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华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试培优卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024·莱芜模拟）如图，在平行四边形中，是锐角，于点为的中点，连接，若，则的长是（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍去），
，
，
故选：D．
【分析】本题以平行四边形为背景，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理及方程思想。解题关键在于构造辅助线：延长 EF 交 DA 延长线于 Q，连接 DE。由 F 为 AB 中点及平行四边形对边平行，可证△QFA△ EBF（AAS），得 AQ = BE = x，QF = EF。结合∠EFD = 90°，可得 DF 垂直平分 QE，故 DQ = DE = AD + AQ = x + 5。在 Rt△ ADE 与 Rt△ ABE 中，分别用勾股定理表示AE2，建立方程 (x + 5)2- 52 = (6)2 - x2，解得 x = 4，进而得 AE = 2，对应选项 D。考查几何综合推理与方程建模能力。
2．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
3．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以B为中心，取旋转角等于把△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，连接DA'，若则的度数为(　　).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AD∥BC，
∵AE⊥BE，∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得则根据平行线的性质可计算出接着利用互余计算出，然后根据旋转的性质得，即可得到答案.
4．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
5．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
6．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是的中点，是对角线AC上一点（点不与端点重合），过点作交BC于点，交CE于点．连结，若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接EP，过E点作EN⊥AC交AC于点N，过F点作FM⊥AC交AC于点M，如图
由题意可知AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAN =∠FCM，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=BE=CF=DF，
在△ANE和△CMF中，
∠ANE=∠CMF=90°，∠EAN=∠FCM，AE=CF，
∴△ANE≌△CMF(AAS)，
∴FM= EN.
∴S△CPF = S△CPE，
∵PQ∥AB，
∴PQ上的点到AB上的点距离相同，
∴AE= BE，
∴S△AEC=S△BEC，S△AEP=S△BEO，
∴S△CPE=S△BOC，
∴S△CPF=S△BOC，
∵已知△CPF的面积，则一定能求出△BOC的面积。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线间的距离、三角形的面积等知识。
首先利用AAS证明出△ANE≌△CMF，得出FM= EN，进而推出S△CPF = S△CPE；然后根据平行线间的距离相等可以得出几组三角形的面积相等，最后即可得出答案。
7．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
8．（2025七下·深圳期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，
∵面积为 24， BC=6，
∴，
∴DH=8，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=PA+PQ，
∵PA+PQ≥AQ，
∴当A，P，Q三点在同一直线上时，取最小值，且最小值为AQ的长度，
∴当AQ的值最小时，的值最小，
当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=8，
∴的最小值为8.
故答案为：8 .
【分析】如图，过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，首先根据面积为 24，可求出DH=8，然后根据线段的垂直平分线的性质，得出PB+PQ=PA+PQ，从而得出当A，P，Q三点在同一直线上时，取最小值，且最小值为AQ的长度，然后根据垂线段最短求得当AQ⊥BC时，AQ的最小值=8，即可得出的最小值为8.
9．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，，
∴，故①正确；
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形；故②正确；
∴，
如图所示，延长交轴于一点，过点作轴，
∵，∴，
∵轴，，，∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
∵点D在反比例函数的图象上，∴矩形的面积是4，∴，
∵，∴，∴，∴矩形的面积是2；
∵反比例函数的图象过点A．∴；故④正确；
条件不足，无法得到点是的中点；故③错误；
故正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可证明判断①；利用全等三角形的性质可知，再结合等边对等角可知，根据平行四边形的判定定理即可判断四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，即可求得k的值判断④，进而可得正确结论的个数．
10．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点 C关于AB，AD 的对称点 G，H，连接 CG，CH，AG，AH，GH.如果AB=30，∠EAF=30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（　　）
A． B．∠GAH=60°
C．GH【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
□ABCD的面积为 ，
，
，
，D不符合题意，
由轴对称的性质可得，
，，，
，，
，
，A符合题意，
，，
，B不符合题意，
，
，C不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由四边形的内角和可得，利用平行四边形的面积公式求得AF，AE的长度即BC、BE的长度，进而得到 CE=，D正确； 由轴对称的性质可得是等边三角形，CG=AD，进而通过SAS判定得到 ∠GAH=60° ，，故A不正确，B正确；利用三角形的三边关系可得，进而判定 GH二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2025八下·达川期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
12．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作于K，过E点作于P．
∵，
∴，
∴，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确作出辅助线。
①根据平行四边形的性质，对边平行且相等。
②利用折叠的性质，折叠前后对应线段长度不变。
③通过构造直角三角形，运用勾股定理建立方程求解。
④最终得出正确答案。
13．（2024九上·安州开学考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
14．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
15．如图，等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，过点D作DF⊥AB于点F，G为EF的中点，连接DG，则△DFG的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE.
