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四川省成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025七下·青羊期中）在数学活动课中，同学们利用七巧板拼凑出了下列图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．（2025七下·青羊期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项运算错误；
B、，原选项运算错误；
C、，原选项运算错误；
D、，原选项运算正确.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断D选项.
3．（2025七下·青羊期中）蜀绣又名“川绣”，是在丝绸或其他织物上采用桑蚕丝绣出花纹图案的中国传统工艺，主要指以四川成都为中心的川西平原一带的刺绣．已知某桑蚕丝的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
4．（2025七下·青羊期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
解：A、，符合平方差公式的结构，符合题意；
B、，是完全平方公式，不符合题意；
C、，是完全平方公式，不符合题意；
D、，不存在完全相同的项和互为相反数的项，不符合题意；
故选：A.
【分析】本题考查了平方差公式，关键是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即.
5．（2025七下·青羊期中）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为（　　）
A．3 B．7 C．3或7 D．13或17
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：等腰三角形的两腰长度相等，因此第三边的长度可能为3或7；
当第三边长为3时，三角形的三边长为3、3、7，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，无法构成三角形；
当第三边长为7时，三角形的三边长为3、7、7，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
综上，第三边长为7，
故选：B.
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，关键是分情况讨论第三边的长度，再根据三边关系验证能否构成三角形.
6．（2025七下·青羊期中）一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-∠B=60°.
∵，
∴CAF=CAB-∠BAF=60°-10°=50°.
∵，
∴.
故选：C.
【分析】本题考查了平行线的性质，先求出∠CAB 的度数，再得到∠CAF 的度数，最后利用直尺对边平行的特征，结合平行线的性质得到∠CED =∠CAF ，进而求出∠CED 的大小。
7．（2025七下·青羊期中）如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（　　）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：在△ABC和△MBC中：，
∴△ABC≌△MBC(ASA)，
∴米；
故选：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是利用ASA证明△ABC≌△MBC，再根据全等三角形的对应边相等得到AB的长度.
8．（2025七下·青羊期中）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（　　）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：作的作法，右图可知：
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点F，E；
②以点C为圆心，以为半径画圆，交射线于点G；
③以点G为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线即可得出，则．
故选：D．
【分析】
基本尺规作图作一个角等于已知角的核心是用SSS构造全等三角形，观察作图痕迹知CG=CM=OE=OF，因此是以G为圆心EF长为半径得到的．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025七下·青羊期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】
解：
.
故答案为：-1.
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，关键是掌握积的乘方公式，逆用公式简化计算.
10．（2025七下·青羊期中）已知与互余，且，则的补角是　 　 度．
【答案】137
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：由题意得，．
的补角是．
故答案为：137．
【分析】根据和为90°的两个角互为余角可求出∠B=43°，进而根据和为180°的两个角互为补角，可求出∠B的补角.
11．（2025七下·青羊期中）小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是　 　
【答案】8或-8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据完全平方公式可得，
题目中的多项式可以化成：，两种完全平方公式，
故答案为：8或．
【分析】
本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式可得，x前面的数字有2种可能，化成完全平方公式的形式即可得出答案．
12．（2025七下·青羊期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则∠CAB的度数为 　 　度．
【答案】80
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，设该长方形纸片为长方形DEFG，四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM．
∵四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM，
∴∠DBC=∠ABC．
∵四边形DEFG是长方形，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查平行线的性质，关键是先利用折叠的性质得到∠DBC =∠ABC ，再结合长方形对边平行的特征，由平行线的内错角相等推出∠DBC =∠ACB，进而确定∠ABC 的度数，随后通求出∠EBA 的度数，最后依据平行线的内错角相等关系，得出∠CAB =∠EBA 相等，从而算出∠CAB 的度数．
13．（2025七下·青羊期中）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是　 　．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】
解：在△PAB中，∵，，，
∴，即；
∵AB的长度为偶数，
∴AB可取的值为4、6、8、10，其中最大的为10.
故答案为：10.
【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是根据三边关系确定AB的取值范围，再结合偶数的条件找到最大值.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·青羊期中）（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方、单项式乘多项式、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式等知识点，关键是掌握相关运算法则，按运算顺序计算.
