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浙江省金华市义乌市苏溪镇苏溪初级中学2025-2026学年九年级上学期数学期中测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·义乌期中）下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·义乌期中）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名同学参加志愿服务活动，抽中甲的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·义乌期中）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定
4．（2025九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
5．（2025九上·义乌期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·义乌期中）唢呐是我国传统乐器之一．一个唢呐的长约为40cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（　　）cm．
A． B． C． D．
7．（2025九上·义乌期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（　　）
A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：3
8．（2025九上·义乌期中）如图，海岸线，经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为6km，船C保持怎样的航行不会进入暗礁区（　　）
A．∠ACB≥60° B．∠ACB≤60° C．∠ACB＞60° D．∠ACB＜60°
9．（2025九上·义乌期中）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，把沿直线DE翻折，点C落在C'处。若使得为等腰三角形的点E恰好有3个，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·义乌期中）已知线段a＝1，b＝9，则线段a、b的比例中项等于　 　．
12．（2025九上·义乌期中）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有　 　个．
13．（2025九上·义乌期中）已知一根排水管的截面为圆，记圆心为O，⊙O被水面截得弦长为4米．⊙O半径长为3米，若点M为圆形水管的最低点，则点M到水面的距离是　 　 米．
14．（2025九上·义乌期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了
x、y的部分对应值．
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.4 m -2.4 0 n …
不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　 ．
15．（2025九上·义乌期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到'，'与交于点，连接与，分别交于点，，连接，若，则　 　．
16．（2025九上·义乌期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　．
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·义乌期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC的三边长．
18．（2025九上·义乌期中）三张除标记的数字外都相同的卡片上分别标着1、2、3．
（1）随机抽取一张，求抽到卡片上数字是奇数的概率．
（2）随机抽取两张，求两次抽取的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
19．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，1），B（-2，1），C（-1，3）．
⑴画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
⑵在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
20．（2025九上·义乌期中）已知函数y＝-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-1，0），（3，0）．
（1）求二次函数表达式(用一般式表示）．
（2）当-2≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值．
21．（2025九上·义乌期中）如图，已知 是 的角平分线， 是 延长线上的一点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
22．（2025九上·义乌期中）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝AB在平面直角坐标系中的示意图，树枝AB近似呈直线生长，记树枝上一点到地面的高度为y（m），它到树干OA的水平距离x（m），在压枝处理前，测得树枝上A点离地面距离为1m，B点距离地面1.12m，与树干OA的水平距离为1.2m．树枝AB经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点P距离地面0.8m，且与树干OA的水平距离为0.5m．
（1）在压枝处理前，求树枝AB所在直线表达式．
（2）经过压枝处理后，求出该抛物线的表达式.
（3）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（2）中的抛物线，且测得此时树枝最外端点C距离地面1.25m．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干OA不得超过1.5m，试通过计算判断此树枝是否需要修剪．
23．（2025九上·义乌期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
【活动情境】如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
【所得结论】当点F与AD的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果：
甲：△AEF的边AE＝ ▲ cm，EF＝ ▲ cm． 乙：EG＝BF．
【完成任务】
（1）填写甲同学所得结果中的数据．
（2）当点F为AD边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3）如图2，当点F在AD边上（除点A、D外）时，记四边形AEGD的面积为S，AF为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？
24．（2025九上·义乌期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＞90°，连接DB，DA恰好为△BCD的外角∠BDE的角平分线，连接AC，交BD于点F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AD＝AF
①求证；BC2＝AB CF．
②若⊙O的半径为10，BC＝12，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABD的图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，C的图案是由其中的部分图形通过对称而形成，
故答案为：C．
【分析】能否构成旋转，解题的关键是看旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度是否都存在，据此判断即可．
2．【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名同学有3种等可能的结果，抽中甲只有1种结果，
∴抽中甲的概率为，
故答案为：A .
【分析】根据概率公式直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
则点P在⊙O外，
故选： B.
【分析】根据题意得⊙O的半径为3，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，即可得到点与圆的位置关系解答即可.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原抛物线y=x2向右平移2个单位，自变量x变为（x-2）， 再向上平移5个单位， 常数项加5，
∴平移后的抛物线为y=（x-2）2+5，
故答案为：D .
