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四川省绵阳市2025年中考数学真题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2025·绵阳）﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7 B．7 C． D．
2．（2025·绵阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·绵阳）据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A．0.2215×107 B．2.215×106 C．22.15×106 D．2.215×107
4．（2025·绵阳）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·绵阳）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·绵阳）设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a+3＜b+3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a﹣3＜b﹣3
7．（2025·绵阳）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（　　）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
8．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
9．（2025·绵阳）观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7， ，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　）
A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y29
10．（2025·绵阳）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（　　）
A． B． C． D．2
11．（2025·绵阳）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（　　）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
12．（2025·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝4，将△OCD绕点O顺时针旋转至△OC1D1，C1D1与CD，OC分别交于点E，F，当CE时，△OFC1的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2025·绵阳）因式分解：x2﹣1= 　 　.
14．（2025·绵阳）如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　 　 °．
15．（2025·绵阳）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0的一个根为1，则a的值为　 　 ．
16．（2025·绵阳）水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是　 　 ．
17．（2025·绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
18．（2025·绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝4，AD＝2，点E在四边形内，DE⊥CE，EF⊥CD于点F，将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的延长线于点H，∠DCG＝45°，则点B到直线FH的距离为　 　 ．
三、解答题．
19．（2025·绵阳）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
20．（2025·绵阳）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG．
（1）证明：四边形BGEH为平行四边形；
（2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
21．（2025·绵阳）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
22．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m﹣9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2025·绵阳）如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE，AF，AD⊥BD，垂足为点D，DE＝3，DF＝1．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）设AB＝kOB（k＞0），求k的值；
（3）求cos∠EAF的值．
24．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
（2）点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的意义可知，-7的相反数为7，
故答案为：B.
【分析】根据相反数的意义可知，只有符号不同的两个数为相反数，由此即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意，
D、此图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出答案.平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形；若一个图形绕某一点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合即为中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：22150000用科学记数法表示为 2.215×107 ，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数的绝对值为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴当x为任意实数， 都有意义，故A正确，
B、当x＜-1时，x+1＜0，此时无意义，故B错误，
C、当x＞3时，3-x＜0，此时 无意义，故C错误，
D、∵x2≥0，
∴-x2≤0，
∴当x=0时， 有意义，当x为其他数时 ，无意义，故D错误，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的几何体的主视图为：
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念逐项进行判断即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：设a＞b ，根据不等式的基本性质1可知，a+3＞b+3，故A错误，
B、 设a＞b ，根据不等式的基本性质3可知，-2a＜-2b，故B错误，
C、 设a＞b ，根据不等式的基本性质2可知， ，故C正确，
D、设a＞b ，根据不等式的基本性质1可知，a-3＞b-3，故D错误，
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
根据题意可得：240x=150（x+12），
解得：x=20，
∴快马20天可追上慢马，
故答案为：D.
【分析】设快马x天可追上慢马，根据题意列出一元一次方程，求解即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；数形结合
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，2），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=，点D（1，）
∴BD=3，
∴点B（-2，），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；单项式的次数与系数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：第1个单项式：-xy=-1·x·y，
第2 个单项式： x2y3 =（-1）2· x2·y1+2 ，
第3 个单项式： -x3y5 =（-1）3· x3·y1+2×2=（-1）3· x3·y1+2×（3-1），
第4 个单项式： x4y7 =（-1）4· x4·y1+2×3=（-1）4· x4·y1+2×（4-1），
……
由以上规律可知，第n个单项式：（-1）n· xn·y1+2×（n-1）=（-1）nxny2n-1，
∴第15个单项式：（-1）15· x15·y2×15-1=-x15y29，
故答案为：B.
