资源简介

湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·衡阳期中）下列方程中，一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·衡阳期中）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·衡阳期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·衡阳期中）若，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·衡阳期中）把方程＝1去分母后正确的是（　　）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12
C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12
6．（2025七下·衡阳期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
7．（2025七下·衡阳期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（　　）
A．8 B．5 C．11 D．
8．（2025七下·衡阳期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·衡阳期中）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
10．（2025七下·衡阳期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·衡阳期中）“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为　 　．
12．（2025七下·衡阳期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　．
13．（2025七下·衡阳期中）已知中，，如果按角分类，那么是　 　三角形．
14．（2025七下·衡阳期中）某种商品每件的进价是100元，若按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的标价是　 　元．
15．（2025七下·衡阳期中）若不等式组的解集是，则　 　．
16．（2025七下·衡阳期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　 　．
17．（2025七下·衡阳期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为　 　．
三、解答题（共8小题，共66分）
18．（2025七下·衡阳期中）解方程组：．
19．（2025七下·衡阳期中）解不等式组：，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为：___________．
（5）原不等式组所有整数解的和为：___________．
20．（2025七下·衡阳期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．
（1）若点为边的中点，，的面积为30，求的长；
（2）若平分，，，求的度数．
21．（2025七下·衡阳期中）已知关于的二元一次方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）若方程组的解满足，求的取值范围．
22．（2025七下·衡阳期中）端午节到来之际，某超市准备购进粽子和咸鸭蛋进行销售．若购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若超市销售每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．超市打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1800元，求超市至少购进多少个粽子？
23．（2025七下·衡阳期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________．
（2）若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值．
（3）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
24．（2025七下·衡阳期中）在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
（1）如图1，①若，则___________；
②若，求的度数；
（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．
①求证：；
②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数．
25．（2025七下·衡阳期中）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝
解决下列问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围__________；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么__________（填a，b，c的大小关系）”．
③运用②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，故选项符合题意；
B.不是整式方程，故选项不符合题意；
C.，未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】
只含有一个未知数且未知数的次数都是1次的整式方程叫一元一次方程．
2．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意得：不等式组的解集为．
故选C．
【分析】
先把每个不等式的解集在数轴上表示出来，表示时要注意不等号方向的选择，另注意空心圆圈与实心圆圈的区别，再确定两解集的公共部分即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
【分析】三角形AC边上的高是从顶点B向AC边（或其延长线）作垂线，垂足在AC边（或其延长线）上；逐一分析各选项，A、B、D选项中的线段BD都不符合高的定义，只有C选项中从B点作垂直于AC延长线的线段BD符合要求．
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：a+2>b+2，在不等式aB：a-c>b-c，在不等式两边同时减去同一个数（或式），不等号的方向不变，故B错误；
C：-5>-5b，在不等式两边同时乘以一个不为0的负数，不等号的方向改变，故C正确；
D：，在不等式a故选：C
【分析】根据不等式的性质，依次对每个选项进行判断。
5．【答案】C
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程＝1，
去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12．
故答案为：C．
【分析】根据去分母法则，方程两边乘以12即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知：
A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故B选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故C选项不符合题意；
