水平阶段性质量监测一 数学试题
注意事项：
1.本试题共 8 页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为 40 分，非选择题部分满分为 110 分。全卷满分 150 分。考试时间为 120 分钟。
2.答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置。
3.答题时，选择题部分每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题部分，用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。直接在试题上作答无效。
4.本考试不允许使用计算器。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 的倒数是（ ）
A. 3 B. 3 C. D.
2.如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形。若由图 1 变化至图 2，则三视图中没有发生变化的是（ ）
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
3.2025 年我国快递业务量累计完成约 1989.5 亿件，稳居世界第一。请将 1989.5 亿用科学记数法表示为：（ ）
A. 1.9895×1010 B. 1.9895×1011 C. 19.895×1010 D. 0.19895×1012
4.如图AB∥CD，∠GEF=50 ，∠EFD的角平分线FG交AB于点G，则∠EGF的度数为（ ）
A. 50 B. 55 C. 65 D. 75
5.下列运算正确的是（ ）
A. a3·a4=a12 B. a4 a3=a C. (a b)2=a2 b2 D. (2a2)3=8a6
6.若pA. p+m 2q C. 3p+1<3q+1 D. p27.若关于x的方程x2+(m2 3)x+m+1=0的两根互为相反数，则m的值是（ ）
A. ± B. C. D. 1
8.在一个口袋中，有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1，2，3，4 从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF和CE，若BF=3，DC=3，以下 4 个结论正确的个数是（ ）
①S四边形AFCE=9，②四边形AECF是菱形，③∠FAC=∠ACF=30 ，④EF=6。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为 “大美点”。例如点(1,1)，(1, 1)，( ,)，…，都是 “大美点”。若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个 “大美点”，其中一个 “大美点” 是(2,2)，当0≤x≤m时，函数y=ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的最小值为 2，最大值为，则m的取值范围为（ ）
A. 3≤m≤6 B. 3二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请直接填写答案。）
11.已知一个正六边形的边长为 4，则其面积为__________。
12.不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别。从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有 8 个白球，则袋中红球有__________个。
13.甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往120km处的B地，甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如下图所示，则a=__________。
14.如图，将⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰经过圆O，若AB=4，则阴影部分的面积为__________。
15.如图，折叠边长为8cm的正方形纸片ABCD，折痕是BE，点A落在点F处，分别延长BF，EF交CD于点G，H，若点E是AD边的中点，则GH=__________cm。
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.(本题满分 7 分)计算：( ) 2 2cos45 +∣ 2∣+(π 2025)0+。
17.(本题满分 7 分)解不等式组，并写出它的所有整数解。
18.(本题满分 7 分)如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且∠DAE=∠BCF。求证：BE=DF。
19.(本题满分 8 分)如图 1 所示，摩天轮正缓缓转动。图 2 为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径。小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53 ，随后沿着坡度i=1:2.4的斜坡行走了 26 米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约 60 米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处。经测量，NC约为 8 米。
（1）求观景台到地面的高度；
（2）求摩天轮的直径MN。（参考数据：sin53 ≈0.8，cos53 ≈0.6，tan53 ≈1.3，结果精确到 1 米）
20.(本题满分 8 分)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足是E，延长CA交⊙O于点F，连接DF。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF=12，CE=9，求AC的长。
21.(本题满分 9 分)在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部 “身上出汗，让学生动起来” 的体育要求，全面提升学生体制健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：min），将结果分为 A、B、C、D 四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中 B 等级（60≤x<90）的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75。
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的b= ，m= ；
（2）统计图中 C 组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）B 等级时长数据的众数是__________；调查的这部分学生体育活动时间的中位数是__________；
