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湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（共30分）
1．（2025八下·望城期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·望城期中）函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·望城期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
4．（2025八下·望城期中）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直．
5．（2025八下·望城期中）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·望城期中）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八下·望城期中）如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·望城期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·望城期中）如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
10．（2025八下·望城期中）如图，，，，，垂足分别是点，，，．则的面积是（　　）
A． B．5 C． D．
二、填空题（共18分）
11．（2025八下·望城期中）因式分解： =　 　
12．（2025八下·望城期中）已知，则　 　．
13．（2025八下·望城期中）已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为　 　．
14．（2025八下·望城期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是　 　．
15．（2025八下·望城期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=　 　．
16．（2025八下·望城期中）如图，在中，点D、E分别是的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的值为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·望城期中）计算：
18．（2025八下·望城期中）先化简，再求值：，其中．
19．（2025八下·望城期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
（1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（2025八下·望城期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
21．（2025八下·望城期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求图中的面积．
22．（2025八下·望城期中）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
23．（2025八下·望城期中）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______°；
（2）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数．
24．（2025八下·望城期中）2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元．
（1）求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？
（2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
25．（2025八下·望城期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F．
（1）求，的度数；
（2）求证：；
（3）求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 故A，C，D不符合题意；
是最简二次根式，故B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可得；
解得，
∴函数中，自变量的取值范围是．
故选：D．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】A、∵平行四边形的对角线互相平分，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，∴B不正确，符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴C正确，不符合题意；
D、∵菱形的对角线互相垂直，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的判定及中点四边形的判定方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【分析】
直接应用三角形的中位线定理即可．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的判定，
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3，
，
在中，，
由作图可知，，
的值为，
故选：．
【分析】
先由数轴上两点间的距离可得OB等于3，再在中应用勾股定理可得OC的长，即OA的长度可得，再由绝对值的概念即可得点A表示的数字．
8．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：，点为的中点，
，
故选：A．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
∠ADC=∠CEB=90°，
∠ACD+∠DAC=90°，
，
∠ACD+∠ECB=90°，
∠DAC=∠ECB，
，
△ADC≌△CEB，
，，
BE=DC=1，
在Rt△ACD中，
，
；
故选B．
【分析】
先利用一线三垂直全等模型可得△ADC≌△CEB，则BE=DC=1，再由勾股定理求得AC的长，再利用三角形面积公式 计算即可．
11．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
12．【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可得，解得，
，
，
故答案为：．
【分析】
由二次根式有意义的条件得，则，再进行有理数的乘法即可．
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，∵正方形的对角线相交于点，正方形顶点D的坐标为，
∴正方形顶点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由正方形的对角线互相平分知点P是BC中点，再由中点坐标公式即可．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
15．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为3．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E分别是的中点，
是的中位线，
，
以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
，
，
故答案为：3．
【分析】
由于AF＝AD，则由中位线的性质求出AB即可．
17．【答案】解：，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先化简二次根式和绝对值，并分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行实数的加减运算即可．
18．【答案】解：
，
把代入上式中，原式．
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式对多项式的乘法去括号，再合并同类项，最后再代值计算即可．
19．【答案】（1）2；5；等腰直角三角形
（2）解：由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
【分析】（1）连接BD，根据勾股定理可得BC，AD，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CD，再根据勾股定理逆定理可得△BCD为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可利用“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）先由全等三角形的性质可得∠CEB=70°，再由对顶角相等可得∠DEF=70°，再由正方形的性质可得 ∠ADB=45°，最后再利用三角形的外角的性质即可．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是长方形即矩形，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，，
设，则：，
在中，
即，解得：，
∴，
∴．
∴图中的面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行知，再由平行线的性质得，由折叠知，则，再利用等角对等边即可；
（2）由（1）的结论知AE=CE，则可设，即，在中利用勾股定理求出的值，则EF可得，再利用割补法，即阴影部分面积等于与面积的差．
（1）解：∵四边形是长方形即矩形，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，，
设，则：，
在中，
即，解得：，
∴，
∴．
∴图中的面积为．
22．【答案】证明：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
即DF∥BC，
∵CF//AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
解：（2）∵AB＝BC，E是AC的中点
∴BE⊥AC，
∵点D是边AB的中点，
∴AB=2BD=4，
在Rt△ABE中，，
∴AC=2AE= .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可证DF//BC，又CF//AB，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分AC，再由中点的概念可得AB，再利用勾股定理求出AE，再由中点的概念得AC等于AE的2倍即可．
23．【答案】（1）4，
（2）解：（人，
答：估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：4，；
【分析】
（1）首先观察条形统计图、扇形统计图，则可利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；用周角乘以类所占的百分比求出圆心角的度数即可；
（2）用样本数据估计总体数据即可．
（1）解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：4，；
（2）解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
24．【答案】（1）解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由题意得：，
解得：.
∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元.
（2）解：由题意，设购买A款帆布袋m件，
∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元，
∴.
∵，
∴w随m的增大而增大.
∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，
∴.
∴且m为正整数.
∴当时，w有最小值，最小值为.
此时.
∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由相等关系列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买A款帆布袋m件，购买B款帆布袋件.设总费用为w元，则是关于的一次函数，且随的增大而增大，此时再利用不等关系列关于m的一元一次不等式并求出最小正整数解即可.
25．【答案】（1）解：∵正方形，等边，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）证明：连接，
同法（1）可得：，
∵正方形，等边，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，交于点，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先由正方形和等边三角形的性质可得、，再由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再利用三角形外角的性质即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，由角的和差关系可得，即可得，再利用角的和差关系可得，则等角对等边；
（3）由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，则连接交于点，由角的和差关系可得，再由直角三角形30度角的性质可得，再由勾股定理可得，即有，则结果可得．
（1）解：∵正方形，等边，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）连接，
同法（1）可得：，
∵正方形，等边，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）连接，交于点，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（共30分）
1．（2025八下·望城期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 故A，C，D不符合题意；
是最简二次根式，故B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．（2025八下·望城期中）函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可得；
解得，
∴函数中，自变量的取值范围是．
故选：D．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
3．（2025八下·望城期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
4．（2025八下·望城期中）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】A、∵平行四边形的对角线互相平分，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，∴B不正确，符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴C正确，不符合题意；
D、∵菱形的对角线互相垂直，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的判定及中点四边形的判定方法逐项分析判断即可.
5．（2025八下·望城期中）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【分析】
直接应用三角形的中位线定理即可．
6．（2025八下·望城期中）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
故选：C．
【分析】
平行四边形的判定，
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．（2025八下·望城期中）如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3，
，
在中，，
由作图可知，，
的值为，
故选：．
【分析】
先由数轴上两点间的距离可得OB等于3，再在中应用勾股定理可得OC的长，即OA的长度可得，再由绝对值的概念即可得点A表示的数字．
8．（2025八下·望城期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：，点为的中点，
，
故选：A．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．（2025八下·望城期中）如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
10．（2025八下·望城期中）如图，，，，，垂足分别是点，，，．则的面积是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
∠ADC=∠CEB=90°，
∠ACD+∠DAC=90°，
，
∠ACD+∠ECB=90°，
∠DAC=∠ECB，
，
△ADC≌△CEB，
，，
BE=DC=1，
在Rt△ACD中，
，
；
故选B．
【分析】
先利用一线三垂直全等模型可得△ADC≌△CEB，则BE=DC=1，再由勾股定理求得AC的长，再利用三角形面积公式 计算即可．
二、填空题（共18分）
11．（2025八下·望城期中）因式分解： =　 　
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
12．（2025八下·望城期中）已知，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可得，解得，
，
，
故答案为：．
【分析】
由二次根式有意义的条件得，则，再进行有理数的乘法即可．
13．（2025八下·望城期中）已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，∵正方形的对角线相交于点，正方形顶点D的坐标为，
∴正方形顶点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由正方形的对角线互相平分知点P是BC中点，再由中点坐标公式即可．
14．（2025八下·望城期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
15．（2025八下·望城期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=　 　．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为3．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（2025八下·望城期中）如图，在中，点D、E分别是的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E分别是的中点，
是的中位线，
，
以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
，
，
故答案为：3．
【分析】
由于AF＝AD，则由中位线的性质求出AB即可．
三、解答题（共72分）
17．（2025八下·望城期中）计算：
【答案】解：，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先化简二次根式和绝对值，并分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行实数的加减运算即可．
