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湖南省永州市道县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·道县期末）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°角的正弦值，再代入进行乘法运算即可得到结果.
2．（2025九上·道县期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.，该方程中的未知数的指数是1．故本选项错误；
B.，该方程符合一元二次方程的定义．故本选项正确；
C.，该方程是分式方程．故本选项错误；
D.，该方程中含有两个未知数．故本选项错误．
故选：B．
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，紧扣四个核心条件（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0），逐一验证是否满足即可.
3．（2025九上·道县期末）下列各点，一定在反比例函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A：当x=-1时，y=-3，错误，不符合题意；
B：当x=1时，y=3，错误，不符合题意；
C：当x=-3时，y=-1，正确，符合题意；
D：当x=3时，y=1，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
4．（2025九上·道县期末）环保人员为估计某自然保护区山雀的数量，随机捕捉了100只山雀，然后在身体某部位做好标记，放回山中，隔了一段时间之后，环保人员随机捕捉了300只山雀，发现其中5只的身体上有之前做好的标记，由此可知该自然保护区山雀的数量大约为（　　）
A．6000只 B．3000只 C．5000只 D．8000只
【答案】A
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：设该自然保护区山雀的数量大约为x只
则
解得：x=6000
即该自然保护区山雀的数量大约为6000只
故答案为：A
【分析】样本中被标记的山雀数量占比等于该自然保护区山雀中被标记的山雀数量.
5．（2025九上·道县期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程，
这里a=1，b=-2，c=-3，
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16>0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：D．
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，先确定a、b、c的取值，计算出根的判别式的大小，判断正负即可确定出方程根的情况．
6．（2025九上·道县期末）已知，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
7．（2025九上·道县期末）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、，对称轴为直线，不符合题意；
B、，对称轴为直线，不符合题意；
C、，对称轴为直线，不符合题意；
D、，对称轴为直线，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质（顶点式与对称轴）．二次函数的顶点式为：，其对称轴为，据此分析各选项中h的值是否为1即可．
8．（2025九上·道县期末）若二次函数的图象经过，，三点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为直线，
，，，
，
∴二次函数图象开口向上，
．
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数的对称性以及增减性．先求出二次函数的对称轴，再求出点、、到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向（a>0开口向上，离对称轴越远函数值越大)判断函数值大小．
9．（2025九上·道县期末）如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，EF＝4，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】先证出，可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得，从而得解.
10．（2025九上·道县期末）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
四边形是正方形
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，故①正确；
，，
，
，故②正确；
过点作于，过点作于，
由题意可得，，
，，
，故③正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，故④错误；
，，
，
，
，
又，，
，故⑤错误，
综上所述：正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题考查正方形，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算.
由是等边三角形，结合正方形的边角性质，推导角的度数，线段的数量关系可判定①②正确；分别作，，则，，可推出，，利用同底三角形的面积比等于对应高的比，可判定③正确；由得相似，利用相似三角形的性质得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九上·道县期末）一元二次方程的二次项系数是　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数是3．
故答案为：3．
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式. 在一般形式中叫做二次项，叫做一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．需牢记一元二次方程一般形式中各项的意义，明确“二次项系数是中a”，且a不能为0.
12．（2025九上·道县期末）夜跑已逐渐成为年轻人跑步的新方式，调查表明：在校大学生中有夜跑习惯的占比约为左右．若随机选择150名在校大学生进行调查，则估计有夜跑习惯的人数为　 　．
【答案】60
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：人，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查用样本估计总量，用调查的总人数乘以有夜跑习惯的学生所占的百分比，即可估算出对应人数.
13．（2025九上·道县期末）在中，，，，则的值为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图
∵中，，，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据余弦定义即可求出答案.
14．（2025九上·道县期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
15．（2025九上·道县期末）已知是黄金分割值，点是线段的黄金分割点，且，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查的是黄金分割的定义与计算，根据黄金比值是，先求出较长线段AC的长度，再用总长度AB-AC得到BC的长.
16．（2025九上·道县期末）将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位得到新抛物线，那么新抛物线对应的函数表达式为_________．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位到新抛物线，
新抛物线对应的函数表达式为：．
故答案为：．
【分析】
此题主要考查二次函数图象的平移规律，遵循左加右减，上加下减的原则，对原抛物线的表达式进行变形即可.