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减（常数项）”即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设装饰为点P，吹口为点A，下方喇叭中心为点B，则AB=40cm，
∵点P为AB的黄金分割点，
∴①，解得：AP=AB=()cm，
②，解得：BP=AB=()cm，则AP=AB-BP=（20-）cm，舍去，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
∵EF∥AB，
∴==，
∴，
故答案为：C .
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC交于点D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，如图所示：
∵ ，
∴AH=AB=，
∵∠OHA=90°，
∴AE=BE，
在Rt△AHE中，EH=OE+OH=9km，由勾股定理可得，AE==3km，
∴AE=BE=AB，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠ADB=∠AEB=60°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＞∠C，
即∠C＜60°，
∴船C保持∠ACB＜60°得航行不会进入暗礁区，
故答案为：D .
【分析】连接AC交于D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得AE=BE=AB，可证明△AEB是等边三角形得到∠AEB=60°，根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=60°，根据三角形的外角性质可得∠C<60°，进而可得出结论.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵（为常数，）， 当时，，
∴抛物线开口向上，且与x轴的交点为（-1，0），（2，0），
∴ 二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为（-2，0），（1，0），
故答案为： B.
【分析】根据二次函数图象性质进行分析判断即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆的综合题；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=m，
由翻折的性质可知，CD=C'D=4，CE=C'E，∠C=∠DC'E=90°，
∴点C'在以点D为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∵△ABC为等腰三角形，
∴可以分以下三种情况讨论：
①当AB=AC'时，
∵AB=4，
∴AC'=4，
此时点C'在以点A为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∴和的圆心距为AD=m，半径都是4，
则根据圆与圆的位置关系可得，当m＞8时，两圆相离，没有交点，当m=8时，两圆外切，有1个交点，当m＜8时，两圆相交，有两个交点；
②当AB=BC'时，
∵AB=4，
∴BC'=4，
此时点C'在以点A为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∴和的圆心距为BD==，
当＞8，即m＞时，两圆相离，没有交点，当=8，即m=时，两圆外切，有1个交点，当＜8，即m＜时，两圆相交，有两个交点；
③当AC'=BC'时，点C'在AB的垂直平分线上，以点A为原点，AB所在直线在x轴，则AB的垂直平分线为直线x=2，设点C'（2，y），
22+（y-m）2=12，
解得：y=m-或y=m+（不喝题意，舍去），
∵y≥0，
则m≥ ，始终只有一个交点，
综上所述，当 时，△ABC'为等腰三角形的点E恰好有3个，
故答案为：A .
【分析】由矩形和翻折的性质可得点C'在以点D为圆心、半径为4的圆上，再根据①当AB=AC'时，②当AB=BC'时，③当AC'=BC'时三种情况讨论两圆的交点个数，进而即可得出答案.
11．【答案】3
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设线段c为a，b的比例中项，
则，
∵a=1，b=9，
∴c=3（负值舍去），
故答案为：3 .
【分析】根据比例中项的概念进行解答即可.
12．【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有x个，
根据题意可知，，
解得：x=8，
即红球大约有8个，
故答案为：8 .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
13．【答案】 或
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意可知：水面的位置有两种情况：
①如下图所示，
由题意的，OA=OM=3米，OM⊥AB与点N，
∴AN=BN=2，∠ANO=90°，
在Rt△ANO中，由勾股定理可得，ON==米，
∴MN=OM+ON=(3+)米；
②如下图所示：
由题意的，OA=OM=3米，OM⊥AB与点N，
∴AN=BN=2，∠ANO=90°，
在Rt△ANO中，由勾股定理可得，ON==米，
∴MN=OM-ON=(3-)米；
综上所述： 点M到水面的距离是 或米
故答案为： 或 .
【分析】根据水面的位置分两种情况，再根据垂径定理进行计算即可.
14．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从表格的数据可知，x=-5和x=1的函数值相同，则函数图象的对称轴为x==-2，
∴点（2，0）关于直线x=-2的对称点是（6，0），
∵抛物线的开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是或，
故答案为：或 .
【分析】由图表信息可知对称轴为直线x=-2，然后利用二次函数的性质即可求得不等式ax2+bx+c＞0的解集.