【分析】观察给出的单项式，找出系数，x的次数、y的次数的变化规律，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4CE=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，
∴BE=BC+CE=5，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF=2，
∴在△FCE和△FDG中，
，
∴△FCE≌△FDG（ASA），
∴DG=CE=1，
∴AG=AD-DG=3，
∴在Rt△ACF中，由勾股定理可得，BF===，
在Rt△FDG中，由勾股定理可得，GF===，
在Rt△ABG中，由勾股定理可得，BG===5，
∴BF2+GF2=BG2，
∴△BFG为直角三角形，
∴tan∠FBG== ，
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可知AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，求得BE=5，结合中点定义与对顶角相等易证△FCE≌△FDG（ASA），可推出DG=CE=1，AG=A3，由勾股定理可求得BF、GF、BG，再由勾股定理得逆定理可得△BFG为直角三角形，进而即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设普通机器人每小时装载货物x吨需要x小时，则智能机器人每小时装载货物1.5x吨，
根据题意可得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原分式方程的根，
∴1.5x=1.5×6=9（吨），
∴智能机器人每小时可以装载货物9吨，
故答案为：D.
【分析】设普通机器人每小时装载货物x吨需要x小时，则智能机器人每小时装载货物1.5x吨，再根据“ 两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟”列出方程求解即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设OD1交CD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB=，BC=4，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠BAC==，
∴∠BAC=30°=∠OCD=∠ODC，
∵=sin∠BAC=sin30°=，
∴AC=2BC=8=BD，
∴OC=AC=4=OD，
由旋转可得：OC1=OC=4，∠C1=∠C=30°，∠COD=∠C1OD1，
∴∠DOG=∠C1OF，
∵OD=OC1，∠ODG=∠C1，
∴△DOG≌△C1OF（ASA），
∴OG=OF，DG=CF1，
∴D1G=CF，
∵∠D1=∠FCE，∠D1EG=∠CEF，
∴△D1EG≌△CEF（AAS），
∴EG=EF，D1E=CE，
∵∠CEF=∠C1FO，∠FCE=∠C1，
∴△CEF∽△C1OF（AA），
∴，
即，
∴C1F=3CF，EF=，
∵DG+EG+CE=，
∴CF=，
∴C1F=，OF=4-=，
∴△OFC1的周长=OC1+DF+C1F=4++= ，
故答案为：B.
【分析】设OD1交CD于点G，分别证得△DOG≌△C1OF（ASA），△D1EG≌△CEF（AAS），△CEF∽△C1OF（AA），根据DG+EG+CE=，求得CF，进而求得OF、C1F，进而即可得出答案.
13．【答案】（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）
【分析】代数式利用平方差公式分解即可．
14．【答案】120
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC=180°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°，
故答案为：120.
【分析】由“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BCD+∠ABC=180°，进而即可得出答案.
15．【答案】5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程 x2﹣6x+a＝0 ，得：1-6+a=0，
∴a=5，
故答案为：5.
【分析】根据一元二次方程的解得定义将x=1代入方程，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的概率==，
故答案为：.
【分析】先根据题意画出树状图可得一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，再根据概率公式进行计算即可.
17．【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：
则BH⊥CD，
∴∠BGD=∠BHF=90°，
由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，
∴BH=BG+GH=12m，
∵CD=3m，
∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，
∵∠DBG=∠FBH，
∴△BDG∽△BFH，
∴，
∴，
解得：FH=8.4，
∴EF=FH+EH=10m，
∴大树的高度EF为10m，
故答案为：10.
【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得，进而即可得出结论.
18．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点C作CK⊥AD，交AD的延长线于点K，过点B作BQ⊥CD于点Q，如图所示：
∵将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，
∴∠GCE=∠GCB，∠CEG=∠CBA=90°，CE=CB=4，BG=BE，
∵∠K=∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABCK是矩形，
∴∠BCK=90°，
∵∠DCG=45°，即∠GCE+∠DCE=45°，
∴∠DCK+∠GCB=45°，
∴∠DCK=∠DCE，
∵∠CED=∠CKD=90°，CD=CD，
∴△CDE≌△CDK（AAS），
∴CK=CE=4=BE ，
∴四边形ABCK是正方形，
∴AK=4，
∴DK=DE=2，
在Rt△CDK中，由勾股定理可得，CD==，
∵∠ECF=∠DCE，∠CFE=∠CED，
∴△CEF∽△CDE（AA），
∴，
∴，
∴CF=，
∵∠DCK+∠BCQ=∠CBQ+∠BCQ=90°，
∴∠CBQ=∠DCK，
∴sin∠CBQ=sin∠DCK===，
∴=sin∠CBQ=，
∴CQ=BC=，
∴FQ=CF-CQ=-=，
故答案为：.