17．（2025九上·道县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先根据位似比求出的长；再结合位似中心以原点为特征，确定点C在坐标系中的横，纵坐标.
18．（2025九上·道县期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质. 解题的关键在于通过作辅助线（过点C作轴），结合点B是的中点这一条件，利用全等三角形的判定定理证明，从而得到，再通过面积累加，推导出，最后根据反比例函数中的几何意义，即可求出的值．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025九上·道县期末）计算：
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算(乘方，零指数幂，绝对值，特殊角三角函数值)，分别计算各部分，再按照有理数的加减运算法则合并计算.
20．（2025九上·道县期末）解方程：
【答案】解：，
，
，
即：或，
所以，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元一次方程，将方程右边的项移到左边，提取公因式(x-3)，将方程转化为两个一元一次方程求解.
21．（2025九上·道县期末）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
（2）解：在中，，∵，
∴，
∴，解得：．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理.（1）利用同角的余角相等得到角相等，结合公共角证明三角形相似；
（2）由勾股定理求出的长，再根据相似三角形对应边成比例计算AD的长.
（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∴，解得：．
22．（2025九上·道县期末）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且 只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计， 并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是 ，C 所占圆心角为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？
【答案】（1）40，90°
(2)C的人数为40 12 14 4=10(人)，
条形统计图补充为：
(3)估计全校报D的学生有1000×=100(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)， C的人数为40 12 14 4=10(人)，故C 所占圆心角为，故答案为40、90°
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的结合以及用样本估计总体.
(1)由A课程的人数和占比求出总人数， 再计算C课程的人数，C的人数除以总数人再乘以360°，即为C所对应的圆心角的度数；
(2)根据总人数补全条形统计图；
(3)用全校学校人数乘以D的百分比估算人数.
23．（2025九上·道县期末）已知渔政执法船在长江某水域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？
（结果精确到，参考数据，，，）．
【答案】解：如图：过C作于D，
由题意得，（千米/时），，，
设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，解得：，
（千米），
（小时）．
答：渔政执法船返回码头C，需要1.2小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题、一元一次方程的应用.过C作于D，构造直角三角形，易得（千米/时）、、；设，利用三角函数可得，然后根据线段和差列一元一次方程求得x，进而求得，根据"时间=路程÷速度"计算返回时间．
24．（2025九上·道县期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
25．（2025九上·道县期末）如图，二次函数的图象与轴的交点分别是点和点与轴交于点．
（1）求二次函数表达式
（2）利用配方法写出二次函数的顶点坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴的交点分别是点和点，
，解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为；
（3）解：令，则，
，
，
即的底边上的高为，
设的底边上的高为，
的面积等于的面积，且和同底，
，即点的纵坐标为或，
当时，解得：，，
点与点不重合，
点的坐标为；
当时，解得：，，
点的坐标为或，
综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是二次函数综合题型，核心考查二次函数表达式求解，顶点坐标的计算，割补法求三角形面积，同时结合二次函数图象上点的坐标特征，通过代数运算与几何图形性质解题．
（1）利用待定系数法，将图像中已知点的坐标代入二次函数表达式，求解系数确定解析式；
（2）用配方法将二次函数化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（3）先求出点的坐标，得到的底边上的高，再结合与的面积关系列方程，进而求解点P的坐标．
（1）解：二次函数的图象与轴的交点分别是点和点，
，解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为；
（3）解：令，则，
，
，
即的底边上的高为，
设的底边上的高为，
的面积等于的面积，且和同底，
，即点的纵坐标为或，
当时，解得：，，
点与点不重合，
点的坐标为；
当时，解得：，，
点的坐标为或，
综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或．
26．（2025九上·道县期末）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】(1)
（2）解：成立；理由如下：
延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
故答案为：或.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（2）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当点E在线段上时，连接，②当点D在线段上时，连接，再分别画出图形并利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
1 / 1湖南省永州市道县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·道县期末）的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·道县期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·道县期末）下列各点，一定在反比例函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·道县期末）环保人员为估计某自然保护区山雀的数量，随机捕捉了100只山雀，然后在身体某部位做好标记，放回山中，隔了一段时间之后，环保人员随机捕捉了300只山雀，发现其中5只的身体上有之前做好的标记，由此可知该自然保护区山雀的数量大约为（　　）
A．6000只 B．3000只 C．5000只 D．8000只
5．（2025九上·道县期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（2025九上·道县期末）已知，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·道县期末）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·道县期末）若二次函数的图象经过，，三点，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·道县期末）如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．
