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湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·新邵期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A选项：，，，不能构成直角三角形三边，故A选项不符合题意；
B选项：，，，不能构成直角三角形三边，故B选项不符合题意；
C选项：，，，能构成直角三角形三边，故C选项符合题意；
D选项：，，，不能构成直角三角形三边，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
如果一个三角形的三边满足，则这个三角形是直角三角形，其中边c是斜边，其所对的角是直角．
2．（2025八下·新邵期中）下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2025八下·新邵期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】方位角；余角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：
OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），
∵OA2+OB2=900，AB2=900，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴90°-40°=50°，
∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°，
故选：C．
【分析】
先利用距离公式分别求出OA、OB的长，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形且∠AOB=90°，再利用余角求出所求的方位角即可．
4．（2025八下·新邵期中）如图，中，平分，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵平行四边形中，平分，，
∴，，，
∴，
故选：D．
【分析】
先由平行四边形的邻角互补求出，再利用角平分线的概念即可．
5．（2025八下·新邵期中）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=100°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
故选：C．
【分析】
由于菱形的两条对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，则当∠BAD=100°时∠BAC=50°或∠ABD=40°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
6．（2025八下·新邵期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴， 故答案A可以推出．
又∵在与中，，，
∴，
∴，，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C无法推出，
故选：C．
【分析】由垂直于同一条直线的两条直线平行可得AD//BC，再由HL可得，则与，而平分无法得到论证．
7．（2025八下·新邵期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：，
由作法得平分，
过点作于，
如图，
平分，，，
．
故选：A．
【分析】
由基本尺规作图可得平分，即D到AB的距离等于DC．
8．（2025八下·新邵期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（　　）
A．105° B．15° C．30° D．25°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝15°．
故选：B
【分析】
先由平行四边形的对角相等可得∠B＝∠D＝75°，再由直角三角形两锐角互余即可.
9．（2025八下·新邵期中）如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵于点
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【分析】
由旋转全等模型可得，则有，DA＝DB，再由角的和差关系结合等腰直角三角形的性质即可．
10．（2025八下·新邵期中）如图，是等腰直角三角形度，，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，（　　）
A．9 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，与交于点P，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∵，，
∴在中，根据勾股定理可得：；
故选：C．
【分析】
由等腰三角形三线合一知AD垂直平分BC，则连接PB可得PB＝PC，显然当B、P、E三点共线时值最小，最小值即BE的长，再利用勾股定理求出BE长即可．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025八下·新邵期中）若直角三角形两边长分别为3，4，则斜边的中线长为　 　．
【答案】或2
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：当3和4均为直角边时，
斜边，
则斜边上的中线等于，
当3为直角边，4为斜边时，
则斜边上的中线等于2，
所以，斜边上的中线长为或2，
故答案为：或2．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再分两种情况讨论，当3和4均为直角边时，先利用勾股定理求出斜边，再利用斜边上的中线的性质，当3为直角边，4为斜边时，直接写出答案即可．
12．（2025八下·新邵期中）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为　 　．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，进而即可得到，从而即可求解。
13．（2025八下·新邵期中）2025边形的外角和等于　 　．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形外角和为，
∴边形的外角和等于，
故答案为： ．
【分析】
任意多边形外角和为．
14．（2025八下·新邵期中）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
【分析】
由基本尺规作图可判定四边形为菱形，再菱形面积的计算公式即可．
15．（2025八下·新邵期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B'处，AB'与y轴交于点D，则点D的坐标为　 　．
【答案】（0，-）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，∠B'AC=∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC//AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B'AC=∠DCA，
∴AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
，即，
解得：x=，
∴点D的坐标为：（0，），
故答案为（0，）．
【分析】由矩形的性质结合翻折可得DA＝DC，设OD＝x，则CD可用含x的代数式表示，再在Rt△AOD中应用勾股定理求出OD即可.