【分析】过点C作CK⊥AD，交AD的延长线于点K，过点B作BQ⊥CD于点Q，由翻折的性质易得四边形ABCK是矩形，进而得出∠DCK=∠DCE，从而得出△CDE≌△CDK（AAS），由全等三角形的性质可得CK=CE=4=BE ，证得四边形ABCK是正方形，由正方形的性质结合勾股定理可得CD=，由∠ECF=∠DCE，∠CFE=∠CED可得△CEF∽△CDE，根据相似三角形的性质可得，求得CF=，由锐角三角函数定义可得CQ=，进而即可得出答案.
19．【答案】（1）105；110
（2）解：1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：800480（人），
答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次；
故答案为：105，110；
【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可得出答案；
（2）求出1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体即可得出答案.
20．【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∵CH＝FG，
∴CD﹣CH＝AF﹣FG，
即HD＝AG，
在△BCH和△EFG中，
，
∴△BCH≌△EFG（SAS），
∴BH＝EG，
在△ABG和△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（SAS），
∴BG＝EH，
∴四边形BGEH为平行四边形
（2）解：如图，连接OA、OB、OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF60°，OA＝OB＝OF，
∴△AOB，△AOF是正三角形，
∴OA＝OB＝OF＝AB＝4，
∴S阴影部分＝2S弓形AB
＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）
＝2×（4）
π﹣8
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正六边形的性质可得每个角、每条边相等，进而得出△BCH≌△EFG（SAS）、△ABG≌△DEH（SAS），求得BH＝EG，BG＝EH，即可得出答案.
（2）根据正六边形的性质易得△AOB，△AOF是正三角形，进而得出
S阴影部分＝2S弓形AB＝2（S扇形AOB﹣S△AOB），即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场A型相册每本的零售价是60元，B型相册每本的零售价是50元
（2）解：设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，
根据题意得：，
解得：10≤m≤12，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册．
选择购买方案1所需费用为60×10+50×5＝850（元）；
选择购买方案2所需费用为60×11+50×4＝860（元）；
选择购买方案3所需费用为60×12+50×3＝870（元），
∵850＜860＜870，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，根据“ 购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元 ”列出二元一次方程组，求解即可得出答案；
（2）设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，根据“ 购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元 ”列出一元一次不等式组，求得m的取值范围，结合m为正整数得出购买方案，再求出每一种方案的费用，进而即可得出答案.
22．【答案】（1）解：将A（﹣2，m﹣9）代入y＝mx得，
m﹣9＝﹣2m，
解得m＝3，
∴正比例函数表达式为y＝3x，A（﹣2，﹣6），
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数解析式为y，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（2，6）；
综上所述，A（﹣2，﹣6），B（2，6），反比例函数解析式为y
（2）解：过C作CG∥x轴，交AB于点G，
设C（c，），则G（，），
∴CG＝c，
∴S△BOCCG （yB﹣yO）（c）×6＝5，
解得c＝3或c（舍去），
∴C（3，4），则OC5．
当OC为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点N在点C左侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（﹣2，4）；
②如图，此点N在点C右侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（8，4）；
③如图，OM、CN为对角线，
此时点C与点N关于x轴对称，则N（3，﹣4）；
当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过C作CL⊥x轴于点L，
设OM＝a，则CM＝a，ML＝a﹣3，
在Rt△CLM中，（a﹣3）2+42＝a2，
解得a，
∴CN，
∴N（，4）；
综上所述，点N坐标为（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（，4）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出m的值，即可得出点A的坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，进而分类讨论即可得出答案.