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，OC=OC'，AD⊥CC'，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴BD=CD，
∴DO为△CBC'的中位线，
∴DO∥BC'，DO=BC'，
∵AO∥BC'，AO=3，
∴△AOE∽△BC'E，
∴，
∴BC'=2，
∴OD=1，
∴AD=AO+DO=4，
∵AD∥BC'，
∴△BFC'∽△AFD，
∴，
∵ ，
∴设BE=2k，则AE=3k，AB=5k，
∴BF=AB=k，
∴EF=BE-BF=k，
∴，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质以及AD为BC上的中线得到DO为△CBC'的中位线，则DO∥BC'，DO=BC'，然后由△AOE∽△BC'E，△BFC'∽△AFD的性质即可求解.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）连接OA、OB，如图所示：
则OA=OB=1，
∵AB=，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
即的度数为90°，
故答案为：90°；
（2）∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
∵∠CAD=90°，
∴∠ADC=45°，
作△ABD的外外接圆，可知点D在上，
则∠APB=45°×2=90°，
∵AB=，
∴当点P到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，设Q为AB中点，连接QP并延长，与圆P交于点D，此时点D到ABA的距离最大，
连接PA、PB，
∵OA=OB，PA=PB，∠AOB=∠APB=90°，
∴∠OBA=∠PBA=∠OAB=∠PAB=45°，
即∠OAP=∠OBP=90°，
由∵OA=OB，
∴四边形OAPB为正方形，
∴AP=OA=1，
∵∠APB=90°，点Q为AB中点，
∴AQ=BQ=，QD⊥AB，
∴PQ=，
∴DQ=PQ+PD=+1，
∴△ABD面积的最大值为AB·DQ=××（+1）=，
故答案为： .
【分析】（1）连接OA、OB，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，进而得出弧的度数；
（2）根据圆周角定理求出∠ADC=45°，确定点D的运动轨迹，在通过点D到AB的距离的最大值来求得△ABD面积的最大值即可.
17．【答案】解：设 =k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
∵ a+b+c＝48，
∴3k+4k+5k=48，
解得：k=4，
∴a=3k=12，b=4k=16，c=5k=20，
答：△ABC三边的长分别为12，16，20
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据比例的性质用k表示比值，结合等式的性质，解方程即可得出答案.
18．【答案】（1）解：∵卡片上分别标着1、2 、3，有3种等可能结果，
∴从中任取1张卡片，数字是奇数的有两种，
∴=
（2）解：画树状图如图：
∴= =
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画出树状图，得出两次抽取数字之和是偶数的情况，占总情况的多少即可.
19．【答案】解：
【知识点】作图﹣位似变换；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)作出点A、点B、点C关于y轴对称的点的坐标再首尾顺次相连即可得到△A1B1C1；
(2)将点A、点B、点C的坐标乘以-2，从而确定A2、B2、C2的坐标，再首尾顺次相连即可得出答案。
20．【答案】（1）解：由题意得：，解得，
∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3
（2）解：由（1）得：函数解析式为y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝1，
∵-2≤x≤2，
∴当 x＝1 时，y的值最大，最大值为4，
当x＝-2 时，y的值最小，最小值为-5
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据（1）的解析式，可得抛物线开口方向和对称轴，进而即可根据自变量的取值范围得出答案.
21．【答案】（1）证明：
平分
又
（2）
又 .
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠E，由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，推出∠E=∠DBC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）直接根据相似三角形的性质进行求解即可.
22．【答案】（1）解：根据题意可知，A（0，1），B（1.2，1.12 ）
设树枝AB所在直线表达式y=kx+b，
将点A、点B代入，得，
解得：，
∴y=0.1x+1，
答： 树枝AB所在直线表达式是y＝0.1x+1
（2）解：由题意得：设该抛物线的解析式为y＝a（x-0.5）2+0.8，
把A（0，1）代入y＝a（x-0.5）2+0.8
∴
（3）解：把y＝1.25代入
解得x1＝1.25，x2＝-0.25（不合题意，舍去），
∵1.25＜1.5，
∴此树枝不需要修剪
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，点A、点B的坐标，再利用待定系数法求直线表达式即可；
（2）根据题意，利用顶点式求抛物线的表达式即可；
（3）把y=1.25代入（2）中所求解析式，求出点C的横坐标，即可判断.