16．（2025八下·新邵期中）如果点在第一象限，则点在第　 　象限．
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解；∵点在第一象限，
∴，
∴，，
∴点在第二象限，
故答案为；二．
【分析】
由于第一象限内的点横纵坐标都为正，则可得，所以，再根据第二象限的点的坐标特征即可．
17．（2025八下·新邵期中）如图，在△ABC中，AB=6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF=3FE，当AF⊥BF时，BC的长是　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，又D是AB的中点，
∴DF=AB=3，
∵DF=3FE，
∴EF=1，
∴DE=4，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=8，
故答案为：8．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线性质求出DF，再利用已知求DE，再应用中位线定理计算即可．
18．（2025八下·新邵期中）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：，
，，
，，
设，则在中，
在中，
即．
当落在边上时，如图（2）
因为折叠，
．
故答案为：或
【分析】
由于折叠后点D·不可能落在AC上，因此可分两种情况讨论，即当点D`恰好边上或在BC边上，对于在AB上时，可过点C作AB上的高CE，则点A`必然在射线CE上，由折叠的性质结合等腰三角形三线合一知DE=D`E、AD=A`D=A`D`，，再由直角三角形两锐角互余可得，再由直角三角形中30度的性质可得A`E等于A`D即AD的一半，可设AD=x，则，再利用直角三角形中30度的性质结合勾股定理求出CD，又AC=A`C，则A`E可得，即AD可得；
当D`落在BC上时，由折叠的性质可得CD恰好为AB年的高，此时利用直角三角形中30度角的性质可直接得AD的长，即A`D`的长可得．
三、解答题（共66分，其中19、20题6分，21、22、23题各8分，24、25、26题各10分．）
19．（2025八下·新邵期中）如图在中，于点E，，，．
求证：平分．
【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
又，
，
，
，
，
，即平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】先由勾股定理求得BC，则有AD＝DE，再应用等边对等角结合平行四边形的对边平行即可．
20．（2025八下·新邵期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，
求证：BE＝FG．
【答案】证明：如图，连接DE，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∵在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC＝90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴DE＝FG，
∴BE=FG．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由于矩形的对角线相等，则连接DE，可得DE＝GF，再利用正方形的性质可利用翻折全等模型证明△ABE≌△ADE结合等量代换即可．
21．（2025八下·新邵期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
【答案】解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【知识点】勾股定理；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用一线三垂直全等模型证明两三角形全等即可；
（2）观察图形知，AD=4a，BE=3a，再艇全等的性质可得DC=BE=3a，再利用由勾股定理可得可得关于a的一元二次方程并求出正数解即可．
22．（2025八下·新邵期中）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；异侧一线三等角全等模型（锐角）；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用一线三等角全等模型证明，即可证明；
（2）由全等三角形的对应角相等结合三角形外角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再利用直角三角形中30度角的性质即可．
（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（2025八下·新邵期中）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
（1）求证：互相平分；
（2）若，求四边形的周长和面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）解：∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由角平分线的概念结合平行四边形的对边平行可得，再由等边对等角可得AE＝AD，同理CF＝BC，又AB＝CD，则有DF＝BE，即可证四边形DEBF是平行四边形即可；
（2）由于可证是等边三角形，则过D点作于点G，由等腰三角形三线合一可得DG垂直平分AE，再利用直角三角形30度角的性质结合勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
24．（2025八下·新邵期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（3）证明：如图，设AC与BD交于点Q．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠AQD=∠BDC+∠ACD=∠BDP+∠PDC+∠ACD=∠ACP+∠PDC+∠ACD=∠PCD+∠PDC=90°，
∴ACBD，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴EHGH，即∠EHG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【分析】
（1）连接BD，由三角形中位线定理可得EH与FG平行且相等即可．
（2）连接AC、BD，则利用手拉手全等模型可证明△APC≌△BPD，则AC=BD，再利用三角形中位线定理证明EF=FG即可由定义得平行四边形EFGH是菱形．
（3）证明正方形可先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形，由于已知四边形EFGH是菱形，只需证明其一个角为90°即可，由于△APC≌△BPD，则∠ACP=∠BDP，再利用三角形外角的性质结合直角三角形两锐角互余即可．
25．（2025八下·新邵期中）已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点E，点P是线段上一定点（其中）
（1）如图1，若点F在边上（不与D重合），将绕点P逆时针旋转后，角的两边分别交射线于点H、G．
①求证：；
②探究：之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在的延长线上（不与D重合），过点P作，交射线于点G，你认为（1）中之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