∵等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE=4，∠B=60°，BD=4，DE//AB.
∵DF⊥AB于点F，
∴BF=2，DF⊥DE.
∴FD=2，
∴ △ EDF的面积为.
∵G为EF的中点，∴△DFG的面积为△ EDF的面积=.
故答案为：.
【分析】连结DE，可证明△ EDF是直角三角形，分别求得DF、DE，可求得其面积，结合G为EF的中点，可求得△ DFG的面积.
16．（2024九上·海淀期中）如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为　 　；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是　 　．
【答案】60；
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
，
，
在和中，
，
，
，，
点、、分别为、、的中点，
且，且，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，
即是等边三角形，
如图，是边长为的等边三角形，是底边上的高，
，
，
，
对来说，
，
又，
，
当取得最大值时，取得最大值，
在中，，
当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，
此时，，
，
面积的最大值是，
故答案为：，．
【分析】首先根据SAS证得，进而BE=AD，再根据三角形中位线定理得出
利用可证得，于是可得，，根据三角形的中位线定理得出且，且，可证得，进而可推出；根据三角形三边之间的关系可知，因而，当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，此时，据此即可求出面积的最大值．
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，

（2）解：在 中， ， ，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，得到AD//CB，AD=CB，得到∠DAE=∠BCF，然后根据垂直得到∠DEA=∠BFC，即可用AAS证明全等；
（2）在（1）的基础上得到∠CBF=∠ADE，在RT▲ADE中，根据∠DAE=35°，根据三角形内角和得到∠ADE即可.
18．（2025八下·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，、是直线上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：连接，交于点O，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定定理，解题的关键是作辅助线连接交于点，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到、，结合已知条件，通过等式的基本性质推出，即，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形为平行四边形。
19．如图，在 ABCD中，BE⊥CD 于点 E，BF⊥AD于点 F.
（1）请表示出平行线 AD与BC 之间的距离.
（2）若 BE=2cm，BF=4cm，求平行线 AB与CD 之间的距离.
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵BF⊥AD，
∴平行线 AD与BC 之间的距离是BF的长
（2）解：∵DC∥AB，BE⊥CD，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是BE的长，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是2cm
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【分析】 (1) 根据平行四边形对边平行的性质，结合 “平行线间的距离是垂线段长度”，确定 AD 与 BC 的垂线段 BF 的长即为其距离。
(2) 利用平行四边形面积的两种表示方法（以 AD 为底乘 BF、以 CD 为底乘 AB 与 CD 的距离），结合 AB=CD 的性质，通过面积相等求出 AB 与 CD 之间的距离。
20．（2025·长沙模拟）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：由作图可知，垂直平分，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据作图步骤可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过两直线平行内错角相等可得，等量代换后得，由角平分线的定义即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据垂直平分线的性质可得，最后通过三角形的周长公式即可求解．
（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
21．（2025八下·福田期末）深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用.某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x ① 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 ② ③ 18吨
（1）任务一：现回收废纸和废塑料共 50 吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产 x 吨再生纸，请补全表格数据（用含 x 的代数式表示）；
（2）任务二：请求出（1）中 x 的值；
（3）任务三：如图 2，在某区的智能回收箱运营体系中，点 A 为清运回收点，点 B 为分拣点，点 C 为打包点，点 D 为回收加工点，且满足：， 千米， 千米，AB 的垂直平分线 DF 与 AC 交于点 D.将各点位置简化为图3.现需在 BC 边上设置智能回收运营点 G，使得点 G 到点 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值.
【答案】（1）解：①（或），②，③（或）.
（2）解：，（或 ）
解得，（或）
经检验，（或）是原分式方程的解.
（3）解：延长 AB 至点 E，使得，连接 DE 交 BC 于点 G，点 G 即为所求.
过点 D 作 于点 F，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
∴点F为 AB的中点，；
是 的中位线，
，
又 ，
，
又 ，
由勾股定理，，
又 ，
到 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：.
【知识点】分式方程的实际应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：废纸数量：再生纸共吨，每吨废纸产吨再生纸，所以数量为；
废塑料每吨回炼量：是废纸的，即；
废塑料数量：回炼汽油共吨，每吨产吨汽油，所以数量为 （或 ）.
故答案为：①（或），②，③（或）.
【分析】（1）根据“数量 = 总产量÷单产量”及倍数关系，用含的代数式表示表格数据，关键是理解产量、单产量、数量的关系.
（2）利用废纸与废塑料总量列分式方程，求解并检验，核心是建立方程模型解决实际问题.
