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2025-2026 学年度第二学期 3 月阶段检测 高一数学 (重点班)
考试时间 120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. 1 B. C. D. -1
2. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 设 为非零向量,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 ()
A. B. C. D.
5. 已知向量 ，若 ，则 ( )
A. 2 B. -1 C. 1 D. -2
6. 在 中, 是线段 上的一点,若 ,则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 当 时,函数 取得最大值,则 的值可能为 ( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，已知 ， ， ， ， 分别是 ， 边上的点,且 ,且 ,若线段 的中点分别为 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ，且 ，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知非零向量 ，则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 向量 与向量 垂直
11. 正方形 的边长为 在 上,且 ,如图,点 是以 为直径的半圆上任意一点, ,则()
A. 最大值为
B. 最大值为 1
C. 的最大值为
D. 最大值是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为_____.
13. 已知 ，则 _____.
14. 已知 中，点 ， 分别是知 的重心和外心，且 ， ，则边 的长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 在 中,角 的对应边分别为 ,根据各小题条件分别求解.
(1) ,求最小的内角.
(2) 是方程 的两个根， ，求边 的长.
(3) ，求边 的长.
16. 已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的坐标；
(3)若 ，求 与 的夹角.
17. (1)已知 ，其中 . 求角 的值.
(2)化简: .
18. 已知 ,函数 .
(1)求函数 的解析式及周期 ；
( 2 )若 ，且 ，求 的值.
(3)角 分别为 三边所对的角,若 ，求 周长的最大值.
19. 正等角中心 (positive isogonal centre) 亦称费马点, 是三角形的巧合点之一. “费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是: “在一个三角形内求作一点, 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. "意大利数学家托里拆利给出了解答, 当
的三个内角均小于120°时，使得 的点 即为费马点； 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 所对的边分别为 ，
(1)若 是关于 的方程 两根,其中
① 求 ；
②若 ，设点 为 的费马点，求 ；
(2)若 ,设点 为 的费马点, ,求实数 的最小值.
1. C
.
故选:
2. A
由二倍角的余弦公式可得 .
故选: A.
3. B
若 ,则 模长相等,但它们的方向可以不同,故 不一定成立, 故 得不到 ,
若 ,则 ,
故“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件,
故选: B.
4. B
因为向量 与 的夹角为 ,且 ,可得
则 ,
所以 .
故选: B.
5. A
若 ,则 ,即 ,
向量 ,则 ,解得 .
故选: A
6. A
由 ,
由已知 ,则 ,
根据平面向量三点共线定理得 ,解得 .
故选: A
7. C
当 ,即 时, 取得最大值,
所以 的值可能为 选项.
故选: .
8.
解: 在 中, ,则 ,分别是边 的点,线段 的中点分别为
,
,
两边平方得:
,
又 ,
当 时, 最小值为 ,即 的最小值为 .
故选: B.
9.
,即 ,
,
,
选项正确,
选项错误,
选项正确
选项错误.
故选: BC
10. ABD
对于 ,因为 为非零向量,若 ,则 ,故 ,故 正确;
对于 ,若 ,
则 ,故 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 ,
得到 ,不能确定 ,故 C 错误;
对于 ,
所以 ,故 D 正确.
故选: ABD.
11. ABD
以线段 所在直线为 轴,线段 的中垂线为 轴,建立平面直角坐标系,如图,
则 .
设 ,则 ,
由 ,得 ,
则 ,解得 .
对于 ,其中锐角 由 确定,
,则当 时, , A 正确;
对于 ,即 ,当且仅当 时取等号, 正确;
对于 ,
则 ,
而 ,当 时, 取得最大值为 错误.
对于 ,其中锐角 由 确定, ,则当 时, 取得最大值 正确.
12.
在 方向上的投影向量为 .
13.
根据题意得 .
由已知得 ,即 ,
故 .
14.
如图,延长 交 于点 ,过点 作 于点 ,作 于点 .
因点 分别是知 的重心和外心,则 ,
则 ,则
即得 ,
又由 和 ,可得 ,
整理得 ,解得 ,
因 ,
则 ,
即边 的长为 . 故答案为: .
15.
(2)
(3)3
(1) 由小边对小角知 最小,且 , 又 ,故 ;
(2)由题设 ，
所以 ,
则 ;
(3)由题设 ，则 ，
所以 ,则 (负值舍).
16.
(2) 或
(3)
(1) .
( 2 )因为 ，设 ，
则 ，解得 .
因此 或 .
(3)由(1)知， .
因为 ，
则 ,
所以 ，所以 .
又 ，所以 .
故 与 的夹角为 .
17. (1)
(1) 因为 且 ,可得 , 所以
则 .
因为 ,可得 ,
又因为 ,
所以 ,可得 ,
所以 ,所以 .
(2)原式 .
18. (1)
(2)
(3)
(1) . 周期 ;
(2)由 可知， ，化简得
,
;
(3)由 可得 ，即 ，
又 ，则 ，则 ，所以 .
由余弦定理知:
,
当且仅当 时 “=” 成立,
此时 为等边三角形，
又 所以 的周长的最大值为 .
19. (1) ; ②-1;
(2) .
(1)①由题意得:
是关于 方程 的方程的两个不等实根,
,
,由于 ,故 均为锐角,
,
,
因为 均为锐角,所以 ,而 也为锐角,
;
②由①知， ，则 的三个角都小于 ，由费马点定义知: 设 ,由 得:
,整理得 ,
所以 .
(2)由 ，得 ，
即 ,又 ,则 ,
于是 ,整理得 ,即 ,
又 ,有 ,则 ,
由点 为 的费马点,得 ,
设 ,
由 ,得 ,
由余弦定理得 ,
相加得 得 ,
整理得 ,于是 ,当且仅当 ,即 时取等号,
又 ,因此 ,而 ,解得 ,所以实数 的最小值为 .

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