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湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．（2025八上·蓝山期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、3.1415是有限小数，不是无理数，故不符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
C、是分数，为有理数，故不符合题意；
D、，是整数，为有理数，故不符合题意，
故选：B．
【分析】
本题主要考查无理数的定义，根据无理数"无限不循环"小数的定义，逐一分析选项(有限小数，分数，整数均为有理数，是无限不循环小数).
2．（2025八上·蓝山期末）下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是 B．8的立方根是
C．没有立方根 D．9的平方根是3
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、的平方根是，故A正确；
B、的立方根是2，故B错误；
C、的立方根是，故C错误；
D、的平方根是，故D错误；
故选：A．
【分析】
本题考查了平方根、立方根的定义与性质，解题的核心是：正数的平方根有两个且互为相反数，任何实数都有唯一的立方根，避免混淆两者的定义与取值规则. 逐一对照选项，依据平方根、立方根的定义判断正误，特别注意负数的立方根存在性及平方根的双值性细节.
3．（2025八上·蓝山期末）若分式的值为0，则（　　）
A． B． C． D．或－2
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选C．
【分析】
本题主要考查分式的值为零的条件，分式的值为0需满足分子等于零且分母不等于零，先解再结合得到答案．
4．（2025八上·蓝山期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选D．
【分析】
本题查了积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项和同底数幂的除法，根据各类幂的运算规则，逐一验证选项即可.
5．（2025八上·蓝山期末）2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（　　）
A．2×109米 B．20×10-8米 C．2×10-9米 D．2×10-8米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.000000001×2=2×10﹣9． 故选C．
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n(其中1≤|a|＜10)，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2025八上·蓝山期末）不等式3x﹣1＞x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：3x﹣1＞x+3
移项得：2x>4
解得：x>2.
表示在数轴上，如图所示：
故选D.
【分析】
本题考查一元一次不等式的解法、在数轴上表示一元一次不等式的解集；利用不等式的性质，通过移项，合并同类项，系数化为1求出解集；在数轴上表示时，注意空心圈(不含端点)和箭头方向(大于向右).
7．（2025八上·蓝山期末）当 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义的条件是
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”可得5-x≥0，求解就可得到x的范围.
8．（2025八上·蓝山期末）如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
B、是等边三角形的中线，
，，
，
故B正确，不符合题意；
C、，
，
故正确，不符合题意；
D、，
，
，
故D错误，符合题意
故选：D．
【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理.由是等边三角形得角度与线段的相等关系，结合，推出等腰三角形的底角，再通过角度计算与线段大小的比较逐一验证结论.
9．（2025八上·蓝山期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、添加，不能判定，故A选项符合题意；
B、添加，根据，能判定，故B选项不符合题意；
C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意；
D、添加时，根据，能判定，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
本题考查三角形全等的判定定理（、、、、）．结合∠BAC=∠DAC且AC为公共边，根据全等判定定理，逐一分析添加的条件是否满足判定要求（SSA不能判定全等）.
10．（2025八上·蓝山期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（　　）
A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°，∠DCB=60°，
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本选项错误；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③⑤．
故选C.
【分析】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定.利用等边三角形的边和角相等，证明△ACD≌△ECB推出AD=BE；再通过多次全等证明线段相等，角度为60°，进而判定平行线，逐一验证结论.
二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（2025八上·蓝山期末）的绝对值是　 　．
【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了绝对值的化简，先判断的正负性，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”求解．
12．（2025八上·蓝山期末）已知，，，则　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】∵，，，
∴，
故答案为：4.
【分析】利用同底数幂的乘方和同底数幂的除法公式计算即可.
13．（2025八上·蓝山期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
14．（2025八上·蓝山期末）等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
