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四川省宜宾市翠屏区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025九上·翠屏期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数，字母因式是整式、被开方数不含能开得尽方的因数或因式）．对四个选项逐一验证（先看被开方数，再看是否含开的尽方的数）．
2．（2025九上·翠屏期末）下列事件是不可能事件的是（　　）
A．明天会下雨
B．掷一枚硬币正面朝上
C．任意抛掷一枚骰子，点数大于6
D．翻开九年级上册数学书刚好是第24页
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、明天会下雨，是随机事件，则此项不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，则此项符合题意；
D、翻开九年级上册数学书刚好是第24页，是随机事件，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了不可能事件的判定，根据定义（随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是在一定条件下绝对不会发生的事件），根据选项判定即可.
3．（2025九上·翠屏期末）如图，在Rt中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义. 先在直角中，利用勾股定理由已知的斜边和一条直角边求出另一条直角边AC；再根据锐角三角函数中正弦的定义（角B的对边与斜边的比值），代入边长计算出sinB的数值.
4．（2025九上·翠屏期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，原选项运算错误，不符合题意；
B.，原选项计算正确，符合题意；
C.，原选项运算错误，不符合题意；
D.，原选项运算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查二次根式的加、减、乘、除运算，加减需先化为同类二次根式再合并，乘除直接套用公式．
5．（2025九上·翠屏期末）如图，，若，，，则的长度是（　　）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行得，代入已知条件求得EF，再根据线段的和差关系即可求解.
6．（2025九上·翠屏期末）近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，
∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元，
∴可列方程为，
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的增长率应用，核心是“增长后的量=原量×（1+增长率）n，n为增长次数，本题注意累计值需将各期数值相加.
7．（2025九上·翠屏期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．17
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
∵将一元二次方程化成的形式，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的配方变形，移项，配方（在等式两边同时加上一次项系数一半的平方”，准确对应配方后的参数，即可得到答案．
8．（2025九上·翠屏期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（　　）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为的四等分点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，，然后结合四等分点，利用两组对边分别成比例，夹角相等证，根据相似三角形的比例关系可得相似比为，求出的长，即可得到CD的长度．
9．（2025九上·翠屏期末）已知和是方程的两个解，则的值为（　　）
A． B．2023 C． D．2021
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根的定义得，韦达定理得，然后将变形为，整体带入简化计算即可得到答案．
10．（2025九上·翠屏期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点、，
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，
∵余2，
∴的直角顶点是第10个循环组的第二个三角形的直角顶点，
如图，
，
∴，
由勾股定理得，，
∴的直角顶点的坐标为，即，
故选：B．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，图形旋转产生的点的坐标变化规律，根据勾股定理列式求出的长，得到三角形周长为12，观察旋转规律：每3次旋转为一个循环，循环前进长度为12，计算29是第10个循环的第二个图形，结合几何计算即可得到坐标．
11．（2025九上·翠屏期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（　　）
A．3或 B．或 C．或 D．3或
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当，即时，则，
解得或（不符合题设，舍去）；
②当，即时，，
解得或（不符合题设，舍去）；
综上，的值为3或，
故选：D．
【分析】本题考查了新定义与一元二次方程的结合，理解的定义，取两式较大的数．分两种情况：①当，x2=9，②当，即x2-4x=9；根据条件计算舍解即可．
12．（2025九上·翠屏期末）如图，在边长为的菱形中，，在线段上，在线段上，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，作，使得，连接，，
∵边长为的菱形中，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当点、、共线时，取“”，此时的最小值为线段的长，
在中，
，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故选：A．
【分析】本题考查以菱形为背景的线段最值问题，解题核心是通过构造相似三角形转化线段，连接，作，使得，连接，，利用相似性质推出，将2AN+AM转化为2（AN+EN），再根据两点之间线段最短，求AN+EN的最小值即可．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2025九上·翠屏期末）若使二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
14．（2025九上·翠屏期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4个红球和6个白球，
∴任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：．
【分析】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数，算出概率即可（注意结果化为最简分数）．
15．（2025九上·翠屏期末）如图，在中，点是边上的点，点是边上的点，且，，点是中点，若的面积为48，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，且，
∴；
∵D是中点，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）与性质（面积比等于相似比的平方）、中点面积的应用.先求出相似比，然后得到面积比，再根据等底登高面积相等求值即可.
