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浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九上·奉化期中）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y=x B．y=x2+1 C．y= D．y=-
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、 y=x 是正比例函数，故A错误，
B、 y=x2+1 是二次函数，故B正确，
C、 y= 的未知数在分母上，不是二次函数，故C错误，
D、 y=- 是反比例函数，故D错误，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的概念逐项进行分析判断即可.
2．（2025九上·奉化期中）以下事件中，必然发生的是（　　）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．正五边形的外角和为180°
C．通常情况下，水加热到100℃沸腾
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故本选项错误；
B、任何正多边形的外角和是360°，故本选项错误；
C、通常情况下，水加热到100℃沸腾，符合物理学原理，故本选项正确；
D、掷一次骰子，向上一面可能是1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故本选项错误。
故选C.
3．（2025九上·奉化期中）⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，则点A与圆的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，
6cm＞3.6cm，
∴点在圆内，
故答案为：B.
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可得出答案.点到圆心的距离＞圆的半径，点在圆外；点到圆心的距离=圆的半径，点在圆上；点到圆心的距离＜圆的半径，点在圆内.
4．（2025九上·奉化期中）如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A、∵ ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项A不符合题意；
B、∵ ，，且∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故选项B符合题意；
C、∵ ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项C不符合题意；
D、∵ ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项D不符合题意.
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理分别进行判断即可得出答案．
5．（2025九上·奉化期中）以下四个命题中属于假命题的是（　　）
A．直径是弦
B．过三点一定可以作一个圆
C．半径相等的两个半圆是等弧
D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解、（1）直径是圆中的一条弦；是真命题；不符合题意；
（2）过不在同一直线上的三点作一个圆；当三点不在同一直线上时，不能作圆。故过三点一定可以作一个圆是假命题；符合题意；
（3）半径相等的两个半圆是等弧；是真命题；不符合题意；
（4）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；是真命题；不符合题意。
【分析】当三点不在同一直线上时，不能作圆。故过三点一定可以作一个圆是假命题。
6．（2025九上·奉化期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
故答案为：B.
【分析】连接OC、OD，根据圆内接正五边形的中心角是求得∠COD，再利用圆周角定理求出∠CPD的度数即可.
7．（2025九上·奉化期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝ ，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB，DC∥AB，由已知条件可得DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得＝，＝＝ ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比可得＝＝，据此求解.
8．（2025九上·奉化期中）将二次函数y=-（x-k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线y=2x+1上，则k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 y=-（x-k）2+k+1 的顶点坐标为（k，k+1），
∴将 y=-（x-k）2+k+1 的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位顶点坐标为（k+1，k+3），
∵平移后，顶点在直线y=2x+1上，
∴k+3=2（k+1）+1 ，
解得：k=0，
故答案为：C.
【分析】先根据二次函数表达式求的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标，最后代入直线方程即可求得k的值.
9．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（　　）
A．ac=b B．a+c=b C． D．c2=ab
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将图上各点标记如下：
根据题意可知，DH∥AB，MF∥AB，
∴DH∥AB∥MF，
∴∠EDH=∠A，∠CFM=∠B，
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFM+∠FGQ=90°，
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，
∴△DHE∽△GMF，
∴，
即，
∴ac=（b-c）（b-a），
∴b2=ab+bc=b（a+c），
∴a+c=b，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得DH∥AB∥MF，进而得出∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，即可证明△DHE∽△GMF，根据相似三角形的性质可得，即，化简即可得出答案.
