资源简介

华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试基础卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
2．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶2∶1∶2 D．1∶1∶2∶2
4．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=10，则BG的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度BC为　 　cm.
12．如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
14．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为　 　.
15．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为　 　．
16．已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，点D是AC的中点，连接BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连接CE，若，则=　 　 .
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17． 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
18．如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E，F分别为，上的点，且，连接CE，AF．求证：．
19．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形；
20．如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
21．如图，在中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过的中心．
22．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
23．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
24．如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
25．如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
26．如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．
（1）求证：F是AC的中点．
（2）求S△ACD：S△ABD的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过PQ中点的直线即可将这个图形分成面积相等的两个部分，共有无数条.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ C正确，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【分析】
直接应用三角形的中位线定理即可．
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠GCF=∠ACF
∵DE//BC
∴∠GCF=∠EFC，
∴∠ACF=∠EFC
∴，
∴DF=DE-EF=10-6=4，
∴BG=2DF=8
故答案为：B .
【分析】根据中位线性质求出DE//BC，，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=EC=6，再求出DF的长，最后可得答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的判定，
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：A．
【分析】结合题意两条直铺的铁轨互相平行 ，得到数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
11．【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵E、F分别为AB、AC的中点，EF=35cm
∴点B距离地面的高度为70cm.
故答案为：70.
【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题.
12．【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作轴，得到矩形ABOE的面积，根据反比例函数k值几何意义进行解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；线段的中点；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G
∵，则设AC=3k，BC=2k
∵△ABC是等腰三角形且AB=AC
∴
∴
∵D是AC的中点，DG∥AF
∴G为FC的中点
∴
设CE=x
在△BDG中，
在△BDE中，
在△DGE中，
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，设AC=3k，BC=2k，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AF，根据线段中点可得GC，再根据三角形中位线定理可得DG，设CE=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，考查平行四边形的对角线性质、线段和差运算，以及平行四边形的判定与性质。由平行四边形 ABCD 可得对角线互相平分，即 OA = OC，OB = OD。已知 DE = BF，结合 OD = OB，通过线段和差可得 OE = OF。在四边形 AECF 中，对角线 AC 与 EF 互相平分（OA = OC，OE = OF），则四边形 AECF 为平行四边形，进而由平行四边形对边相等得 CE = AF。解题关键在于利用对角线互相平分判定平行四边形，而非直接证全等。
19．【答案】证明：连接，设与交于点．如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，设与交于点，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，交于点，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，
∴，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），
∴OABC，OA=BC=3，
∴点B的坐标为（4，2），
设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，
解得m=，
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）解：∵O（0，0），B（4，2），
∴的中心的坐标为（2，1），
当x=2时，，
∴此反比例函数的图象经过的中心．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得，根据平行四边形性质可得OABC，OA=BC=3，根据点的坐标可得点B的坐标为（4，2），设直线OB的解析式为y=mx，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得的中心的坐标为（2，1），再代入直线解析式进行判断即可求出答案.
（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，
∴，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），
∴OABC，OA=BC=3，
∴点B的坐标为（4，2），
设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，
解得m=，
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）解：∵O（0，0），B（4，2），
∴的中心的坐标为（2，1），
当x=2时，，
∴此反比例函数的图象经过的中心．
22．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
23．【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
24．【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
26．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
∵DO＝BO，
∴OE为三角形BCD的中位线，
∴OEDC，DC＝2OE，
∵AO＝2EO，
∴CD＝AO，
∵AOCD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴F为AC中点．
（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，
∴S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，
∵BO=DO，
∴点O是BD的中点
∴S△ABD＝2S△ADO，
∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定定理与性质、三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质是解题关键．（1）连接CD，根据中点的定义可知：CE＝BE，结合BO=DO，可知：OE为三角形BCD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半可知：OEDC，DC＝2OE，结合AO=2EO，等量代换得：CD=AO，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AOCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质：对角线互相平分可知：点F是AC的中点，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，再根据三角形中线的性质可知：S△ABD＝2S△ADO，等量代换得：S△ACD：S△ABD的比值，由此可得出答案．
1 / 1华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试基础卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