16．（2025九上·翠屏期末）已知，且，则　 　．
【答案】或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，且，
∵，
∴，即，
∴，
∴或，
故答案为：或1．
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，遇到x，y的齐次式，通过除以y2，化为关于的方程，将看作一个整体，把多元问题转化为一元问题，接着利用因式分解法解方程即可．
17．（2025九上·翠屏期末）如图，反比例函数在第一象限内的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；正切的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵由直线与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴．
∵点C在第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了反比例函数图象特征，相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义，连接，作轴，轴，利用角角证明，结合三角函数的定义推出线段比例，再根据反比例函数k的几何意义，计算得k=．
18．（2025九上·翠屏期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有　 　（填写正确结论的序号）．
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确的；
∵，
∴，
在中，，
∴，
过点作，如图所示：
∵，
∴
∴
在中，，
解得，
则
，
故②正确的；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
故，
∴，
；
∴，
故③正确的；
∵，
∴，
连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是线段上的一个动点，过点作，垂足为，
∴当这三点共线时，则最小，
此时，
∵
∴
则
∴
故
∴的最小值为．
故④是错误的，
故答案为：①②③．
【分析】本题考查正方形综合结论的判断，需结合“边、角、对角线”的性质，综合运用全等三角形、勾股定理、面积计算、最值原理来逐一分析结论.由正方形的性质证明，得DG=MG，故①正确；根据勾股定理求出，运用割补法计算不规则四边形面积，代入计算得②是正确的；证明，再分别计算的面积，计算比值得③是正确的；运用垂线段最短分析当这三点共线时，最小，得其值为，故④是错误的．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025九上·翠屏期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
．
（2），
，
，
或，
或，
所以方程的解为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算以及因式分解法解一元二次方程．
（1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，逐步计算即可得到答案；
（2）先整理为一般式，然后将其因式分解为，再用因式分解法解方程即可得．
20．（2025九上·翠屏期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形；
（2）写出、、的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）、、
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（2）∵在轴下方的与的位似比为2，且，，，
∴、、，
即、、．
【分析】本题考查了位似图形作图与位似点坐标问题．
（1）根据位似的性质，位似图形的对应点坐标与位似中心的距离为原坐标的2倍，且在x轴下方，画出点，再顺次连接即可得；
（2）根据点坐标的位似变换规律即可得．
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：∵在轴下方的与的位似比为2，且，，，
∴、、，
即、、．
21．（2025九上·翠屏期末）宜宾不仅是万里长江第一城，也是一座蕴含红色基因的城市．为了更好地开展红色文化教育，宜宾市某中学组织该校三个年级学生分年级到红色文化教育基地学习红色文化，感受先辈的不屈与坚强．经学校综合考虑，分别有以下四个红色文化学习点供选择A：赵一曼纪念馆；B：李硕勋故居；C：朱德故居；D：李庄文化抗战博物馆．且每个年级只能选择一个红色教育点．
（1）若该校九年级从以上四个红色教育基地中随机选择一个，则恰好选择朱德故居的概率为______；
（2）若七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个，请用画树状图或列表的方法，求两个年级选择的地点不相同的概率．
【答案】（1）．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个共有16种等可能的结果，其中，两个年级选择的地点不相同的结果有12种，
则两个年级选择的地点不相同的概率为，
答：两个年级选择的地点不相同的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵该校九年级从四个红色教育基地中随机选择共有4种等可能的结果，∴恰好选择朱德故居的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法或树状图求概率，．
（1）从A、B、C、D四个红色教育基地中选一个，直接利用古典概率公式计算即可；
（2）先画出树状图，得到所有等可能结果，再找出其中地点不相同的结果，计算得概率即可.
