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四川省广安第二中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确的选项填在下面对应的方框内，本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·广安期末）下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是
故选：C．
【分析】
本题考查了中心对称图形的定义与识别，解题关键是理解中心对称图形的定义：将图形绕平面内某一点旋转后，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形叫中心对称图形. 据此筛选出满足条件的图形即可．
2．（2025九上·广安期末）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线为，
其顶点坐标为．
故选：B．
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标问题，将一般式通过配方法化为顶点式，再直接读出顶点坐标即可.
3．（2025九上·广安期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：C．
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式及整式乘法运算. 先展开整式乘法，再通过移项、合并同类项将方程整理为标准一般形式，确保二次项系数不为0.
4．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标为，
∴，因而点P在上．
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出OP，进而根据点与圆的位置关系即可求解。
5．（2025九上·广安期末）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．拔苗助长
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一箭双雕属于随机事件，此选项不符合题意；
B、刻舟求剑属于不可能事件，此选项不符合题意；
C、水涨船高属于必然事件，此选项符合题意；
D、拔苗助长属于不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义即可判断求解.
6．（2025九上·广安期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
故选：D．
【分析】
本题考察一元二次方程的定义（形如，）、根的判别式，利用判别式判断方程根的情况，结合一元二次方程定义求参数取值范围.
7．（2025九上·广安期末）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
… 0 1 2 3 4 …
… 4 1 0 1 4 …
点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴．
故答案为：B．
【分析】观察表格中的信息可知，，，于是与的大小可判断求解．
8．（2025九上·广安期末）周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（　　）米．
A．8 B． C．20 D．24
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则养鸡场的宽为（米），
故选：A．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（养鸡场面积），设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据面积公式列方程，最后检验解的实际合理性.
9．（2025九上·广安期末）如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵直线分别与相切于点A、B、C，
∴，
∴的周长．
故选：D．
【分析】
本题考查了切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等）. 利用切线长定理将三角形周长中的线段进行等量代换，得，，从而转化为已知切线长的和，计算出周长.
10．（2025九上·广安期末）已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵点、的坐标分别为、，
∴轴，，
∵抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），
∴抛物线的开口向下，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
令，
∴，
∵在的左侧，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，先求出A、B坐标，得出轴，长度和顶点纵坐标，再利用平行四边形对边相等得到抛物线与x轴交点距离，结合二次函数相关公式建立等式求a.
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
则．
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标特征即横、纵坐标均互为相反数，根据此规律，直接写出a、b的值，再代入计算a+b即可.
12．（2025九上·广安期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴a=±1，
故答案为：±1
【分析】根据二次函数的定义结合题意即可得到，进而即可求解。
13．（2025九上·广安期末）将抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
所得图象的解析式为：.
当时，即，解得：；，
即所得图象与x轴交点坐标为，.
故答案为：，．
【分析】
根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减），先求出平移后的抛物线解析式，再令y=0，解一元二次方程得到与x轴的交点坐标.
14．（2025九上·广安期末）如图，等腰的一个锐角的顶点在上，边，分别与交于点，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），结合等腰直角三角形的角度特征求解.
15．（2025九上·广安期末）若、是一元二次方程的根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，据此结合题意可得m+n=1，根据一元二次方程根的定义可得m2=m+3，从而整体代入待求式子计算可得答案.
16．（2025九上·广安期末）我们规定：在平面内，一个点到图形上所有点的距离的最大值称为这个点到这个图形的“形距”，如图，正方形的边长为6，其中心为O，点M在正方形外，且．当正方形绕着点O旋转时，点M到正方形的形距d的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点O是正方形的中心，正方形的边长为，
，
在的延长线上取一点E，使，以O为圆心，的长为半径作，
当正方形的顶点A在上运动到时，点M到正方形的形距，此时d的值最小，
设交于点F，则，
，
，
，
，
∴点M到正方形的形距d的最小值为，
答案为：．
【分析】本题考查正方形性质、旋转性质与勾股定理，连接正方形中心与顶点，利用正方形边长求出中心到顶点的距离，结合旋转特性确定点M到正方形形距最小的位置，通过勾股定理计算最小值．
三、解答题（本大题共有4小题，第17题5分，18、19、20题各6分，共23分）
17．（2025九上·广安期末）解方程：
【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．确定方程中a、b、c的值，计算根的判别式的值，再代入求根公式算出方程的解.
