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秘密★启用前
高二内部练
数学（北师大版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知数列满足，且，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．经过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知，是两个随机事件，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．720 B．432 C．228 D．114
7．如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若数列满足对于，恒有成立，则称为“数列”．已知“数列”的各项都是整数，且，，若，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的展开式中的系数为，则（ ）
A． B．展开式中常数项为
C．所有项的系数之和为512 D．二项式系数最大项为第5项或第6项
11．已知点在双曲线的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则（ ）
A．的离心率为
B．存在点，使得为等腰直角三角形
C．点到的两条渐近线的距离之积为定值
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在等比数列中，，，则________．
13．已知抛物线的焦点为，点在的准线上且位于第二象限内，线段与交于点，且，，则________．
14．在直四棱柱中，，，，，，若线段，，上分别存在点，，，使得四边形为菱形，则直四棱柱的体积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）某电商平台销售A、B两款同一价位的智能产品，近5个月的销售情况如下：
月份 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 2026年3月
月份代号 1 2 3 4 5
销售总量（万件） 0.5 0.6 0.9 1.2 1.8
已知可用线性回归模型拟合与的关系．
（1）根据表中数据求与的线性回归方程；
（2）根据（1）中所求的方程，预测2026年4月份该平台这两款智能产品的销售总量；
（3）已知该电商平台购进A、B两款智能产品的数量之比为，平台声明销售时A、B两款智能产品会随机发货．
现一客户购买了4件该产品，记表示购买的4件产品中A款的数量，求的分布列和数学期望．
附：线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：．
18．（17分）设是数列的前项和，已知，．
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前项和；
（3）记，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点，．
（1）求的标准方程．
（2）若直线与交于，两点．
（ⅰ）当时，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线过定点；
（ⅱ）当时，设为坐标原点，是上异于，的点，且，求的面积．
参考答案
1-11略
12．20 13． 14．
15．解：（1）设等差数列的公差为，
由条件可知，
解得，，
所以的通项公式为．
（2），
所以数列的前项和为．
16．解：（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，以，所在直线分别为，轴，以在平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，所以2，
则，，，，所以，，
因为，
所以，故．
（2）由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，由得取，则．
由（1）知，平面，则是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17．解：（1），
，
．
所以，，
故与的线性回归方程为．
（2）当时，，
故预测2026年4月份该平台这两款智能产品的销售总量为1.96万件．
（3）因为A、B两款智能产品的数量之比为，所以任选一件产品是A款的概率为，
由题意可知，，
的可能取值分别为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
．
18．解：（1）证明：由，得当时，，
两式相减得，即，
所以，
由，得，所以，
所以，
故是等比数列．
（2）由（1）可知，，所以，
则，
，
设，
则，
两式相减得，
所以，
故．
（3）由（2）可知，，，，
由题意可知，，
令，则，
令，解得，所以数列在上单调递减；
令，解得，所以数列在上单调递增；
又，，故，所以的最大项为，
故实数的取值范围为．
19．解：（1）由，两点的位置可知，椭圆的长轴在轴上，
设的方程为．
由解得，，
故的标准方程为．
（2）由整理得，
则，
设，，则，，
（ⅰ）当时，，
由题意可知，，所以直线的方程为，
令，则
，
故直线过定点．
（ii）设，则，，
由，得
则
将点代入得，
整理得，
又，在椭圆上，所以，，代入上式得，
又，均在直线上，
所以，，则，
整理得，
将，代入上式，得，则，
所以
，
又点到直线的距离为，
故的面积为．

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