（3）通过轴对称（延长构造对称点 ）将距离和转化为线段和，结合三角形中位线、直角三角形性质求最小值，关键是“化折为直”的几何变换思想与性质运用.
22．（2026八上·成华期末）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
23．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有　 　与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积=　 　；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
24．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
25．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
26．（2025·北京） 在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=α，点 D 在射线 BC上，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转 180°-2α得到线段AE (点E 不在直线AB上)，过点E作EF∥AB交直线 BC 于点 F.
（1） 如图1，α=45°，点 D 与点C 重合，求证： BF =AC；
（2）如图2，点D，F都在 BC的延长线上，用等式表示 DF 与BC的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∠ABC=45°
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，点D与点C重合
∴AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC∥AE
∵EF ∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，
∴BF=AC；
（2）解：DF=2BC，
证明： 如图，在DB上取 一点G，使得AG=AB
∴∠AGB=∠ABG=α，
∴∠BAG=180°-2α
∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE，
∴DA=EA
∴∠DAE=∠GAB=180°-2α
∴∠DAG=∠EAB
∴△DAG≌△EAB(SAS)
∴DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α
又∵∠ABC=α
∴∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-α-α=180°-2α
∵EF ∥AB，
∴∠BFE=∠ABF=α
∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=α
∴BE=BF
∴DG=BF
∵AG=AB， AC⊥BC
∴GC=BC
∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再根据旋转性质可得AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，则∠EAB=∠ABC，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABFE是平行四边形，则BF=AE，即BF=AC，即可求出答案.
（2）在DB上取 一点G，使得AG=AB，根据三角形内角和定理可得∠BAG=180°-2α，再根据旋转性质可得DA=EA，根据等边对等角可得∠DAE=∠GAB=180°-2α，再根据全等三角形判定定理可得△DAG≌△EAB(SAS)，则DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α，再根据角之间的关系可得∠FBE=180°-2α，根据直线平行性质可得∠BFE=∠ABF=α，再根据三角形内角和定理可得∠BEF=α，则BE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1华东师大版数学八(下)第17章 平行四边形 单元测试培优卷
一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024·莱芜模拟）如图，在平行四边形中，是锐角，于点为的中点，连接，若，则的长是（　　）
A．6 B．8 C． D．
2．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
3．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以B为中心，取旋转角等于把△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，连接DA'，若则的度数为(　　).
A． B． C． D．
4．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
5．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是的中点，是对角线AC上一点（点不与端点重合），过点作交BC于点，交CE于点．连结，若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
7．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·深圳期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点 C关于AB，AD 的对称点 G，H，连接 CG，CH，AG，AH，GH.如果AB=30，∠EAF=30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（　　）
A． B．∠GAH=60°
C．GH二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2025八下·达川期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
12．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为　 　．
13．（2024九上·安州开学考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
14．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为　 　．
15．如图，等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，过点D作DF⊥AB于点F，G为EF的中点，连接DG，则△DFG的面积为　 　.
16．（2024九上·海淀期中）如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为　 　；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是　 　．
三、解答题:本大题共10个小题，共102分。
17．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
18．（2025八下·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，、是直线上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，在 ABCD中，BE⊥CD 于点 E，BF⊥AD于点 F.
（1）请表示出平行线 AD与BC 之间的距离.
（2）若 BE=2cm，BF=4cm，求平行线 AB与CD 之间的距离.
20．（2025·长沙模拟）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的周长．
21．（2025八下·福田期末）深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用.某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x ① 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 ② ③ 18吨
（1）任务一：现回收废纸和废塑料共 50 吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产 x 吨再生纸，请补全表格数据（用含 x 的代数式表示）；
（2）任务二：请求出（1）中 x 的值；
（3）任务三：如图 2，在某区的智能回收箱运营体系中，点 A 为清运回收点，点 B 为分拣点，点 C 为打包点，点 D 为回收加工点，且满足：， 千米， 千米，AB 的垂直平分线 DF 与 AC 交于点 D.将各点位置简化为图3.现需在 BC 边上设置智能回收运营点 G，使得点 G 到点 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值.
22．（2026八上·成华期末）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
23．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有　 　与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积=　 　；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
24．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
25．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
26．（2025·北京） 在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=α，点 D 在射线 BC上，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转 180°-2α得到线段AE (点E 不在直线AB上)，过点E作EF∥AB交直线 BC 于点 F.
