资源简介

广东省江门市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的项涂黑．
1．（2026九上·江门期末）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·江门期末）“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
3．（2026九上·江门期末）反比例函数y= 的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
4．（2026九上·江门期末）方程配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·江门期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026九上·江门期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·江门期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．3 D．
8．（2026九上·江门期末）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·江门期末）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·江门期末）下列两个图形中，不一定相似的是（　　）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）：把正确的答案填写在答题卡内．
11．（2026九上·江门期末）数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：　 　．
12．（2026九上·江门期末）原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为　 　．
13．（2026九上·江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 　 　．
14．（2026九上·江门期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
15．（2026九上·江门期末）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
三、解答题（本大题共3小题，第16、18小题各6分，第17小题10分，共22分）
16．（2026九上·江门期末）解方程：x2-2x-3=0
17．（2026九上·江门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕点A逆时针旋转后得到的；
（2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
18．（2026九上·江门期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为、、、．恩平市体育学校的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下．他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2026九上·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积．
20．（2026九上·江门期末）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米
（2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益．
21．（2026九上·江门期末）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）
22．（2026九上·江门期末）综合与探究：
【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点，点叫做的重心．
【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
思路一 思路二
第一步 如图3，取中点，连接，证明 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系．
第三步
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；
【问题解决】（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图II，若点是弦的中点，交于点，则的值为_____．
②如图III，在①的条件下，若，求的值．
③如图IV，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，，请求出与的函数关系式．
23．（2026九上·江门期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离；
（3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可．
2．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分” 这一事件，其结果具有不确定性：可能翻到，也可能翻不到。根据定义，它属于随机事件。故答案为：A。
【分析】先明确随机事件的定义，再分析 “翻开课本恰好翻到二次函数部分” 的结果具有不确定性，从而判断该事件为随机事件。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=2>0，
∴反比例函数经过第一、二象限。
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系：比例系数大于0，图象的两支分别位于第一、三象限。
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程：x2 + 8x - 9 = 0，
把 - 9 移到右边，得到 x2 + 8x = 9，
一次项系数是 8，它的一半是 4，4 的平方是 16。两边同时加 16，得到
x2 + 8x + 16 = 9 + 16，
左边是 (x + 4) 的平方，右边是 25，所以(x + 4)2 = 25。
故答案为：B。
【分析】先把不含未知数的常数项移到等号右边，让左边只保留含 x 的项，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方式。
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，解答即可．
6．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：原方程是 x2 - 6x + c = 0，对应一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0，这里 a=1，b=-6，常数项为 c。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于 0，即：b2 - 4ac = 0
代入 a=1，b=-6，得：(-6)2 - 4×1×c = 0
计算得：36 - 4c = 0
解得：c = 9。
故答案为：C。
【分析】先明确一元二次方程有两个相等实数根的条件是判别式等于 0，然后确定方程 x2 - 6x + c = 0 中 a=1，b=-6，代入判别式公式 b2 - 4ac = 0，计算得出 36 - 4c = 0，解出 c = 9。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC=AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r-1）2，