不能组成三角形，
若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：．
它的周长是：．
故答案是： ．
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）．本题结合等腰三角形“两边相等”的性质与三角形三边关系，考查分类讨论的数学思想. 解题时需先假设两种可能：1.腰长为、底边长为；2. 腰长为，底边长为；再分别验证两种情况下三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，排除无法构成的情况；最后对符合条件的情况，将三边长度相加得到等腰三角形的周长.
15．（2025八上·蓝山期末）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的通分、约分、因式分解，整体代入思想，一元二次方程的变形. 核心思路是“先化简，再代入”：先对分式进行通分、因式分解、约分，将复杂分式化简为简洁的整式形式；再从已知一元二次方程中变形得到与化简后代数式相关的整体值，最后代入整体值完成计算，避免单独求解的繁琐过程，体现了整体思想在代数中的应用.
16．（2025八上·蓝山期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程化为整式方程为，
分式方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式方程增根的定义，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义（使分母为0的根）确定增根为，代入整式方程求参数m.
17．（2025八上·蓝山期末）不等式组的解集是　 　．
【答案】x＞2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【分析】
本题考察一元一次不等式的求解，关键是先独立解出组内每个不等式的解集，再依据：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的口诀，判断两个解集的交集，从而得到不等式组的完整解集．
18．（2025八上·蓝山期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过直线作对称点，连接，与的交点即为点E，
因为，
所以，
所以，三角形AED的周长=，此时三角形AED的周长最小
当的周长最小时，，
故答案为：3．
【分析】本题结合将军饮马的解法，先通过直线作对称点，连接，与的交点即为点E，如下图所示。由于 、的对称点，所以，。已知，，AD与EB平行，可得出，求出EB=2，然后再利用三角形的面积公式，代入数据即可求解
三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，~22题每小题8分，第23，~24题每小题9分，第25，~26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（2025八上·蓝山期末）计算：．
【答案】解：
．
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分别计算负整数指数幂、零指数幂、二次根式和绝对值，再合并同类二次根式与有理数.
20．（2025八上·蓝山期末）解下列分式方程：．
【答案】解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
检验，当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验根是否使分母为0（若为0则为增根，原方程无解.
21．（2025八上·蓝山期末）解不等式组 并写出它的整数解.
【答案】解：解不等式①，得 x≤1，
解不等式②，得 x＞－1，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
所以不等式组的解集是－1＜x≤1，
不等式组的整数解为0和1.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意先求得每一个不等式的解集，在数轴上把每一个不等式的解集表示出来，找出公共部分即可求解.
22．（2025八上·蓝山期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．
【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行线的性质可得，再由可得，又则可利用AAS证明结论成立．
23．（2025八上·蓝山期末）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】本题核心考察分式的混合运算化简、分母有理化. 解题核心在于先利用分式通分、约分完成整式化简：对原式括号内的分式进行通分化简，再将除法转化为乘法约分得到最简分式. 再将无理数代入后通过分母有理化完成最终计算，需特别注意运算过程中的符号与分母不为零的条件.
24．（2025八上·蓝山期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
【答案】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
∵ 用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同 ，
∴ ＝ ，
∴x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
∵ 乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍， 且不超过34万元购进甲、乙两种电脑，
∴ ，
∴48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m可以取48，49，50，
∴学校有三种购买方案，
∴有3种购买方案，
当m=48时，80﹣m=80﹣48=32，
当m=49时，80﹣m=80﹣49=31，
当m=50时，80﹣m=80﹣50=30，
答：方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台，
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台，
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求出m的值，再结合m为整数可以写出购买方案.
25．（2025八上·蓝山期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例：
例：，，
利用以上结论解答以下问题：
（1）______
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．
（3）拓展提高，求下列式子的值．
【答案】（1）
（2）解：