（4）若该校共有 2000 名学生，估计每天体育活动时间不少于 60min的人数。
22.(本题满分 10 分)为响应 “绿色出行” 号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵 200 元，用 9000 元购买共享单车的数量与用 12600 元购买共享电动车的数量相同。
（1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？
（2）该社区计划采购两种代步工具共 30 辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的 2 倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？
23.(本题满分 10 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A( 3,0)，与反比例函数y=(x>0)交于点B(1,m)。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点D，连接BC，若△BCD是以CD为底边的等腰三角形，求点C的坐标；
（3）点P为反比例函数y=(x>0)图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形ABPQ为矩形时，求点Q的坐标。
24.(本题满分 12 分)抛物线的顶点坐标为(1, 4)，且过点A(0, 3)。
（1）求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标；
（2）如图 1，把直线y=x向下平移n(n>0)个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围；
（3）如图 2，点P为直线AB下方抛物线上一点，PD⊥x轴于点D，与AB交于点E，连接AP，AC，CE，求的最大值。
25.(本题满分 12 分)在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，点D是AB边上的一个动点，连接CD。
【问题发现】
（1）如图 1，将CD绕点C逆时针旋转90 得到CE，连接DE，AE，若AC=BC，则AE与BD的数量关系是__________，∠BAE=__________度；
【类比迁移】
（2）如图 2，将CD绕点C逆时针旋转90 得到CD′，点E在CD′上，且CE=CD，若AC=2，BC=2，则AE与BD的数量关系是__________，∠BAE=__________度。请证明你的结论；
【拓展应用】
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点D在直线AB上移动时，其他条件不变，取线段DE的中点F，连接AF，CF，当△ACF是直角三角形时，求线段AE的长。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 的倒数是（ B ）
A. 3 B. 3 C. D.
2.如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形。若由图 1 变化至图 2，则三视图中没有发生变化的是（ A ）
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
3.2025 年我国快递业务量累计完成约 1989.5 亿件，稳居世界第一。请将 1989.5 亿用科学记数法表示为：（ B ）
A. 1.9895×1010 B. 1.9895×1011 C. 19.895×1010 D. 0.19895×1012
4.如图AB∥CD，∠GEF=50 ，∠EFD的角平分线FG交AB于点G，则∠EGF的度数为（ C ）
A. 50 B. 55 C. 65 D. 75
5.下列运算正确的是（ D ）
A. a3·a4=a12 B. a4 a3=a C. (a b)2=a2 b2 D. (2a2)3=8a6
6.若pA. p+m 2q C. 3p+1<3q+1 D. p27.若关于x的方程x2+(m2 3)x+m+1=0的两根互为相反数，则m的值是（ C ）
A. ± B. C. D. 1
8.在一个口袋中，有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1，2，3，4 从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF和CE，若BF=3，DC=3，以下 4 个结论正确的个数是（ C ）
①S四边形AFCE=9，②四边形AECF是菱形，③∠FAC=∠ACF=30 ，④EF=6。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为 “大美点”。例如点(1,1)，(1, 1)，( ,)，…，都是 “大美点”。若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个 “大美点”，其中一个 “大美点” 是(2,2)，当0≤x≤m时，函数y=ax2+3x+c（a≠0，c≠0）的最小值为 2，最大值为，则m的取值范围为（ A ）
A. 3≤m≤6 B. 3二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请直接填写答案。）
11.已知一个正六边形的边长为 4，则其面积为____24______。
12.不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别。从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有 8 个白球，则袋中红球有_____12_____个。
13.甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往120km处的B地，甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如下图所示，则a=__________。
14.如图，将⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰经过圆O，若AB=4，则阴影部分的面积为__________。
15.如图，折叠边长为8cm的正方形纸片ABCD，折痕是BE，点A落在点F处，分别延长BF，EF交CD于点G，H，若点E是AD边的中点，则GH=__________cm。
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.(本题满分 7 分)计算：( ) 2 2cos45 +∣ 2∣+(π 2025)0+。
=4－+2－+1+2
=7
17.(本题满分 7 分)解不等式组，并写出它的所有整数解。
解不等式①：x>
解不等式②：x≤4
原不等式组得解集：整数解：3,4
18.(本题满分 7 分)如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且∠DAE=∠BCF。求证：BE=DF。
∵在平行四边形 ABCD中：
∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD。∠DAE=∠BCF
