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湖南省长沙市长沙县2025年中考一模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）2024年，我国农业农村经济运行总体平稳、稳中向好，粮食产量首次突破1400000000000斤，其中1400000000000用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久，趣味浓厚．下列棋子图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
6．（2025·长沙模拟）下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．太阳从东边升起
B．布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球
C．367人中至少有两人生日相同
D．走到十字路口正好是绿灯
7．（2025·长沙模拟）已知一组数据：1，3，5，1，2，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．1，2 B．1，3 C．3，1 D．1，5
8．（2025·长沙模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·长沙模拟）如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作：
第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动；
第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动；
第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动．
经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（　　）
A．红心A B．红心2
C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025·长沙模拟）一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为　 　．
13．（2025·长沙模拟）若点，都在反比例函数的图象上，则　 　（填“”或“”）．
14．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使．若，则的度数为　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，将沿边所在直线向右平移2个单位长度得到，与相交于点，则　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，；
②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；
③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：是等腰三角形．
20．（2025·长沙模拟）随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了________个家庭；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数；
（4）若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？
21．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点是上一点，延长到点，连接，，，，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用表示）．
22．（2025·长沙模拟）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米．
（1）求这条小道的宽度；
（2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求矩形的面积．
24．（2025·长沙模拟）不妨约定，关于的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”．
（1）判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”．
①；（　　）
②；（　　）
③．（　　）
（2）已知二次函数（，为常数，）是“函数”，且“值”．
①求证：该函数与轴总有两个交点；
②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标．
（3）如图，在（2）的条件下，二次函数与轴交于两点，（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，过点作，当时，求点的坐标．
25．（2025·长沙模拟）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点．
（1）若，，，求的长度；
（2）求证：；
（3）如图2，当为直径时，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数，
∴零下，记作，
故选：A．
【分析】根据正负数的意义得出以上的温度记作正数，以下的温度记作负数，即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，则此项错误，故A不符合题意；
B、，则此项错误，故B不符合题意；
C、，则此项正确，故C符合题意；
D、，则此项错误，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项进行判断，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种，
故选：D．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，得出能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东边升起是必然事件，故A不符合题意；
B、布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故B不符合题意；
C、367人中至少有两人生日相同是必然事件，故C不符合题意；
D、走到十字路口正好是绿灯是随机事件，故D符合题意，
故选：D．
【分析】根据必然事件和随机事件的有关概念：在一定条件下，必定发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件；如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么这个事件是随机事件，据此逐项进行判断，即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这组数据中，1出现的次数最多，这组数据的众数是1；
将这组数据从小到大进行排序为，则其中位数是2，
故选：A．
【分析】根据中位数的定义：“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、众数的定义“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，据此即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴表示为：
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出其公共部分，在数轴上表示出来，即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行线的性质得出，再根据邻补角的定义得出，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种：
A， 2， 8，
A， 8， 2，
2， A， 8，
2， 8， A，
8， A， 2，
8， 2， A，
第一种初始排列：A，2，8，
第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8，
第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动．
第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8．
第二种初始排列：A，8，2，
第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8．
第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动．
第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8．
第三种初始排列：2，A，8，
第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8，
第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8，
第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8．
第四种初始排列：2，8，A，
第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A，