10．（2025九上·奉化期中）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随着x的增大而减小.下列结论①a+b＞0；②若点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，则b2-4ac≤4a.其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2 ， 当x＜-1时，y随着x的增大而减小 ，
∴ 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为x=，
∴a＞0，
∴0＜＜，
∴a+b＞0，故①正确；
∵ 点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上 ，而点A到对称轴的距离比点B到对称点的距离要大，
∴ y1＞y2，故②错误； ∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），
∴a-b+c=0，am2+bm+c=0，
∴am2-a+bm+b=0，即a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0，
∴a（m-1）+b=0，故③正确；
∵c≤-1，
∴≤-1，
∴b2-4ac≥4a，故④错误，
综上所述，①③正确，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据当x＜-1时，y随着x的增大而减小，可得抛物线的开口向上，即a＞0，根据抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，可得抛物线的对称轴0＜＜，即可判断①，比较点A、点B到对称轴的距离，即可判断②，根据二次函数图象上点的坐标特征得到a-b+c=0，am2+bm+c=0，进而得出a（m-1）+b=0，即可判断③，根据 c≤-1， 可得≤-1，再利用不等式的性质进行变形即可判断④.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025九上·奉化期中）抛物线y=x2+4的顶点坐标是　 　 .
【答案】（0，4）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】抛物线y=x2+4的顶点坐标是（0，4），
胡答案为：（0，4）.
【分析】根据二次函数y=ax2+k的顶点坐标是（0，k），直接解答即可.
12．（2025九上·奉化期中）已知圆的半径为4cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为　 　cm.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式可得，l==，
故答案为：.
【分析】根据弧长公式l=代入求值即可.
13．（2025九上·奉化期中）3与27的比例中项是　 　.
【答案】±9
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设 3与27的比例中项为x，由题意可得：
解得：x=±9
故答案为：±9
【分析】根据比例中项的性质即可求出答案.
14．（2025九上·奉化期中）如图，二次函数y=x2-4x+3（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y=kx+b的图象经过点A及点B，则不等式kx+b≥x2-4x+3的解集为 　 　 .
【答案】1≤x≤4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的解析式为y=x2-4x+3（a≠0），
∴c=3，对称轴为直线x===2，
∴点C的坐标为（0，3），则点C关于对称轴的对应点B的坐标为（4，3），
根据图象可知，当1≤x≤4时，kx+b≥x2-4x+3，
即不等式 kx+b≥x2-4x+3 的解集为1≤x≤4，
故答案为：1≤x≤4.
【分析】根据抛物线解析式求得点C的坐标和对称轴，利用抛物线的对称轴求得点B的坐标，然后结合函数图象，即可求得不等式的解集.
15．（2025九上·奉化期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为　 　m．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，
在中，，，
，
解得．
经检验：是方程的解，
故答案为：．
【分析】设半径为r，根据垂径定列方程解题即可．
16．（2025九上·奉化期中）如图，已知矩形ABCD，AD=8，DC=10，将△ADG延AG翻折得△AEG，将△CGH延GH翻折得△GFH，点F正好落在GE所在直线上，问当CH=3时，AF= 　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：∠D=∠E=90°，∠AGD=∠AGE，AE=AD=8，DG=EG，∠C=∠GFH=90°，∠FGH=∠CGH，CH=GH=3，CG=FG，AE=AD=8∴∠E=∠GFH，∠AGH= ∠AGE+∠FGH=90°，
∵∠EAG+∠AGE=90°，
∴∠EAG=∠FGH，
∴△AEG∽△GFH，
∴，
∴，
解得：CG=4或CG=6，
∴DG=CD-CG=6或4，
∴EF===2，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理可得，AF==，
故答案为：.
【分析】由翻折的性质易证△AEG∽△GFH，根据相似三角形的性质可得，求得CG的值，进而求得EF，最后根据勾股定理即可求得AF.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025九上·奉化期中）（1）已知，且a+b-2c=6，求a的值.
（2）已知，求x的值.
【答案】（1）解：设 =k，则a=6k，b=5k，c=4k，
∵a+b-2c=6，
∴6k+5k-2×4k=3k=6
∴k=2
∴a=6k=12，
答：a的值是12.
（2）解：∵ ，
∴x=×1.5，
解得：x=，
答：x的值是.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设 =k，用含k的代数式表示a，b，c，再代入求值即可；
（2）根据比例的性质进行计算即可.
