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湖南省长沙市雅礼集团2025年中考全真模拟数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）下列数是负数的是（　　）
A．2025 B． C．0 D．
2．（2025·长沙模拟）2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长沙模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
5．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．方程有实数根
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．多边形的外角和等于
D．若两名同学五次测试的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定
7．（2025·长沙模拟）如图，把一块含有的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）在平行四边形中，E在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·长沙模拟）分解因式：x3－x=　 　．
12．（2025·长沙模拟）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
13．（2025·长沙模拟）若扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的面积为 　 　。
14．（2025·长沙模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为　 　．
15．（2025·长沙模拟）在将标有“最”“美”“福”“建”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率是　 　．
16．（2025·长沙模拟）一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是”；小明说：“它是”；小亮说：“它是”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字.这只皮箱的密码是　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·长沙模拟）如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m
（1）求两楼之间的距离CD；
（2）求发射塔AB的高度．
20．（2025·长沙模拟）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了 名观众；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中喜欢李靖角色对应的圆心角度数；
（3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？
21．（2025·长沙模拟）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025·长沙模拟）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
（1）求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
23．（2025·长沙模拟）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
24．（2025·长沙模拟）我们约定；我们将关于x的二次函数（，a，b，c为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，求a，b，c的值；
（2）二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度：
（3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线l上任意取一点G，过点G作x轴的垂线，与、分别交于点E、F（点G，E，F不重合），的最大值为4，求a的值．
25．（2025·长沙模拟）如图，点A、B、C是上的点，是锐角三角形，，垂足为点D，过点B作，垂足为点E，延长交于点G，交于点H，连接、、．
（1）求证：；
（2）的半径为R，，，求R、a、b满足的关系，并进行证明；
（3）如图2，若，连接，交于点M，且，，求y与x的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、2025是正数，故A不符合题意；
B、是负数，故B符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故C不符合题意；
D、是正数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据负数的定义：小于0的数为负数，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，都C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图，可知该几何体是圆锥，
故答案为：B．
【分析】根据圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆形，即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方运算法则，逐项进行计算判断即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；事件的分类；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、因为，则方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、多边形的外角和等于，故此选项符合题意；
D、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一元二次方程有根的判别式，当时该方程没有实数根；
B、事件的分类，在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件，也属于确定事件；
C、任意多边形的外角和都是；
D、方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定．
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∵三角板为含有角的直角三角板，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算．先由平行线的性质得到，再根据，即可得到．
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
，
∵，
，
故答案为：B.
【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理即可求出的度数.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证明，进而得到，然后求出，即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：当时，的函数图象位于第一、三象限，的函数图象位于第一、二象限且经过原点，
当时，的函数图象位于第二、四象限，的函数图象位于第三、四象限且经过原点，
∴D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数以及二次函数的图象与性质进行判断即可.
11．【答案】x(x－1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
12．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3，
∴此扇形的面积为：.
故答案为：3π.
【分析】利用扇形的面积公式：（n是扇形圆心角的度数，R是扇形所在的圆的半径），再代入计算即可。
14．【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
故答案为：2．
【分析】将方程的根代入方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 最 美 福 建
最 　 （最，美） （最，福） （最，建）
美 （美，最） 　 （美，福） （美，建）
福 （福，最） （福，美） 　 （福，建）
建 （建，最） （建，美） （建，福） 　
∴共有种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果有种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率为，
故答案为：．
【分析】利用列表法得到所有的等可能结果数，从而得到其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果数，进而利用概率公式进行求解.
16．【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，
小光猜对的数字是，
在百位上，
和也可以排除，
小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了，
这个三位数密码是．
故答案为： ．
【分析】由题意得和都有重复且位置相同，可以排除这两个数，则小光猜对的数字是，这样和也可以排除，所以小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了，则这个三位数密码是．
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂及负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将代入化简后的式子进行计算即可．
19．【答案】解：（1）如图，过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
易证四边形是矩形，
∴，
∴两楼之间的距离为；
（2）∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴发射塔的高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，得到是等腰直角三角形，从而得，然后易证四边形是矩形，进而得到；
（2）在中，解直角三角形得到，根据线段和差关系即可求出发射塔的高度.
20．【答案】（1）150
（2）解：根据题意，得喜欢哪吒的观众有：（人），
∴喜欢其他的观众有：（人），
∵，
∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为，补全条形统计图如下：
（3）解：∵（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查的观众共有（人），
故答案为：150.
【分析】（1）用喜欢敖丙的人数除以其所占百分比即可求解；
（2）先求出喜欢哪吒的观众人数，从而得到喜欢其他的观众人数，根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以即可求出圆心角度数，再补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解．
（1）解：本次调查的观众共有（人），
故答案为：150；
（2）解：喜欢哪吒的观众有：（人），
喜欢哪吒的观众有：（人），
补全条形统计图如下：
∵；
∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为；
（3）解：∵（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
21．【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
22．【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进（100－a）件乙种纪念品，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据题意得等量关系“甲种纪念品的单价×1+乙种纪念品的单价×2＝，甲种纪念品的单价×2+乙种纪念品的单价×3＝”，据此列出关于、的方程组并求解即可；
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进(100－a)件乙种纪念品，利用“总利润每件的销售利润销售数量”，结合题意可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论.