（1）解：∵该校九年级从四个红色教育基地中随机选择共有4种等可能的结果，
∴恰好选择朱德故居的概率为，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个共有16种等可能的结果，其中，两个年级选择的地点不相同的结果有12种，
则两个年级选择的地点不相同的概率为，
答：两个年级选择的地点不相同的概率为．
22．（2025九上·翠屏期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴
解得，
（2）解：∵、是方程的两个根，∴，
又，
整理得，，
∴
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与韦达定理．
（1）根据方程有两个实数根，根据根的判别式进行求解即可；
（2）根据韦达定理得到，再将展开变形，代入韦达定理的结论计算，结合第一问的范围即可得到m的值．
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得，；
（2）解：∵、是方程的两个根，
∴，
又，
整理得，，
∴
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为．
23．（2025九上·翠屏期末）如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，）
（1）求点到地面的距离；
（2）求摩天轮的高度（结果保留整数）．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵斜坡的坡度，且米，
∴在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴（米），
答：点到地面的距离为12米
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴米，
由题意得：，米，
设摩天轮的高度米，则米，
在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：摩天轮的高度约为89米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用（斜坡与俯角）、矩形的判定与性质、勾股定理等知识.将实际问题转化为几何图形，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理和三角函数建立数量关系是解题的关键.
（1）过点作于点，已知斜坡坡度（垂直高度与水平宽度的比）可得，再设米，则米，根据勾股定理解得的值，即可求得DE；
（2）过点作于点，延长交于点，先得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得米，再设摩天轮的高度米，则米，由俯角30°和45°，结合解直角三角形的边角关系求出的长，再根据AB=74米建立方程，解方程后代入对应数值计算即可．
（1）解：如图，过点作于点，
∵斜坡的坡度，且米，
∴在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴（米），
答：点到地面的距离为12米．
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴米，
由题意得：，米，
设摩天轮的高度米，则米，
在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：摩天轮的高度约为89米．
24．（2025九上·翠屏期末）如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明线段乘积式的关键是转化为比例式，再通过相似三角形的判定实现，同时掌握相似与直角三角形性质的综合也是关键.
（1）根据相似三角形的判定（AA)证明，推出，由中点的定义得到，即可得证；
（2）由（1）的结论求出，证明，故，再利用勾股定理计算即可.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
由（1）知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
25．（2025九上·翠屏期末）如图1，在和中，，，．
（1）如图1，连接，，，，求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点旋转，点恰好落在的中线的延长线上，延长交于点，求的值；
（3）在（1）的条件下，绕点旋转过程中，以、、为顶点能构成直角三角形．请直接写出所有满足条件中锐角的正切值．
【答案】（1）解：在和中，，∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，过点作于，
∵点恰好落在的中线的延长线上，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴
（3）或或
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；求正切值；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵以、、为顶点能构成直角三角形，为锐角，
∴有以下三种情况：
①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
②如图，当点在延长线上时，，
∴，
∴．
③如图，当时，过点作于，交于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查几何旋转的综合题型，涉及到旋转的性质、相似三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理以及分类讨论的数学思想.