解得：r=，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，利用垂径定理可得AC=AB=2，再利用勾股定理可得r2=22+（r-1）2，最后求出r的值即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知点 在反比例函数 的图象上，根据反比例函数的性质，可得：
将 代入 ，得到：；
故答案为：C。
【分析】先利用反比例函数 的性质，得出图象上点 满足 。然后将 直接代入代数式 ，计算得到结果为 。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接 OC。因为 PC 是⊙O 的切线，所以 OC⊥PC，即∠OCP = 90°。已知 AC = PC，所以△ACP 是等腰三角形，∠P = ∠CAP。
又因为 OA = OC，所以△OAC 也是等腰三角形，∠OAC = ∠OCA。
设∠P = x，那么∠CAP = x，∠OCA = x。
在△OCP 中，∠COP 是△OAC 的外角，所以∠COP = ∠OAC + ∠OCA = 2x。
在 Rt△OCP 中，∠COP + ∠P = 90°，即 2x + x = 90°，解得 x = 30°。
所以∠P = 30°。
故答案为：C。
【分析】连接 OC，根据切线性质，OC 和 PC 垂直，所以∠ OCP 是 90 度，因为 AC 等于 PC，OA 等于 OC，所以∠P 等于∠CAP，也等于∠OCA。设∠P 为 x，那么∠COP 就是 2x。在直角三角形 OCP 里，x + 2x = 90°，算出 x= 30 °，也就是角 P 的度数。
10．【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、正方形的四个角都是90°，对应角相等；四条边都相等，对应边一定成比例，因此一定相似，故A不符合题意 ；
B、菱形的四条边相等，对应边成比例，但菱形的内角可以变化，对应角不一定相等。因此，两个菱形不一定相似，故B符合题意 ；
C、等腰直角三角形的三个角分别是90°、45°、45°，对应角相等；对应边的比例也固定，因此一定相似，故C不符合题意 ；
D、等边三角形的三个角都是60°，对应角相等；对应边也一定成比例，因此一定相似，故D不符合题意 ；
故答案为：B。
【分析】判断两个图形是否相似，核心是同时满足两个条件：对应角相等，且对应边成比例。本题需要逐一分析选项，判断是否一定同时满足这两个条件，从而找出“不一定相似”的图形。
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：，
故答案为：．
【分析】确定总共有 4 张卡片，每张被抽到的可能性相同，其中只有 1 张是华罗庚的卡片，即符合条件的结果数为 1，根据概率公式，概率等于符合条件的结果数除以总结果数，也就是
12．【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为，
∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】题目以原点为位似中心，位似比为，这个比例是新图形与原图形的比值，因此原图形到新图形的坐标缩放比例为或，点A的坐标为，将其横、纵坐标分别乘以，得到对应点的坐标，再将横、纵坐标分别乘以，得到另一组对应点的坐标。
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设此抛物线解析式为，
∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】已知顶点坐标 ，先设抛物线的顶点式为 。根据“形状、开口方向相同”，确定二次项系数 。代入 的值，得到解析式 。
14．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是(，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，据此即可求解．
15．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
16．【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
，
点C旋转到点的过程中所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据网格和点的坐标，利用旋转性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1。
（2）用勾股定理算出旋转半径AC的长度为，再确定旋转角为90°。代入弧长公式 ，计算出点C到C1的路径长为 。
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
，
点C旋转到点的过程中所经过的路径长为．
18．【答案】解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】用列表法列出不放回抽取两张卡片的所有 12 种等可能结果，找出其中恰好是 C（冲浪）和 D（运动攀岩）的结果，共有 2 种，根据概率公式，概率等于符合条件的结果数除以总结果数，即．
19．【答案】（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）因为点A、B是一次函数与反比例函数的交点，将它们的横坐标6和2分别代入两个函数，得到一个关于a和k的方程组，解这个方程组即可求出 ，。
（2）先根据第一问的结果写出一次函数的表达式，再分别令x=0和y=0，求出直线与y轴、x轴的交点D(0，4)和C(8，0)，得到OC=8，OD=4，最后用直角三角形面积公式，计算出 的面积为 。
（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
20．【答案】（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：(舍去)，，
答：道路的宽是米；
（2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：，
∵政府规定月租车位租金最高限价为350元，
∴当时，最大为元，
答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设道路宽为x米，把停车位区域看作一个长为米、宽为米的矩形，根据面积列出方程 ，解方程并结合实际意义舍去不合理解，得到道路宽为6米。
（2）设月租金为a元，根据租金上涨与车位减少的关系，得出月收益函数 ，整理成顶点式后，结合政府规定的最高限价350元，确定当a=350元时，收益最大为14000元。
（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：(舍去)，，
答：道路的宽是米；
（2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：，
∵政府规定月租车位租金最高限价为350元，
∴当时，最大为元，
答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元．
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，交于点E．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
∵，
∴∠OEB=∠CEB=90°，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴r=3，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据，得出，根据平行线的判定定理即可证出；
（2）连接，交于点E，根据直径所对的圆周角是直角得出，得出，再根据得出，根据垂径定理得出点E为的中点，从而得出是的中位线，从而得出．设半圆的半径为r，利用勾股定理得出，从而得出方程，解方程求出r的值，从而得出，即可得出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．
22．【答案】解：（1）思路一：如图3，取中点，连接，
，
则，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴；