18．（2025九上·奉化期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）.
（1）在AB边上找一点P，使AP：BP=2：3；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2.
【答案】（1）解：∵ B（4，1），C（1，1） ，
∴BC=3，
在A的右侧取格点M，使AM=2，
连接CM，交AB于点P，如图所示：
点P即为所求；
（2）解：由题意可知， △A2B2C2 的三个顶点坐标是（-2，-6），（-8，-2），（-2，-2），如图所示：
△A2B2C2即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）取格点J，连接CJ交AB于点P，点P即为所求；
（2）利用位似变换的性质做出A、B、C的对应点 △A2、B2、C2即可.
19．（2025九上·奉化期中）“春节一中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录.张老师在班会上，提议同学从“A.贴春联”“B.吃饺子”“C.挂灯笼”“D.拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解.如图，班长做了4张背面完全相同的卡片.将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上.
（1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B.吃饺子”的概率是　 　；
（2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
　 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有16种等可能得结果，其中两个摸到的习俗相同的结果有：AA、BB、CC、DD，共4种，
∴他们两人摸到的习俗相同的概率==.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，共有4种等可能得结果，其中抽到“B.吃饺子”的结果有1种，
∴佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B.吃饺子”的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知，共有4种等可能得结果，其中抽到“B.吃饺子”的结果有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列表得出所有等可能结果，以及他们两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式计算即可.
20．（2025九上·奉化期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，AB为半圆的直径.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标：A　 　；B　 　.
（2）求这个“果圆”被y轴截得的CD的长.
【答案】（1）（-1，0）；（3，0）
（2）解：由（1）可知，A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵点M是AB的中点，
∴OM=1，AM=2，
∴CM=2，
在Rt△COM中，由勾股定理得，CO=，
∵ 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
∴OD=3，
∴CD=CO+OD=3+.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆与函数的综合
【解析】【解答】解： 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
令y=0，则（x-1）2-4=0，
解得：x=3或x=-1，
由图可知，A（-1，0），B（3，0），
故答案为：（-1，0）；B（3，0）.
【分析】（1）根据二次函数解析式，令y=0，再求解即可得出答案；
（2）由（1）中点A、B的坐标可得AB，根据可得点M为AB的中点，求得OM、CM，再根据勾股定理求得OC，由函数解析式求得OD，即可得出答案.
21．（2025九上·奉化期中）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵直径AB⊥DE，
∴CE= DE= ．
∵DE平分AO，
∴CO= AO= OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO= = ，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE= = =2．
∴⊙O的半径为2
（2）解：连接OF．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S扇形OEF= ×π×22=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2．
∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2．
【知识点】线段垂直平分线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解．（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
22．（2025九上·奉化期中）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式：　 　
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
【答案】（1）y=-10x+1000（x≥50）
（2）解：由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
函数图象如下：
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当50＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）解：∵由40（-10x+1000）≤10000，
解得x≥75，
又由于最大进货量为：y=10000÷40=250，
由题意可知，当x=75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．
S=250×（75-40）=8750（元）；
故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y=kx+b（x≥50），
根据题意，可得，
解得：，
∴ y与x的函数关系式为y=-10x+1000（x≥50），
故答案为：y=-10x+1000（x≥50）.
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出S与x的函数关系式，再根据二次函数性质即可得出答案；
（3）根据“ 购进该商品的贷款不超过10000元情况 ”列出不等式求解，再结合二次函数的性质即可得出答案.
23．（2025九上·奉化期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，满足，连接AC，BD，延长BC，AD交于点E.
（1）若∠CAD=35°，求∠E的度数；
（2）求证：△ABE∽△CDE；
（3）若∠ABC=60°，AD=1，BD=3，求AB的长.
