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广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九下·宝安月考）下列数： ，2，0，3π，1.121112中是无理数的有（　　）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025九下·宝安月考）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十1红，此花无11不春风，“尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有常高的观赏价俏。某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　）
A．3.52×105 B．0.352×105 C．3.52×106 D．35.2×106
3．（2025九下·宝安月考）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·宝安月考）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行、若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
5．（2025九下·宝安月考）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子，小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·宝安月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■，”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，“■”设绫布有x尺，则可得方程为根据此情境，题中 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文
7．（2025九下·宝安月考） 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如示意图，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，点D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=m， 则AD的长度可表示为（　　）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
8．（2025九下·宝安月考）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图！所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”"之” “保" （分别记作点A， B， C， D）四个大字，要求 BC与地面平行，且BC//AD， 抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6M，BC=2m， AD=4m， 如图2所示，则点C到AD的距离为（　　）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5M
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·宝安月考）x2+mx+4是关于x的完全半方式，则m=　 　.
10．（2025九下·宝安月考） 如图，A，B， C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1. 则B的边长可以是　 　.（写出一个答案即可）
11．（2025九下·宝安月考）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是　 　cm2.
12．（2025九下·宝安月考）把块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在半面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴L，斜边AB与x轴的火角∠ABO=60°，若BC=2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　.
13．（2025九下·宝安月考） 如图，在中，，，将沿对角线AC翻折至，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为　 　.
三、解答题（共61分）
14．（2025九下·宝安月考）
（1）计算
（2）小明在用公式法解方程2x2-4x=5时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程2x2-4x=5 解：∵a=2， b=-4，c=5（第①步） ∴b2-4ac=（-4）2-4×2×5=-24<0（第②步） ∴原方程无实数根（第③步）
小明的解答过程从第　 　步开始出错的，其错误的原因是　 　。
15．（2025九下·宝安月考）先化简，再求值：，其中．
16．（2025九下·宝安月考）青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要，某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了统计表与统计图，已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，56，54，55， 59， 57，55， 60，根据以.上信息，问答下列问题：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.6~46.5 2
B 46.5~53.5 a
C 53.5~60.5 8
D 60.5~67.5 5
E 67.5~74.5 4
（1）填空a=　 　，所抽取学生体重的中位数是　 　kg：
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处了中下游水平，请问小敏的推测正确吗？简单说明理山。
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人
17．（2025九下·宝安月考）如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E， F点为 BD上一点，连接EF，
（1）在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使EF为⊙O的切线并证明；
（2）若EF 为⊙O的切线， 直径 CD=13， CB=24， 求 DF 的长.
18．（2025九下·宝安月考）阅读并完成相应的任务
问题背景 小明所在的班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的育盒作为奖品.
调研1 商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元：若买25个A款盲盒、25个B款肓盒，共需450元.
调研2 商店开展促销活动时，线下活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮。
问题解决
任务1 商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买4、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0任务3 请你帮小明算一算，在任务2的情况下，至少购买A款盲盒多少个，线下购买方式更合算？
19．（2025九下·宝安月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
20．（2025九下·宝安月考）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究，
【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　 （填序号）：
（2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 BC=m， DC=n， ∠BCD=20， 求AC 的长（用含 m， n， θ的式子表示）.
（3）【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中， ∠B=90°，AB=3，BC=4，分别在边BC，AC上取点 M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，
①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形ABMN：
②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请真接写出BN的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：3π是无理数， ，2，0，1.121112是有理数，
∴无理数共有1个，
故答案为：A.
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000352= 3.52×10-5 ，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）.再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题可知，A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，再结合∠β＋∠2＝180°，求出∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°即可.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为120 ，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故答案为：C．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，根据“ 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文”才能列出方程.