思路二：如图，作平行交延长线于点，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）①；
②如图III，连接，，
，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴；
③如图IV，连接，
∵为直径
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
过点作于点，交于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）①如图II，过点作，交的延长线于，
，
则，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）选择思路一：取AD中点M，连接EM，利用中位线性质得到EM∥CD且，进而证明△BDP∽△EMP。结合AD是中线，得到BD=CD，推出相似比为1：2，从而得到AP=2DP。
或选择思路二：作AN∥BC，先证明△BCE≌△NAE，得到AN=BC，再证明△BDP∽△NAP，结合AD是中线，得到BD=BC=AN，推出相似比为1：2，从而得到AP=2DP。
（2）①利用三角形重心的性质，直接得到。
②设OE=x，由①知OC=3x，结合AM⊥OC，用勾股定理求出AE、AC的长度，再由M是BC中点，得到OM是△ABC的中位线，进而求出。
③过E作EQ⊥BC，利用三角函数表示出EQ、BQ的长度，结合DE⊥OC推出∠ABC=∠DEQ，再用正切值列出比例式，整理得到y与x的函数关系式。
23．【答案】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点，
当时，，则
当时，可得，解得，则，
将，代入抛物线，可得：
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设，，
过点作于点，过点作轴交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大为，
点到直线的最大值为；
（3）解：当直线与抛物线只有一个交点时，
令，
则，
，
，
当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时，
直线解析式的值与直线解析式的值相同，为，
直线与直线平行，
根据“心形图”关于直线对称可知，
上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线，
上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等，
根据平行线分线段成比例可得，
故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，
由图可知，当时，直线与“心形图”有交点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)先由一次函数 求出与坐标轴交点 、，再代入抛物线 ，解方程组得到 、，因此解析式为 。
(2)设 ，作 轴交 于 ，则 。
由 为等腰直角三角形，可知 ，代入后求二次函数最大值，当 时， 最大为 。
(3)直线与抛物线相切时，，解得 ，此时直线与“心形图”右上方相切。直线过点 下方对称点时，，此时直线与“心形图”左下方相切。结合图形，直线与“心形图”有交点时，。
（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点，
当时，，则
当时，可得，解得，则，
将，代入抛物线，可得：
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设，，
过点作于点，过点作轴交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大为，
点到直线的最大值为；
（3）解：当直线与抛物线只有一个交点时，
令，
则，
，
，
当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时，
直线解析式的值与直线解析式的值相同，为，
直线与直线平行，
根据“心形图”关于直线对称可知，
上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线，
上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等，
根据平行线分线段成比例可得，
故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，
由图可知，当时，直线与“心形图”有交点．
1 / 1广东省江门市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的项涂黑．
1．（2026九上·江门期末）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可．
2．（2026九上·江门期末）“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分” 这一事件，其结果具有不确定性：可能翻到，也可能翻不到。根据定义，它属于随机事件。故答案为：A。
【分析】先明确随机事件的定义，再分析 “翻开课本恰好翻到二次函数部分” 的结果具有不确定性，从而判断该事件为随机事件。
3．（2026九上·江门期末）反比例函数y= 的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=2>0，
∴反比例函数经过第一、二象限。
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系：比例系数大于0，图象的两支分别位于第一、三象限。
4．（2026九上·江门期末）方程配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程：x2 + 8x - 9 = 0，
把 - 9 移到右边，得到 x2 + 8x = 9，
一次项系数是 8，它的一半是 4，4 的平方是 16。两边同时加 16，得到
x2 + 8x + 16 = 9 + 16，
左边是 (x + 4) 的平方，右边是 25，所以(x + 4)2 = 25。
故答案为：B。
【分析】先把不含未知数的常数项移到等号右边，让左边只保留含 x 的项，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方式。
5．（2026九上·江门期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，解答即可．
6．（2026九上·江门期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：原方程是 x2 - 6x + c = 0，对应一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0，这里 a=1，b=-6，常数项为 c。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于 0，即：b2 - 4ac = 0
代入 a=1，b=-6，得：(-6)2 - 4×1×c = 0
计算得：36 - 4c = 0
解得：c = 9。
故答案为：C。
【分析】先明确一元二次方程有两个相等实数根的条件是判别式等于 0，然后确定方程 x2 - 6x + c = 0 中 a=1，b=-6，代入判别式公式 b2 - 4ac = 0，计算得出 36 - 4c = 0，解出 c = 9。
7．（2026九上·江门期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC=AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r-1）2，
解得：r=，
故答案为：D．
【分析】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，利用垂径定理可得AC=AB=2，再利用勾股定理可得r2=22+（r-1）2，最后求出r的值即可.