【答案】（1）解：∵，∠CAD=35°，
∴∠ACB=2∠CAD=70°，
∴∠E=∠ACB-∠CAD=35°；
（2）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CDE；
（3）解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵，
∴∠ACB=2∠CAD，∠ADB=2∠DBE，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，∠ADB=∠DBE+∠E，
∴∠DBE=∠E=∠CAE，
∴BD=DE=3，AC=CE，
∴AE=AD+DE=4，
又∵CH⊥AE，
∴AH=EH=2，
∴DH=1，
∵∠ABC=∠CDE=60°，CH⊥AE，
∴∠DCH=30°，
∴DC=2DH=2，CH=，
∴AC=，
∴AC=CE=，
∵△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴AB=．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由可得∠ACB=2∠CAD=70°，再根据三角形的外角性质即可得出答案；
（2）根据圆的内接四边形的性质结合平角可得∠ABC=∠CDE，进而即可证明△ABE∽△CDE；
（3）过点C作CH⊥AB于H，由可得∠ACB=2∠CAD，∠ADB=2∠DBE，结合三角形的外角性质可得∠DBE=∠E=∠CAE，进而可得BD=DE=3，AC=CE，AE=AD+DE=4，由CH⊥AB可得AH=EH=2， DH=1，从而可得CD=2DH=2，由勾股定理可得CH、CE，最后根据相似三角形的性质求解即可.
24．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式麦示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：分两种情况：
①如图1，
当 时， ，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，
当 时， ，
则 ，
即 ，
解得： ；
综上所述， 的值为 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
（3）解： 能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，
当 时，
，
解得： ；
②如图4，
当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
，
，
，
，
解得： ；
③如图5，
当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
，
，
，
解得： ，
综上所述，当 的值为 或 或 时， 能成为等腰三角形．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）在 中，由勾股定理得： ，
由题意得： ， ，
，
故答案为： ， ；
【分析】
(1)由勾股定理可得AB，由题意得： ， ，可得结论；
(2)分两种情况①② ， 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得出答案；
(3)分三种情况： ， ， ，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可求解。
1 / 1浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九上·奉化期中）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y=x B．y=x2+1 C．y= D．y=-
2．（2025九上·奉化期中）以下事件中，必然发生的是（　　）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．正五边形的外角和为180°
C．通常情况下，水加热到100℃沸腾
D．掷一次骰子，向上一面是5点
3．（2025九上·奉化期中）⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，则点A与圆的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
4．（2025九上·奉化期中）如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·奉化期中）以下四个命题中属于假命题的是（　　）
A．直径是弦
B．过三点一定可以作一个圆
C．半径相等的两个半圆是等弧
D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
6．（2025九上·奉化期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）
A．30° B．36° C．60° D．72°
7．（2025九上·奉化期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
8．（2025九上·奉化期中）将二次函数y=-（x-k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线y=2x+1上，则k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
9．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（　　）
A．ac=b B．a+c=b C． D．c2=ab
10．（2025九上·奉化期中）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随着x的增大而减小.下列结论①a+b＞0；②若点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，则b2-4ac≤4a.其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025九上·奉化期中）抛物线y=x2+4的顶点坐标是　 　 .
12．（2025九上·奉化期中）已知圆的半径为4cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为　 　cm.
13．（2025九上·奉化期中）3与27的比例中项是　 　.
14．（2025九上·奉化期中）如图，二次函数y=x2-4x+3（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y=kx+b的图象经过点A及点B，则不等式kx+b≥x2-4x+3的解集为 　 　 .
15．（2025九上·奉化期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为　 　m．
16．（2025九上·奉化期中）如图，已知矩形ABCD，AD=8，DC=10，将△ADG延AG翻折得△AEG，将△CGH延GH翻折得△GFH，点F正好落在GE所在直线上，问当CH=3时，AF= 　 　 .
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025九上·奉化期中）（1）已知，且a+b-2c=6，求a的值.
（2）已知，求x的值.
18．（2025九上·奉化期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）.
（1）在AB边上找一点P，使AP：BP=2：3；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2.