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点O，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，
在Rt△AOF中，AO＝AF cos65°＝mcos65°，
∴AD＝2AO＝2mcos65°，
∴AD的长度可表示为2mcos65°，
故答案为：D．
【分析】连接EF交AD于点O，先利用菱形的性质可得OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，再利用解直角三角形的方法求出AD＝2AO＝2mcos65°即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，
∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（ 1，0），
∴点E的坐标为（0，0.6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），
将点E的坐标代入得：a（0＋1）×（0 1）＝0.6，
解得：a＝ 0.6，
∴抛物线的解析式为y＝ 0.6（x＋1）（x 1）．
∵点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为 0.6×（2＋1）×（2 1）＝ 1.8，
∴点C到AD的距离为1.8m.
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），将点E的坐标代入求出a的值可得解析式，再求出点D的坐标，最后求出点C到AD的距离即可.
9．【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2＋mx＋4＝x2＋mx＋22，x2＋mx＋4是一个含x的完全平方式，
∴mx＝±2×2x，
解得：m＝±4．
故答案为：±4．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法求出m的值即可.
10．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜正方形B的边长＜，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】先利用正方形的面积求出其边长，再求出1＜正方形B的边长＜，最后求出正方形B的边长即可.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
12．【答案】（5，0）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90° 60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB＋∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90° 60°＝30°，
∴EB＝AB＝2，AE＝，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180° ∠ABO ∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝=，
∴OF＝OE＋BE＋BF＝m＋3，
∴点C坐标为（m＋3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴m＝（m＋3），
解得：m＝3，
∴OB＝OE＋EB＝3＋2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，先求出EB＝AB＝2，AE＝，设OE＝m，则点A的坐标为（m，），先利用勾股定理求出BF＝BC＝1，CF＝=，再利用线段的和差求出OF的长，可得点C的坐标，再求出m的值，最后求出点B的坐标即可.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BC＝m，
∵AB＝BC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB＋BT＝3m，
∴AC＝=m，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴，
∴，
∴AJ＝m，
∴CJ＝AC AJ＝m，
在△AKD和△CJB中，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJ＝m，
∵四边形DEJK是矩形，
∴DE＝JK＝AC AK CK＝m，
∴=，
故答案为：．
【分析】过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K，设CT＝BT＝m，则BC＝m，先证出△AJB∽△ATC，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AJ＝m，再利用“AAS”证出△AKD≌△CJE，利用全等三角形的性质可得AK＝CJ＝m，最后求出=即可.
14．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）①；c为-5而不是5.
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（2）第①步开始错误，错误的原式是c=-5，
故答案为：①；c为-5而不是5.
【分析】（1）先利用立方根、0指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元二次方程公式法求解的计算方法及步骤分析求解即可.
15．【答案】解：，
，
把代入得，原式．
【知识点】分式的加减法；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值运算、含二次根式的代入运算、二次根式的分母有理化，分式的通分、约分、混合运算顺序. 先对原式进行通分、约分、因式分解，将复杂的分式化简为最简形式，再把代入，最后通过分母有理化得到最终结果.
16．【答案】（1）6；56
（2）解：不正确．
∵小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
∴小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
∴小敏的推测不正确.
（3）解：600×＝216，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【分析】解：（1）调查的总人数为2÷8%＝25（人），
∴a＝25 2 8 5 4＝6，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
∵A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56，
故答案为：6，56；
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值，再利用中位线的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用中位数的定义及性质分析求解即可；
（3）先求出“ 体重高于60.5kg ”的百分比，再乘以600可得答案.