23．【答案】（1）证明：连接OE，如图1所示，
∵BD切⊙O于点E，
∴∠BEO＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴EO∥DA，
∴∠OEA＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OAE，即AE平分∠BAD
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE2+EO2＝DO2，
即9+r2＝（r+1）2，解得r＝4．
作OG⊥AD于点D，如图2所示，
则四边形DEOG为矩形，
故OG＝DE＝3，
由勾股定理可得AG，
∴sin∠GOA，
∵OG∥BD，
∴sinB＝sin∠GOA，
∴OB，
∴k11
（3）解：∵DE2＝9，DF×DC＝1×9＝9，
∴DE2＝DF×DC，
又∵∠EDF＝∠CDE，
∴△DEF∽△DCE，
∴，
故设EF＝m，CE＝3m，
在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE2+EF2＝CF2，
即（3m）2+m2＝82，解得m（负根舍去），
连接CE、EF，如图3所示，
则∠EAF＝∠ECF，
∵CF为直径，
∴∠CEF＝90°，
∴cos∠EAF＝cos∠ECF
【知识点】圆的综合题；求正弦值；相似三角形的判定-SAS；切线的概念
【解析】【分析】（1）连接OE，由切线的定义结合∠BDA＝90°可得EO∥DA，进而得出∠OEA＝∠DAE，由等边对等角可得∠OEA＝∠OAE，求得∠DAE＝∠OAE，进而即可得出答案；
（2）设⊙O半径为r，由勾股定理可得r=4，作OG⊥AD于点D，则四边形DEOG为矩形，得
OG＝DE＝3，由勾股定理可得AG=，进而求得sin∠GOA，由OG∥BD可得，sinB＝sin∠GOA，进而可得OB，进而即可求得k的值；
（3）根据题意易证△DEF∽△DCE，可推出，设EF＝m，CE＝3m，由勾股定理可得CE2+EF2＝CF2，即可求得m，连接CE、EF，由圆周角定理可得∠EAF＝∠ECF，进而即可得出答案.
24．【答案】（1）解：令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则2x+2＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为yx+2．
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣1，或x＝4，
∴B（4，0）．
∵yx+2，
∴顶点D（，）
（2）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴AB＝5，AC，BC2，
∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
延长BC至点B'，使B'C＝BC＝2，连接B'D，交直线y＝2x+2于点P，如图，
则B'，B关于直线y＝2x+2对称，此时△BDP的周长最小，
过点B'作B'E⊥x轴于点E，
∵B'E⊥x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥B'E，
∵B'C＝BC，
∴OC为△BB'E的中位线，
∴OE＝OB＝4，B'E＝2OC＝4，
∴B'（﹣4，4），
设直线B'D的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线B'D的解析式为y，
∴，
∴，
∴P（，）
（3）解：在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）．
①如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K，
设EF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，KO⊥AB，
∴四边形EHOK，FGOK为矩形，EF∥AB，
∴OK＝EH，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴EH，
∴矩形EFGH的面积＝EF EH
＝m
2m
，
∵m，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴EH1，
∵EH∥OC，EHOC，
∴H为OA的中点，
∴H（，0）．
同理，点G为OB的中点，
∴G（2，0）．
②如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，
设GF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴，
∴，
∴GH＝22m，
∴矩形EFGH的面积＝FG GH
＝m（22m）
＝﹣2m2+2m
＝﹣2，
∵m＝﹣2＜0，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴GH＝22m，
∴点G为BC的中点，
∵FG∥AC，
∴FG为△ABC的中位线，
∴BFAB，
∴OF＝OB﹣FB，
∴F（，0）．
综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0则可求得点A、C的坐标，将点A、C代入抛物线，求得抛物线解析式，进而可得点B的坐标以及顶点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到AC、BC，延长BC至点B'，使B'C=BC=2，连接BD，交直线y=2x+2于点P，利用轴对称的性质可得B'、B关于直线y=2x+2对称，此时BDP的周长最小，过点B'作B'E⊥x轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点B'的坐标，再利用待定系数法求得直线B'D的解析式为y，再与直线y=2x+2联立即可求得点P的坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设EF与OC交于点K，设EF=m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当m=时，矩形EFGH的面积取得最大值是，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，设GF＝m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积＝-2，利用二次函数的性质得到当m=时，矩形EFGH的面积取得最大值是，再利用三角形的中位线定理解答即可.
1 / 1四川省绵阳市2025年中考数学真题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2025·绵阳）﹣7的相反数是（　　）
A．﹣7 B．7 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的意义可知，-7的相反数为7，
故答案为：B.
【分析】根据相反数的意义可知，只有符号不同的两个数为相反数，由此即可得出答案.