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF。
19.(本题满分 8 分)如图 1 所示，摩天轮正缓缓转动。图 2 为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径。小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53 ，随后沿着坡度i=1:2.4的斜坡行走了 26 米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约 60 米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处。经测量，NC约为 8 米。
（1）求观景台到地面的高度；
（2）求摩天轮的直径MN。（参考数据：sin53 ≈0.8，cos53 ≈0.6，tan53 ≈1.3，结果精确到 1 米）
（1）斜坡坡度 i=1:2.4，坡长 26m。
设竖直高度 h，水平距离 2.4h，
得h2+(2.4h)2=262
∴h=10
∴观景台高度为 10m。
（2）约 92 米
20.(本题满分 8 分)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足是E，延长CA交⊙O于点F，连接DF。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF=12，CE=9，求AC的长。
（1）连接 OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵AB=AC
∴∠OBD=∠C
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是切线。
（2）AC=15
21.(本题满分 9 分)在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部 “身上出汗，让学生动起来” 的体育要求，全面提升学生体制健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：min），将结果分为 A、B、C、D 四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中 B 等级（60≤x<90）的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75。
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的b= ，m= ；
（2）统计图中 C 组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）B 等级时长数据的众数是__________；调查的这部分学生体育活动时间的中位数是__________；
（4）若该校共有 2000 名学生，估计每天体育活动时间不少于 60min的人数。
（1）b=10，m=20
（2）C 组圆心角：108
（3）众数：75；中位数：75
（4）不少于 60min：×2000=1120人
22.(本题满分 10 分)为响应 “绿色出行” 号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵 200 元，用 9000 元购买共享单车的数量与用 12600 元购买共享电动车的数量相同。
（1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？
（2）该社区计划采购两种代步工具共 30 辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的 2 倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？
（1）设单车单价 x元，电动车 （x+200）元。
=
解得x=500
经检验，x=500是原方程的解
x+200=700元
答：单车得单价500 元，电动车得单价700 元。
（2）设单车 a 辆，电动车（30 a）
a≤2(30 a)
解得a≤20
总费用 W=500a+700(30 a)= 200a+21000
∵－200＜0
∴W随a的增大而减小
∴a=20时 Wmin=17000。
23.(本题满分 10 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A( 3,0)，与反比例函数y=(x>0)交于点B(1,m)。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点D，连接BC，若△BCD是以CD为底边的等腰三角形，求点C的坐标；
（3）点P为反比例函数y=(x>0)图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形ABPQ为矩形时，求点Q的坐标。
（1）A( 3,0)代入 y=2x+b
得b=6
∴B(1,8)
将B(1,8)代入y=(x>0)
k=1×8=8
∴反比例：y=(x>0)
（2）C（2，4）
（3）Q（4，－2）
24.(本题满分 12 分)抛物线的顶点坐标为(1, 4)，且过点A(0, 3)。
（1）求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标；
（2）如图 1，把直线y=x向下平移n(n>0)个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围；
（3）如图 2，点P为直线AB下方抛物线上一点，PD⊥x轴于点D，与AB交于点E，连接AP，AC，CE，求的最大值。
（1）由题知：解设抛物线表达式为y=a（x－1）2－4
将A(0, 3)代入y=a（x－1）2－4
得a=1
∴抛物线表达式y=（x－1）2－4
令y=0得（x－1）2－4=0
解得x1=－1，x2=3
∴B（3，0） C（－1，0）
（2）1＜n＜3
（3）最大值为
25.(本题满分 12 分)在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，点D是AB边上的一个动点，连接CD。
【问题发现】
（1）如图 1，将CD绕点C逆时针旋转90 得到CE，连接DE，AE，若AC=BC，则AE与BD的数量关系是__________，∠BAE=__________度；
【类比迁移】
（2）如图 2，将CD绕点C逆时针旋转90 得到CD′，点E在CD′上，且CE=CD，若AC=2，BC=2，则AE与BD的数量关系是__________，∠BAE=__________度。请证明你的结论；
【拓展应用】
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点D在直线AB上移动时，其他条件不变，取线段DE的中点F，连接AF，CF，当△ACF是直角三角形时，求线段AE的长。
（1）AE=BD ∠BAE=90°
（2）AE=BD ∠BAE=90°
（3）AE=2或

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