10．（2025九上·道县期末）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九上·道县期末）一元二次方程的二次项系数是　 　．
12．（2025九上·道县期末）夜跑已逐渐成为年轻人跑步的新方式，调查表明：在校大学生中有夜跑习惯的占比约为左右．若随机选择150名在校大学生进行调查，则估计有夜跑习惯的人数为　 　．
13．（2025九上·道县期末）在中，，，，则的值为　 　
14．（2025九上·道县期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
15．（2025九上·道县期末）已知是黄金分割值，点是线段的黄金分割点，且，，则的长是　 　．
16．（2025九上·道县期末）将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位得到新抛物线，那么新抛物线对应的函数表达式为_________．
17．（2025九上·道县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 　 　．
18．（2025九上·道县期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025九上·道县期末）计算：
20．（2025九上·道县期末）解方程：
21．（2025九上·道县期末）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
22．（2025九上·道县期末）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字绣.学校规定：每个学生都必须报名且 只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计， 并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是 ，C 所占圆心角为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？
23．（2025九上·道县期末）已知渔政执法船在长江某水域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？
（结果精确到，参考数据，，，）．
24．（2025九上·道县期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
25．（2025九上·道县期末）如图，二次函数的图象与轴的交点分别是点和点与轴交于点．
（1）求二次函数表达式
（2）利用配方法写出二次函数的顶点坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2025九上·道县期末）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°角的正弦值，再代入进行乘法运算即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.，该方程中的未知数的指数是1．故本选项错误；
B.，该方程符合一元二次方程的定义．故本选项正确；
C.，该方程是分式方程．故本选项错误；
D.，该方程中含有两个未知数．故本选项错误．
故选：B．
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，紧扣四个核心条件（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0），逐一验证是否满足即可.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A：当x=-1时，y=-3，错误，不符合题意；
B：当x=1时，y=3，错误，不符合题意；
C：当x=-3时，y=-1，正确，符合题意；
D：当x=3时，y=1，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：设该自然保护区山雀的数量大约为x只
则
解得：x=6000
即该自然保护区山雀的数量大约为6000只
故答案为：A
【分析】样本中被标记的山雀数量占比等于该自然保护区山雀中被标记的山雀数量.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程，
这里a=1，b=-2，c=-3，
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16>0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：D．
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，先确定a、b、c的取值，计算出根的判别式的大小，判断正负即可确定出方程根的情况．
6．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、，对称轴为直线，不符合题意；
B、，对称轴为直线，不符合题意；
C、，对称轴为直线，不符合题意；
D、，对称轴为直线，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质（顶点式与对称轴）．二次函数的顶点式为：，其对称轴为，据此分析各选项中h的值是否为1即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为直线，
，，，
，
∴二次函数图象开口向上，
．
故选：B．
【分析】
本题考查二次函数的对称性以及增减性．先求出二次函数的对称轴，再求出点、、到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向（a>0开口向上，离对称轴越远函数值越大)判断函数值大小．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，EF＝4，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】先证出，可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得，从而得解.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
四边形是正方形
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，故①正确；
，，
，
，故②正确；
过点作于，过点作于，
由题意可得，，
，，
，故③正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，故④错误；
，，
，
，
，
又，，
，故⑤错误，
综上所述：正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题考查正方形，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算.
由是等边三角形，结合正方形的边角性质，推导角的度数，线段的数量关系可判定①②正确；分别作，，则，，可推出，，利用同底三角形的面积比等于对应高的比，可判定③正确；由得相似，利用相似三角形的性质得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误．
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数是3．
故答案为：3．
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式. 在一般形式中叫做二次项，叫做一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．需牢记一元二次方程一般形式中各项的意义，明确“二次项系数是中a”，且a不能为0.