23．【答案】（1）AE＝3cm，EF＝5cm
（2）解：乙同学的结论还成立．
证明：如图，
∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，
过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE＝∠KGE，
在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF＝EG
（3）解：∵AF＝x，EF＝8-AE，
∴x2+AE2＝（8-AE）2，
∴AE＝4，
又∵△AFB≌△KEG，
∴AF＝EK＝x，AK＝AE+EK＝AF+AE＝4x，
S8＝0.5×8（AE+AK）
＝4×（44x）
S，（0＜x＜8）
当x＝4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大＝40
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AE=xcm，则EF=（8-x），AF=4，∠A=90°，
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，AF2+AE2=EF2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，
故答案为：AE=3cm；EF=5cm.
【分析】（1）根据图形翻折变换的性质，可设AE=x，则EF=8-x，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出EF的长；
（2）根据图形翻折变换的性质，可得点B、F关于GE对称，求得BF⊥EG，过G作GK⊥AB于K，则∠FBE＝∠KGE，结合正方形的性质易证△AFB≌△KEG，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）设AF=x，利用勾股定理可得出AE＝4，然后利用全等三角形得出AF、AK，进而可得出四边形AEGD的面积，由其面积表达式即可求出其面积的最大值.
24．【答案】（1）证明：∵DA为∠BDE的角平分线，（　　）
∴∠ADE＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC
（2）解：①证明：∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD＝∠BFC，
由（1）知∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BFC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ABC∽△BFC，
∴，
∴BC2＝AB CF；
②连接AO并延长交BC于H，连接OB，
∵AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH，
∴OH8，
∴AH＝10+8＝18，
∴AB＝AC6，
由①知，BC2＝AB CF，
∴CF，
∴AF＝AC-CF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝∠ACB，∠AFD＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝12，
∵∠ADF＝∠BCF，∠AFD＝∠BFC，
∴△ADF∽△BCF，
∴
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠ADB，进而即可得到AB=AC；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ADF＝∠AFD＝∠BFC，由（1）可知∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得出结论；
（3）连接AO并延长交BC于H，连接OB，根据垂径定理得到AH⊥BC，BH，根据勾股定理得到OH=8，AH=18，AB=AC=6，由①知，BC2＝AB CF，可求得CF=，进而求出AF，最后根据相似三角形的判定和性质定理即可得出答案.
1 / 1浙江省金华市义乌市苏溪镇苏溪初级中学2025-2026学年九年级上学期数学期中测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九上·义乌期中）下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABD的图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，C的图案是由其中的部分图形通过对称而形成，
故答案为：C．
【分析】能否构成旋转，解题的关键是看旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度是否都存在，据此判断即可．
2．（2025九上·义乌期中）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名同学参加志愿服务活动，抽中甲的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名同学有3种等可能的结果，抽中甲只有1种结果，
∴抽中甲的概率为，
故答案为：A .
【分析】根据概率公式直接求解即可.
3．（2025九上·义乌期中）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
则点P在⊙O外，
故选： B.
【分析】根据题意得⊙O的半径为3，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，即可得到点与圆的位置关系解答即可.
4．（2025九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．（2025九上·义乌期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原抛物线y=x2向右平移2个单位，自变量x变为（x-2）， 再向上平移5个单位， 常数项加5，
∴平移后的抛物线为y=（x-2）2+5，
故答案为：D .
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减（常数项）”即可得出答案.
6．（2025九上·义乌期中）唢呐是我国传统乐器之一．一个唢呐的长约为40cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（　　）cm．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设装饰为点P，吹口为点A，下方喇叭中心为点B，则AB=40cm，
∵点P为AB的黄金分割点，
∴①，解得：AP=AB=()cm，
②，解得：BP=AB=()cm，则AP=AB-BP=（20-）cm，舍去，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
7．（2025九上·义乌期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（　　）
A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：3
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
∵EF∥AB，
∴==，
∴，
故答案为：C .
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案.
8．（2025九上·义乌期中）如图，海岸线，经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为6km，船C保持怎样的航行不会进入暗礁区（　　）
A．∠ACB≥60° B．∠ACB≤60° C．∠ACB＞60° D．∠ACB＜60°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC交于点D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，如图所示：
∵ ，
∴AH=AB=，
∵∠OHA=90°，
∴AE=BE，
在Rt△AHE中，EH=OE+OH=9km，由勾股定理可得，AE==3km，
∴AE=BE=AB，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠ADB=∠AEB=60°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＞∠C，
即∠C＜60°，
∴船C保持∠ACB＜60°得航行不会进入暗礁区，
故答案为：D .