8．（2026九上·江门期末）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知点 在反比例函数 的图象上，根据反比例函数的性质，可得：
将 代入 ，得到：；
故答案为：C。
【分析】先利用反比例函数 的性质，得出图象上点 满足 。然后将 直接代入代数式 ，计算得到结果为 。
9．（2026九上·江门期末）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接 OC。因为 PC 是⊙O 的切线，所以 OC⊥PC，即∠OCP = 90°。已知 AC = PC，所以△ACP 是等腰三角形，∠P = ∠CAP。
又因为 OA = OC，所以△OAC 也是等腰三角形，∠OAC = ∠OCA。
设∠P = x，那么∠CAP = x，∠OCA = x。
在△OCP 中，∠COP 是△OAC 的外角，所以∠COP = ∠OAC + ∠OCA = 2x。
在 Rt△OCP 中，∠COP + ∠P = 90°，即 2x + x = 90°，解得 x = 30°。
所以∠P = 30°。
故答案为：C。
【分析】连接 OC，根据切线性质，OC 和 PC 垂直，所以∠ OCP 是 90 度，因为 AC 等于 PC，OA 等于 OC，所以∠P 等于∠CAP，也等于∠OCA。设∠P 为 x，那么∠COP 就是 2x。在直角三角形 OCP 里，x + 2x = 90°，算出 x= 30 °，也就是角 P 的度数。
10．（2026九上·江门期末）下列两个图形中，不一定相似的是（　　）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、正方形的四个角都是90°，对应角相等；四条边都相等，对应边一定成比例，因此一定相似，故A不符合题意 ；
B、菱形的四条边相等，对应边成比例，但菱形的内角可以变化，对应角不一定相等。因此，两个菱形不一定相似，故B符合题意 ；
C、等腰直角三角形的三个角分别是90°、45°、45°，对应角相等；对应边的比例也固定，因此一定相似，故C不符合题意 ；
D、等边三角形的三个角都是60°，对应角相等；对应边也一定成比例，因此一定相似，故D不符合题意 ；
故答案为：B。
【分析】判断两个图形是否相似，核心是同时满足两个条件：对应角相等，且对应边成比例。本题需要逐一分析选项，判断是否一定同时满足这两个条件，从而找出“不一定相似”的图形。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）：把正确的答案填写在答题卡内．
11．（2026九上·江门期末）数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：，
故答案为：．
【分析】确定总共有 4 张卡片，每张被抽到的可能性相同，其中只有 1 张是华罗庚的卡片，即符合条件的结果数为 1，根据概率公式，概率等于符合条件的结果数除以总结果数，也就是
12．（2026九上·江门期末）原点为与的位似中心，位似比为．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵原点为与的位似中心，位似比为，点的坐标为，
∴点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】题目以原点为位似中心，位似比为，这个比例是新图形与原图形的比值，因此原图形到新图形的坐标缩放比例为或，点A的坐标为，将其横、纵坐标分别乘以，得到对应点的坐标，再将横、纵坐标分别乘以，得到另一组对应点的坐标。
13．（2026九上·江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设此抛物线解析式为，
∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】已知顶点坐标 ，先设抛物线的顶点式为 。根据“形状、开口方向相同”，确定二次项系数 。代入 的值，得到解析式 。
14．（2026九上·江门期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是(，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，据此即可求解．
15．（2026九上·江门期末）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
三、解答题（本大题共3小题，第16、18小题各6分，第17小题10分，共22分）
16．（2026九上·江门期末）解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
17．（2026九上·江门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕点A逆时针旋转后得到的；
（2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
，
点C旋转到点的过程中所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据网格和点的坐标，利用旋转性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1。
（2）用勾股定理算出旋转半径AC的长度为，再确定旋转角为90°。代入弧长公式 ，计算出点C到C1的路径长为 。
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，
，
点C旋转到点的过程中所经过的路径长为．
18．（2026九上·江门期末）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为、、、．恩平市体育学校的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下．他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率．
【答案】解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中符合条件的结果数有2种，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】用列表法列出不放回抽取两张卡片的所有 12 种等可能结果，找出其中恰好是 C（冲浪）和 D（运动攀岩）的结果，共有 2 种，根据概率公式，概率等于符合条件的结果数除以总结果数，即．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2026九上·江门期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积．
【答案】（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）因为点A、B是一次函数与反比例函数的交点，将它们的横坐标6和2分别代入两个函数，得到一个关于a和k的方程组，解这个方程组即可求出 ，。
（2）先根据第一问的结果写出一次函数的表达式，再分别令x=0和y=0，求出直线与y轴、x轴的交点D(0，4)和C(8，0)，得到OC=8，OD=4，最后用直角三角形面积公式，计算出 的面积为 。
（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
20．（2026九上·江门期末）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米
（2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益．
【答案】（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：(舍去)，，
答：道路的宽是米；
（2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：，
∵政府规定月租车位租金最高限价为350元，
∴当时，最大为元，