D、，能组成三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，核心是利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质判断线段能否构成三角形。解题时需对每个选项中的三条线段进行验证，选取每组中较短的两条线段求和，再与最长的线段比较：对于选项A，1+2=3＜4，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形；选项B中2+3=5，两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系；选项C里6+6=12，同样满足两边之和等于第三边，不能组成三角形；选项D中4+6=10＞8，满足三角形三边关系，因此能组成三角形。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
由条件可知，
∴
，
故选：C．
【分析】
由方程解的概念可得，再化所求代数式为，最后再整体代入求值即可．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔，
则，
即．
∴，，，，
∴购买方案有4种；
故选：A
【分析】
求一元二次方程的整数解，先把其中一个未知数当作常数解一元一次方程，再求满足条件的正整数解即可．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得，，
解②得，，
∵不等式组有解，
∴，
故选：A ．
【分析】
根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”判定即可．
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为：，
故答案为：．
【分析】
根据不等关系直接列不等式即可．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
用含x的代数式表示y，即把x当作常数，再移项，最后再把y的系数化为1即可．
13．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：，
设，则，
解得
是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】
若一个三角形三个内角的度数比中，最大数是较小两个数字的和，则这个三角形是直角三角形．
14．【答案】150
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这种商品每件的标价为x元，
根据题意得：，
解得：．
则这种商品每件的标价为150元．
故答案为：150．
【分析】
设这种商品每件的标价为x元，则售价为0.8x元，再由相等关系“仍可获利”可列出关于x的方程并求解即可．
15．【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集是，
，，
解得，，
，
故答案为：．
【分析】
先把a、b当作常数解各不等式，再根据不等式组的解集是，可得关于a和b的一元一次方程，再解方程并把a、b的值代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解：将关于的一元一次方程整理，得：，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案为：．
【分析】将关于的一元一次方程转化为，由一元一次方程的解的定义可得，即可得出答案．
17．【答案】或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；分类讨论
【解析】【解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为，
当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为；
综上所述，点N的速度为或，
故答案为：或．
【分析】
M、N相遇时即点M、N重合时，应分两中情况，即相遇点在OA上或在OB上，当相遇点在OA上时，此时AM＝2，由邻补角的概念可得旋转角为120度，即点M旋转用时4秒，则点N在4秒内移动了25厘米，即速度为；同理当相遇点在OB上时，此时AM＝8，由周角的概念可得旋转角为300度，即点M旋转用时10秒，则点N在10秒内移动了19厘米，即速度为．
18．【答案】解：
得：，解得
把代入①得：，解得
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】当二元一次方程组中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可利用整式的性质对其中一个变形使该未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可．
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：作图如下，
（4）
（5）0
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
（1）
解：
（2）
解：
（4）
解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为．
（5）
解：不等式组的整数解为，，，它们的和为．
【分析】
（1）先去括号，再移项并合并同类项，最后再系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项并合并同类项，最后再系数化为1即可；
（3）在数轴上表示不等式的解集时要注意，实心与空心区别，另外要明确不等号的方向；
（4）根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；
（5）先找出不等式组解集中的所有整数解，再将这些整数解相加．
（1）解：
（2）解：
（3）解：作图如下，
（4）解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为．
（5）解：不等式组的整数解为，，，它们的和为．
20．【答案】（1）解：，
，
∵，
，
是的中点，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由三角形面积计算公式底边，再利用中点的概念即可；
（2）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，再由直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角的和差关系即可．
（1）解：，
，
∵，
，
是的中点，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
21．【答案】（1）解：得：，即
代入得：，
解得：；
（2）解：得：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】
（1）观察两方程中各未知数的系数，可利用得再根据已知解关于m的一元一次方程即可；
（2）同（1），可利用得，根据已知解关于m的一元一次不等式即可．
（1）解：得：，即
代入得：，
解得：，
（2）解：得：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：．
22．【答案】（1）解：设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，
依题意，得 ，
解得：，
答：每个粽子的进价是3元，每个咸鸭蛋的进价是1元；
（2）解：设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，
依题意，得．
解得：，