【分析】连接AC交于D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得AE=BE=AB，可证明△AEB是等边三角形得到∠AEB=60°，根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=60°，根据三角形的外角性质可得∠C<60°，进而可得出结论.
9．（2025九上·义乌期中）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵（为常数，）， 当时，，
∴抛物线开口向上，且与x轴的交点为（-1，0），（2，0），
∴ 二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为（-2，0），（1，0），
故答案为： B.
【分析】根据二次函数图象性质进行分析判断即可.
10．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，把沿直线DE翻折，点C落在C'处。若使得为等腰三角形的点E恰好有3个，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；圆的综合题；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=m，
由翻折的性质可知，CD=C'D=4，CE=C'E，∠C=∠DC'E=90°，
∴点C'在以点D为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∵△ABC为等腰三角形，
∴可以分以下三种情况讨论：
①当AB=AC'时，
∵AB=4，
∴AC'=4，
此时点C'在以点A为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∴和的圆心距为AD=m，半径都是4，
则根据圆与圆的位置关系可得，当m＞8时，两圆相离，没有交点，当m=8时，两圆外切，有1个交点，当m＜8时，两圆相交，有两个交点；
②当AB=BC'时，
∵AB=4，
∴BC'=4，
此时点C'在以点A为圆心、半径为4的圆上，（记为），
∴和的圆心距为BD==，
当＞8，即m＞时，两圆相离，没有交点，当=8，即m=时，两圆外切，有1个交点，当＜8，即m＜时，两圆相交，有两个交点；
③当AC'=BC'时，点C'在AB的垂直平分线上，以点A为原点，AB所在直线在x轴，则AB的垂直平分线为直线x=2，设点C'（2，y），
22+（y-m）2=12，
解得：y=m-或y=m+（不喝题意，舍去），
∵y≥0，
则m≥ ，始终只有一个交点，
综上所述，当 时，△ABC'为等腰三角形的点E恰好有3个，
故答案为：A .
【分析】由矩形和翻折的性质可得点C'在以点D为圆心、半径为4的圆上，再根据①当AB=AC'时，②当AB=BC'时，③当AC'=BC'时三种情况讨论两圆的交点个数，进而即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·义乌期中）已知线段a＝1，b＝9，则线段a、b的比例中项等于　 　．
【答案】3
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设线段c为a，b的比例中项，
则，
∵a=1，b=9，
∴c=3（负值舍去），
故答案为：3 .
【分析】根据比例中项的概念进行解答即可.
12．（2025九上·义乌期中）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有　 　个．
【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有x个，
根据题意可知，，
解得：x=8，
即红球大约有8个，
故答案为：8 .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
13．（2025九上·义乌期中）已知一根排水管的截面为圆，记圆心为O，⊙O被水面截得弦长为4米．⊙O半径长为3米，若点M为圆形水管的最低点，则点M到水面的距离是　 　 米．
【答案】 或
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意可知：水面的位置有两种情况：
①如下图所示，
由题意的，OA=OM=3米，OM⊥AB与点N，
∴AN=BN=2，∠ANO=90°，
在Rt△ANO中，由勾股定理可得，ON==米，
∴MN=OM+ON=(3+)米；
②如下图所示：
由题意的，OA=OM=3米，OM⊥AB与点N，
∴AN=BN=2，∠ANO=90°，
在Rt△ANO中，由勾股定理可得，ON==米，
∴MN=OM-ON=(3-)米；
综上所述： 点M到水面的距离是 或米
故答案为： 或 .
【分析】根据水面的位置分两种情况，再根据垂径定理进行计算即可.
14．（2025九上·义乌期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了
x、y的部分对应值．
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.4 m -2.4 0 n …
不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　 ．
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：从表格的数据可知，x=-5和x=1的函数值相同，则函数图象的对称轴为x==-2，
∴点（2，0）关于直线x=-2的对称点是（6，0），
∵抛物线的开口向上，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是或，
故答案为：或 .
【分析】由图表信息可知对称轴为直线x=-2，然后利用二次函数的性质即可求得不等式ax2+bx+c＞0的解集.