17．【答案】（1）解：添加条件为EF⊥AB
证明：连接OE，DE
∵CD是直径
∴∠CED=90°，即DE⊥BC
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点
∴CD=BD
∴E是BC的中点
∵O是CD的中点
∴OE是△BCD的中位线
∴OE∥AB
∵EF⊥AB
∴EF⊥OE
∵OE是圆的半径
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线，CD=13
∴AB=2CD=26
∵CB=24
∴
∵点E是BC的中点
∴
在Rt△BDE中，
∵，即
∴
在Rt△DEF中，
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，DE，根据圆周角定理可得∠CED=90°，即DE⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得E是BC的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥AB，根据直线平行性质可得EF⊥OE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）据直角三角形斜边上的中线性质AB=2CD=26，根据勾股定理可得AC，再根据线段中点可得，根据勾股定理可得DE，再根据三角形面积可得EF，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】解：任务1：任务1：设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是10元，B款盲盒的销售单价是8元；
任务2：（1.6m＋291），（1.8m＋288）；
任务3：根据题意得1.6m＋291＜1.8m＋288，
解得：m＞15，
∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40，
∵m为正整数，
∴m的最小整数解为16，
答：至少购买A款盲盒16个，线下购买方式更合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
任务2：小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），则B款盲盒（40 m）个，
若线下购买，共需要35＋0.8[10m＋8（40 m）]＝（1.6m＋291）元，
若线上购买，共需要0.9[10m＋8（40 m）]＝（1.8m＋288）元，
故答案为：（1.6m＋291），（1.8m＋288）；
【分析】任务1：设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，根据“ 若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元：若买25个A款盲盒、25个B款肓盒，共需450元 ”列出方程组，再求解即可；
任务2：参照线下和线上的收费方法分别列出代数式求解即可；
任务3：根据“ 线下购买方式更合算 ”列出不等式1.6m＋291＜1.8m＋288，再求解即可.
19．【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
20．【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD＝∠ACB，
理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴∠ABC＋∠D＝180°，
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB；
故答案为：ACD=ACB；
②过A作AF⊥EC于F，
∵AE＝AC，
∴CF＝CE＝（BC＋BE）＝（BC＋DC）＝，
∵∠BCD＝2α，
∴∠ACD＝∠ACB＝α，
在Rt△AFC中，cosα＝，
∴AC＝=，
故AC的长为．
（3）①如图，
②或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；四边形中的对角互补模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（3）∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠ABM=180°
∴∠ANM=90°
当AB=AN时，连接AM
∵AM=AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM
∴BM=NM，不符合题意，舍去
当AB=BM时，过点N作NH垂直BC于点H
∵AB=BM=3
∴MC=BC-BM=1
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△MNC∽△ABC
∴，即
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当BM=MN时，连接AM
∵AM=AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM
∴AB=AN，不符合题意，舍去
当AN=MN时，过点N作NH⊥BC于点H
设NC=x，则AN=MN=5-x
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△MNC∽△ABC
∴，即
解得：，即
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，BN的长为或
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，根据邻等对补四边形的定义可得∠ABC＋∠D＝180°，再根据角之间的关系可得∠ABE＝∠D，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC（SAS），则∠E＝∠ACD，AE＝AC，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过A作AF⊥EC于F，根据边之间的关系可得CF＝，由题意可得∠ACD＝∠ACB＝α，再根据余弦定义即可求出答案.
（3）①根据邻等对补四边形的定义作图即可求出答案.
②根据勾股定理可得AC，根据根据邻等对补四边形的定义可得∠ANM+∠ABM=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=AN时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM，则BM=NM，不符合题意，舍去，当AB=BM时，过点N作NH垂直BC于点H，根据边之间的关系可得MC，根据相似三角形判定定理可得△MNC∽△ABC，则，代值计算可得NC，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案；当BM=MN时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM，则∴AB=AN，不符合题意，舍去；当AN=MN时，过点N作NH⊥BC于点H设NC=x，则AN=MN=5-x，根据相似三角形判定定理可得△MNC∽△ABC，则，代值计算可得，即，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九下·宝安月考）下列数： ，2，0，3π，1.121112中是无理数的有（　　）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：3π是无理数， ，2，0，1.121112是有理数，
∴无理数共有1个，
故答案为：A.
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2025九下·宝安月考）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十1红，此花无11不春风，“尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有常高的观赏价俏。某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　）
A．3.52×105 B．0.352×105 C．3.52×106 D．35.2×106
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000352= 3.52×10-5 ，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）.再分析求解即可.