（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
23．【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．【答案】（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
【知识点】二次函数的最值；轴对称的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据新定义可得，，，解之即可求解；
（2）根据“匀称二次函数”的定义得到二次函数，由直线与、有且只有3个交点，分两种情况：①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；分别求出的长即可；
（3）设，则，，根据点G，E，F不重合，则且，，分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别求解即可．
（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，
∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
25．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，，过点作于，
由（1）得，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
，
∴设，则，
∵，，
垂直平分，，，
，
由（2）得，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
∴与的函数解析式为．
【知识点】函数解析式；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先求出，根据圆周角定理得到，进行等量代换即可得证结论；
（2）连接，，过点作于，证明，得，再证明，得，然后证明，得，从而求得，进而利用勾股定理得出结论；
（3）设，则，根据等腰三角形以及线段垂直平分线性质得到，，，由（2）中的全等三角形对应边相等得到，从而根据线段垂直平分线性质得到，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质，结合（1）的结论得到，进而得，于是得，由圆周角定理得到，则，根据等腰三角形的判定得，据此可求出，得，，，，则，接下来证明，根据相似三角形对应边成比例性质得到，最后利用三角形面积公式进行求解.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：连接，，过点O作于F，如图，
∵，，
垂直平分，，
，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由勾股定理，得，
即，
∴．
（3）解：如图2，，
设，则，
∵，，
垂直平分，，
，
由（2）知，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
，
，
，，
，
∵，
；
，
，
，
即．
1 / 1湖南省长沙市雅礼集团2025年中考全真模拟数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）下列数是负数的是（　　）
A．2025 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、2025是正数，故A不符合题意；
B、是负数，故B符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故C不符合题意；
D、是正数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据负数的定义：小于0的数为负数，据此逐项进行判断即可.
2．（2025·长沙模拟）2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
3．（2025·长沙模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，都C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项进行判断即可.
4．（2025·长沙模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图，可知该几何体是圆锥，
故答案为：B．
【分析】根据圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆形，即可得到答案.
5．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方运算法则，逐项进行计算判断即可.
6．（2025·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．方程有实数根
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．多边形的外角和等于
D．若两名同学五次测试的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；事件的分类；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、因为，则方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、多边形的外角和等于，故此选项符合题意；
D、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一元二次方程有根的判别式，当时该方程没有实数根；
B、事件的分类，在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件，也属于确定事件；
C、任意多边形的外角和都是；
D、方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定．
7．（2025·长沙模拟）如图，把一块含有的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∵三角板为含有角的直角三角板，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算．先由平行线的性质得到，再根据，即可得到．
8．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
，
∵，
，
故答案为：B.
【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理即可求出的度数.
9．（2025·长沙模拟）在平行四边形中，E在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证明，进而得到，然后求出，即可得到答案.
10．（2025·长沙模拟）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：当时，的函数图象位于第一、三象限，的函数图象位于第一、二象限且经过原点，
当时，的函数图象位于第二、四象限，的函数图象位于第三、四象限且经过原点，
∴D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数以及二次函数的图象与性质进行判断即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·长沙模拟）分解因式：x3－x=　 　．
【答案】x(x－1)(x+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
12．（2025·长沙模拟）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．（2025·长沙模拟）若扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的面积为 　 　。
【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3，
∴此扇形的面积为：.
故答案为：3π.
【分析】利用扇形的面积公式：（n是扇形圆心角的度数，R是扇形所在的圆的半径），再代入计算即可。
14．（2025·长沙模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为　 　．
【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
故答案为：2．
【分析】将方程的根代入方程即可求解.
15．（2025·长沙模拟）在将标有“最”“美”“福”“建”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 最 美 福 建
最 　 （最，美） （最，福） （最，建）
美 （美，最） 　 （美，福） （美，建）
福 （福，最） （福，美） 　 （福，建）
建 （建，最） （建，美） （建，福） 　
∴共有种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果有种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率为，
故答案为：．
【分析】利用列表法得到所有的等可能结果数，从而得到其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果数，进而利用概率公式进行求解.