18．（2025九上·广安期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出关于原点O对称的，并直接写出点的坐标；
（2）画出绕点C顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
其中，；
（2）如图，即为所求，
其中，．

【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】
本题考察了平面直角坐标系中的中心对称、旋转变换作图，以及变换后点的坐标确定. 熟练掌握对称与旋转的坐标变换规则是关键.（1）将原各顶点坐标的横、纵坐标均取相反数，得到对应点后顺次连接，从而得到点的坐标；
（2）绕点顺时针旋转的变换，需以为旋转中心，将线段、分别顺时针旋转，得到新定点，，连接成三角形，最终确定点的坐标．
（1）解：如图，即为所求，
其中，；
（2）如图，即为所求，
其中，．
19．（2025九上·广安期末）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数；
（3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）解：200
选择“节能减排”的人数为（人），
选择“植树造林”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，
∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次一共调查了（位）同学，故答案为：200；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以选择“节能减排”的人数所占的百分比即可求出选择“节能减排”的人数；根据参与各个主题的人数之和等于本次调查的总人数可求出选择“植树造林”的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用乘以选择“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出扇形统计图中“垃圾分类”对应的圆心角度数；
（3）此题是抽取不放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：本次一共调查了（位）同学，
∴选择“节能减排”的人数为（人），
∴选择“植树造林”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：200．
（2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，
∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为．
20．（2025九上·广安期末）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程．
【答案】（1）解：，∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴
（2）∵，∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．（1）根据二次函数顶点式的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入解析式求出a的值；
（2）先将平移后的抛物线化为顶点式，分析抛物线的平移方向与距离，进而求出点P移动的最短路程.
（1）解：，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
四、实践应用题（本大题共4小题，第21题6分，22、23、24题各8分，共30分）
21．（2025九上·广安期末）已知关于x的方程x2+mx+m 2＝0．
（1）若此方程的一个根为0，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m 2＝0，
解得：m＝2
（2）证明：，∵，
∴，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解.（1）本题考查方程的根的定义，将x＝0代入方程求出m值即可；
（2）计算根的判别式得出，由判别式恒大于0，从而证明方程总有两个不相等的实数根.
（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m 2＝0，
解得：m＝2；
（2）证明：，
∵，
∴，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22．（2025九上·广安期末）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接．
（1）若，，求的半径．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：设，∵，是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10.
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理，圆的半径相等性质、三角形外角性质.（1）由垂径定理得弦的一半长度，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求半径；（2）利用同圆半径相等与三角形外角性质，推导出圆心角与圆周角的倍数关系，进而求出指定角的度数.
（1）解：设，
∵，是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．（2025九上·广安期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
【答案】（1）解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）令y=0，解方程求出x的值，求出OD的长即可解题；
（2）把x＝10代入解析式，求出y值即可．
（1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
24．（2025九上·广安期末）招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式；
（3）当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设游客人数的平均日增长率为，
由题意得：，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）设每把扇子降价元，根据题意得：，
∴商店利润关于的函数关系式为；
（3）∵，又∵，
∴，
∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元，
此时商品定价为：（元），
∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题以及二次函数的利润应用.（1）设平均日增长率是，根据“初始量×（1+增长率）2 得到，求解的值即可；
（2）设每把扇子降价元，根据”利润＝（售价-进价）×销售量“列出利润w关于x的函数关系式.
（3）将函数关系式化为顶点式，求最值及对应的定价．
（1）解：设游客人数的平均日增长率为，
由题意得：，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）设每把扇子降价元，
根据题意得：，
∴商店利润关于的函数关系式为；
（3）∵，
又∵，
∴，
∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元，
此时商品定价为：（元），
∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元．
五、拓展探究题（本大题共2小题，第25题9分、26题10分，共19分）
25．（2025九上·广安期末）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知．
（1）判断与⊙的位置关系，并给予证明；
（2）若，，试求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：与相切．证明如下：
如图，连接，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
与相切
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，，
．
设，
则，，
，
解得：，
即，
在中，
，，
，，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，求扇形面积.（1）连接，利用圆周角定理与已知角度关系证明，得出DF与圆相切；
（2）过点作于点，由∠B=30°和EF的长度，结合直角三角形性质求出圆的半径等线段长度，再分别计算扇形与三角形的面积，求和得到阴影部分面积.
（1）解：与相切．证明如下：
如图，连接，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
与相切．
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，，
．
设，
则，，
，
解得：，
即，
在中，
，，
，，
．
26．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线对应的函数表达式．
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标．
【答案】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式，
得：，
解得：，
∴此函数解析式为：；

（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．

（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据题意可得点的坐标为：，再利用三角形的面积公式及割补法可得，再利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）设，分类讨论：①当为边时，根据平行四边形的性质知，且，②当为对角线时，知与应该重合，，再分别利用平行四边形的性质分析求解即可.