（1）根据绝对值、零指数幂、乘方、负整数指数幂的运算法则计算；
（2）先计算单项式乘多项式与积的乘方，再计算多项式除以单项式：
（3）先计算单项式乘多项式与平方差公式，再合并同类项。
15．（2025七下·青羊期中）先化简再求值： 其中 ， .
【答案】解：原式=（9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷（-2b）
=（-4b2+6ab）÷（-2b）
=2b-3a，
当a=- ，b=-2时，
原式=-4+1=-3．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
16．（2025七下·青羊期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找一点P，使的长最短．
【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：的面积为；
（3）解：如图，点P即为所求：
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质、网格中三角形面积的计算以及轴对称最短路径问题，关键是熟练运用轴对称作图规则、割补法求面积和两点之间线段最短的原理．
（1）根据轴对称的性质，分别找出点A、B、C关于直线MN的对称点，再顺次连接各对称点即可画出对称三角形；
（2）采用割补法，先算出包围△ABC的最小长方形面积，再减去三个空白直角三角形的面积，从而得到△ABC的面积；
（3）利用轴对称转化线段，点C的对称点是点F，连接CF，所得线段与直线MN的交点就是使PB+PC最短的点P．
（1）解：如图，即为所作：
（2）解：的面积为
（3）解：如图，点P即为所求：
17．（2025七下·青羊期中）如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
，，
（___________）．
____________________（__________）．
__________（__________）．
又，
________（等式的性质）．
即
（__________）．
【答案】证明：连接，，，
（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又，
（等式的性质），
即，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；，，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定与性质等知识点，关键是通过垂直关系先判定两条线段平行，再利用平行线的性质得到角相等，结合已知角相等，通过角的和差得到内错角相等，从而证明两条直线平行.
18．（2025七下·青羊期中）已知中，，．延长至点，使得．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，过点作的平行线，与过点且平分的直线相交于．当点落在的延长线上时：
①试判断与的数量关系，并证明；
②已知，求的长．（提示：直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）解：①，理由如下，
证明：连接，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，
；
②，
，
设，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质、等角对等边以及含30°角的直角三角形的性质，关键是结合图形中的边角关系，利用全等判定定理、平行线与角平分线的性质推导角相等，再借助特殊三角形的性质完成证明与计算.
（1）先由∠ACB=90°推出∠ACD=∠BCE=90°，再结合已知的AC=BC、CD=CE，根据SAS判定定理即可证明△ACD≌△BCE；
（2）①先根据等腰直角三角形的性质得∠CAB=∠CBA=45°，结合EF∥BC的平行线性质推出∠EAF=∠EFA=45°，再利用角平分线的定义和平行线的内错角相等推导角的等量关系，进而证得∠DAF=∠AFD，根据等角对等边判断出AD=FD；
②结合①的结论和角平分线的性质推出∠DAC=30°，再依据含30°角的直角三角形的性质，结合已知CM=4建立其与AC的数量关系，从而计算出AC的长度.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：①，理由如下，
证明：连接，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，
；
②，
，
设，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025七下·青羊期中）我们规定：，例如，那么等于　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题考查了新定义，同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
20．（2025七下·青羊期中）若，则　 　.
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式
，
故答案为：4．
【分析】
本题主要考查代数式的求值，先根据平方差公式把变形，代入，再进一步化简代入即可求出．
21．（2025七下·青羊期中）如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为　 　 cm
【答案】6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，
所以AD=A'D，AE=A'E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A'D+A'E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=6cm．
【分析】
本题考查翻折变换（折叠问题）． 由题意得，AD=A'D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
22．（2025七下·青羊期中）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为　 　
【答案】30°或120°
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝3x°﹣60°，
分两种情况：
①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即3x﹣60＝90+90﹣x，
x＝60°，
∴∠COD＝3×60°﹣60°＝120°；
②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
x+90＝3x﹣60+90，
x＝30°，
∴∠COD＝30°，
综上所述，∠COD的度数为30°或120°，
故答案为：30°或120°.
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论.
23．（2025七下·青羊期中）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当　 　时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·青羊期中）生活中的数学：
（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是______；
（2）如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____；
（3）如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点E是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由．
【答案】（1）三角形具有稳定性
（2）垂线段最短
（3）解：合理，理由如下：
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）解：过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）先用ASA证明，根据全等三角形的性质对应边相等可得，从而可解．
（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
（3）合理，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
25．（2025七下·青羊期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
（1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
（2）若，，运用你所得到的公式，试求的值；
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度．
【答案】（1），
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景、完全平方公式的变形应用、代数式求值，关键是通过几何图形的面积关系推导出完全平方公式的变形，再利用这些变形解决代数求值和几何线段长度的问题.