（1） 如图1，α=45°，点 D 与点C 重合，求证： BF =AC；
（2）如图2，点D，F都在 BC的延长线上，用等式表示 DF 与BC的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍去），
，
，
故选：D．
【分析】本题以平行四边形为背景，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理及方程思想。解题关键在于构造辅助线：延长 EF 交 DA 延长线于 Q，连接 DE。由 F 为 AB 中点及平行四边形对边平行，可证△QFA△ EBF（AAS），得 AQ = BE = x，QF = EF。结合∠EFD = 90°，可得 DF 垂直平分 QE，故 DQ = DE = AD + AQ = x + 5。在 Rt△ ADE 与 Rt△ ABE 中，分别用勾股定理表示AE2，建立方程 (x + 5)2- 52 = (6)2 - x2，解得 x = 4，进而得 AE = 2，对应选项 D。考查几何综合推理与方程建模能力。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AD∥BC，
∵AE⊥BE，∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得则根据平行线的性质可计算出接着利用互余计算出，然后根据旋转的性质得，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；用代数式表示几何图形的数量关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，
根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，
由平行四边形性质，知AD=BC，
=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2
在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，
在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，
∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，
故答案为：B.
【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接EP，过E点作EN⊥AC交AC于点N，过F点作FM⊥AC交AC于点M，如图
由题意可知AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAN =∠FCM，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=BE=CF=DF，
在△ANE和△CMF中，
∠ANE=∠CMF=90°，∠EAN=∠FCM，AE=CF，
∴△ANE≌△CMF(AAS)，
∴FM= EN.
∴S△CPF = S△CPE，
∵PQ∥AB，
∴PQ上的点到AB上的点距离相同，
∴AE= BE，
∴S△AEC=S△BEC，S△AEP=S△BEO，
∴S△CPE=S△BOC，
∴S△CPF=S△BOC，
∵已知△CPF的面积，则一定能求出△BOC的面积。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线间的距离、三角形的面积等知识。
首先利用AAS证明出△ANE≌△CMF，得出FM= EN，进而推出S△CPF = S△CPE；然后根据平行线间的距离相等可以得出几组三角形的面积相等，最后即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
8．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，
∵面积为 24， BC=6，
∴，
∴DH=8，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=PA+PQ，
∵PA+PQ≥AQ，
∴当A，P，Q三点在同一直线上时，取最小值，且最小值为AQ的长度，
∴当AQ的值最小时，的值最小，
当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=8，
∴的最小值为8.
故答案为：8 .
【分析】如图，过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，首先根据面积为 24，可求出DH=8，然后根据线段的垂直平分线的性质，得出PB+PQ=PA+PQ，从而得出当A，P，Q三点在同一直线上时，取最小值，且最小值为AQ的长度，然后根据垂线段最短求得当AQ⊥BC时，AQ的最小值=8，即可得出的最小值为8.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，，
∴，故①正确；
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形；故②正确；
∴，
如图所示，延长交轴于一点，过点作轴，
∵，∴，
∵轴，，，∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
∵点D在反比例函数的图象上，∴矩形的面积是4，∴，
∵，∴，∴，∴矩形的面积是2；
∵反比例函数的图象过点A．∴；故④正确；
条件不足，无法得到点是的中点；故③错误；
故正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可证明判断①；利用全等三角形的性质可知，再结合等边对等角可知，根据平行四边形的判定定理即可判断四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，即可求得k的值判断④，进而可得正确结论的个数．
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
□ABCD的面积为 ，
，
，
，D不符合题意，
由轴对称的性质可得，
，，，
，，
，
，A符合题意，
，，
，B不符合题意，
，
，C不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由四边形的内角和可得，利用平行四边形的面积公式求得AF，AE的长度即BC、BE的长度，进而得到 CE=，D正确； 由轴对称的性质可得是等边三角形，CG=AD，进而通过SAS判定得到 ∠GAH=60° ，，故A不正确，B正确；利用三角形的三边关系可得，进而判定 GH11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作于K，过E点作于P．
∵，
∴，
∴，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确作出辅助线。
①根据平行四边形的性质，对边平行且相等。
②利用折叠的性质，折叠前后对应线段长度不变。
③通过构造直角三角形，运用勾股定理建立方程求解。
④最终得出正确答案。
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE.
∵等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE=4，∠B=60°，BD=4，DE//AB.
∵DF⊥AB于点F，
∴BF=2，DF⊥DE.
∴FD=2，
∴ △ EDF的面积为.
∵G为EF的中点，∴△DFG的面积为△ EDF的面积=.
故答案为：.
【分析】连结DE，可证明△ EDF是直角三角形，分别求得DF、DE，可求得其面积，结合G为EF的中点，可求得△ DFG的面积.