答：超市至少购进800个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，根据相等关系列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，再根据总利润不低于1800元列关于m的不等式并求解即可．
23．【答案】（1）
（2）解：∵关于的方程与方程互为“反对方程”，即与互为“反对方程”，
（3）解：的“反对方程”为，由得，，
由，得，
由条件可知与都为整数，也为整数，
当时，，都为整数，
当时，，都为整数，
的值为．
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
（1）
解：∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：-5．
【分析】
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）先把给定两方程写成“反对方程”的形式，再由新定义可分别得关于m、n的一元一次方程并求解即可；
（3）由“反对方程”的概念可得与互为“反对方程”，再分别求出各方程的解，再根据已知解均为整数可得与都为整数，即既是2的因数也是2的倍数，所以．
（1）解：∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：-5．
（2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”，
即与互为“反对方程”，
（3）的“反对方程”为，
由得，，
由，得，
由条件可知与都为整数，也为整数，
当时，，都为整数，
当时，，都为整数，
的值为．
24．【答案】（1）①；
②解：∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
②的度数为或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；角的双角平分线和型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
（1） ①
解；∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）②∵，
∴
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
【分析】
（1）①先由三角形内角平分线和模型可得，再由垂直的概念结合角的和差关系即可；
②同理先由三角形内角平分线模型和可得，再利用角平分线的概念可得，再由三角形外角的性质计算即可；
（2）①先由角平分线和模型可得，再由内错角相等两直线平行即可；
②由三角形一内一外角平分线模型可得，再在中分类讨论，即当，或，或，或，再利用直角三角形两锐角互余分别求出即可．
（1）解；∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
25．【答案】（1）；
（2）①解：∵M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，
∴，解得：，
∴x＝1；
；②；
③解：由②可得
解之得y＝ 1，x＝ 3，
∴x＋y＝ 4．
【知识点】列一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由min{2，2x＋2，4 2x}＝2，得，即0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1；（2）
②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令＝a，即b＋c＝2a；
又∵，
解之得：a＋c≤2b，a＋b≤2c；
把b＋c＝2a代入a＋c≤2b 可得c≤b；
把b＋c＝2a代入a＋b≤2c可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入b＋c＝2a得c＝a；
∴a＝b＝c，
故答案为：a＝b＝c；
【分析】
（1）由新定义可列关于x的一元一次不等式组并求解即可；
（2）①先由平均值的计算公式得，则可得关于x的一元一次不等式组并求解即可；
②由①可知：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等；
③由②知三个数相等，即可列关于x，y的方程组并求解即可.
1 / 1湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·衡阳期中）下列方程中，一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，故选项符合题意；
B.不是整式方程，故选项不符合题意；
C.，未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】
只含有一个未知数且未知数的次数都是1次的整式方程叫一元一次方程．
2．（2025七下·衡阳期中）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意得：不等式组的解集为．
故选C．
【分析】
先把每个不等式的解集在数轴上表示出来，表示时要注意不等号方向的选择，另注意空心圆圈与实心圆圈的区别，再确定两解集的公共部分即可．
3．（2025七下·衡阳期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
【分析】三角形AC边上的高是从顶点B向AC边（或其延长线）作垂线，垂足在AC边（或其延长线）上；逐一分析各选项，A、B、D选项中的线段BD都不符合高的定义，只有C选项中从B点作垂直于AC延长线的线段BD符合要求．
4．（2025七下·衡阳期中）若，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：a+2>b+2，在不等式aB：a-c>b-c，在不等式两边同时减去同一个数（或式），不等号的方向不变，故B错误；
C：-5>-5b，在不等式两边同时乘以一个不为0的负数，不等号的方向改变，故C正确；
D：，在不等式a故选：C
【分析】根据不等式的性质，依次对每个选项进行判断。
5．（2025七下·衡阳期中）把方程＝1去分母后正确的是（　　）
A．4x﹣3（x﹣1）＝1 B．4x﹣3x﹣3＝12
C．4x﹣3（x﹣1）＝12 D．4x+3x﹣3＝12
【答案】C
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程＝1，
去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12．
故答案为：C．
【分析】根据去分母法则，方程两边乘以12即可．
6．（2025七下·衡阳期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知：
A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故B选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故C选项不符合题意；
D、，能组成三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，核心是利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质判断线段能否构成三角形。解题时需对每个选项中的三条线段进行验证，选取每组中较短的两条线段求和，再与最长的线段比较：对于选项A，1+2=3＜4，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形；选项B中2+3=5，两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系；选项C里6+6=12，同样满足两边之和等于第三边，不能组成三角形；选项D中4+6=10＞8，满足三角形三边关系，因此能组成三角形。