（1）观察图2中阴影正方形的边长，再通过两种不同的面积计算方法，得到、、之间的等量关系；
（2）①直接运用得到的公式变形，将已知的和的值代入，完成代数式的求值；
②先设出线段、的长度，根据正方形面积和与阴影三角形面积得到和的值，再利用完全平方公式计算出，最后根据线段长度为正的实际意义，求出的长度。
（1）解：由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
26．（2025七下·青羊期中）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
∴，，
由（1）得，∴，
即：，
过点G作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：的值为，，，，，秒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当继续旋转到与重合之后，则，
∴旋转了，
∴，
解得：（秒）；
⑤当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒）；
⑥当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒），
故的值为，，，，，秒．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的性质以及分类讨论的数学思想，关键是通过作辅助线转化角度关系，结合角平分线、垂直等条件推导角度和或数量关系，再在旋转问题中分类讨论射线与三角形边平行的不同情况.
（1）过点C作辅助线平行于MN，利用平行线的传递性和内错角相等，将∠AEC与∠BFC转化为∠ECF的两个组成角，结合CE⊥CF的条件直接求出两角和；
（2）先设角平分线分出的角为α、β，利用（1）的结论建立∠ECF与α、β的关系式，再通过过点G作平行线，结合内错角相等得到∠G与α、β的关系，消去参数后推导出∠ECF和∠G的数量关系；
（3）先根据已知的垂直和角度条件求出初始相关角度，确定射线FG的旋转速度，再分FG与△AEC三边分别平行的情况，每种情况根据平行线的判定条件找到对应旋转角度，进而计算出运动时间t.
（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
∴，，
由（1）得，即：，
，即：，
过点G作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当继续旋转到与重合之后，则，
∴旋转了，
∴，
解得：（秒）；
⑤当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒）；
⑥当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒），
故的值为，，，，，秒．
1 / 1四川省成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025七下·青羊期中）在数学活动课中，同学们利用七巧板拼凑出了下列图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·青羊期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·青羊期中）蜀绣又名“川绣”，是在丝绸或其他织物上采用桑蚕丝绣出花纹图案的中国传统工艺，主要指以四川成都为中心的川西平原一带的刺绣．已知某桑蚕丝的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·青羊期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青羊期中）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为（　　）
A．3 B．7 C．3或7 D．13或17
6．（2025七下·青羊期中）一把直尺和一个含角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且，那么的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·青羊期中）如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（　　）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
8．（2025七下·青羊期中）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（　　）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025七下·青羊期中）计算：　 　．
10．（2025七下·青羊期中）已知与互余，且，则的补角是　 　 度．
11．（2025七下·青羊期中）小明做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是　 　
12．（2025七下·青羊期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则∠CAB的度数为 　 　度．
13．（2025七下·青羊期中）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·青羊期中）（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
15．（2025七下·青羊期中）先化简再求值： 其中 ， .
16．（2025七下·青羊期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找一点P，使的长最短．
17．（2025七下·青羊期中）如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
，，
（___________）．
____________________（__________）．
__________（__________）．
又，
________（等式的性质）．
即
（__________）．
18．（2025七下·青羊期中）已知中，，．延长至点，使得．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，过点作的平行线，与过点且平分的直线相交于．当点落在的延长线上时：
①试判断与的数量关系，并证明；
②已知，求的长．（提示：直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025七下·青羊期中）我们规定：，例如，那么等于　 　．
20．（2025七下·青羊期中）若，则　 　.
21．（2025七下·青羊期中）如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为　 　 cm
22．（2025七下·青羊期中）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为　 　
23．（2025七下·青羊期中）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当　 　时，为直角三角形．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·青羊期中）生活中的数学：
（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是______；
（2）如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____；
（3）如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点E是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由．
25．（2025七下·青羊期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
（1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
（2）若，，运用你所得到的公式，试求的值；
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度．
26．（2025七下·青羊期中）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项运算错误；
B、，原选项运算错误；
C、，原选项运算错误；
D、，原选项运算正确.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
解：A、，符合平方差公式的结构，符合题意；
B、，是完全平方公式，不符合题意；
C、，是完全平方公式，不符合题意；
D、，不存在完全相同的项和互为相反数的项，不符合题意；
故选：A.