2．（2025·绵阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意，
D、此图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出答案.平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形；若一个图形绕某一点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合即为中心对称图形.
3．（2025·绵阳）据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A．0.2215×107 B．2.215×106 C．22.15×106 D．2.215×107
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：22150000用科学记数法表示为 2.215×107 ，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数的绝对值为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．（2025·绵阳）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴当x为任意实数， 都有意义，故A正确，
B、当x＜-1时，x+1＜0，此时无意义，故B错误，
C、当x＞3时，3-x＜0，此时 无意义，故C错误，
D、∵x2≥0，
∴-x2≤0，
∴当x=0时， 有意义，当x为其他数时 ，无意义，故D错误，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案.
5．（2025·绵阳）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的几何体的主视图为：
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念逐项进行判断即可得出答案.
6．（2025·绵阳）设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a+3＜b+3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a﹣3＜b﹣3
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：设a＞b ，根据不等式的基本性质1可知，a+3＞b+3，故A错误，
B、 设a＞b ，根据不等式的基本性质3可知，-2a＜-2b，故B错误，
C、 设a＞b ，根据不等式的基本性质2可知， ，故C正确，
D、设a＞b ，根据不等式的基本性质1可知，a-3＞b-3，故D错误，
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断即可得出答案.
7．（2025·绵阳）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（　　）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
根据题意可得：240x=150（x+12），
解得：x=20，
∴快马20天可追上慢马，
故答案为：D.
【分析】设快马x天可追上慢马，根据题意列出一元一次方程，求解即可得出答案.
8．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；数形结合
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，2），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=，点D（1，）
∴BD=3，
∴点B（-2，），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
9．（2025·绵阳）观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7， ，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　）
A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y29
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；单项式的次数与系数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：第1个单项式：-xy=-1·x·y，
第2 个单项式： x2y3 =（-1）2· x2·y1+2 ，
第3 个单项式： -x3y5 =（-1）3· x3·y1+2×2=（-1）3· x3·y1+2×（3-1），
第4 个单项式： x4y7 =（-1）4· x4·y1+2×3=（-1）4· x4·y1+2×（4-1），
……
由以上规律可知，第n个单项式：（-1）n· xn·y1+2×（n-1）=（-1）nxny2n-1，
∴第15个单项式：（-1）15· x15·y2×15-1=-x15y29，
故答案为：B.
【分析】观察给出的单项式，找出系数，x的次数、y的次数的变化规律，即可得出答案.
10．（2025·绵阳）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4CE=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，
∴BE=BC+CE=5，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF=2，
∴在△FCE和△FDG中，
，
∴△FCE≌△FDG（ASA），
∴DG=CE=1，
∴AG=AD-DG=3，
∴在Rt△ACF中，由勾股定理可得，BF===，
在Rt△FDG中，由勾股定理可得，GF===，
在Rt△ABG中，由勾股定理可得，BG===5，
∴BF2+GF2=BG2，
∴△BFG为直角三角形，
∴tan∠FBG== ，
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可知AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，求得BE=5，结合中点定义与对顶角相等易证△FCE≌△FDG（ASA），可推出DG=CE=1，AG=A3，由勾股定理可求得BF、GF、BG，再由勾股定理得逆定理可得△BFG为直角三角形，进而即可得出答案.
11．（2025·绵阳）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（　　）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设普通机器人每小时装载货物x吨需要x小时，则智能机器人每小时装载货物1.5x吨，
根据题意可得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原分式方程的根，
∴1.5x=1.5×6=9（吨），
∴智能机器人每小时可以装载货物9吨，
故答案为：D.
【分析】设普通机器人每小时装载货物x吨需要x小时，则智能机器人每小时装载货物1.5x吨，再根据“ 两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟”列出方程求解即可.
