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华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试提升卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
3．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．（2025八下·汕尾期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
5．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
6．（2025八下·温州期中）如图，已知的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连接．若，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
如图，连接，，
∵折叠，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题主要考查平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时，连接辅助线和，根据折叠特性可得且夹角，从而证明与均为等腰直角三角形，最终通过勾股定理求出的长度即可得解。
7．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
8．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（　　）
A．27° B．32° C．36° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理和平角的定义。根据平行四边形对角相等的性质，由可推出；在中，利用三角形内角和定理，求出；根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，因此；再由平角的定义，，最后通过角的差，计算出所求角度。
10．（2024八下·南充期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（　　）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【分析】根据三角形的周长得到，利用三线合一可得，即可判断；过点作，交与，利用AAS得到，即可得到，同理得到，再由三角形的面积公式即可判断；过点于，交于，根据三角形面积公式可得，即可判断；过点作的延长线于点，根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求出，再在中，由勾股定理求出的长判断解答即可．
二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度BC为　 　cm.
【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵E、F分别为AB、AC的中点，EF=35cm
∴点B距离地面的高度为70cm.
故答案为：70.
【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题.
12．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
13．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
14．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
15．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
18．（2026九上·金平期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
19．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
20．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
21．（2025八下·河源期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
22．（2025八下·三台月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下，
∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，
又∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.
（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
23．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
24．如图所示，在 ABCD中，过BD 的中点O任意作一条直线l，分别交AD，BC于点 E，F.
（1）OE与OF 相等吗 试说明理由；
（2）若直线 l分别交 BA 和 DC 的延长线于点 M，N，则 OM 与 ON 相等吗 试说明理由；
（3）由（1）（2）你发现了什么 用语言表述出来.
【答案】（1）解：OE=OF.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴OB=OD，AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF.
在△ODE和△OBF中，∵
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴OE=OF
（2）解：OM=ON.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBM=∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∵
∴△OBM≌△ODN(ASA)，
∴OM=ON
（3）解：过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交，所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) 根据平行四边形的性质，根据ASA证明△ODE≌△OBF，即可得到结论；
(2) 根据平行四边形的性质，利用ASA得到△OBM≌△ODN，即可证明结论；
(3)结合(1)(2)的结论，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
25．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有　 　与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积=　 　；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
26．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
1 / 1华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试提升卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
3．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·汕尾期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
5．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
6．（2025八下·温州期中）如图，已知的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连接．若，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
8．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（　　）
A．27° B．32° C．36° D．40°
10．（2024八下·南充期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（　　）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．4个
二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度BC为　 　cm.
12．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
14．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
15．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
18．（2026九上·金平期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
19．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
20．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
21．（2025八下·河源期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
22．（2025八下·三台月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
23．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
24．如图所示，在 ABCD中，过BD 的中点O任意作一条直线l，分别交AD，BC于点 E，F.
（1）OE与OF 相等吗 试说明理由；
（2）若直线 l分别交 BA 和 DC 的延长线于点 M，N，则 OM 与 ON 相等吗 试说明理由；
（3）由（1）（2）你发现了什么 用语言表述出来.
25．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有　 　与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积=　 　；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
26．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
如图，连接，，
∵折叠，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题主要考查平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时，连接辅助线和，根据折叠特性可得且夹角，从而证明与均为等腰直角三角形，最终通过勾股定理求出的长度即可得解。
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理和平角的定义。根据平行四边形对角相等的性质，由可推出；在中，利用三角形内角和定理，求出；根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，因此；再由平角的定义，，最后通过角的差，计算出所求角度。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【分析】根据三角形的周长得到，利用三线合一可得，即可判断；过点作，交与，利用AAS得到，即可得到，同理得到，再由三角形的面积公式即可判断；过点于，交于，根据三角形面积公式可得，即可判断；过点作的延长线于点，根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求出，再在中，由勾股定理求出的长判断解答即可．
11．【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵E、F分别为AB、AC的中点，EF=35cm
∴点B距离地面的高度为70cm.
故答案为：70.
【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题.
12．【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
17．【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
18．【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
20．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
21．【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
22．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下，
∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，
又∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.
（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
23．【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：OE=OF.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴OB=OD，AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF.
在△ODE和△OBF中，∵
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴OE=OF
（2）解：OM=ON.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBM=∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∵
∴△OBM≌△ODN(ASA)，
∴OM=ON
（3）解：过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交，所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) 根据平行四边形的性质，根据ASA证明△ODE≌△OBF，即可得到结论；
(2) 根据平行四边形的性质，利用ASA得到△OBM≌△ODN，即可证明结论；
(3)结合(1)(2)的结论，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
25．【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
26．【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
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