2．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过PQ中点的直线即可将这个图形分成面积相等的两个部分，共有无数条.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶2∶1∶2 D．1∶1∶2∶2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ C正确，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论.
4．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【分析】
直接应用三角形的中位线定理即可．
5．如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
6．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=10，则BG的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠GCF=∠ACF
∵DE//BC
∴∠GCF=∠EFC，
∴∠ACF=∠EFC
∴，
∴DF=DE-EF=10-6=4，
∴BG=2DF=8
故答案为：B .
【分析】根据中位线性质求出DE//BC，，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=EC=6，再求出DF的长，最后可得答案.
7．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
8．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的判定，
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
10．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：A．
【分析】结合题意两条直铺的铁轨互相平行 ，得到数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度BC为　 　cm.
【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵E、F分别为AB、AC的中点，EF=35cm
∴点B距离地面的高度为70cm.
故答案为：70.
【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题.
12．如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
13．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
14．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
15．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作轴，得到矩形ABOE的面积，根据反比例函数k值几何意义进行解答即可．
16．已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，点D是AC的中点，连接BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连接CE，若，则=　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；线段的中点；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G
∵，则设AC=3k，BC=2k
∵△ABC是等腰三角形且AB=AC
∴
∴
∵D是AC的中点，DG∥AF
∴G为FC的中点
∴
设CE=x
在△BDG中，
在△BDE中，
在△DGE中，
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，设AC=3k，BC=2k，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AF，根据线段中点可得GC，再根据三角形中位线定理可得DG，设CE=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17． 如图， 在 中，E是 CD的中点，AE的延长线与 BC的延长线相交于点 F.
求证： CF=BC.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE.
在△ADE 和△FCE 中
∴△ADE≌△FCE (AAS)，
∴AD=CF，
∴CF=BC.
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠DAE=∠F，再证明△ADE≌△FCE，最后由全等三角形的对应边相等解题即可.
18．如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E，F分别为，上的点，且，连接CE，AF．求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，考查平行四边形的对角线性质、线段和差运算，以及平行四边形的判定与性质。由平行四边形 ABCD 可得对角线互相平分，即 OA = OC，OB = OD。已知 DE = BF，结合 OD = OB，通过线段和差可得 OE = OF。在四边形 AECF 中，对角线 AC 与 EF 互相平分（OA = OC，OE = OF），则四边形 AECF 为平行四边形，进而由平行四边形对边相等得 CE = AF。解题关键在于利用对角线互相平分判定平行四边形，而非直接证全等。
19．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形；
【答案】证明：连接，设与交于点．如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，设与交于点，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
20．如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，交于点，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．如图，在中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过的中心．
【答案】（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，
∴，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），
∴OABC，OA=BC=3，
∴点B的坐标为（4，2），
设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，
解得m=，
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）解：∵O（0，0），B（4，2），
∴的中心的坐标为（2，1），
当x=2时，，
∴此反比例函数的图象经过的中心．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得，根据平行四边形性质可得OABC，OA=BC=3，根据点的坐标可得点B的坐标为（4，2），设直线OB的解析式为y=mx，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得的中心的坐标为（2，1），再代入直线解析式进行判断即可求出答案.
（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，
∴，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），
∴OABC，OA=BC=3，
∴点B的坐标为（4，2），
设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，
解得m=，
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）解：∵O（0，0），B（4，2），
∴的中心的坐标为（2，1），
当x=2时，，
∴此反比例函数的图象经过的中心．
22．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
23．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
24．如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
25．如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
26．如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．
（1）求证：F是AC的中点．
（2）求S△ACD：S△ABD的值．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
∵DO＝BO，
∴OE为三角形BCD的中位线，
∴OEDC，DC＝2OE，
∵AO＝2EO，
∴CD＝AO，
∵AOCD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴F为AC中点．
（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，
∴S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，
∵BO=DO，
∴点O是BD的中点
∴S△ABD＝2S△ADO，
∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定定理与性质、三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质是解题关键．（1）连接CD，根据中点的定义可知：CE＝BE，结合BO=DO，可知：OE为三角形BCD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半可知：OEDC，DC＝2OE，结合AO=2EO，等量代换得：CD=AO，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AOCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质：对角线互相平分可知：点F是AC的中点，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，再根据三角形中线的性质可知：S△ABD＝2S△ADO，等量代换得：S△ACD：S△ABD的比值，由此可得出答案．
1 / 1

展开更多......

收起↑