（1）先通过证，得出，由可证，利用相似比及勾股定理计算BC即可；
（2）过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质得出，由旋转的性质以及角的等量代换可推出，证得，推出，故，设，结合勾股定理列出勾股方程，即可得出，进而算出，最后结合线段关系转化即可得到答案；
（3）分三种直角情况（点在线段上、点在延长线上及），利用几何性质和三角函数的定义进行计算．
（1）解：在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于，
∵点恰好落在的中线的延长线上，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵以、、为顶点能构成直角三角形，为锐角，
∴有以下三种情况：
①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
②如图，当点在延长线上时，，
∴，
∴．
③如图，当时，过点作于，交于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省宜宾市翠屏区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025九上·翠屏期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·翠屏期末）下列事件是不可能事件的是（　　）
A．明天会下雨
B．掷一枚硬币正面朝上
C．任意抛掷一枚骰子，点数大于6
D．翻开九年级上册数学书刚好是第24页
3．（2025九上·翠屏期末）如图，在Rt中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·翠屏期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·翠屏期末）如图，，若，，，则的长度是（　　）
A． B．5 C． D．8
6．（2025九上·翠屏期末）近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·翠屏期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．17
8．（2025九上·翠屏期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（　　）
A．8 B．10 C．14 D．16
9．（2025九上·翠屏期末）已知和是方程的两个解，则的值为（　　）
A． B．2023 C． D．2021
10．（2025九上·翠屏期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·翠屏期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（　　）
A．3或 B．或 C．或 D．3或
12．（2025九上·翠屏期末）如图，在边长为的菱形中，，在线段上，在线段上，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2025九上·翠屏期末）若使二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
14．（2025九上·翠屏期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　．
15．（2025九上·翠屏期末）如图，在中，点是边上的点，点是边上的点，且，，点是中点，若的面积为48，则的面积为　 　．
16．（2025九上·翠屏期末）已知，且，则　 　．
17．（2025九上·翠屏期末）如图，反比例函数在第一象限内的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则　 　．
18．（2025九上·翠屏期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有　 　（填写正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025九上·翠屏期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（2025九上·翠屏期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形；
（2）写出、、的坐标．
21．（2025九上·翠屏期末）宜宾不仅是万里长江第一城，也是一座蕴含红色基因的城市．为了更好地开展红色文化教育，宜宾市某中学组织该校三个年级学生分年级到红色文化教育基地学习红色文化，感受先辈的不屈与坚强．经学校综合考虑，分别有以下四个红色文化学习点供选择A：赵一曼纪念馆；B：李硕勋故居；C：朱德故居；D：李庄文化抗战博物馆．且每个年级只能选择一个红色教育点．
（1）若该校九年级从以上四个红色教育基地中随机选择一个，则恰好选择朱德故居的概率为______；
（2）若七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个，请用画树状图或列表的方法，求两个年级选择的地点不相同的概率．
22．（2025九上·翠屏期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值．
23．（2025九上·翠屏期末）如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，）
（1）求点到地面的距离；
（2）求摩天轮的高度（结果保留整数）．
24．（2025九上·翠屏期末）如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2025九上·翠屏期末）如图1，在和中，，，．
（1）如图1，连接，，，，求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点旋转，点恰好落在的中线的延长线上，延长交于点，求的值；
（3）在（1）的条件下，绕点旋转过程中，以、、为顶点能构成直角三角形．请直接写出所有满足条件中锐角的正切值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数，字母因式是整式、被开方数不含能开得尽方的因数或因式）．对四个选项逐一验证（先看被开方数，再看是否含开的尽方的数）．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、明天会下雨，是随机事件，则此项不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意；
C、任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，则此项符合题意；
D、翻开九年级上册数学书刚好是第24页，是随机事件，则此项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了不可能事件的判定，根据定义（随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是在一定条件下绝对不会发生的事件），根据选项判定即可.
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义. 先在直角中，利用勾股定理由已知的斜边和一条直角边求出另一条直角边AC；再根据锐角三角函数中正弦的定义（角B的对边与斜边的比值），代入边长计算出sinB的数值.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，原选项运算错误，不符合题意；
B.，原选项计算正确，符合题意；
C.，原选项运算错误，不符合题意；
D.，原选项运算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查二次根式的加、减、乘、除运算，加减需先化为同类二次根式再合并，乘除直接套用公式．
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行得，代入已知条件求得EF，再根据线段的和差关系即可求解.
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，
∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元，
∴可列方程为，
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的增长率应用，核心是“增长后的量=原量×（1+增长率）n，n为增长次数，本题注意累计值需将各期数值相加.