7．（2025七下·衡阳期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（　　）
A．8 B．5 C．11 D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
由条件可知，
∴
，
故选：C．
【分析】
由方程解的概念可得，再化所求代数式为，最后再整体代入求值即可．
8．（2025七下·衡阳期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
9．（2025七下·衡阳期中）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔，
则，
即．
∴，，，，
∴购买方案有4种；
故选：A
【分析】
求一元二次方程的整数解，先把其中一个未知数当作常数解一元一次方程，再求满足条件的正整数解即可．
10．（2025七下·衡阳期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得，，
解②得，，
∵不等式组有解，
∴，
故选：A ．
【分析】
根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”判定即可．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·衡阳期中）“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为：，
故答案为：．
【分析】
根据不等关系直接列不等式即可．
12．（2025七下·衡阳期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
用含x的代数式表示y，即把x当作常数，再移项，最后再把y的系数化为1即可．
13．（2025七下·衡阳期中）已知中，，如果按角分类，那么是　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：，
设，则，
解得
是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】
若一个三角形三个内角的度数比中，最大数是较小两个数字的和，则这个三角形是直角三角形．
14．（2025七下·衡阳期中）某种商品每件的进价是100元，若按标价的八折销售时，仍可获利，则这种商品每件的标价是　 　元．
【答案】150
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这种商品每件的标价为x元，
根据题意得：，
解得：．
则这种商品每件的标价为150元．
故答案为：150．
【分析】
设这种商品每件的标价为x元，则售价为0.8x元，再由相等关系“仍可获利”可列出关于x的方程并求解即可．
15．（2025七下·衡阳期中）若不等式组的解集是，则　 　．
【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集是，
，，
解得，，
，
故答案为：．
【分析】
先把a、b当作常数解各不等式，再根据不等式组的解集是，可得关于a和b的一元一次方程，再解方程并把a、b的值代入计算即可．
16．（2025七下·衡阳期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程-同解问题
【解析】【解答】解：将关于的一元一次方程整理，得：，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案为：．
【分析】将关于的一元一次方程转化为，由一元一次方程的解的定义可得，即可得出答案．
17．（2025七下·衡阳期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为　 　．
【答案】或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；分类讨论
【解析】【解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为，
当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为；
综上所述，点N的速度为或，
故答案为：或．
【分析】
M、N相遇时即点M、N重合时，应分两中情况，即相遇点在OA上或在OB上，当相遇点在OA上时，此时AM＝2，由邻补角的概念可得旋转角为120度，即点M旋转用时4秒，则点N在4秒内移动了25厘米，即速度为；同理当相遇点在OB上时，此时AM＝8，由周角的概念可得旋转角为300度，即点M旋转用时10秒，则点N在10秒内移动了19厘米，即速度为．
三、解答题（共8小题，共66分）
18．（2025七下·衡阳期中）解方程组：．
【答案】解：
得：，解得
把代入①得：，解得
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】当二元一次方程组中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可利用整式的性质对其中一个变形使该未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可．
19．（2025七下·衡阳期中）解不等式组：，并求出不等式组所有整数解的和（完成下列各空）．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为：___________．
（5）原不等式组所有整数解的和为：___________．
【答案】（1）
（2）
（3）解：作图如下，
（4）
（5）0
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
（1）
解：
（2）
解：
（4）
解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为．
（5）
解：不等式组的整数解为，，，它们的和为．
【分析】
（1）先去括号，再移项并合并同类项，最后再系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项并合并同类项，最后再系数化为1即可；
（3）在数轴上表示不等式的解集时要注意，实心与空心区别，另外要明确不等号的方向；
（4）根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；
（5）先找出不等式组解集中的所有整数解，再将这些整数解相加．
（1）解：
（2）解：
（3）解：作图如下，
（4）解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根据“大小小大中间找”原则，公共部分为．
（5）解：不等式组的整数解为，，，它们的和为．
20．（2025七下·衡阳期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．
（1）若点为边的中点，，的面积为30，求的长；
（2）若平分，，，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
∵，
，
是的中点，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由三角形面积计算公式底边，再利用中点的概念即可；
（2）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，再由直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角的和差关系即可．
（1）解：，
，
∵，
，