12．（2025·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝4，将△OCD绕点O顺时针旋转至△OC1D1，C1D1与CD，OC分别交于点E，F，当CE时，△OFC1的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设OD1交CD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB=，BC=4，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠BAC==，
∴∠BAC=30°=∠OCD=∠ODC，
∵=sin∠BAC=sin30°=，
∴AC=2BC=8=BD，
∴OC=AC=4=OD，
由旋转可得：OC1=OC=4，∠C1=∠C=30°，∠COD=∠C1OD1，
∴∠DOG=∠C1OF，
∵OD=OC1，∠ODG=∠C1，
∴△DOG≌△C1OF（ASA），
∴OG=OF，DG=CF1，
∴D1G=CF，
∵∠D1=∠FCE，∠D1EG=∠CEF，
∴△D1EG≌△CEF（AAS），
∴EG=EF，D1E=CE，
∵∠CEF=∠C1FO，∠FCE=∠C1，
∴△CEF∽△C1OF（AA），
∴，
即，
∴C1F=3CF，EF=，
∵DG+EG+CE=，
∴CF=，
∴C1F=，OF=4-=，
∴△OFC1的周长=OC1+DF+C1F=4++= ，
故答案为：B.
【分析】设OD1交CD于点G，分别证得△DOG≌△C1OF（ASA），△D1EG≌△CEF（AAS），△CEF∽△C1OF（AA），根据DG+EG+CE=，求得CF，进而求得OF、C1F，进而即可得出答案.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2025·绵阳）因式分解：x2﹣1= 　 　.
【答案】（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）
【分析】代数式利用平方差公式分解即可．
14．（2025·绵阳）如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　 　 °．
【答案】120
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC=180°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°，
故答案为：120.
【分析】由“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BCD+∠ABC=180°，进而即可得出答案.
15．（2025·绵阳）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+a＝0的一个根为1，则a的值为　 　 ．
【答案】5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程 x2﹣6x+a＝0 ，得：1-6+a=0，
∴a=5，
故答案为：5.
【分析】根据一元二次方程的解得定义将x=1代入方程，即可得出答案.
16．（2025·绵阳）水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是　 　 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的概率==，
故答案为：.
【分析】先根据题意画出树状图可得一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，再根据概率公式进行计算即可.
17．（2025·绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：
则BH⊥CD，
∴∠BGD=∠BHF=90°，
由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，
∴BH=BG+GH=12m，
∵CD=3m，
∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，
∵∠DBG=∠FBH，
∴△BDG∽△BFH，
∴，
∴，
解得：FH=8.4，
∴EF=FH+EH=10m，
∴大树的高度EF为10m，
故答案为：10.
【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得，进而即可得出结论.
18．（2025·绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝4，AD＝2，点E在四边形内，DE⊥CE，EF⊥CD于点F，将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的延长线于点H，∠DCG＝45°，则点B到直线FH的距离为　 　 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点C作CK⊥AD，交AD的延长线于点K，过点B作BQ⊥CD于点Q，如图所示：
∵将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，
∴∠GCE=∠GCB，∠CEG=∠CBA=90°，CE=CB=4，BG=BE，
∵∠K=∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABCK是矩形，
∴∠BCK=90°，
∵∠DCG=45°，即∠GCE+∠DCE=45°，
∴∠DCK+∠GCB=45°，
∴∠DCK=∠DCE，
∵∠CED=∠CKD=90°，CD=CD，
∴△CDE≌△CDK（AAS），
∴CK=CE=4=BE ，
∴四边形ABCK是正方形，
∴AK=4，
∴DK=DE=2，
在Rt△CDK中，由勾股定理可得，CD==，
∵∠ECF=∠DCE，∠CFE=∠CED，
∴△CEF∽△CDE（AA），
∴，
∴，
∴CF=，
∵∠DCK+∠BCQ=∠CBQ+∠BCQ=90°，
∴∠CBQ=∠DCK，
∴sin∠CBQ=sin∠DCK===，
∴=sin∠CBQ=，
∴CQ=BC=，
∴FQ=CF-CQ=-=，
故答案为：.
【分析】过点C作CK⊥AD，交AD的延长线于点K，过点B作BQ⊥CD于点Q，由翻折的性质易得四边形ABCK是矩形，进而得出∠DCK=∠DCE，从而得出△CDE≌△CDK（AAS），由全等三角形的性质可得CK=CE=4=BE ，证得四边形ABCK是正方形，由正方形的性质结合勾股定理可得CD=，由∠ECF=∠DCE，∠CFE=∠CED可得△CEF∽△CDE，根据相似三角形的性质可得，求得CF=，由锐角三角函数定义可得CQ=，进而即可得出答案.