7．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
∵将一元二次方程化成的形式，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的配方变形，移项，配方（在等式两边同时加上一次项系数一半的平方”，准确对应配方后的参数，即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为的四等分点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，，然后结合四等分点，利用两组对边分别成比例，夹角相等证，根据相似三角形的比例关系可得相似比为，求出的长，即可得到CD的长度．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根的定义得，韦达定理得，然后将变形为，整体带入简化计算即可得到答案．
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点、，
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，
∵余2，
∴的直角顶点是第10个循环组的第二个三角形的直角顶点，
如图，
，
∴，
由勾股定理得，，
∴的直角顶点的坐标为，即，
故选：B．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，图形旋转产生的点的坐标变化规律，根据勾股定理列式求出的长，得到三角形周长为12，观察旋转规律：每3次旋转为一个循环，循环前进长度为12，计算29是第10个循环的第二个图形，结合几何计算即可得到坐标．
11．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当，即时，则，
解得或（不符合题设，舍去）；
②当，即时，，
解得或（不符合题设，舍去）；
综上，的值为3或，
故选：D．
【分析】本题考查了新定义与一元二次方程的结合，理解的定义，取两式较大的数．分两种情况：①当，x2=9，②当，即x2-4x=9；根据条件计算舍解即可．
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，作，使得，连接，，
∵边长为的菱形中，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当点、、共线时，取“”，此时的最小值为线段的长，
在中，
，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故选：A．
【分析】本题考查以菱形为背景的线段最值问题，解题核心是通过构造相似三角形转化线段，连接，作，使得，连接，，利用相似性质推出，将2AN+AM转化为2（AN+EN），再根据两点之间线段最短，求AN+EN的最小值即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵有4个红球和6个白球，
∴任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：．
【分析】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数，算出概率即可（注意结果化为最简分数）．
15．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，且，
∴；
∵D是中点，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）与性质（面积比等于相似比的平方）、中点面积的应用.先求出相似比，然后得到面积比，再根据等底登高面积相等求值即可.
16．【答案】或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，且，
∵，
∴，即，
∴，
∴或，
故答案为：或1．
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，遇到x，y的齐次式，通过除以y2，化为关于的方程，将看作一个整体，把多元问题转化为一元问题，接着利用因式分解法解方程即可．
17．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；正切的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵由直线与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴．
∵点C在第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了反比例函数图象特征，相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义，连接，作轴，轴，利用角角证明，结合三角函数的定义推出线段比例，再根据反比例函数k的几何意义，计算得k=．
18．【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确的；
∵，
∴，
在中，，
∴，
过点作，如图所示：
∵，
∴
∴
在中，，
解得，
则
，
故②正确的；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
故，
∴，
；
∴，
故③正确的；
∵，
∴，
连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是线段上的一个动点，过点作，垂足为，
∴当这三点共线时，则最小，
此时，
∵
∴
则
∴
故
∴的最小值为．
故④是错误的，
故答案为：①②③．
【分析】本题考查正方形综合结论的判断，需结合“边、角、对角线”的性质，综合运用全等三角形、勾股定理、面积计算、最值原理来逐一分析结论.由正方形的性质证明，得DG=MG，故①正确；根据勾股定理求出，运用割补法计算不规则四边形面积，代入计算得②是正确的；证明，再分别计算的面积，计算比值得③是正确的；运用垂线段最短分析当这三点共线时，最小，得其值为，故④是错误的．
19．【答案】解：（1）
．
（2），
，
，
或，
或，
所以方程的解为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算以及因式分解法解一元二次方程．
（1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，逐步计算即可得到答案；
（2）先整理为一般式，然后将其因式分解为，再用因式分解法解方程即可得．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）、、
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（2）∵在轴下方的与的位似比为2，且，，，
∴、、，
即、、．
【分析】本题考查了位似图形作图与位似点坐标问题．
（1）根据位似的性质，位似图形的对应点坐标与位似中心的距离为原坐标的2倍，且在x轴下方，画出点，再顺次连接即可得；
（2）根据点坐标的位似变换规律即可得．
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：∵在轴下方的与的位似比为2，且，，，
∴、、，
即、、．
21．【答案】（1）．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个共有16种等可能的结果，其中，两个年级选择的地点不相同的结果有12种，
则两个年级选择的地点不相同的概率为，
答：两个年级选择的地点不相同的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵该校九年级从四个红色教育基地中随机选择共有4种等可能的结果，∴恰好选择朱德故居的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法或树状图求概率，．
（1）从A、B、C、D四个红色教育基地中选一个，直接利用古典概率公式计算即可；
（2）先画出树状图，得到所有等可能结果，再找出其中地点不相同的结果，计算得概率即可.