第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8．
第五种初始排列：8，A，2，
第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A，
第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8．
第六种初始排列：8，2，A，
第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8．
综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8，
故选：C．
【分析】先列出三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8；A， 8， 2；2， A， 8；2， 8， A；8， A， 2；8， 2， A，再把6种情况分别求出三步操作后最右边的牌，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，则，
解得，
故填：．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出c的取值范围，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，
从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为．
故填：．
【分析】根据概率公式得出黄球的概率等于用黄球的个数除以球的总个数，列式进行计算，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故填：．
【分析】将点代入反比例函数的解析式求出的值，再与-3比较大小，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
故填：．
【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵沿直角边所在直线向右平移2个单位得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故填：．
【分析】利用平移的性质得到，从而得出，根据相似三角形的判定与性质得出，从而得出EM的长，再利用勾股定理求出CM的长，即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，
∴，，
∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故填：．
【分析】作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据轴对称的性质得出，，从而可得，此时有最小值即为，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案．
17．【答案】解：原式，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式、计算零指数幂与负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法，即可得出答案．
18．【答案】解：原式，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，把原式进行化简，再把的值代入进行计算，即可得出答案．
19．【答案】（1）解：由作图可知：垂直平分，
∴∠CED=90°，
∵，，
∴；
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；正切的概念
【解析】【分析】（1）由作图得出垂直平分，解求出CD的长，即可得出答案；
（2）由作图得出平分，得出∠KAC的度数，根据三角形的外角性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，得出，从而得出，即可证出是等腰三角形．
（1）解：由作图可知：垂直平分，
∵，，
∴
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．【答案】（1）200；
（2）解：根据题意，得A项目的人数为：（人），
∴补全条形统计图下图所示：
（3）解：∵，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为72°；
（4）解：∵，
∴选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查活动随机抽取的家庭总数为：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）将项目的家庭个数除以其所占百分比即可得本次调查活动随机抽取的家庭总数；
（2）先用家庭总数减去项目的家庭数求出项目的家庭数，再补全条形统计图；
（3）用360°乘以项目所占比即可求解；
（4）用2000乘以项目的所占比即可求解．
（1）解：（人），
故答案为：200；
（2）解：A项目的人数为：（人），
则补全统计图如图：
（3）解：由题意得，，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为；
（4）解：由题意得，，
答：选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
21．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为1，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长=．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再证出，根据圆的切线的判定定理即可证出是的切线；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质得出，从而证出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，从而得出，然后利用弧长公式进行计算，即可得出答案．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵的半径为1，
∴，
由（1）已得：，
∵是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长．
22．【答案】（1）解：设这条小道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴x=2，
答：这条小道的宽度为2米；
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为米，宽为米，
∴米，
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果得出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式列式进行计算，即可得出答案．
（1）解：设这条小道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：这条小道的宽度为2米．
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米），
则（米），
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积=．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，从而得出，根据平行线的判定定理得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证出四边形是菱形；
（2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据矩形的面积公式列式进行计算，即可得出矩形的面积．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
24．【答案】（1）×；×；√；
（2）解：①根据题意得，
∴，
∴二次函数为（为常数，），
令y=0，则，
∴，
∵
∴，
∴该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
∴该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令y=0，则，
∴，
当，，
∴点，，，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，
解得，
∴的长为，
∴点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①，
则，
根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
②，
则，
根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
③，
则，
根据已知得，
∵为正整数
∴是“函数”；
故填：×；×；√；
【分析】（1）根据题意得出a，b和c的值，计算出k的值，再结合已知的定义即可判定是否属于“函数”；
（2）①根据题意得出，从而得出二次函数的解析式为，令y=0得出，计算得出＞0，即可证出该函数与轴总有两个交点；；
②二次函数变形为，得出当，，即可得出答案；
（3）根据题意求出点，，，，利用待定系数法求出直线的解析式和直线的解析式，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，求出点E的坐标，进而求出EF和AF的长，利用求出c的值，即可得出点E的坐标.