16．（2025·长沙模拟）一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是”；小明说：“它是”；小亮说：“它是”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字.这只皮箱的密码是　 　．
【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，
小光猜对的数字是，
在百位上，
和也可以排除，
小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了，
这个三位数密码是．
故答案为： ．
【分析】由题意得和都有重复且位置相同，可以排除这两个数，则小光猜对的数字是，这样和也可以排除，所以小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了，则这个三位数密码是．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂及负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解题即可．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将代入化简后的式子进行计算即可．
19．（2025·长沙模拟）如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m
（1）求两楼之间的距离CD；
（2）求发射塔AB的高度．
【答案】解：（1）如图，过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
易证四边形是矩形，
∴，
∴两楼之间的距离为；
（2）∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴发射塔的高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，得到是等腰直角三角形，从而得，然后易证四边形是矩形，进而得到；
（2）在中，解直角三角形得到，根据线段和差关系即可求出发射塔的高度.
20．（2025·长沙模拟）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了 名观众；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中喜欢李靖角色对应的圆心角度数；
（3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？
【答案】（1）150
（2）解：根据题意，得喜欢哪吒的观众有：（人），
∴喜欢其他的观众有：（人），
∵，
∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为，补全条形统计图如下：
（3）解：∵（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次调查的观众共有（人），
故答案为：150.
【分析】（1）用喜欢敖丙的人数除以其所占百分比即可求解；
（2）先求出喜欢哪吒的观众人数，从而得到喜欢其他的观众人数，根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以即可求出圆心角度数，再补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解．
（1）解：本次调查的观众共有（人），
故答案为：150；
（2）解：喜欢哪吒的观众有：（人），
喜欢哪吒的观众有：（人），
补全条形统计图如下：
∵；
∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为；
（3）解：∵（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
21．（2025·长沙模拟）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
22．（2025·长沙模拟）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
（1）求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进（100－a）件乙种纪念品，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据题意得等量关系“甲种纪念品的单价×1+乙种纪念品的单价×2＝，甲种纪念品的单价×2+乙种纪念品的单价×3＝”，据此列出关于、的方程组并求解即可；
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进(100－a)件乙种纪念品，利用“总利润每件的销售利润销售数量”，结合题意可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论.
（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
23．（2025·长沙模拟）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，，
∴是中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行四边形的判定得证结论；
（2）在中，解直角三角形求得，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后在中，运用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．（2025·长沙模拟）我们约定；我们将关于x的二次函数（，a，b，c为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，求a，b，c的值；
（2）二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度：
（3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线l上任意取一点G，过点G作x轴的垂线，与、分别交于点E、F（点G，E，F不重合），的最大值为4，求a的值．
【答案】（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
【知识点】二次函数的最值；轴对称的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据新定义可得，，，解之即可求解；
（2）根据“匀称二次函数”的定义得到二次函数，由直线与、有且只有3个交点，分两种情况：①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；分别求出的长即可；
（3）设，则，，根据点G，E，F不重合，则且，，分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别求解即可．
（1）解：∵关于x的二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴，，，
∴，b为任意实数，；
（2）解：∵二次函数（，a，b，c为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，
∴二次函数
∴二次函数与二次函数关于x轴对称，
∵二次函数
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵直线与、有且只有3个交点，
①当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
令，解得：，
∵直线与、有且只有3个交点，且交点分别为点、点、点，，
∴，，
∴
∴
∴，
②当时，直线经过二次函数二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图，
同理可得，
综上，线段的长度为．
（3）解：设，则，，
∵点G，E，F不重合
∴且，，
①当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
②当时，如图，
由图可知，，
∴，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
③当时，
∴
∵，
∴无最大值，
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
④当时，如图，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的最大值为4，
∴
解得：；
⑤当时，如图，
由图可知：
∵的最大值为4，
∴此情况不存在；
综上，当的最大值为4时，a的值为．
25．（2025·长沙模拟）如图，点A、B、C是上的点，是锐角三角形，，垂足为点D，过点B作，垂足为点E，延长交于点G，交于点H，连接、、．
（1）求证：；
（2）的半径为R，，，求R、a、b满足的关系，并进行证明；
（3）如图2，若，连接，交于点M，且，，求y与x的函数解析式．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，，过点作于，
由（1）得，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
，
∴设，则，
∵，，
垂直平分，，，
，
由（2）得，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
∴与的函数解析式为．
【知识点】函数解析式；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先求出，根据圆周角定理得到，进行等量代换即可得证结论；
（2）连接，，过点作于，证明，得，再证明，得，然后证明，得，从而求得，进而利用勾股定理得出结论；
（3）设，则，根据等腰三角形以及线段垂直平分线性质得到，，，由（2）中的全等三角形对应边相等得到，从而根据线段垂直平分线性质得到，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质，结合（1）的结论得到，进而得，于是得，由圆周角定理得到，则，根据等腰三角形的判定得，据此可求出，得，，，，则，接下来证明，根据相似三角形对应边成比例性质得到，最后利用三角形面积公式进行求解.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：连接，，过点O作于F，如图，
∵，，
垂直平分，，
，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由勾股定理，得，
即，
∴．
（3）解：如图2，，
设，则，
∵，，
垂直平分，，
，
由（2）知，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
，
，
，，
，
∵，
；
，
，
，
即．
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