；
（3）解：







【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】
此题主要考查分母有理化和规律计算以及二次根式的加减运算.
（1）根据例题的分母有理化方法，给分子分母同乘有理化因式化简；
（2）根据平方差公式，将每一项都分母有理化，利用分母有理化后的规律，通过裂项相消法计算式子的值；
（3）根据平方差公式，将每一项都分母有理化，利用分母有理化后的规律，通过裂项相消法计算式子的值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：



；
（3）解：






26．（2025八上·蓝山期末）如图1，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，不变．理由：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动时，不变．理由：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及动态几何角度分析．
（1）借助等边三角形边与角的特征和动点速度相同，通过判定；
（2）由全等三角形的性质得对应角相等，结合三角形外角定理推导出；
（3）仍然用全等三角形的性质可得，通过角的和差与外角定理，计算得到．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，不变．
理由：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动时，不变．
理由：∵，
∴，
∵，
∴．
1 / 1湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．（2025八上·蓝山期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．
2．（2025八上·蓝山期末）下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是 B．8的立方根是
C．没有立方根 D．9的平方根是3
3．（2025八上·蓝山期末）若分式的值为0，则（　　）
A． B． C． D．或－2
4．（2025八上·蓝山期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·蓝山期末）2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（　　）
A．2×109米 B．20×10-8米 C．2×10-9米 D．2×10-8米
6．（2025八上·蓝山期末）不等式3x﹣1＞x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·蓝山期末）当 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·蓝山期末）如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·蓝山期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·蓝山期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（　　）
A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④
二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（2025八上·蓝山期末）的绝对值是　 　．
12．（2025八上·蓝山期末）已知，，，则　 　．
13．（2025八上·蓝山期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025八上·蓝山期末）等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为　 　．
15．（2025八上·蓝山期末）若，则代数式的值为　 　．
16．（2025八上·蓝山期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
17．（2025八上·蓝山期末）不等式组的解集是　 　．
18．（2025八上·蓝山期末）如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，~22题每小题8分，第23，~24题每小题9分，第25，~26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（2025八上·蓝山期末）计算：．
20．（2025八上·蓝山期末）解下列分式方程：．
21．（2025八上·蓝山期末）解不等式组 并写出它的整数解.
22．（2025八上·蓝山期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．
23．（2025八上·蓝山期末）先化简，再求值：，其中
24．（2025八上·蓝山期末）明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
25．（2025八上·蓝山期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例：
例：，，
利用以上结论解答以下问题：
（1）______
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．
（3）拓展提高，求下列式子的值．
26．（2025八上·蓝山期末）如图1，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、3.1415是有限小数，不是无理数，故不符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
C、是分数，为有理数，故不符合题意；
D、，是整数，为有理数，故不符合题意，
故选：B．
【分析】
本题主要考查无理数的定义，根据无理数"无限不循环"小数的定义，逐一分析选项(有限小数，分数，整数均为有理数，是无限不循环小数).
2．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、的平方根是，故A正确；
B、的立方根是2，故B错误；
C、的立方根是，故C错误；
D、的平方根是，故D错误；
故选：A．
【分析】
本题考查了平方根、立方根的定义与性质，解题的核心是：正数的平方根有两个且互为相反数，任何实数都有唯一的立方根，避免混淆两者的定义与取值规则. 逐一对照选项，依据平方根、立方根的定义判断正误，特别注意负数的立方根存在性及平方根的双值性细节.
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选C．
【分析】
本题主要考查分式的值为零的条件，分式的值为0需满足分子等于零且分母不等于零，先解再结合得到答案．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选D．
【分析】
本题查了积的乘方运算、幂的乘方以及合并同类项和同底数幂的除法，根据各类幂的运算规则，逐一验证选项即可.
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.000000001×2=2×10﹣9． 故选C．
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n(其中1≤|a|＜10)，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：3x﹣1＞x+3
移项得：2x>4
解得：x>2.
表示在数轴上，如图所示：
故选D.
【分析】
本题考查一元一次不等式的解法、在数轴上表示一元一次不等式的解集；利用不等式的性质，通过移项，合并同类项，系数化为1求出解集；在数轴上表示时，注意空心圈(不含端点)和箭头方向(大于向右).
7．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义的条件是
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”可得5-x≥0，求解就可得到x的范围.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
B、是等边三角形的中线，
，，
，
故B正确，不符合题意；
C、，
，
故正确，不符合题意；
D、，
，
，
故D错误，符合题意
故选：D．
【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理.由是等边三角形得角度与线段的相等关系，结合，推出等腰三角形的底角，再通过角度计算与线段大小的比较逐一验证结论.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、添加，不能判定，故A选项符合题意；
B、添加，根据，能判定，故B选项不符合题意；
C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意；