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
1 / 1四川省广安第二中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确的选项填在下面对应的方框内，本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·广安期末）下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·广安期末）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·广安期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
5．（2025九上·广安期末）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．拔苗助长
6．（2025九上·广安期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
7．（2025九上·广安期末）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
… 0 1 2 3 4 …
… 4 1 0 1 4 …
点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·广安期末）周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（　　）米．
A．8 B． C．20 D．24
9．（2025九上·广安期末）如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·广安期末）已知点、的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若四边形为平行四边形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　 　．
12．（2025九上·广安期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是　 　．
13．（2025九上·广安期末）将抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为　 　．
14．（2025九上·广安期末）如图，等腰的一个锐角的顶点在上，边，分别与交于点，，则的度数为　 　．
15．（2025九上·广安期末）若、是一元二次方程的根，则的值为　 　．
16．（2025九上·广安期末）我们规定：在平面内，一个点到图形上所有点的距离的最大值称为这个点到这个图形的“形距”，如图，正方形的边长为6，其中心为O，点M在正方形外，且．当正方形绕着点O旋转时，点M到正方形的形距d的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共有4小题，第17题5分，18、19、20题各6分，共23分）
17．（2025九上·广安期末）解方程：
18．（2025九上·广安期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出关于原点O对称的，并直接写出点的坐标；
（2）画出绕点C顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
19．（2025九上·广安期末）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数；
（3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率．
20．（2025九上·广安期末）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程．
四、实践应用题（本大题共4小题，第21题6分，22、23、24题各8分，共30分）
21．（2025九上·广安期末）已知关于x的方程x2+mx+m 2＝0．
（1）若此方程的一个根为0，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22．（2025九上·广安期末）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接．
（1）若，，求的半径．
（2）若，求的度数．
23．（2025九上·广安期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
24．（2025九上·广安期末）招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式；
（3）当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
五、拓展探究题（本大题共2小题，第25题9分、26题10分，共19分）
25．（2025九上·广安期末）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知．
（1）判断与⊙的位置关系，并给予证明；
（2）若，，试求阴影部分的面积．
26．（2025九上·广安期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线对应的函数表达式．
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是
故选：C．
【分析】
本题考查了中心对称图形的定义与识别，解题关键是理解中心对称图形的定义：将图形绕平面内某一点旋转后，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形叫中心对称图形. 据此筛选出满足条件的图形即可．
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线为，
其顶点坐标为．
故选：B．
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标问题，将一般式通过配方法化为顶点式，再直接读出顶点坐标即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：C．
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式及整式乘法运算. 先展开整式乘法，再通过移项、合并同类项将方程整理为标准一般形式，确保二次项系数不为0.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标为，
∴，因而点P在上．
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出OP，进而根据点与圆的位置关系即可求解。
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一箭双雕属于随机事件，此选项不符合题意；
B、刻舟求剑属于不可能事件，此选项不符合题意；
C、水涨船高属于必然事件，此选项符合题意；
D、拔苗助长属于不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义即可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
故选：D．
【分析】
本题考察一元二次方程的定义（形如，）、根的判别式，利用判别式判断方程根的情况，结合一元二次方程定义求参数取值范围.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴．
故答案为：B．
【分析】观察表格中的信息可知，，，于是与的大小可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则养鸡场的宽为（米），
故选：A．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（养鸡场面积），设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据面积公式列方程，最后检验解的实际合理性.
9．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵直线分别与相切于点A、B、C，
∴，
∴的周长．
故选：D．
【分析】
本题考查了切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等）. 利用切线长定理将三角形周长中的线段进行等量代换，得，，从而转化为已知切线长的和，计算出周长.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵点、的坐标分别为、，
∴轴，，
∵抛物线的顶点在线段上，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），
∴抛物线的开口向下，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
令，
∴，
∵在的左侧，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，先求出A、B坐标，得出轴，长度和顶点纵坐标，再利用平行四边形对边相等得到抛物线与x轴交点距离，结合二次函数相关公式建立等式求a.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
则．
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标特征即横、纵坐标均互为相反数，根据此规律，直接写出a、b的值，再代入计算a+b即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴a=±1，
故答案为：±1
【分析】根据二次函数的定义结合题意即可得到，进而即可求解。
13．【答案】，
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
所得图象的解析式为：.
当时，即，解得：；，
即所得图象与x轴交点坐标为，.
