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剑影实验学校 2025-2026 学年第二学期第一次月考 高一数学试卷
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 已知向量 ，则 等于( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，若 ，则 等于( )
A. -1 B. 1 C. 4 D. -4
3. 向量 满足 ，向量 与 的夹角为 ，则 ( )
A. 0 B. 8
C. D.
4. 如图,在四边形 中, ,设 ,则 等于 ( )
A. B. C. D.
5. 在 ，已知 ，则 ()
A. 3 B. C. D. 1
6. 记平面向量 ，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7. 是平面内不共线的两个向量,已知 ,若 三点共线，则 的值是( )
A. 3 B. -3
C. -2 D. 2
8. 在 中， 为 边上的动点，若 边足够长， 则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 共 3 题, 每题 6 分, 共 18 分. (在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分.)
9. 下列命题中正确的有( )
A. 平行向量就是共线向量
B. 方向相反的向量就是相反向量
C. 与 同向，且 ，则
D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10. 下列命题中正确的是( )
A. 若 是单位向量,则
B. 若 ,则存在唯一的实数 ,使得
C. 若向量 ,则 在 方向上投影的数量是
D. 若向量 和 ，满足 ， ，则
11. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则( )
A. B.
C. 为锐角三角形 D. 的最大值为
三、填空题:共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分.
12. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为_____.
13. 记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 _____.
14. 在平行四边形 中, 是 的中点， 是 上靠近 的三等分点， 交 于点 ，若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明或演算步骤.
15. 已知平面向量 .
(1)若 ，求向量 的坐标；
(2)若 ，求 的值；
(3)若向量 ，若 与 共线，求 的值.
16. 在 中，角 的对应边分别为 且 .
(1)求边 的长；
(2)求角 大小及 的面积.
17. 如图,在菱形 中, 分别是 的中点,记 .
(1)用 表示向量 ；
(2)若 ，求 的值.
18. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 , .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围；
(3)设 是 的重心，求 的最小值.
19. 如图,延长 的边 至点 ，边 至点 ，边 至点 ，使得线段 、 、 的长分别为 的 倍,我们将 称为 的“ 变换三角形”.
(1)当 时,若 ，求 的长；
(2)若 是边长为 2 的等边三角形，点 为其“ 2 变换三角形”中线段 上的动点，求 的最大值；
(3)证明:当 变化时， 的“ 变换三角形”的重心始终为同一点.
1. A
由题意 .
故选: A
2. B
由 ,可得 ,
所以由 ,解得 .
故选: B.
3. A
因为 ,向量 与 的夹角为 ,
则 .
故选: A.
4. C
因为 ,
所以
.
故选: C.
5. A
在 中,由余弦定理可得 , 所以 ,即 ,
解得 或 -5(舍去)，
故选: A
6. C
由题意可得 ,
故向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为
故选:
7.
由已知 ,
由 三点共线,故存在实数 ,使 ,
即 ,即 解得 .
故选: D
8. C
因为 ，所以 ，
则 ,
由余弦定理, ,
又 ,所以 ,
则 .
如图,设 ,过 作 ,垂足为 ,则 ,
过 作 ,垂足为 ,
则 .
故选:
9. AD
对于 A 选项, 平行向量就是共线向量, A 对;
对于 B 选项, 相反向量就是方向相反且长度相等的向量, B 错;
对于 选项，任何两个向量都不能比较大小， 错；
对于 D 选项，“两个向量平行”推不出 “这两个向量相等”，
另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”，
所以, 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件, D 对.
故选: AD.
10. BD
对于 ,单位向量是模长为 1 的向量,无法确定 的方向,故 错误,
对于 ,由共线定理可知 正确,
对于 在 方向上投影的数量是 ,故 错误;
由 可得 ,故 ,
,故 D 正确.
11. AB
对于 ,因为 ,结合余弦定理推论可得,
,化简得 ,解得 (舍) 或 , 正确;
对于 ,因为 ,
所以 ,又 ,
所以 正确;
对于 是钝角， 错误；
对于 解得 ,
根据余弦定理可得 ,代入得
利用基本不等式 ,
当且仅当 时取等号;
所以 错误;
故选: AB.
12.
因 ,
则 ,
又因 ,故 .
即 与 的夹角为 .
13.
由正弦定理 可得 ,
则 ,即 .
故答案为: .
14. 或
如图,设 ,记 ,
,则 ,
是 上靠近 的三等分点,则 ,
由图知, 三点共线,故存在 ,使得 ,
又 是 的中点,则 ,
由图知, 三点共线,故存在 ,使得 ,
因为 ,所以得 ,解得 ,
故 ,又 ,
由 可得 ,
展开得 ,即 ,
也即 ,设 ,则 ,解得 或 . 故答案为: 或 .
15.
(2)
(3)18
(1) 因为 ,所以 ,解得 ,故 , 则 .
(2)因为 ，所以 ，则 ，
则 .
(3) ，
若 与 共线,则 ,
解得 ,即 ,
故 .
16.
(2)
(1)由正弦定理 ,得
(2)由余弦定理 ，所以
17. (1) ;
(2)2.
(1)依题意， ，则 ，
,则 ,
所以 .
(2)由(1)知， ，
由 ,得 ,即 ,
由菱形 ,得 ,则 ,即 ,
整理得 ,因此 ,所以 .
18.
(2)
(3) .
(1)由 和正弦定理,可得 , 去分母得 ,即 , 由余弦定理,可得 . 又 ,所以 .
(2)由正弦定理，可得
.
因为三角形为锐角三角形,所以 ,解得 . 则 , 则 ,故 .
(3)设 的中点为 ，因 是 的重心，则 ，
由余弦定理， ,
故当 时， 取得最小值 ，此时 的最小值为
19.(1)因为 ，所以 ，则 ，则
因为 ,所以 ,
在 中,由余弦定理得
,所以 .
(2)设 ,则 ，
由题意得， ,
所以
,
故当 ，即点 为线段 的中点时， 取最大值 10 .
(3)由题意得， ， ， ，
记 的重心为点 ，则 ，
,
所以点 为 的重心.

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