答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设道路宽为x米，把停车位区域看作一个长为米、宽为米的矩形，根据面积列出方程 ，解方程并结合实际意义舍去不合理解，得到道路宽为6米。
（2）设月租金为a元，根据租金上涨与车位减少的关系，得出月收益函数 ，整理成顶点式后，结合政府规定的最高限价350元，确定当a=350元时，收益最大为14000元。
（1）解：设道路的宽为米，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：(舍去)，，
答：道路的宽是米；
（2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元，
根据题意得：，
∵政府规定月租车位租金最高限价为350元，
∴当时，最大为元，
答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元．
21．（2026九上·江门期末）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，交于点E．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
∵，
∴∠OEB=∠CEB=90°，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴r=3，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据，得出，根据平行线的判定定理即可证出；
（2）连接，交于点E，根据直径所对的圆周角是直角得出，得出，再根据得出，根据垂径定理得出点E为的中点，从而得出是的中位线，从而得出．设半圆的半径为r，利用勾股定理得出，从而得出方程，解方程求出r的值，从而得出，即可得出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）
22．（2026九上·江门期末）综合与探究：
【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点，点叫做的重心．
【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
思路一 思路二
第一步 如图3，取中点，连接，证明 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系．
第三步
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；
【问题解决】（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图II，若点是弦的中点，交于点，则的值为_____．
②如图III，在①的条件下，若，求的值．
③如图IV，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，，请求出与的函数关系式．
【答案】解：（1）思路一：如图3，取中点，连接，
，
则，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴；
思路二：如图，作平行交延长线于点，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）①；
②如图III，连接，，
，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴；
③如图IV，连接，
∵为直径
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
过点作于点，交于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）①如图II，过点作，交的延长线于，
，
则，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）选择思路一：取AD中点M，连接EM，利用中位线性质得到EM∥CD且，进而证明△BDP∽△EMP。结合AD是中线，得到BD=CD，推出相似比为1：2，从而得到AP=2DP。
或选择思路二：作AN∥BC，先证明△BCE≌△NAE，得到AN=BC，再证明△BDP∽△NAP，结合AD是中线，得到BD=BC=AN，推出相似比为1：2，从而得到AP=2DP。
（2）①利用三角形重心的性质，直接得到。
②设OE=x，由①知OC=3x，结合AM⊥OC，用勾股定理求出AE、AC的长度，再由M是BC中点，得到OM是△ABC的中位线，进而求出。
③过E作EQ⊥BC，利用三角函数表示出EQ、BQ的长度，结合DE⊥OC推出∠ABC=∠DEQ，再用正切值列出比例式，整理得到y与x的函数关系式。
23．（2026九上·江门期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离；
（3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点，
当时，，则
当时，可得，解得，则，
将，代入抛物线，可得：
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设，，
过点作于点，过点作轴交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大为，
点到直线的最大值为；
（3）解：当直线与抛物线只有一个交点时，
令，
则，
，
，
当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时，
直线解析式的值与直线解析式的值相同，为，
直线与直线平行，
根据“心形图”关于直线对称可知，
上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线，
上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等，
根据平行线分线段成比例可得，
故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，
由图可知，当时，直线与“心形图”有交点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)先由一次函数 求出与坐标轴交点 、，再代入抛物线 ，解方程组得到 、，因此解析式为 。
(2)设 ，作 轴交 于 ，则 。
由 为等腰直角三角形，可知 ，代入后求二次函数最大值，当 时， 最大为 。
(3)直线与抛物线相切时，，解得 ，此时直线与“心形图”右上方相切。直线过点 下方对称点时，，此时直线与“心形图”左下方相切。结合图形，直线与“心形图”有交点时，。
（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点，
当时，，则
当时，可得，解得，则，
将，代入抛物线，可得：
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设，，
过点作于点，过点作轴交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大为，
点到直线的最大值为；
（3）解：当直线与抛物线只有一个交点时，
令，
则，
，
，
当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时，
直线解析式的值与直线解析式的值相同，为，
直线与直线平行，
根据“心形图”关于直线对称可知，
上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线，
上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等，
根据平行线分线段成比例可得，
故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，
由图可知，当时，直线与“心形图”有交点．
1 / 1

展开更多......

收起↑