3．（2025九下·宝安月考）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题可知，A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
4．（2025九下·宝安月考）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行、若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α＋∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β＋∠2＝180°，
∴∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠2＝∠1＝90° 25°＝65°，再结合∠β＋∠2＝180°，求出∠β＝180° ∠2＝180° 65°＝115°即可.
5．（2025九下·宝安月考）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子，小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．（2025九下·宝安月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■，”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，“■”设绫布有x尺，则可得方程为根据此情境，题中 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为120 ，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故答案为：C．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10 x＝（30 x）尺，根据“ 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文”才能列出方程.
7．（2025九下·宝安月考） 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如示意图，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，点D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=m， 则AD的长度可表示为（　　）
A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点O，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，
∴四边形AEDF是菱形，
∴OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，
在Rt△AOF中，AO＝AF cos65°＝mcos65°，
∴AD＝2AO＝2mcos65°，
∴AD的长度可表示为2mcos65°，
故答案为：D．
【分析】连接EF交AD于点O，先利用菱形的性质可得OA＝OD＝AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝∠EAF＝65°，再利用解直角三角形的方法求出AD＝2AO＝2mcos65°即可.
8．（2025九下·宝安月考）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图！所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”"之” “保" （分别记作点A， B， C， D）四个大字，要求 BC与地面平行，且BC//AD， 抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6M，BC=2m， AD=4m， 如图2所示，则点C到AD的距离为（　　）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5M
【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，
∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（ 1，0），
∴点E的坐标为（0，0.6），
设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），
将点E的坐标代入得：a（0＋1）×（0 1）＝0.6，
解得：a＝ 0.6，
∴抛物线的解析式为y＝ 0.6（x＋1）（x 1）．
∵点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为 0.6×（2＋1）×（2 1）＝ 1.8，
∴点C到AD的距离为1.8m.
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，再设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x 1），将点E的坐标代入求出a的值可得解析式，再求出点D的坐标，最后求出点C到AD的距离即可.
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九下·宝安月考）x2+mx+4是关于x的完全半方式，则m=　 　.
【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2＋mx＋4＝x2＋mx＋22，x2＋mx＋4是一个含x的完全平方式，
∴mx＝±2×2x，
解得：m＝±4．
故答案为：±4．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法求出m的值即可.
10．（2025九下·宝安月考） 如图，A，B， C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1. 则B的边长可以是　 　.（写出一个答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜正方形B的边长＜，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】先利用正方形的面积求出其边长，再求出1＜正方形B的边长＜，最后求出正方形B的边长即可.
11．（2025九下·宝安月考）鸳鸯下是指产于比肃武山县鸳鸯镇带的超基性岩石，又名蛇纹石下，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽品莹，而成为长雕工艺品、商档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料。如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点， ∠ADC=130°、张师傅在这块玉行上切割了一块扇形玉石.（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是　 　cm2.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180° ∠ADC＝180° 130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴这块扇形玉石的面积＝()，
故答案为：．
【分析】连接BC，先利用圆内接四边形的对角互补的性质求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC的度数，最后利用扇形面积公式列出算式求解即可.
12．（2025九下·宝安月考）把块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在半面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴L，斜边AB与x轴的火角∠ABO=60°，若BC=2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　.
【答案】（5，0）
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90° 60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB＋∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90° 60°＝30°，
∴EB＝AB＝2，AE＝，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180° ∠ABO ∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝=，
∴OF＝OE＋BE＋BF＝m＋3，
∴点C坐标为（m＋3，），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴m＝（m＋3），
解得：m＝3，
∴OB＝OE＋EB＝3＋2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，先求出EB＝AB＝2，AE＝，设OE＝m，则点A的坐标为（m，），先利用勾股定理求出BF＝BC＝1，CF＝=，再利用线段的和差求出OF的长，可得点C的坐标，再求出m的值，最后求出点B的坐标即可.