【分析】本题考查了平方差公式，关键是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：等腰三角形的两腰长度相等，因此第三边的长度可能为3或7；
当第三边长为3时，三角形的三边长为3、3、7，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，无法构成三角形；
当第三边长为7时，三角形的三边长为3、7、7，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
综上，第三边长为7，
故选：B.
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，关键是分情况讨论第三边的长度，再根据三边关系验证能否构成三角形.
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】
解：由题意可知，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-∠B=60°.
∵，
∴CAF=CAB-∠BAF=60°-10°=50°.
∵，
∴.
故选：C.
【分析】本题考查了平行线的性质，先求出∠CAB 的度数，再得到∠CAF 的度数，最后利用直尺对边平行的特征，结合平行线的性质得到∠CED =∠CAF ，进而求出∠CED 的大小。
7．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：在△ABC和△MBC中：，
∴△ABC≌△MBC(ASA)，
∴米；
故选：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是利用ASA证明△ABC≌△MBC，再根据全等三角形的对应边相等得到AB的长度.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：作的作法，右图可知：
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点F，E；
②以点C为圆心，以为半径画圆，交射线于点G；
③以点G为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线即可得出，则．
故选：D．
【分析】
基本尺规作图作一个角等于已知角的核心是用SSS构造全等三角形，观察作图痕迹知CG=CM=OE=OF，因此是以G为圆心EF长为半径得到的．
9．【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】
解：
.
故答案为：-1.
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，关键是掌握积的乘方公式，逆用公式简化计算.
10．【答案】137
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：由题意得，．
的补角是．
故答案为：137．
【分析】根据和为90°的两个角互为余角可求出∠B=43°，进而根据和为180°的两个角互为补角，可求出∠B的补角.
11．【答案】8或-8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据完全平方公式可得，
题目中的多项式可以化成：，两种完全平方公式，
故答案为：8或．
【分析】
本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式可得，x前面的数字有2种可能，化成完全平方公式的形式即可得出答案．
12．【答案】80
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，设该长方形纸片为长方形DEFG，四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM．
∵四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM，
∴∠DBC=∠ABC．
∵四边形DEFG是长方形，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查平行线的性质，关键是先利用折叠的性质得到∠DBC =∠ABC ，再结合长方形对边平行的特征，由平行线的内错角相等推出∠DBC =∠ACB，进而确定∠ABC 的度数，随后通求出∠EBA 的度数，最后依据平行线的内错角相等关系，得出∠CAB =∠EBA 相等，从而算出∠CAB 的度数．
13．【答案】10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】
解：在△PAB中，∵，，，
∴，即；
∵AB的长度为偶数，
∴AB可取的值为4、6、8、10，其中最大的为10.
故答案为：10.
【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是根据三边关系确定AB的取值范围，再结合偶数的条件找到最大值.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方、单项式乘多项式、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式等知识点，关键是掌握相关运算法则，按运算顺序计算.
（1）根据绝对值、零指数幂、乘方、负整数指数幂的运算法则计算；
（2）先计算单项式乘多项式与积的乘方，再计算多项式除以单项式：
（3）先计算单项式乘多项式与平方差公式，再合并同类项。
15．【答案】解：原式=（9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2）÷（-2b）
=（-4b2+6ab）÷（-2b）
=2b-3a，
当a=- ，b=-2时，
原式=-4+1=-3．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：的面积为；
（3）解：如图，点P即为所求：
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质、网格中三角形面积的计算以及轴对称最短路径问题，关键是熟练运用轴对称作图规则、割补法求面积和两点之间线段最短的原理．
（1）根据轴对称的性质，分别找出点A、B、C关于直线MN的对称点，再顺次连接各对称点即可画出对称三角形；
（2）采用割补法，先算出包围△ABC的最小长方形面积，再减去三个空白直角三角形的面积，从而得到△ABC的面积；
（3）利用轴对称转化线段，点C的对称点是点F，连接CF，所得线段与直线MN的交点就是使PB+PC最短的点P．
（1）解：如图，即为所作：
（2）解：的面积为
（3）解：如图，点P即为所求：
17．【答案】证明：连接，，，
（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又，
（等式的性质），
即，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；，，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定与性质等知识点，关键是通过垂直关系先判定两条线段平行，再利用平行线的性质得到角相等，结合已知角相等，通过角的和差得到内错角相等，从而证明两条直线平行.