由①知，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，数量关系式应为：，如图，过点P作交射线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵平分，且在矩形中，，
∴，得到为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】
（1）①先由旋转的性质、矩形的性质结合角平分线的概念可证，再利用旋转全等模型证明即可；
②由全等的性质可得HG＝FD，即DH＝DF+DG，再利用勾股定理可得；
（2）过点P作交射线于点H，则可证为等腰直角三角形，再利用旋转全等模型证明，即有DH＝DG-DF，则由勾股定理可得．
（1）解：①∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
由①知，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，数量关系式应为：，
如图，过点P作交射线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵平分，且在矩形中，，
∴，得到为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴
∴
26．（2025八下·新邵期中）我们知道：直角三角形斜边上中线于斜边的一半．爱好数学研究的剑汇同学进一步思考：如图1，在中，，斜边上除了中点外还有没有一点，使得？如果存在，我们不妨纰将该线段称为“剑汇线”
（1）命题：任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”，该命题是　　命题．（填“真”或“假”；
（2）已知在中，，，存在“剑汇线”．若．
①当时，求的长；
②随着的变化，的长也变化，直接写出的变化范围．
【答案】（1）假
（2）解：①如图1中，过点作于点．
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
或（负根舍去），
．
②如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形，
，
，
．
如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形，
，
当三角形为等腰直角三角形时，“剑汇线”不存在，此时，
综上所述，，且．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：由等腰直角三角形不存在“剑汇线”，则任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”是假命题．
故答案为：假．
【分析】
（1）由于等腰直角三角形不存在“剑汇线”，可利用反证法进行证明；
（2）①由于等腰三角形三线合一，可过点C作AB的垂线段CH，则DH=PH=1，此时可设CD=x，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=x，即AH=x+1，再利用勾股定理可列关于x的方程并求解即可；
②由于点P的位置不确定，即点P可能在点D的左侧也可能在其右侧，在左侧时CP的最大值等于CA，在右侧时CP的最大值为CB，再分别求出CA和CB的值即可得CP即AD的值，又因为等腰直角三角形不存在剑汇线，则CP不等于．
（1）解：由等腰直角三角形不存在“剑汇线”，则任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：①如图1中，过点作于点．
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
或（负根舍去），
．
②如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形，
，
，
．
如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形，
，
当三角形为等腰直角数学三角形时，“剑汇线”不存在，此时，
综上所述，，且．
1 / 1湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·新邵期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（2025八下·新邵期中）下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·新邵期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·新邵期中）如图，中，平分，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·新邵期中）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·新邵期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（　　）
A． B． C．平分 D．
7．（2025八下·新邵期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是(　　)
A． B． C． D．
8．（2025八下·新邵期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（　　）
A．105° B．15° C．30° D．25°
9．（2025八下·新邵期中）如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·新邵期中）如图，是等腰直角三角形度，，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，（　　）
A．9 B．6 C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2025八下·新邵期中）若直角三角形两边长分别为3，4，则斜边的中线长为　 　．
12．（2025八下·新邵期中）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为　 　．
13．（2025八下·新邵期中）2025边形的外角和等于　 　．
14．（2025八下·新邵期中）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是　 　．
15．（2025八下·新邵期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B'处，AB'与y轴交于点D，则点D的坐标为　 　．
16．（2025八下·新邵期中）如果点在第一象限，则点在第　 　象限．
17．（2025八下·新邵期中）如图，在△ABC中，AB=6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF=3FE，当AF⊥BF时，BC的长是　 　．
18．（2025八下·新邵期中）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为　 　．
三、解答题（共66分，其中19、20题6分，21、22、23题各8分，24、25、26题各10分．）
19．（2025八下·新邵期中）如图在中，于点E，，，．
求证：平分．
20．（2025八下·新邵期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，
求证：BE＝FG．
21．（2025八下·新邵期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