故答案为：，．
【分析】
根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减），先求出平移后的抛物线解析式，再令y=0，解一元二次方程得到与x轴的交点坐标.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），结合等腰直角三角形的角度特征求解.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，据此结合题意可得m+n=1，根据一元二次方程根的定义可得m2=m+3，从而整体代入待求式子计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点O是正方形的中心，正方形的边长为，
，
在的延长线上取一点E，使，以O为圆心，的长为半径作，
当正方形的顶点A在上运动到时，点M到正方形的形距，此时d的值最小，
设交于点F，则，
，
，
，
，
∴点M到正方形的形距d的最小值为，
答案为：．
【分析】本题考查正方形性质、旋转性质与勾股定理，连接正方形中心与顶点，利用正方形边长求出中心到顶点的距离，结合旋转特性确定点M到正方形形距最小的位置，通过勾股定理计算最小值．
17．【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．确定方程中a、b、c的值，计算根的判别式的值，再代入求根公式算出方程的解.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，
其中，；
（2）如图，即为所求，
其中，．

【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】
本题考察了平面直角坐标系中的中心对称、旋转变换作图，以及变换后点的坐标确定. 熟练掌握对称与旋转的坐标变换规则是关键.（1）将原各顶点坐标的横、纵坐标均取相反数，得到对应点后顺次连接，从而得到点的坐标；
（2）绕点顺时针旋转的变换，需以为旋转中心，将线段、分别顺时针旋转，得到新定点，，连接成三角形，最终确定点的坐标．
（1）解：如图，即为所求，
其中，；
（2）如图，即为所求，
其中，．
19．【答案】（1）解：200
选择“节能减排”的人数为（人），
选择“植树造林”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，
∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次一共调查了（位）同学，故答案为：200；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以选择“节能减排”的人数所占的百分比即可求出选择“节能减排”的人数；根据参与各个主题的人数之和等于本次调查的总人数可求出选择“植树造林”的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用乘以选择“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出扇形统计图中“垃圾分类”对应的圆心角度数；
（3）此题是抽取不放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：本次一共调查了（位）同学，
∴选择“节能减排”的人数为（人），
∴选择“植树造林”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：200．
（2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种，
∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为．
20．【答案】（1）解：，∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴
（2）∵，∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．（1）根据二次函数顶点式的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入解析式求出a的值；
（2）先将平移后的抛物线化为顶点式，分析抛物线的平移方向与距离，进而求出点P移动的最短路程.
（1）解：，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
21．【答案】（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m 2＝0，
解得：m＝2
（2）证明：，∵，
∴，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解.（1）本题考查方程的根的定义，将x＝0代入方程求出m值即可；
（2）计算根的判别式得出，由判别式恒大于0，从而证明方程总有两个不相等的实数根.
（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m 2＝0，
解得：m＝2；
（2）证明：，
∵，
∴，即Δ＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22．【答案】（1）解：设，∵，是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10.
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理，圆的半径相等性质、三角形外角性质.（1）由垂径定理得弦的一半长度，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求半径；（2）利用同圆半径相等与三角形外角性质，推导出圆心角与圆周角的倍数关系，进而求出指定角的度数.
（1）解：设，
∵，是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）令y=0，解方程求出x的值，求出OD的长即可解题；
（2）把x＝10代入解析式，求出y值即可．
（1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
24．【答案】（1）解：设游客人数的平均日增长率为，
由题意得：，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）设每把扇子降价元，根据题意得：，
∴商店利润关于的函数关系式为；
（3）∵，又∵，
∴，
∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元，
此时商品定价为：（元），
∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题以及二次函数的利润应用.（1）设平均日增长率是，根据“初始量×（1+增长率）2 得到，求解的值即可；
（2）设每把扇子降价元，根据”利润＝（售价-进价）×销售量“列出利润w关于x的函数关系式.
（3）将函数关系式化为顶点式，求最值及对应的定价．
（1）解：设游客人数的平均日增长率为，
由题意得：，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
（2）设每把扇子降价元，
根据题意得：，
∴商店利润关于的函数关系式为；
（3）∵，
又∵，
∴，
∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元，
此时商品定价为：（元），
∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元．
25．【答案】（1）解：与相切．证明如下：
如图，连接，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
与相切
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，，
．
设，
则，，
，
解得：，
即，
在中，
，，
，，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，求扇形面积.（1）连接，利用圆周角定理与已知角度关系证明，得出DF与圆相切；
（2）过点作于点，由∠B=30°和EF的长度，结合直角三角形性质求出圆的半径等线段长度，再分别计算扇形与三角形的面积，求和得到阴影部分面积.
（1）解：与相切．证明如下：
如图，连接，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
与相切．
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，，
．
设，
则，，
，
解得：，
即，
在中，
，，
，，
．
26．【答案】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式，
得：，
解得：，
∴此函数解析式为：；

（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．

（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据题意可得点的坐标为：，再利用三角形的面积公式及割补法可得，再利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）设，分类讨论：①当为边时，根据平行四边形的性质知，且，②当为对角线时，知与应该重合，，再分别利用平行四边形的性质分析求解即可.
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
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