D、添加时，根据，能判定，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
本题考查三角形全等的判定定理（、、、、）．结合∠BAC=∠DAC且AC为公共边，根据全等判定定理，逐一分析添加的条件是否满足判定要求（SSA不能判定全等）.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°，∠DCB=60°，
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本选项错误；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③⑤．
故选C.
【分析】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定.利用等边三角形的边和角相等，证明△ACD≌△ECB推出AD=BE；再通过多次全等证明线段相等，角度为60°，进而判定平行线，逐一验证结论.
11．【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了绝对值的化简，先判断的正负性，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”求解．
12．【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】∵，，，
∴，
故答案为：4.
【分析】利用同底数幂的乘方和同底数幂的除法公式计算即可.
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
不能组成三角形，
若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：．
它的周长是：．
故答案是： ．
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）．本题结合等腰三角形“两边相等”的性质与三角形三边关系，考查分类讨论的数学思想. 解题时需先假设两种可能：1.腰长为、底边长为；2. 腰长为，底边长为；再分别验证两种情况下三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，排除无法构成的情况；最后对符合条件的情况，将三边长度相加得到等腰三角形的周长.
15．【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的通分、约分、因式分解，整体代入思想，一元二次方程的变形. 核心思路是“先化简，再代入”：先对分式进行通分、因式分解、约分，将复杂分式化简为简洁的整式形式；再从已知一元二次方程中变形得到与化简后代数式相关的整体值，最后代入整体值完成计算，避免单独求解的繁琐过程，体现了整体思想在代数中的应用.
16．【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程化为整式方程为，
分式方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式方程增根的定义，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义（使分母为0的根）确定增根为，代入整式方程求参数m.
17．【答案】x＞2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【分析】
本题考察一元一次不等式的求解，关键是先独立解出组内每个不等式的解集，再依据：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的口诀，判断两个解集的交集，从而得到不等式组的完整解集．
18．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过直线作对称点，连接，与的交点即为点E，
因为，
所以，
所以，三角形AED的周长=，此时三角形AED的周长最小
当的周长最小时，，
故答案为：3．
【分析】本题结合将军饮马的解法，先通过直线作对称点，连接，与的交点即为点E，如下图所示。由于 、的对称点，所以，。已知，，AD与EB平行，可得出，求出EB=2，然后再利用三角形的面积公式，代入数据即可求解
19．【答案】解：
．
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分别计算负整数指数幂、零指数幂、二次根式和绝对值，再合并同类二次根式与有理数.
20．【答案】解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
检验，当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验根是否使分母为0（若为0则为增根，原方程无解.
21．【答案】解：解不等式①，得 x≤1，
解不等式②，得 x＞－1，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
所以不等式组的解集是－1＜x≤1，
不等式组的整数解为0和1.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意先求得每一个不等式的解集，在数轴上把每一个不等式的解集表示出来，找出公共部分即可求解.
22．【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行线的性质可得，再由可得，又则可利用AAS证明结论成立．
23．【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】本题核心考察分式的混合运算化简、分母有理化. 解题核心在于先利用分式通分、约分完成整式化简：对原式括号内的分式进行通分化简，再将除法转化为乘法约分得到最简分式. 再将无理数代入后通过分母有理化完成最终计算，需特别注意运算过程中的符号与分母不为零的条件.
24．【答案】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
∵ 用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同 ，
∴ ＝ ，
∴x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
∵ 乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍， 且不超过34万元购进甲、乙两种电脑，
∴ ，
∴48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m可以取48，49，50，
∴学校有三种购买方案，
∴有3种购买方案，
当m=48时，80﹣m=80﹣48=32，
当m=49时，80﹣m=80﹣49=31，
当m=50时，80﹣m=80﹣50=30，
答：方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台，
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台，
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求出m的值，再结合m为整数可以写出购买方案.
25．【答案】（1）
（2）解：



；
（3）解：







【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】
此题主要考查分母有理化和规律计算以及二次根式的加减运算.
（1）根据例题的分母有理化方法，给分子分母同乘有理化因式化简；
（2）根据平方差公式，将每一项都分母有理化，利用分母有理化后的规律，通过裂项相消法计算式子的值；
（3）根据平方差公式，将每一项都分母有理化，利用分母有理化后的规律，通过裂项相消法计算式子的值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：



；
（3）解：






26．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，不变．理由：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动时，不变．理由：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】此题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及动态几何角度分析．
（1）借助等边三角形边与角的特征和动点速度相同，通过判定；
（2）由全等三角形的性质得对应角相等，结合三角形外角定理推导出；
（3）仍然用全等三角形的性质可得，通过角的和差与外角定理，计算得到．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，不变．
理由：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动时，不变．
理由：∵，
∴，
∵，
∴．
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