12．【答案】60
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：人，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查用样本估计总量，用调查的总人数乘以有夜跑习惯的学生所占的百分比，即可估算出对应人数.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图
∵中，，，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据余弦定义即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查的是黄金分割的定义与计算，根据黄金比值是，先求出较长线段AC的长度，再用总长度AB-AC得到BC的长.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位到新抛物线，
新抛物线对应的函数表达式为：．
故答案为：．
【分析】
此题主要考查二次函数图象的平移规律，遵循左加右减，上加下减的原则，对原抛物线的表达式进行变形即可.
17．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先根据位似比求出的长；再结合位似中心以原点为特征，确定点C在坐标系中的横，纵坐标.
18．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质. 解题的关键在于通过作辅助线（过点C作轴），结合点B是的中点这一条件，利用全等三角形的判定定理证明，从而得到，再通过面积累加，推导出，最后根据反比例函数中的几何意义，即可求出的值．
19．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算(乘方，零指数幂，绝对值，特殊角三角函数值)，分别计算各部分，再按照有理数的加减运算法则合并计算.
20．【答案】解：，
，
，
即：或，
所以，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元一次方程，将方程右边的项移到左边，提取公因式(x-3)，将方程转化为两个一元一次方程求解.
21．【答案】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
（2）解：在中，，∵，
∴，
∴，解得：．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理.（1）利用同角的余角相等得到角相等，结合公共角证明三角形相似；
（2）由勾股定理求出的长，再根据相似三角形对应边成比例计算AD的长.
（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∴，解得：．
22．【答案】（1）40，90°
(2)C的人数为40 12 14 4=10(人)，
条形统计图补充为：
(3)估计全校报D的学生有1000×=100(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)， C的人数为40 12 14 4=10(人)，故C 所占圆心角为，故答案为40、90°
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的结合以及用样本估计总体.
(1)由A课程的人数和占比求出总人数， 再计算C课程的人数，C的人数除以总数人再乘以360°，即为C所对应的圆心角的度数；
(2)根据总人数补全条形统计图；
(3)用全校学校人数乘以D的百分比估算人数.
23．【答案】解：如图：过C作于D，
由题意得，（千米/时），，，
设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，解得：，
（千米），
（小时）．
答：渔政执法船返回码头C，需要1.2小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题、一元一次方程的应用.过C作于D，构造直角三角形，易得（千米/时）、、；设，利用三角函数可得，然后根据线段和差列一元一次方程求得x，进而求得，根据"时间=路程÷速度"计算返回时间．
24．【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
25．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴的交点分别是点和点，
，解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为；
（3）解：令，则，
，
，
即的底边上的高为，
设的底边上的高为，
的面积等于的面积，且和同底，
，即点的纵坐标为或，
当时，解得：，，
点与点不重合，
点的坐标为；
当时，解得：，，
点的坐标为或，
综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是二次函数综合题型，核心考查二次函数表达式求解，顶点坐标的计算，割补法求三角形面积，同时结合二次函数图象上点的坐标特征，通过代数运算与几何图形性质解题．
（1）利用待定系数法，将图像中已知点的坐标代入二次函数表达式，求解系数确定解析式；
（2）用配方法将二次函数化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（3）先求出点的坐标，得到的底边上的高，再结合与的面积关系列方程，进而求解点P的坐标．
（1）解：二次函数的图象与轴的交点分别是点和点，
，解得：，
二次函数表达式为；
（2）解：，
二次函数的顶点坐标为；
（3）解：令，则，
，
，
即的底边上的高为，
设的底边上的高为，
的面积等于的面积，且和同底，
，即点的纵坐标为或，
当时，解得：，，
点与点不重合，
点的坐标为；
当时，解得：，，
点的坐标为或，
综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或．
26．【答案】(1)
（2）解：成立；理由如下：
延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
故答案为：或.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AD于点G，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（2）延长BE交AD于点G，先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，即可得到；
（3）分类讨论：①当点E在线段上时，连接，②当点D在线段上时，连接，再分别画出图形并利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
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