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宁夏回族自治区银川市2025-2026学年九年级下期第一次模拟考试数学试卷
一、单选题
1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠2=60° B．∠3=60° C．∠4=120° D．∠5=40°
5．已知方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为　　
A．14 B．13 C．12 D．10
7．植树节这天有名同学共种了棵树苗，其中男生每人种树棵，女生每人种树2棵．设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．分解因式： ______．
10．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式_______________．

11．某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是________．
12．分式方程无解，则a的值为________．
13．若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________．
14．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标是________．
15．圆锥的底面半径，高，则圆锥的全面积是________．
16．正方形按如图所示放置,点在直线上,点在轴上,则的坐标是_____.

三、解答题
17．解不等式≥1，并把它的解集表示在数轴上．
18．先化简，再求值：，其中.
19．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．
20．水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚． 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请将下表补充完整，并填空．
收集数据 从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：
甲 26 32 40 51 44 74 44 63 73 74 81 54 62
41 33 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33
乙 27 35 46 55 48 36 47 68 82 48 57 66 75
27 36 57 57 66 58 61 71 38 47 46 71
整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据
（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中个为产量良好，个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：
甲 5 5 5 5 4 1
乙 2 4 6 2
大棚 平均数 众数 方差
甲 53 54 3047
乙 53 57 3022
得出结论：
(1)估计乙大棚产量优秀的秧苗数为 株；
(2)可以推断出 大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
21．如图，矩形中，是对角线的垂直平分线，连接、，且、．证明四边形是菱形并求面积．（提示：证平分）
22．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元
23．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
24．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
25．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点， ，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
(1)已知，，试求A，B两点间的距离．
(2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，试求A，B两点的距离．
(3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标以及的最短长度．
26．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，，，，若点M是边上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作交于点N．
(1)求点B的坐标；
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求BM的长；
(3)在上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D C D B
1．B
【详解】∵数轴上的点 A，B 分别与实数﹣1，1 对应，
∴AB=|1﹣（﹣1）|=2，
∴BC=AB=2，
∴与点 C 对应的实数是：1+2=3.
故选B．
2．B
【详解】解：将676000用科学记数法表示为．
故选：．
3．C
【详解】解：根据主视图和左视图的定义，可得选项C中主视图和左视图均为：
故选：C．
4．D
【详解】根据平行线的性质和对顶角的性质得出∠3=∠2=∠1=60°，根据互补的性质可得：∠4=180°-60°=120°，根据互余的性质可得：∠5=90°-60°=30°．
∴D选项错误.
故选D．
5．D
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴把代入原方程，得，
整理得：，
解得：．
6．C
【详解】∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO
∵在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO
∴AE=CF，EO=FO=1.5
∵C四边形ABCD=18
∴CD+AD=9
∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.
故选C
7．D
【详解】解：设男生有人，女生有人，
根据题意，列方程组：，
故答案为：D
8．B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
9．
【详解】解：．
10．
【详解】左图中部分的面积=a2-b2,
右图中的面积=(a+b)(a-b),
由图中的面积不变,得.
故答案为.
11．
【详解】据题意，画树状图如下：
一共有9种等可能性，都抽到物理有1种等可能性，
小华和小强都抽到物理学科的概率是，
故答案为：．
12．7
【详解】解：原分式方程可变形为，
方程两边同乘最简公分母，得，
∵原分式方程无解，
∴，即是原分式方程的增根，
将代入整式方程，得
，
解得：．
13．
【详解】解：是边长为2的等边三角形，是其内切圆，与切于点D，连接，，如图：
∵是的内切圆，
∴，是的平分线，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即内切圆的半径是．
14．
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为，即，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标为．
15．
【详解】解：由勾股定理得，母线，
∴，
∵底面积为，
∴圆锥的全面积是．
16．
【详解】解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1=1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1=OA1=1，
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
An的坐标为（2n-1-1，2n-1），
故答案为（2n-1-1，2n-1），
17．x≤﹣1
【详解】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，
去括号，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，
移项，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，
合并同类项，得：﹣5x≥5，
系数化为1，得：x≤﹣1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
18． ．
【详解】详解：原式=÷（﹣）
=÷
=
=﹣
=
当m=﹣2时，原式=﹣
=﹣
=﹣1+2
=．
19．（1）2；（2）作图见解析；（3）（﹣2a，2b）．
【详解】解：(1△A1B1C1与△ABC的位似比等于=；
(2)如图所示
(3)点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．
考点：(1)、作图-位似变换；(2)、作图-轴对称变换
20．(1)
(2)乙，见解析
【详解】（1）解：由题意可得：乙大棚秧苗上的小西红柿的个数在的秧苗数为：，
故估计乙大棚产量优秀的秧苗数为株；
（2）解：两组样本数据的平均数相同，但乙组数据的众数大，方差小，说明乙大棚的小西红柿个头较大，且大小相对比较均匀，故乙大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求．
21．证明见解析；
【详解】证明：矩形，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故，
．
22．（1）该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）B种商品最低售价为每件1080元．
【详解】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
解得
故答案为：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
故答案为：B种商品最低售价为每件1080元．
23．（1）y=-；（2）点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
【详解】（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3），
把A（﹣1，3）代入反比例函数，
∴k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为
（2）联立两个函数的表达式得：，
解得：或，
∴点B的坐标为B（﹣3，1），
当y=x+4=0时，得x=﹣4，
∴点C（﹣4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵，
∴，
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
24．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOC=∠BOC，
在△CDO和△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，
∵∠ECB=60°，
∴∠DCO=∠BCO= ∠ECB=30°，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=OF，
∵AD∥OC，
∴∠GOF=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O的半径r=3，
∴S阴=S扇形ODF==π．
25．(1)13
(2)5
(3)是等腰三角形，理由见详解
(4)，的最短长度为
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，
∴．
（3）解：是等腰三角形，
理由：∵，，，
∴，，，
即，
∴是等腰三角形．
（4）解：如图，作点F关于x轴的对称点，
∵，
连接，与x轴交于点P，此时长度最短，为，
设直线解析式为，
由对称性可知，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令得，即，
∴的最短长度为，
则的长度最短时，，此时的最短长度为．
26．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：过点作于点，
，，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
设，则，
的周长与四边形的周长相等，
，
即，
解得，
；
（3）解：由（2）可得：当，则，，
①当时，
，
，
；
②当时，
此时四边形是正方形，
，
；
③当时，过点作于点，
，
，
，
，
，
．

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