22．（2025八下·新邵期中）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2025八下·新邵期中）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
（1）求证：互相平分；
（2）若，求四边形的周长和面积．
24．（2025八下·新邵期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
25．（2025八下·新邵期中）已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点E，点P是线段上一定点（其中）
（1）如图1，若点F在边上（不与D重合），将绕点P逆时针旋转后，角的两边分别交射线于点H、G．
①求证：；
②探究：之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在的延长线上（不与D重合），过点P作，交射线于点G，你认为（1）中之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
26．（2025八下·新邵期中）我们知道：直角三角形斜边上中线于斜边的一半．爱好数学研究的剑汇同学进一步思考：如图1，在中，，斜边上除了中点外还有没有一点，使得？如果存在，我们不妨纰将该线段称为“剑汇线”
（1）命题：任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”，该命题是　　命题．（填“真”或“假”；
（2）已知在中，，，存在“剑汇线”．若．
①当时，求的长；
②随着的变化，的长也变化，直接写出的变化范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A选项：，，，不能构成直角三角形三边，故A选项不符合题意；
B选项：，，，不能构成直角三角形三边，故B选项不符合题意；
C选项：，，，能构成直角三角形三边，故C选项符合题意；
D选项：，，，不能构成直角三角形三边，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
如果一个三角形的三边满足，则这个三角形是直角三角形，其中边c是斜边，其所对的角是直角．
2．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】C
【知识点】方位角；余角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：
OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），
∵OA2+OB2=900，AB2=900，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴90°-40°=50°，
∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°，
故选：C．
【分析】
先利用距离公式分别求出OA、OB的长，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形且∠AOB=90°，再利用余角求出所求的方位角即可．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵平行四边形中，平分，，
∴，，，
∴，
故选：D．
【分析】
先由平行四边形的邻角互补求出，再利用角平分线的概念即可．
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=100°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
故选：C．
【分析】
由于菱形的两条对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，则当∠BAD=100°时∠BAC=50°或∠ABD=40°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴， 故答案A可以推出．
又∵在与中，，，
∴，
∴，，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C无法推出，
故选：C．
【分析】由垂直于同一条直线的两条直线平行可得AD//BC，再由HL可得，则与，而平分无法得到论证．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：，
由作法得平分，
过点作于，
如图，
平分，，，
．
故选：A．
【分析】
由基本尺规作图可得平分，即D到AB的距离等于DC．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝15°．
故选：B
【分析】
先由平行四边形的对角相等可得∠B＝∠D＝75°，再由直角三角形两锐角互余即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵于点
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【分析】
由旋转全等模型可得，则有，DA＝DB，再由角的和差关系结合等腰直角三角形的性质即可．
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，与交于点P，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∵，，
∴在中，根据勾股定理可得：；
故选：C．
【分析】
由等腰三角形三线合一知AD垂直平分BC，则连接PB可得PB＝PC，显然当B、P、E三点共线时值最小，最小值即BE的长，再利用勾股定理求出BE长即可．
11．【答案】或2
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；分类讨论
【解析】【解答】解：当3和4均为直角边时，
斜边，
则斜边上的中线等于，
当3为直角边，4为斜边时，
则斜边上的中线等于2，
所以，斜边上的中线长为或2，
故答案为：或2．
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再分两种情况讨论，当3和4均为直角边时，先利用勾股定理求出斜边，再利用斜边上的中线的性质，当3为直角边，4为斜边时，直接写出答案即可．
12．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，进而即可得到，从而即可求解。
13．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形外角和为，
∴边形的外角和等于，
故答案为： ．
【分析】
任意多边形外角和为．
14．【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
【分析】
由基本尺规作图可判定四边形为菱形，再菱形面积的计算公式即可．
15．【答案】（0，-）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，∠B'AC=∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC//AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B'AC=∠DCA，
∴AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
，即，
解得：x=，
∴点D的坐标为：（0，），
故答案为（0，）．
【分析】由矩形的性质结合翻折可得DA＝DC，设OD＝x，则CD可用含x的代数式表示，再在Rt△AOD中应用勾股定理求出OD即可.