（1）解：①，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
②，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
③，
则，根据已知得，
∵为正整数
∴是“函数”；
故答案为：×，×，√；
（2）解：①根据题意得，得，
则二次函数（为常数，），
令，则，
∵
∴，
那么，该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
则该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令，解得，
当，，
则点，，，，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，解得，
则直线的解析式为，
延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，如图，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，解得，
则的长为，
那么，点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵
∴，解得，
∵，
∴，
则点．
25．【答案】（1）解：由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，
设的半径为，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再证出，根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出GC的长；
（2）先根据角平分线的定义和圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后再根据圆周角定理得出，即可证出；
（3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，先证出，再根据相似三角形的性质得出的长，设，，利用等积法求出EF的长，再根据勾股定理求出的值，从而得出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，
设的半径为，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
由（2）已证：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．
1 / 1湖南省长沙市长沙县2025年中考一模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数，
∴零下，记作，
故选：A．
【分析】根据正负数的意义得出以上的温度记作正数，以下的温度记作负数，即可得出答案．
2．（2025·长沙模拟）2024年，我国农业农村经济运行总体平稳、稳中向好，粮食产量首次突破1400000000000斤，其中1400000000000用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．（2025·长沙模拟）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久，趣味浓厚．下列棋子图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，则此项错误，故A不符合题意；
B、，则此项错误，故B不符合题意；
C、，则此项正确，故C符合题意；
D、，则此项错误，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项进行判断，即可得出答案．
5．（2025·长沙模拟）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种，
故选：D．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，得出能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，即可得出答案．
6．（2025·长沙模拟）下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．太阳从东边升起
B．布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球
C．367人中至少有两人生日相同
D．走到十字路口正好是绿灯
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东边升起是必然事件，故A不符合题意；
B、布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故B不符合题意；
C、367人中至少有两人生日相同是必然事件，故C不符合题意；
D、走到十字路口正好是绿灯是随机事件，故D符合题意，
故选：D．
【分析】根据必然事件和随机事件的有关概念：在一定条件下，必定发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件；如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么这个事件是随机事件，据此逐项进行判断，即可得出答案．
7．（2025·长沙模拟）已知一组数据：1，3，5，1，2，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．1，2 B．1，3 C．3，1 D．1，5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这组数据中，1出现的次数最多，这组数据的众数是1；
将这组数据从小到大进行排序为，则其中位数是2，
故选：A．
【分析】根据中位数的定义：“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、众数的定义“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，据此即可得出答案.
8．（2025·长沙模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴表示为：
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出其公共部分，在数轴上表示出来，即可得出答案．
9．（2025·长沙模拟）如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行线的性质得出，再根据邻补角的定义得出，即可得出答案．
10．（2025·长沙模拟）有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作：
第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动；
第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动；
第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动．
经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（　　）
A．红心A B．红心2
C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种：
A， 2， 8，
A， 8， 2，
2， A， 8，
2， 8， A，
8， A， 2，
8， 2， A，
第一种初始排列：A，2，8，
第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8，
第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动．
第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8．
第二种初始排列：A，8，2，
第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8．
第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动．
第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8．
第三种初始排列：2，A，8，
第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8，
第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8，
第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8．
第四种初始排列：2，8，A，
第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A，
第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8．
第五种初始排列：8，A，2，
第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A，
第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8．
第六种初始排列：8，2，A，
第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8．
综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8，
故选：C．
【分析】先列出三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8；A， 8， 2；2， A， 8；2， 8， A；8， A， 2；8， 2， A，再把6种情况分别求出三步操作后最右边的牌，即可得出答案．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，则，
解得，
故填：．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出c的取值范围，即可得出答案．
12．（2025·长沙模拟）一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，
从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为．
故填：．
【分析】根据概率公式得出黄球的概率等于用黄球的个数除以球的总个数，列式进行计算，即可得出答案．
13．（2025·长沙模拟）若点，都在反比例函数的图象上，则　 　（填“”或“”）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故填：．
【分析】将点代入反比例函数的解析式求出的值，再与-3比较大小，即可得出答案．
14．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
故填：．
【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，将沿边所在直线向右平移2个单位长度得到，与相交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵沿直角边所在直线向右平移2个单位得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故填：．
【分析】利用平移的性质得到，从而得出，根据相似三角形的判定与性质得出，从而得出EM的长，再利用勾股定理求出CM的长，即可得出答案．
16．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，
∴，，
∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故填：．