18．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）解：①，理由如下，
证明：连接，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，
；
②，
，
设，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质、等角对等边以及含30°角的直角三角形的性质，关键是结合图形中的边角关系，利用全等判定定理、平行线与角平分线的性质推导角相等，再借助特殊三角形的性质完成证明与计算.
（1）先由∠ACB=90°推出∠ACD=∠BCE=90°，再结合已知的AC=BC、CD=CE，根据SAS判定定理即可证明△ACD≌△BCE；
（2）①先根据等腰直角三角形的性质得∠CAB=∠CBA=45°，结合EF∥BC的平行线性质推出∠EAF=∠EFA=45°，再利用角平分线的定义和平行线的内错角相等推导角的等量关系，进而证得∠DAF=∠AFD，根据等角对等边判断出AD=FD；
②结合①的结论和角平分线的性质推出∠DAC=30°，再依据含30°角的直角三角形的性质，结合已知CM=4建立其与AC的数量关系，从而计算出AC的长度.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：①，理由如下，
证明：连接，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，
；
②，
，
设，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题考查了新定义，同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
20．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式
，
故答案为：4．
【分析】
本题主要考查代数式的求值，先根据平方差公式把变形，代入，再进一步化简代入即可求出．
21．【答案】6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，
所以AD=A'D，AE=A'E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A'D+A'E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=6cm．
【分析】
本题考查翻折变换（折叠问题）． 由题意得，AD=A'D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
22．【答案】30°或120°
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝3x°﹣60°，
分两种情况：
①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即3x﹣60＝90+90﹣x，
x＝60°，
∴∠COD＝3×60°﹣60°＝120°；
②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
x+90＝3x﹣60+90，
x＝30°，
∴∠COD＝30°，
综上所述，∠COD的度数为30°或120°，
故答案为：30°或120°.
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论.
23．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
24．【答案】（1）三角形具有稳定性
（2）垂线段最短
（3）解：合理，理由如下：
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）解：过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）先用ASA证明，根据全等三角形的性质对应边相等可得，从而可解．
（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
（3）合理，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
25．【答案】（1），
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景、完全平方公式的变形应用、代数式求值，关键是通过几何图形的面积关系推导出完全平方公式的变形，再利用这些变形解决代数求值和几何线段长度的问题.
（1）观察图2中阴影正方形的边长，再通过两种不同的面积计算方法，得到、、之间的等量关系；
（2）①直接运用得到的公式变形，将已知的和的值代入，完成代数式的求值；
②先设出线段、的长度，根据正方形面积和与阴影三角形面积得到和的值，再利用完全平方公式计算出，最后根据线段长度为正的实际意义，求出的长度。
（1）解：由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
26．【答案】（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
∴，，
由（1）得，∴，
即：，
过点G作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：的值为，，，，，秒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当继续旋转到与重合之后，则，
∴旋转了，
∴，
解得：（秒）；
⑤当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒）；
⑥当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒），
故的值为，，，，，秒．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的性质以及分类讨论的数学思想，关键是通过作辅助线转化角度关系，结合角平分线、垂直等条件推导角度和或数量关系，再在旋转问题中分类讨论射线与三角形边平行的不同情况.
（1）过点C作辅助线平行于MN，利用平行线的传递性和内错角相等，将∠AEC与∠BFC转化为∠ECF的两个组成角，结合CE⊥CF的条件直接求出两角和；
（2）先设角平分线分出的角为α、β，利用（1）的结论建立∠ECF与α、β的关系式，再通过过点G作平行线，结合内错角相等得到∠G与α、β的关系，消去参数后推导出∠ECF和∠G的数量关系；
（3）先根据已知的垂直和角度条件求出初始相关角度，确定射线FG的旋转速度，再分FG与△AEC三边分别平行的情况，每种情况根据平行线的判定条件找到对应旋转角度，进而计算出运动时间t.
（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
∴，，
由（1）得，即：，
，即：，
过点G作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当继续旋转到与重合之后，则，
∴旋转了，
∴，
解得：（秒）；
⑤当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒）；
⑥当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒），
故的值为，，，，，秒．
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