是的中点，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
21．（2025七下·衡阳期中）已知关于的二元一次方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）若方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：得：，即
代入得：，
解得：；
（2）解：得：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】
（1）观察两方程中各未知数的系数，可利用得再根据已知解关于m的一元一次方程即可；
（2）同（1），可利用得，根据已知解关于m的一元一次不等式即可．
（1）解：得：，即
代入得：，
解得：，
（2）解：得：，即，
∵，
∴，
∴，
解得：．
22．（2025七下·衡阳期中）端午节到来之际，某超市准备购进粽子和咸鸭蛋进行销售．若购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若超市销售每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．超市打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1800元，求超市至少购进多少个粽子？
【答案】（1）解：设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，
依题意，得 ，
解得：，
答：每个粽子的进价是3元，每个咸鸭蛋的进价是1元；
（2）解：设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，
依题意，得．
解得：，
答：超市至少购进800个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，根据相等关系列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，再根据总利润不低于1800元列关于m的不等式并求解即可．
23．（2025七下·衡阳期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________．
（2）若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值．
（3）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于的方程与方程互为“反对方程”，即与互为“反对方程”，
（3）解：的“反对方程”为，由得，，
由，得，
由条件可知与都为整数，也为整数，
当时，，都为整数，
当时，，都为整数，
的值为．
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】
（1）
解：∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：-5．
【分析】
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）先把给定两方程写成“反对方程”的形式，再由新定义可分别得关于m、n的一元一次方程并求解即可；
（3）由“反对方程”的概念可得与互为“反对方程”，再分别求出各方程的解，再根据已知解均为整数可得与都为整数，即既是2的因数也是2的倍数，所以．
（1）解：∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：-5．
（2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”，
即与互为“反对方程”，
（3）的“反对方程”为，
由得，，
由，得，
由条件可知与都为整数，也为整数，
当时，，都为整数，
当时，，都为整数，
的值为．
24．（2025七下·衡阳期中）在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
（1）如图1，①若，则___________；
②若，求的度数；
（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．
①求证：；
②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数．
【答案】（1）①；
②解：∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
②的度数为或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；角的双角平分线和型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
（1） ①
解；∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）②∵，
∴
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
【分析】
（1）①先由三角形内角平分线和模型可得，再由垂直的概念结合角的和差关系即可；
②同理先由三角形内角平分线模型和可得，再利用角平分线的概念可得，再由三角形外角的性质计算即可；
（2）①先由角平分线和模型可得，再由内错角相等两直线平行即可；
②由三角形一内一外角平分线模型可得，再在中分类讨论，即当，或，或，或，再利用直角三角形两锐角互余分别求出即可．
（1）解；∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
25．（2025七下·衡阳期中）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝
解决下列问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围__________；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么__________（填a，b，c的大小关系）”．
③运用②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
【答案】（1）；
（2）①解：∵M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，
∴，解得：，
∴x＝1；
；②；
③解：由②可得
解之得y＝ 1，x＝ 3，
∴x＋y＝ 4．
【知识点】列一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由min{2，2x＋2，4 2x}＝2，得，即0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1；（2）
②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令＝a，即b＋c＝2a；
又∵，
解之得：a＋c≤2b，a＋b≤2c；
把b＋c＝2a代入a＋c≤2b 可得c≤b；
把b＋c＝2a代入a＋b≤2c可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入b＋c＝2a得c＝a；
∴a＝b＝c，
故答案为：a＝b＝c；
【分析】
（1）由新定义可列关于x的一元一次不等式组并求解即可；
（2）①先由平均值的计算公式得，则可得关于x的一元一次不等式组并求解即可；
②由①可知：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等；
③由②知三个数相等，即可列关于x，y的方程组并求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