13．（2025九下·宝安月考） 如图，在中，，，将沿对角线AC翻折至，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K．
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BC＝m，
∵AB＝BC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB＋BT＝3m，
∴AC＝=m，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴，
∴，
∴AJ＝m，
∴CJ＝AC AJ＝m，
在△AKD和△CJB中，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJ＝m，
∵四边形DEJK是矩形，
∴DE＝JK＝AC AK CK＝m，
∴=，
故答案为：．
【分析】过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J，过点D作DK⊥AC于K，设CT＝BT＝m，则BC＝m，先证出△AJB∽△ATC，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AJ＝m，再利用“AAS”证出△AKD≌△CJE，利用全等三角形的性质可得AK＝CJ＝m，最后求出=即可.
三、解答题（共61分）
14．（2025九下·宝安月考）
（1）计算
（2）小明在用公式法解方程2x2-4x=5时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程2x2-4x=5 解：∵a=2， b=-4，c=5（第①步） ∴b2-4ac=（-4）2-4×2×5=-24<0（第②步） ∴原方程无实数根（第③步）
小明的解答过程从第　 　步开始出错的，其错误的原因是　 　。
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）①；c为-5而不是5.
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（2）第①步开始错误，错误的原式是c=-5，
故答案为：①；c为-5而不是5.
【分析】（1）先利用立方根、0指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元二次方程公式法求解的计算方法及步骤分析求解即可.
15．（2025九下·宝安月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
把代入得，原式．
【知识点】分式的加减法；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值运算、含二次根式的代入运算、二次根式的分母有理化，分式的通分、约分、混合运算顺序. 先对原式进行通分、约分、因式分解，将复杂的分式化简为最简形式，再把代入，最后通过分母有理化得到最终结果.
16．（2025九下·宝安月考）青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要，某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了统计表与统计图，已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，56，54，55， 59， 57，55， 60，根据以.上信息，问答下列问题：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.6~46.5 2
B 46.5~53.5 a
C 53.5~60.5 8
D 60.5~67.5 5
E 67.5~74.5 4
（1）填空a=　 　，所抽取学生体重的中位数是　 　kg：
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处了中下游水平，请问小敏的推测正确吗？简单说明理山。
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人
【答案】（1）6；56
（2）解：不正确．
∵小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
∴小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
∴小敏的推测不正确.
（3）解：600×＝216，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【分析】解：（1）调查的总人数为2÷8%＝25（人），
∴a＝25 2 8 5 4＝6，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
∵A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56，
故答案为：6，56；
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值，再利用中位线的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用中位数的定义及性质分析求解即可；
（3）先求出“ 体重高于60.5kg ”的百分比，再乘以600可得答案.
17．（2025九下·宝安月考）如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E， F点为 BD上一点，连接EF，
（1）在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使EF为⊙O的切线并证明；
（2）若EF 为⊙O的切线， 直径 CD=13， CB=24， 求 DF 的长.
【答案】（1）解：添加条件为EF⊥AB
证明：连接OE，DE
∵CD是直径
∴∠CED=90°，即DE⊥BC
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点
∴CD=BD
∴E是BC的中点
∵O是CD的中点
∴OE是△BCD的中位线
∴OE∥AB
∵EF⊥AB
∴EF⊥OE
∵OE是圆的半径
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线，CD=13
∴AB=2CD=26
∵CB=24
∴
∵点E是BC的中点
∴
在Rt△BDE中，
∵，即
∴
在Rt△DEF中，
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，DE，根据圆周角定理可得∠CED=90°，即DE⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得E是BC的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥AB，根据直线平行性质可得EF⊥OE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）据直角三角形斜边上的中线性质AB=2CD=26，根据勾股定理可得AC，再根据线段中点可得，根据勾股定理可得DE，再根据三角形面积可得EF，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2025九下·宝安月考）阅读并完成相应的任务
问题背景 小明所在的班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的育盒作为奖品.