19．（2025九上·奉化期中）“春节一中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录.张老师在班会上，提议同学从“A.贴春联”“B.吃饺子”“C.挂灯笼”“D.拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解.如图，班长做了4张背面完全相同的卡片.将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上.
（1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B.吃饺子”的概率是　 　；
（2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率.
20．（2025九上·奉化期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，AB为半圆的直径.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标：A　 　；B　 　.
（2）求这个“果圆”被y轴截得的CD的长.
21．（2025九上·奉化期中）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．（2025九上·奉化期中）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式：　 　
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
23．（2025九上·奉化期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，满足，连接AC，BD，延长BC，AD交于点E.
（1）若∠CAD=35°，求∠E的度数；
（2）求证：△ABE∽△CDE；
（3）若∠ABC=60°，AD=1，BD=3，求AB的长.
24．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式麦示）
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、 y=x 是正比例函数，故A错误，
B、 y=x2+1 是二次函数，故B正确，
C、 y= 的未知数在分母上，不是二次函数，故C错误，
D、 y=- 是反比例函数，故D错误，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的概念逐项进行分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故本选项错误；
B、任何正多边形的外角和是360°，故本选项错误；
C、通常情况下，水加热到100℃沸腾，符合物理学原理，故本选项正确；
D、掷一次骰子，向上一面可能是1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故本选项错误。
故选C.
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，
6cm＞3.6cm，
∴点在圆内，
故答案为：B.
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可得出答案.点到圆心的距离＞圆的半径，点在圆外；点到圆心的距离=圆的半径，点在圆上；点到圆心的距离＜圆的半径，点在圆内.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A、∵ ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项A不符合题意；
B、∵ ，，且∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故选项B符合题意；
C、∵ ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项C不符合题意；
D、∵ ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故选项D不符合题意.
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理分别进行判断即可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解、（1）直径是圆中的一条弦；是真命题；不符合题意；
（2）过不在同一直线上的三点作一个圆；当三点不在同一直线上时，不能作圆。故过三点一定可以作一个圆是假命题；符合题意；
（3）半径相等的两个半圆是等弧；是真命题；不符合题意；
（4）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；是真命题；不符合题意。
【分析】当三点不在同一直线上时，不能作圆。故过三点一定可以作一个圆是假命题。
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
故答案为：B.
【分析】连接OC、OD，根据圆内接正五边形的中心角是求得∠COD，再利用圆周角定理求出∠CPD的度数即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝ ，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB，DC∥AB，由已知条件可得DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得＝，＝＝ ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比可得＝＝，据此求解.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：二次函数 y=-（x-k）2+k+1 的顶点坐标为（k，k+1），
∴将 y=-（x-k）2+k+1 的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位顶点坐标为（k+1，k+3），
∵平移后，顶点在直线y=2x+1上，
∴k+3=2（k+1）+1 ，
解得：k=0，
故答案为：C.
【分析】先根据二次函数表达式求的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标，最后代入直线方程即可求得k的值.
9．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将图上各点标记如下：
根据题意可知，DH∥AB，MF∥AB，
∴DH∥AB∥MF，
∴∠EDH=∠A，∠CFM=∠B，
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFM+∠FGQ=90°，
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，
∴△DHE∽△GMF，
∴，
即，
∴ac=（b-c）（b-a），
∴b2=ab+bc=b（a+c），
∴a+c=b，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得DH∥AB∥MF，进而得出∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，即可证明△DHE∽△GMF，根据相似三角形的性质可得，即，化简即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2 ， 当x＜-1时，y随着x的增大而减小 ，
∴ 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为x=，
∴a＞0，
∴0＜＜，
∴a+b＞0，故①正确；
∵ 点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上 ，而点A到对称轴的距离比点B到对称点的距离要大，
∴ y1＞y2，故②错误； ∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），
∴a-b+c=0，am2+bm+c=0，
∴am2-a+bm+b=0，即a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0，
∴a（m-1）+b=0，故③正确；
∵c≤-1，
∴≤-1，
∴b2-4ac≥4a，故④错误，
综上所述，①③正确，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据当x＜-1时，y随着x的增大而减小，可得抛物线的开口向上，即a＞0，根据抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，可得抛物线的对称轴0＜＜，即可判断①，比较点A、点B到对称轴的距离，即可判断②，根据二次函数图象上点的坐标特征得到a-b+c=0，am2+bm+c=0，进而得出a（m-1）+b=0，即可判断③，根据 c≤-1， 可得≤-1，再利用不等式的性质进行变形即可判断④.