18．（2025八下·望城期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
把代入上式中，原式．
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式对多项式的乘法去括号，再合并同类项，最后再代值计算即可．
19．（2025八下·望城期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
（1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）2；5；等腰直角三角形
（2）解：由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
【分析】（1）连接BD，根据勾股定理可得BC，AD，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CD，再根据勾股定理逆定理可得△BCD为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：
，
，
∴，
，
∴BD=，
，
∴，
∴，
∴△ABD为直角三角形；
又因为：BD=AD=5，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：
，
，
∴，
所以△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，
=．
20．（2025八下·望城期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可利用“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）先由全等三角形的性质可得∠CEB=70°，再由对顶角相等可得∠DEF=70°，再由正方形的性质可得 ∠ADB=45°，最后再利用三角形的外角的性质即可．
21．（2025八下·望城期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求图中的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是长方形即矩形，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，，
设，则：，
在中，
即，解得：，
∴，
∴．
∴图中的面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行知，再由平行线的性质得，由折叠知，则，再利用等角对等边即可；
（2）由（1）的结论知AE=CE，则可设，即，在中利用勾股定理求出的值，则EF可得，再利用割补法，即阴影部分面积等于与面积的差．
（1）解：∵四边形是长方形即矩形，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，，
设，则：，
在中，
即，解得：，
∴，
∴．
∴图中的面积为．
22．（2025八下·望城期中）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【答案】证明：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
即DF∥BC，
∵CF//AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
解：（2）∵AB＝BC，E是AC的中点
∴BE⊥AC，
∵点D是边AB的中点，
∴AB=2BD=4，
在Rt△ABE中，，
∴AC=2AE= .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可证DF//BC，又CF//AB，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分AC，再由中点的概念可得AB，再利用勾股定理求出AE，再由中点的概念得AC等于AE的2倍即可．
23．（2025八下·望城期中）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______°；
（2）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生总人数．
【答案】（1）4，
（2）解：（人，
答：估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：4，；
【分析】
（1）首先观察条形统计图、扇形统计图，则可利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；用周角乘以类所占的百分比求出圆心角的度数即可；
（2）用样本数据估计总体数据即可．
（1）解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：4，；
（2）解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
24．（2025八下·望城期中）2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元．
（1）求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？
（2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由题意得：，
解得：.
∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元.
（2）解：由题意，设购买A款帆布袋m件，
∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元，
∴.
∵，
∴w随m的增大而增大.
∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，
∴.
∴且m为正整数.
∴当时，w有最小值，最小值为.
此时.
∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由相等关系列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买A款帆布袋m件，购买B款帆布袋件.设总费用为w元，则是关于的一次函数，且随的增大而增大，此时再利用不等关系列关于m的一元一次不等式并求出最小正整数解即可.
25．（2025八下·望城期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F．
（1）求，的度数；
（2）求证：；
（3）求的值．
【答案】（1）解：∵正方形，等边，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）证明：连接，
同法（1）可得：，
∵正方形，等边，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，交于点，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先由正方形和等边三角形的性质可得、，再由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再利用三角形外角的性质即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，由角的和差关系可得，即可得，再利用角的和差关系可得，则等角对等边；
（3）由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，则连接交于点，由角的和差关系可得，再由直角三角形30度角的性质可得，再由勾股定理可得，即有，则结果可得．
（1）解：∵正方形，等边，
∴，，
∴，
∴；
∴；
（2）连接，
同法（1）可得：，
∵正方形，等边，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）连接，交于点，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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