16．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解；∵点在第一象限，
∴，
∴，，
∴点在第二象限，
故答案为；二．
【分析】
由于第一象限内的点横纵坐标都为正，则可得，所以，再根据第二象限的点的坐标特征即可．
17．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，又D是AB的中点，
∴DF=AB=3，
∵DF=3FE，
∴EF=1，
∴DE=4，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=8，
故答案为：8．
【分析】
先由直角三角形斜边上的中线性质求出DF，再利用已知求DE，再应用中位线定理计算即可．
18．【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：，
，，
，，
设，则在中，
在中，
即．
当落在边上时，如图（2）
因为折叠，
．
故答案为：或
【分析】
由于折叠后点D·不可能落在AC上，因此可分两种情况讨论，即当点D`恰好边上或在BC边上，对于在AB上时，可过点C作AB上的高CE，则点A`必然在射线CE上，由折叠的性质结合等腰三角形三线合一知DE=D`E、AD=A`D=A`D`，，再由直角三角形两锐角互余可得，再由直角三角形中30度的性质可得A`E等于A`D即AD的一半，可设AD=x，则，再利用直角三角形中30度的性质结合勾股定理求出CD，又AC=A`C，则A`E可得，即AD可得；
当D`落在BC上时，由折叠的性质可得CD恰好为AB年的高，此时利用直角三角形中30度角的性质可直接得AD的长，即A`D`的长可得．
19．【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
又，
，
，
，
，
，即平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】先由勾股定理求得BC，则有AD＝DE，再应用等边对等角结合平行四边形的对边平行即可．
20．【答案】证明：如图，连接DE，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∵在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC＝90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴DE＝FG，
∴BE=FG．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由于矩形的对角线相等，则连接DE，可得DE＝GF，再利用正方形的性质可利用翻折全等模型证明△ABE≌△ADE结合等量代换即可．
21．【答案】解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【知识点】勾股定理；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用一线三垂直全等模型证明两三角形全等即可；
（2）观察图形知，AD=4a，BE=3a，再艇全等的性质可得DC=BE=3a，再利用由勾股定理可得可得关于a的一元二次方程并求出正数解即可．
22．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；异侧一线三等角全等模型（锐角）；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用一线三等角全等模型证明，即可证明；
（2）由全等三角形的对应角相等结合三角形外角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再利用直角三角形中30度角的性质即可．
（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）解：∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由角平分线的概念结合平行四边形的对边平行可得，再由等边对等角可得AE＝AD，同理CF＝BC，又AB＝CD，则有DF＝BE，即可证四边形DEBF是平行四边形即可；
（2）由于可证是等边三角形，则过D点作于点G，由等腰三角形三线合一可得DG垂直平分AE，再利用直角三角形30度角的性质结合勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
24．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（3）证明：如图，设AC与BD交于点Q．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠AQD=∠BDC+∠ACD=∠BDP+∠PDC+∠ACD=∠ACP+∠PDC+∠ACD=∠PCD+∠PDC=90°，
∴ACBD，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴EHGH，即∠EHG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【分析】
（1）连接BD，由三角形中位线定理可得EH与FG平行且相等即可．
（2）连接AC、BD，则利用手拉手全等模型可证明△APC≌△BPD，则AC=BD，再利用三角形中位线定理证明EF=FG即可由定义得平行四边形EFGH是菱形．
（3）证明正方形可先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形，由于已知四边形EFGH是菱形，只需证明其一个角为90°即可，由于△APC≌△BPD，则∠ACP=∠BDP，再利用三角形外角的性质结合直角三角形两锐角互余即可．
25．【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
由①知，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，数量关系式应为：，如图，过点P作交射线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵平分，且在矩形中，，
∴，得到为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】
（1）①先由旋转的性质、矩形的性质结合角平分线的概念可证，再利用旋转全等模型证明即可；
②由全等的性质可得HG＝FD，即DH＝DF+DG，再利用勾股定理可得；
（2）过点P作交射线于点H，则可证为等腰直角三角形，再利用旋转全等模型证明，即有DH＝DG-DF，则由勾股定理可得．
（1）解：①∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
由①知，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，数量关系式应为：，
如图，过点P作交射线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵平分，且在矩形中，，
∴，得到为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴
∴
26．【答案】（1）假
（2）解：①如图1中，过点作于点．
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
或（负根舍去），
．
②如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形，
，
，
．
如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形，
，
当三角形为等腰直角三角形时，“剑汇线”不存在，此时，
综上所述，，且．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：由等腰直角三角形不存在“剑汇线”，则任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”是假命题．
故答案为：假．
【分析】
（1）由于等腰直角三角形不存在“剑汇线”，可利用反证法进行证明；
（2）①由于等腰三角形三线合一，可过点C作AB的垂线段CH，则DH=PH=1，此时可设CD=x，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=x，即AH=x+1，再利用勾股定理可列关于x的方程并求解即可；
②由于点P的位置不确定，即点P可能在点D的左侧也可能在其右侧，在左侧时CP的最大值等于CA，在右侧时CP的最大值为CB，再分别求出CA和CB的值即可得CP即AD的值，又因为等腰直角三角形不存在剑汇线，则CP不等于．
（1）解：由等腰直角三角形不存在“剑汇线”，则任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：①如图1中，过点作于点．
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
或（负根舍去），
．
②如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形，
，
，
．
如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形，
，
当三角形为等腰直角数学三角形时，“剑汇线”不存在，此时，
综上所述，，且．
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