【分析】作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据轴对称的性质得出，，从而可得，此时有最小值即为，证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简二次根式、计算零指数幂与负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法，即可得出答案．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，把原式进行化简，再把的值代入进行计算，即可得出答案．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，；
②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；
③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：是等腰三角形．
【答案】（1）解：由作图可知：垂直平分，
∴∠CED=90°，
∵，，
∴；
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；正切的概念
【解析】【分析】（1）由作图得出垂直平分，解求出CD的长，即可得出答案；
（2）由作图得出平分，得出∠KAC的度数，根据三角形的外角性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，得出，从而得出，即可证出是等腰三角形．
（1）解：由作图可知：垂直平分，
∵，，
∴
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．（2025·长沙模拟）随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了________个家庭；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数；
（4）若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？
【答案】（1）200；
（2）解：根据题意，得A项目的人数为：（人），
∴补全条形统计图下图所示：
（3）解：∵，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为72°；
（4）解：∵，
∴选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查活动随机抽取的家庭总数为：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）将项目的家庭个数除以其所占百分比即可得本次调查活动随机抽取的家庭总数；
（2）先用家庭总数减去项目的家庭数求出项目的家庭数，再补全条形统计图；
（3）用360°乘以项目所占比即可求解；
（4）用2000乘以项目的所占比即可求解．
（1）解：（人），
故答案为：200；
（2）解：A项目的人数为：（人），
则补全统计图如图：
（3）解：由题意得，，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为；
（4）解：由题意得，，
答：选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
21．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点是上一点，延长到点，连接，，，，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用表示）．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为1，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长=．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再证出，根据圆的切线的判定定理即可证出是的切线；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质得出，从而证出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，从而得出，然后利用弧长公式进行计算，即可得出答案．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵的半径为1，
∴，
由（1）已得：，
∵是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长．
22．（2025·长沙模拟）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米．
（1）求这条小道的宽度；
（2）如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？
【答案】（1）解：设这条小道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴x=2，
答：这条小道的宽度为2米；
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为米，宽为米，
∴米，
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果得出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式列式进行计算，即可得出答案．
（1）解：设这条小道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：这条小道的宽度为2米．
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米），
则（米），
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积=．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，从而得出，根据平行线的判定定理得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证出四边形是菱形；
（2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据矩形的面积公式列式进行计算，即可得出矩形的面积．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
24．（2025·长沙模拟）不妨约定，关于的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”．
（1）判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”．
①；（　　）
②；（　　）
③．（　　）
（2）已知二次函数（，为常数，）是“函数”，且“值”．
①求证：该函数与轴总有两个交点；
②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标．
（3）如图，在（2）的条件下，二次函数与轴交于两点，（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，过点作，当时，求点的坐标．
【答案】（1）×；×；√；
（2）解：①根据题意得，
∴，
∴二次函数为（为常数，），
令y=0，则，
∴，
∵
∴，
∴该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
∴该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令y=0，则，
∴，
当，，
∴点，，，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，
解得，
∴的长为，
∴点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①，
则，
根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
②，
则，
根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
③，
则，
根据已知得，
∵为正整数
∴是“函数”；
故填：×；×；√；
【分析】（1）根据题意得出a，b和c的值，计算出k的值，再结合已知的定义即可判定是否属于“函数”；
（2）①根据题意得出，从而得出二次函数的解析式为，令y=0得出，计算得出＞0，即可证出该函数与轴总有两个交点；；
②二次函数变形为，得出当，，即可得出答案；
（3）根据题意求出点，，，，利用待定系数法求出直线的解析式和直线的解析式，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，求出点E的坐标，进而求出EF和AF的长，利用求出c的值，即可得出点E的坐标.
（1）解：①，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
②，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
③，
则，根据已知得，
∵为正整数
∴是“函数”；
故答案为：×，×，√；
（2）解：①根据题意得，得，
则二次函数（为常数，），
令，则，
∵
∴，
那么，该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
则该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令，解得，
当，，
则点，，，，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，解得，
则直线的解析式为，
延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，如图，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，解得，
则的长为，
那么，点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵
∴，解得，
∵，
∴，
则点．
25．（2025·长沙模拟）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点．
（1）若，，，求的长度；
（2）求证：；
（3）如图2，当为直径时，若，，求的面积．
【答案】（1）解：由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，
设的半径为，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得出，再证出，根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出GC的长；
（2）先根据角平分线的定义和圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后再根据圆周角定理得出，即可证出；
（3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，先证出，再根据相似三角形的性质得出的长，设，，利用等积法求出EF的长，再根据勾股定理求出的值，从而得出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，
设的半径为，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
由（2）已证：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．
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