三、解答题．
19．（2025·绵阳）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】（1）105；110
（2）解：1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：800480（人），
答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次；
故答案为：105，110；
【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可得出答案；
（2）求出1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体即可得出答案.
20．（2025·绵阳）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG．
（1）证明：四边形BGEH为平行四边形；
（2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∵CH＝FG，
∴CD﹣CH＝AF﹣FG，
即HD＝AG，
在△BCH和△EFG中，
，
∴△BCH≌△EFG（SAS），
∴BH＝EG，
在△ABG和△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（SAS），
∴BG＝EH，
∴四边形BGEH为平行四边形
（2）解：如图，连接OA、OB、OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF60°，OA＝OB＝OF，
∴△AOB，△AOF是正三角形，
∴OA＝OB＝OF＝AB＝4，
∴S阴影部分＝2S弓形AB
＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）
＝2×（4）
π﹣8
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正六边形的性质可得每个角、每条边相等，进而得出△BCH≌△EFG（SAS）、△ABG≌△DEH（SAS），求得BH＝EG，BG＝EH，即可得出答案.
（2）根据正六边形的性质易得△AOB，△AOF是正三角形，进而得出
S阴影部分＝2S弓形AB＝2（S扇形AOB﹣S△AOB），即可得出答案.
21．（2025·绵阳）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】（1）解：设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场A型相册每本的零售价是60元，B型相册每本的零售价是50元
（2）解：设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，
根据题意得：，
解得：10≤m≤12，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册．
选择购买方案1所需费用为60×10+50×5＝850（元）；
选择购买方案2所需费用为60×11+50×4＝860（元）；
选择购买方案3所需费用为60×12+50×3＝870（元），
∵850＜860＜870，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本A型相册，5本B型相册；
方案2：购买11本A型相册，4本B型相册；
方案3：购买12本A型相册，3本B型相册，方案1所需费用最少
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设这家商场A型相册每本的零售价是x元，B型相册每本的零售价是y元，根据“ 购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元 ”列出二元一次方程组，求解即可得出答案；
（2）设购买m本A型相册，则购买（15﹣m）本B型相册，根据“ 购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元 ”列出一元一次不等式组，求得m的取值范围，结合m为正整数得出购买方案，再求出每一种方案的费用，进而即可得出答案.
22．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m﹣9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣2，m﹣9）代入y＝mx得，
m﹣9＝﹣2m，
解得m＝3，
∴正比例函数表达式为y＝3x，A（﹣2，﹣6），
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数解析式为y，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（2，6）；
综上所述，A（﹣2，﹣6），B（2，6），反比例函数解析式为y
（2）解：过C作CG∥x轴，交AB于点G，
设C（c，），则G（，），
∴CG＝c，
∴S△BOCCG （yB﹣yO）（c）×6＝5，
解得c＝3或c（舍去），
∴C（3，4），则OC5．
当OC为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点N在点C左侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（﹣2，4）；
②如图，此点N在点C右侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（8，4）；
③如图，OM、CN为对角线，
此时点C与点N关于x轴对称，则N（3，﹣4）；
当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过C作CL⊥x轴于点L，
设OM＝a，则CM＝a，ML＝a﹣3，
在Rt△CLM中，（a﹣3）2+42＝a2，
解得a，
∴CN，
∴N（，4）；
综上所述，点N坐标为（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（，4）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出m的值，即可得出点A的坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，进而分类讨论即可得出答案.