调研1 商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元：若买25个A款盲盒、25个B款肓盒，共需450元.
调研2 商店开展促销活动时，线下活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮。
问题解决
任务1 商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买4、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0任务3 请你帮小明算一算，在任务2的情况下，至少购买A款盲盒多少个，线下购买方式更合算？
【答案】解：任务1：任务1：设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是10元，B款盲盒的销售单价是8元；
任务2：（1.6m＋291），（1.8m＋288）；
任务3：根据题意得1.6m＋291＜1.8m＋288，
解得：m＞15，
∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40，
∵m为正整数，
∴m的最小整数解为16，
答：至少购买A款盲盒16个，线下购买方式更合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
任务2：小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），则B款盲盒（40 m）个，
若线下购买，共需要35＋0.8[10m＋8（40 m）]＝（1.6m＋291）元，
若线上购买，共需要0.9[10m＋8（40 m）]＝（1.8m＋288）元，
故答案为：（1.6m＋291），（1.8m＋288）；
【分析】任务1：设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y元，根据“ 若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元：若买25个A款盲盒、25个B款肓盒，共需450元 ”列出方程组，再求解即可；
任务2：参照线下和线上的收费方法分别列出代数式求解即可；
任务3：根据“ 线下购买方式更合算 ”列出不等式1.6m＋291＜1.8m＋288，再求解即可.
19．（2025九下·宝安月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
20．（2025九下·宝安月考）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究，
【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　 （填序号）：
（2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 BC=m， DC=n， ∠BCD=20， 求AC 的长（用含 m， n， θ的式子表示）.
（3）【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中， ∠B=90°，AB=3，BC=4，分别在边BC，AC上取点 M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，
①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形ABMN：
②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请真接写出BN的长.
【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD＝∠ACB，
理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴∠ABC＋∠D＝180°，
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB；
故答案为：ACD=ACB；
②过A作AF⊥EC于F，
∵AE＝AC，
∴CF＝CE＝（BC＋BE）＝（BC＋DC）＝，
∵∠BCD＝2α，
∴∠ACD＝∠ACB＝α，
在Rt△AFC中，cosα＝，
∴AC＝=，
故AC的长为．
（3）①如图，
②或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；四边形中的对角互补模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（3）∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠ABM=180°
∴∠ANM=90°
当AB=AN时，连接AM
∵AM=AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM
∴BM=NM，不符合题意，舍去
当AB=BM时，过点N作NH垂直BC于点H
∵AB=BM=3
∴MC=BC-BM=1
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△MNC∽△ABC
∴，即
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当BM=MN时，连接AM
∵AM=AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM
∴AB=AN，不符合题意，舍去
当AN=MN时，过点N作NH⊥BC于点H
设NC=x，则AN=MN=5-x
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△MNC∽△ABC
∴，即
解得：，即
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，BN的长为或
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，根据邻等对补四边形的定义可得∠ABC＋∠D＝180°，再根据角之间的关系可得∠ABE＝∠D，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC（SAS），则∠E＝∠ACD，AE＝AC，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过A作AF⊥EC于F，根据边之间的关系可得CF＝，由题意可得∠ACD＝∠ACB＝α，再根据余弦定义即可求出答案.
（3）①根据邻等对补四边形的定义作图即可求出答案.
②根据勾股定理可得AC，根据根据邻等对补四边形的定义可得∠ANM+∠ABM=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=AN时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM，则BM=NM，不符合题意，舍去，当AB=BM时，过点N作NH垂直BC于点H，根据边之间的关系可得MC，根据相似三角形判定定理可得△MNC∽△ABC，则，代值计算可得NC，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案；当BM=MN时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM，则∴AB=AN，不符合题意，舍去；当AN=MN时，过点N作NH⊥BC于点H设NC=x，则AN=MN=5-x，根据相似三角形判定定理可得△MNC∽△ABC，则，代值计算可得，即，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
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