16．【答案】60；
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
，
，
在和中，
，
，
，，
点、、分别为、、的中点，
且，且，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，
即是等边三角形，
如图，是边长为的等边三角形，是底边上的高，
，
，
，
对来说，
，
又，
，
当取得最大值时，取得最大值，
在中，，
当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，
此时，，
，
面积的最大值是，
故答案为：，．
【分析】首先根据SAS证得，进而BE=AD，再根据三角形中位线定理得出
利用可证得，于是可得，，根据三角形的中位线定理得出且，且，可证得，进而可推出；根据三角形三边之间的关系可知，因而，当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，此时，据此即可求出面积的最大值．
17．【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，

（2）解：在 中， ， ，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，得到AD//CB，AD=CB，得到∠DAE=∠BCF，然后根据垂直得到∠DEA=∠BFC，即可用AAS证明全等；
（2）在（1）的基础上得到∠CBF=∠ADE，在RT▲ADE中，根据∠DAE=35°，根据三角形内角和得到∠ADE即可.
18．【答案】解：连接，交于点O，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定定理，解题的关键是作辅助线连接交于点，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到、，结合已知条件，通过等式的基本性质推出，即，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形为平行四边形。
19．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵BF⊥AD，
∴平行线 AD与BC 之间的距离是BF的长
（2）解：∵DC∥AB，BE⊥CD，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是BE的长，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是2cm
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【分析】 (1) 根据平行四边形对边平行的性质，结合 “平行线间的距离是垂线段长度”，确定 AD 与 BC 的垂线段 BF 的长即为其距离。
(2) 利用平行四边形面积的两种表示方法（以 AD 为底乘 BF、以 CD 为底乘 AB 与 CD 的距离），结合 AB=CD 的性质，通过面积相等求出 AB 与 CD 之间的距离。
20．【答案】（1）证明：由作图可知，垂直平分，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据作图步骤可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过两直线平行内错角相等可得，等量代换后得，由角平分线的定义即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据垂直平分线的性质可得，最后通过三角形的周长公式即可求解．
（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
21．【答案】（1）解：①（或），②，③（或）.
（2）解：，（或 ）
解得，（或）
经检验，（或）是原分式方程的解.
（3）解：延长 AB 至点 E，使得，连接 DE 交 BC 于点 G，点 G 即为所求.
过点 D 作 于点 F，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
∴点F为 AB的中点，；
是 的中位线，
，
又 ，
，
又 ，
由勾股定理，，
又 ，
到 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：.
【知识点】分式方程的实际应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：废纸数量：再生纸共吨，每吨废纸产吨再生纸，所以数量为；
废塑料每吨回炼量：是废纸的，即；
废塑料数量：回炼汽油共吨，每吨产吨汽油，所以数量为 （或 ）.
故答案为：①（或），②，③（或）.
【分析】（1）根据“数量 = 总产量÷单产量”及倍数关系，用含的代数式表示表格数据，关键是理解产量、单产量、数量的关系.
（2）利用废纸与废塑料总量列分式方程，求解并检验，核心是建立方程模型解决实际问题.
（3）通过轴对称（延长构造对称点 ）将距离和转化为线段和，结合三角形中位线、直角三角形性质求最小值，关键是“化折为直”的几何变换思想与性质运用.
22．【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
23．【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
24．【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
25．【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
26．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∠ABC=45°
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，点D与点C重合
∴AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC∥AE
∵EF ∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，
∴BF=AC；
（2）解：DF=2BC，
证明： 如图，在DB上取 一点G，使得AG=AB
∴∠AGB=∠ABG=α，
∴∠BAG=180°-2α
∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE，
∴DA=EA
∴∠DAE=∠GAB=180°-2α
∴∠DAG=∠EAB
∴△DAG≌△EAB(SAS)
∴DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α
又∵∠ABC=α
∴∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-α-α=180°-2α
∵EF ∥AB，
∴∠BFE=∠ABF=α
∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=α
∴BE=BF
∴DG=BF
∵AG=AB， AC⊥BC
∴GC=BC
∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再根据旋转性质可得AE=AD=AC， ∠EAB=90°-∠BAC=45°，则∠EAB=∠ABC，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABFE是平行四边形，则BF=AE，即BF=AC，即可求出答案.
（2）在DB上取 一点G，使得AG=AB，根据三角形内角和定理可得∠BAG=180°-2α，再根据旋转性质可得DA=EA，根据等边对等角可得∠DAE=∠GAB=180°-2α，再根据全等三角形判定定理可得△DAG≌△EAB(SAS)，则DG=BE， ∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α，再根据角之间的关系可得∠FBE=180°-2α，根据直线平行性质可得∠BFE=∠ABF=α，再根据三角形内角和定理可得∠BEF=α，则BE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
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