（1）解：∵该校九年级从四个红色教育基地中随机选择共有4种等可能的结果，
∴恰好选择朱德故居的概率为，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个共有16种等可能的结果，其中，两个年级选择的地点不相同的结果有12种，
则两个年级选择的地点不相同的概率为，
答：两个年级选择的地点不相同的概率为．
22．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴
解得，
（2）解：∵、是方程的两个根，∴，
又，
整理得，，
∴
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与韦达定理．
（1）根据方程有两个实数根，根据根的判别式进行求解即可；
（2）根据韦达定理得到，再将展开变形，代入韦达定理的结论计算，结合第一问的范围即可得到m的值．
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得，；
（2）解：∵、是方程的两个根，
∴，
又，
整理得，，
∴
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为．
23．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵斜坡的坡度，且米，
∴在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴（米），
答：点到地面的距离为12米
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴米，
由题意得：，米，
设摩天轮的高度米，则米，
在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：摩天轮的高度约为89米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用（斜坡与俯角）、矩形的判定与性质、勾股定理等知识.将实际问题转化为几何图形，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理和三角函数建立数量关系是解题的关键.
（1）过点作于点，已知斜坡坡度（垂直高度与水平宽度的比）可得，再设米，则米，根据勾股定理解得的值，即可求得DE；
（2）过点作于点，延长交于点，先得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得米，再设摩天轮的高度米，则米，由俯角30°和45°，结合解直角三角形的边角关系求出的长，再根据AB=74米建立方程，解方程后代入对应数值计算即可．
（1）解：如图，过点作于点，
∵斜坡的坡度，且米，
∴在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴（米），
答：点到地面的距离为12米．
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴米，
由题意得：，米，
设摩天轮的高度米，则米，
在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：摩天轮的高度约为89米．
24．【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明线段乘积式的关键是转化为比例式，再通过相似三角形的判定实现，同时掌握相似与直角三角形性质的综合也是关键.
（1）根据相似三角形的判定（AA)证明，推出，由中点的定义得到，即可得证；
（2）由（1）的结论求出，证明，故，再利用勾股定理计算即可.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
由（1）知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
25．【答案】（1）解：在和中，，∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，过点作于，
∵点恰好落在的中线的延长线上，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴
（3）或或
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；求正切值；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）∵以、、为顶点能构成直角三角形，为锐角，
∴有以下三种情况：
①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
②如图，当点在延长线上时，，
∴，
∴．
③如图，当时，过点作于，交于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查几何旋转的综合题型，涉及到旋转的性质、相似三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理以及分类讨论的数学思想.
（1）先通过证，得出，由可证，利用相似比及勾股定理计算BC即可；
（2）过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质得出，由旋转的性质以及角的等量代换可推出，证得，推出，故，设，结合勾股定理列出勾股方程，即可得出，进而算出，最后结合线段关系转化即可得到答案；
（3）分三种直角情况（点在线段上、点在延长线上及），利用几何性质和三角函数的定义进行计算．
（1）解：在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于，
∵点恰好落在的中线的延长线上，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵以、、为顶点能构成直角三角形，为锐角，
∴有以下三种情况：
①如图，当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
②如图，当点在延长线上时，，
∴，
∴．
③如图，当时，过点作于，交于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
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