23．（2025·绵阳）如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE，AF，AD⊥BD，垂足为点D，DE＝3，DF＝1．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）设AB＝kOB（k＞0），求k的值；
（3）求cos∠EAF的值．
【答案】（1）证明：连接OE，如图1所示，
∵BD切⊙O于点E，
∴∠BEO＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴EO∥DA，
∴∠OEA＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OAE，即AE平分∠BAD
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE2+EO2＝DO2，
即9+r2＝（r+1）2，解得r＝4．
作OG⊥AD于点D，如图2所示，
则四边形DEOG为矩形，
故OG＝DE＝3，
由勾股定理可得AG，
∴sin∠GOA，
∵OG∥BD，
∴sinB＝sin∠GOA，
∴OB，
∴k11
（3）解：∵DE2＝9，DF×DC＝1×9＝9，
∴DE2＝DF×DC，
又∵∠EDF＝∠CDE，
∴△DEF∽△DCE，
∴，
故设EF＝m，CE＝3m，
在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE2+EF2＝CF2，
即（3m）2+m2＝82，解得m（负根舍去），
连接CE、EF，如图3所示，
则∠EAF＝∠ECF，
∵CF为直径，
∴∠CEF＝90°，
∴cos∠EAF＝cos∠ECF
【知识点】圆的综合题；求正弦值；相似三角形的判定-SAS；切线的概念
【解析】【分析】（1）连接OE，由切线的定义结合∠BDA＝90°可得EO∥DA，进而得出∠OEA＝∠DAE，由等边对等角可得∠OEA＝∠OAE，求得∠DAE＝∠OAE，进而即可得出答案；
（2）设⊙O半径为r，由勾股定理可得r=4，作OG⊥AD于点D，则四边形DEOG为矩形，得
OG＝DE＝3，由勾股定理可得AG=，进而求得sin∠GOA，由OG∥BD可得，sinB＝sin∠GOA，进而可得OB，进而即可求得k的值；
（3）根据题意易证△DEF∽△DCE，可推出，设EF＝m，CE＝3m，由勾股定理可得CE2+EF2＝CF2，即可求得m，连接CE、EF，由圆周角定理可得∠EAF＝∠ECF，进而即可得出答案.
24．（2025·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
（2）点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则2x+2＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2x+c（a≠0）经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为yx+2．
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣1，或x＝4，
∴B（4，0）．
∵yx+2，
∴顶点D（，）
（2）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴AB＝5，AC，BC2，
∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
延长BC至点B'，使B'C＝BC＝2，连接B'D，交直线y＝2x+2于点P，如图，
则B'，B关于直线y＝2x+2对称，此时△BDP的周长最小，
过点B'作B'E⊥x轴于点E，
∵B'E⊥x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥B'E，
∵B'C＝BC，
∴OC为△BB'E的中位线，
∴OE＝OB＝4，B'E＝2OC＝4，
∴B'（﹣4，4），
设直线B'D的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线B'D的解析式为y，
∴，
∴，
∴P（，）
（3）解：在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）．
①如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K，
设EF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，KO⊥AB，
∴四边形EHOK，FGOK为矩形，EF∥AB，
∴OK＝EH，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴EH，
∴矩形EFGH的面积＝EF EH
＝m
2m
，
∵m，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴EH1，
∵EH∥OC，EHOC，
∴H为OA的中点，
∴H（，0）．
同理，点G为OB的中点，
∴G（2，0）．
②如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，
设GF＝m，
∵四边形EFGH为矩形，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴，
∴，
∴GH＝22m，
∴矩形EFGH的面积＝FG GH
＝m（22m）
＝﹣2m2+2m
＝﹣2，
∵m＝﹣2＜0，
∴当m时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴GH＝22m，
∴点G为BC的中点，
∵FG∥AC，
∴FG为△ABC的中位线，
∴BFAB，
∴OF＝OB﹣FB，
∴F（，0）．
综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为（，0），（2，0）或（，0）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0则可求得点A、C的坐标，将点A、C代入抛物线，求得抛物线解析式，进而可得点B的坐标以及顶点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到AC、BC，延长BC至点B'，使B'C=BC=2，连接BD，交直线y=2x+2于点P，利用轴对称的性质可得B'、B关于直线y=2x+2对称，此时BDP的周长最小，过点B'作B'E⊥x轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点B'的坐标，再利用待定系数法求得直线B'D的解析式为y，再与直线y=2x+2联立即可求得点P的坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设EF与OC交于点K，设EF=m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当m=时，矩形EFGH的面积取得最大值是，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，设GF＝m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积＝-2，利用二次函数的性质得到当m=时，矩形EFGH的面积取得最大值是，再利用三角形的中位线定理解答即可.
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