11．【答案】（0，4）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】抛物线y=x2+4的顶点坐标是（0，4），
胡答案为：（0，4）.
【分析】根据二次函数y=ax2+k的顶点坐标是（0，k），直接解答即可.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式可得，l==，
故答案为：.
【分析】根据弧长公式l=代入求值即可.
13．【答案】±9
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设 3与27的比例中项为x，由题意可得：
解得：x=±9
故答案为：±9
【分析】根据比例中项的性质即可求出答案.
14．【答案】1≤x≤4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的解析式为y=x2-4x+3（a≠0），
∴c=3，对称轴为直线x===2，
∴点C的坐标为（0，3），则点C关于对称轴的对应点B的坐标为（4，3），
根据图象可知，当1≤x≤4时，kx+b≥x2-4x+3，
即不等式 kx+b≥x2-4x+3 的解集为1≤x≤4，
故答案为：1≤x≤4.
【分析】根据抛物线解析式求得点C的坐标和对称轴，利用抛物线的对称轴求得点B的坐标，然后结合函数图象，即可求得不等式的解集.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，
在中，，，
，
解得．
经检验：是方程的解，
故答案为：．
【分析】设半径为r，根据垂径定列方程解题即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：∠D=∠E=90°，∠AGD=∠AGE，AE=AD=8，DG=EG，∠C=∠GFH=90°，∠FGH=∠CGH，CH=GH=3，CG=FG，AE=AD=8∴∠E=∠GFH，∠AGH= ∠AGE+∠FGH=90°，
∵∠EAG+∠AGE=90°，
∴∠EAG=∠FGH，
∴△AEG∽△GFH，
∴，
∴，
解得：CG=4或CG=6，
∴DG=CD-CG=6或4，
∴EF===2，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理可得，AF==，
故答案为：.
【分析】由翻折的性质易证△AEG∽△GFH，根据相似三角形的性质可得，求得CG的值，进而求得EF，最后根据勾股定理即可求得AF.
17．【答案】（1）解：设 =k，则a=6k，b=5k，c=4k，
∵a+b-2c=6，
∴6k+5k-2×4k=3k=6
∴k=2
∴a=6k=12，
答：a的值是12.
（2）解：∵ ，
∴x=×1.5，
解得：x=，
答：x的值是.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设 =k，用含k的代数式表示a，b，c，再代入求值即可；
（2）根据比例的性质进行计算即可.
18．【答案】（1）解：∵ B（4，1），C（1，1） ，
∴BC=3，
在A的右侧取格点M，使AM=2，
连接CM，交AB于点P，如图所示：
点P即为所求；
（2）解：由题意可知， △A2B2C2 的三个顶点坐标是（-2，-6），（-8，-2），（-2，-2），如图所示：
△A2B2C2即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）取格点J，连接CJ交AB于点P，点P即为所求；
（2）利用位似变换的性质做出A、B、C的对应点 △A2、B2、C2即可.
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
　 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有16种等可能得结果，其中两个摸到的习俗相同的结果有：AA、BB、CC、DD，共4种，
∴他们两人摸到的习俗相同的概率==.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，共有4种等可能得结果，其中抽到“B.吃饺子”的结果有1种，
∴佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B.吃饺子”的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知，共有4种等可能得结果，其中抽到“B.吃饺子”的结果有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列表得出所有等可能结果，以及他们两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式计算即可.