15．（2025九上·义乌期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到'，'与交于点，连接与，分别交于点，，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，OC=OC'，AD⊥CC'，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴BD=CD，
∴DO为△CBC'的中位线，
∴DO∥BC'，DO=BC'，
∵AO∥BC'，AO=3，
∴△AOE∽△BC'E，
∴，
∴BC'=2，
∴OD=1，
∴AD=AO+DO=4，
∵AD∥BC'，
∴△BFC'∽△AFD，
∴，
∵ ，
∴设BE=2k，则AE=3k，AB=5k，
∴BF=AB=k，
∴EF=BE-BF=k，
∴，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质以及AD为BC上的中线得到DO为△CBC'的中位线，则DO∥BC'，DO=BC'，然后由△AOE∽△BC'E，△BFC'∽△AFD的性质即可求解.
16．（2025九上·义乌期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　．
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）连接OA、OB，如图所示：
则OA=OB=1，
∵AB=，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
即的度数为90°，
故答案为：90°；
（2）∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
∵∠CAD=90°，
∴∠ADC=45°，
作△ABD的外外接圆，可知点D在上，
则∠APB=45°×2=90°，
∵AB=，
∴当点P到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，设Q为AB中点，连接QP并延长，与圆P交于点D，此时点D到ABA的距离最大，
连接PA、PB，
∵OA=OB，PA=PB，∠AOB=∠APB=90°，
∴∠OBA=∠PBA=∠OAB=∠PAB=45°，
即∠OAP=∠OBP=90°，
由∵OA=OB，
∴四边形OAPB为正方形，
∴AP=OA=1，
∵∠APB=90°，点Q为AB中点，
∴AQ=BQ=，QD⊥AB，
∴PQ=，
∴DQ=PQ+PD=+1，
∴△ABD面积的最大值为AB·DQ=××（+1）=，
故答案为： .
【分析】（1）连接OA、OB，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，进而得出弧的度数；
（2）根据圆周角定理求出∠ADC=45°，确定点D的运动轨迹，在通过点D到AB的距离的最大值来求得△ABD面积的最大值即可.
三、解答题（本大题共8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·义乌期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC的三边长．
【答案】解：设 =k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
∵ a+b+c＝48，
∴3k+4k+5k=48，
解得：k=4，
∴a=3k=12，b=4k=16，c=5k=20，
答：△ABC三边的长分别为12，16，20
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据比例的性质用k表示比值，结合等式的性质，解方程即可得出答案.
18．（2025九上·义乌期中）三张除标记的数字外都相同的卡片上分别标着1、2、3．
（1）随机抽取一张，求抽到卡片上数字是奇数的概率．
（2）随机抽取两张，求两次抽取的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
【答案】（1）解：∵卡片上分别标着1、2 、3，有3种等可能结果，
∴从中任取1张卡片，数字是奇数的有两种，
∴=
（2）解：画树状图如图：
∴= =
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画出树状图，得出两次抽取数字之和是偶数的情况，占总情况的多少即可.
19．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，1），B（-2，1），C（-1，3）．
⑴画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
⑵在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
【答案】解：
【知识点】作图﹣位似变换；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)作出点A、点B、点C关于y轴对称的点的坐标再首尾顺次相连即可得到△A1B1C1；
(2)将点A、点B、点C的坐标乘以-2，从而确定A2、B2、C2的坐标，再首尾顺次相连即可得出答案。
20．（2025九上·义乌期中）已知函数y＝-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-1，0），（3，0）．
（1）求二次函数表达式(用一般式表示）．
（2）当-2≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3
（2）解：由（1）得：函数解析式为y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝1，
∵-2≤x≤2，
∴当 x＝1 时，y的值最大，最大值为4，
当x＝-2 时，y的值最小，最小值为-5
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据（1）的解析式，可得抛物线开口方向和对称轴，进而即可根据自变量的取值范围得出答案.
21．（2025九上·义乌期中）如图，已知 是 的角平分线， 是 延长线上的一点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：
平分
又
（2）
又 .
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠E，由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，推出∠E=∠DBC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）直接根据相似三角形的性质进行求解即可.
22．（2025九上·义乌期中）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝AB在平面直角坐标系中的示意图，树枝AB近似呈直线生长，记树枝上一点到地面的高度为y（m），它到树干OA的水平距离x（m），在压枝处理前，测得树枝上A点离地面距离为1m，B点距离地面1.12m，与树干OA的水平距离为1.2m．树枝AB经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点P距离地面0.8m，且与树干OA的水平距离为0.5m．
（1）在压枝处理前，求树枝AB所在直线表达式．
（2）经过压枝处理后，求出该抛物线的表达式.
（3）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（2）中的抛物线，且测得此时树枝最外端点C距离地面1.25m．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干OA不得超过1.5m，试通过计算判断此树枝是否需要修剪．
【答案】（1）解：根据题意可知，A（0，1），B（1.2，1.12 ）
设树枝AB所在直线表达式y=kx+b，
将点A、点B代入，得，
解得：，
∴y=0.1x+1，
答： 树枝AB所在直线表达式是y＝0.1x+1
（2）解：由题意得：设该抛物线的解析式为y＝a（x-0.5）2+0.8，
把A（0，1）代入y＝a（x-0.5）2+0.8
∴
（3）解：把y＝1.25代入
解得x1＝1.25，x2＝-0.25（不合题意，舍去），
∵1.25＜1.5，
∴此树枝不需要修剪
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知，点A、点B的坐标，再利用待定系数法求直线表达式即可；
（2）根据题意，利用顶点式求抛物线的表达式即可；
（3）把y=1.25代入（2）中所求解析式，求出点C的横坐标，即可判断.
23．（2025九上·义乌期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
【活动情境】如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
【所得结论】当点F与AD的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果：
甲：△AEF的边AE＝ ▲ cm，EF＝ ▲ cm． 乙：EG＝BF．
【完成任务】
（1）填写甲同学所得结果中的数据．
（2）当点F为AD边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3）如图2，当点F在AD边上（除点A、D外）时，记四边形AEGD的面积为S，AF为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】（1）AE＝3cm，EF＝5cm
（2）解：乙同学的结论还成立．
证明：如图，
∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，
过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE＝∠KGE，
在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF＝EG
（3）解：∵AF＝x，EF＝8-AE，
∴x2+AE2＝（8-AE）2，
∴AE＝4，
又∵△AFB≌△KEG，
∴AF＝EK＝x，AK＝AE+EK＝AF+AE＝4x，
S8＝0.5×8（AE+AK）
＝4×（44x）
S，（0＜x＜8）
当x＝4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大＝40
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设AE=xcm，则EF=（8-x），AF=4，∠A=90°，
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，AF2+AE2=EF2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，
故答案为：AE=3cm；EF=5cm.
【分析】（1）根据图形翻折变换的性质，可设AE=x，则EF=8-x，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出EF的长；
（2）根据图形翻折变换的性质，可得点B、F关于GE对称，求得BF⊥EG，过G作GK⊥AB于K，则∠FBE＝∠KGE，结合正方形的性质易证△AFB≌△KEG，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）设AF=x，利用勾股定理可得出AE＝4，然后利用全等三角形得出AF、AK，进而可得出四边形AEGD的面积，由其面积表达式即可求出其面积的最大值.
24．（2025九上·义乌期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＞90°，连接DB，DA恰好为△BCD的外角∠BDE的角平分线，连接AC，交BD于点F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AD＝AF
①求证；BC2＝AB CF．
②若⊙O的半径为10，BC＝12，求的值．
【答案】（1）证明：∵DA为∠BDE的角平分线，（　　）
∴∠ADE＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC
（2）解：①证明：∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD＝∠BFC，
由（1）知∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BFC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ABC∽△BFC，
∴，
∴BC2＝AB CF；
②连接AO并延长交BC于H，连接OB，
∵AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH，
∴OH8，
∴AH＝10+8＝18，
∴AB＝AC6，
由①知，BC2＝AB CF，
∴CF，
∴AF＝AC-CF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝∠ACB，∠AFD＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝12，
∵∠ADF＝∠BCF，∠AFD＝∠BFC，
∴△ADF∽△BCF，
∴
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠ADB，进而即可得到AB=AC；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ADF＝∠AFD＝∠BFC，由（1）可知∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得出结论；
（3）连接AO并延长交BC于H，连接OB，根据垂径定理得到AH⊥BC，BH，根据勾股定理得到OH=8，AH=18，AB=AC=6，由①知，BC2＝AB CF，可求得CF=，进而求出AF，最后根据相似三角形的判定和性质定理即可得出答案.
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