20．【答案】（1）（-1，0）；（3，0）
（2）解：由（1）可知，A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵点M是AB的中点，
∴OM=1，AM=2，
∴CM=2，
在Rt△COM中，由勾股定理得，CO=，
∵ 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
∴OD=3，
∴CD=CO+OD=3+.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆与函数的综合
【解析】【解答】解： 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
令y=0，则（x-1）2-4=0，
解得：x=3或x=-1，
由图可知，A（-1，0），B（3，0），
故答案为：（-1，0）；B（3，0）.
【分析】（1）根据二次函数解析式，令y=0，再求解即可得出答案；
（2）由（1）中点A、B的坐标可得AB，根据可得点M为AB的中点，求得OM、CM，再根据勾股定理求得OC，由函数解析式求得OD，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵直径AB⊥DE，
∴CE= DE= ．
∵DE平分AO，
∴CO= AO= OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO= = ，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE= = =2．
∴⊙O的半径为2
（2）解：连接OF．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S扇形OEF= ×π×22=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2．
∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2．
【知识点】线段垂直平分线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解．（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
22．【答案】（1）y=-10x+1000（x≥50）
（2）解：由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，
函数图象如下：
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当50＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）解：∵由40（-10x+1000）≤10000，
解得x≥75，
又由于最大进货量为：y=10000÷40=250，
由题意可知，当x=75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．
S=250×（75-40）=8750（元）；
故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y=kx+b（x≥50），
根据题意，可得，
解得：，
∴ y与x的函数关系式为y=-10x+1000（x≥50），
故答案为：y=-10x+1000（x≥50）.
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出S与x的函数关系式，再根据二次函数性质即可得出答案；
（3）根据“ 购进该商品的贷款不超过10000元情况 ”列出不等式求解，再结合二次函数的性质即可得出答案.
23．【答案】（1）解：∵，∠CAD=35°，
∴∠ACB=2∠CAD=70°，
∴∠E=∠ACB-∠CAD=35°；
（2）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CDE；
（3）解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵，
∴∠ACB=2∠CAD，∠ADB=2∠DBE，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，∠ADB=∠DBE+∠E，
∴∠DBE=∠E=∠CAE，
∴BD=DE=3，AC=CE，
∴AE=AD+DE=4，
又∵CH⊥AE，
∴AH=EH=2，
∴DH=1，
∵∠ABC=∠CDE=60°，CH⊥AE，
∴∠DCH=30°，
∴DC=2DH=2，CH=，
∴AC=，
∴AC=CE=，
∵△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴AB=．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由可得∠ACB=2∠CAD=70°，再根据三角形的外角性质即可得出答案；
（2）根据圆的内接四边形的性质结合平角可得∠ABC=∠CDE，进而即可证明△ABE∽△CDE；
（3）过点C作CH⊥AB于H，由可得∠ACB=2∠CAD，∠ADB=2∠DBE，结合三角形的外角性质可得∠DBE=∠E=∠CAE，进而可得BD=DE=3，AC=CE，AE=AD+DE=4，由CH⊥AB可得AH=EH=2， DH=1，从而可得CD=2DH=2，由勾股定理可得CH、CE，最后根据相似三角形的性质求解即可.
24．【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：分两种情况：
①如图1，
当 时， ，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，
当 时， ，
则 ，
即 ，
解得： ；
综上所述， 的值为 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
（3）解： 能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，
当 时，
，
解得： ；
②如图4，
当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
，
，
，
，
解得： ；
③如图5，
当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
，
，
，
解得： ，
综上所述，当 的值为 或 或 时， 能成为等腰三角形．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）在 中，由勾股定理得： ，
由题意得： ， ，
，
故答案为： ， ；
【分析】
(1)由勾股定理可得AB，由题意得： ， ，可得结论；
(2)分两种情况①② ， 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得出答案；
(3)分三种情况： ， ， ，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可求解。
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