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(共18张PPT)
8.1　平方根
第2课时　算术平方根(1)
第八章　实数
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　算术平方根的概念
正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术
平方根.正数a的算术平方根用 来表示.
规定：0的算术平方根是0，即 ＝0.
典例1　求下列各数的算术平方根：
(1)16；
解：(1)∵42＝16，
∴16的算术平方根是4，即 ＝4.
解：(1)∵42＝16，
∴16的算术平方根是4，即 ＝4.
(2) ；
解：(2)∵2＝ ，
∴ 的算术平方根是 ，即 ＝ .
(3)0.64.
解：(3)∵0.82＝0.64，
∴0.64的算术平方根是0.8，即 ＝0.8.
变式1　求下列各数的算术平方根：
(1)81；
解：(1)∵92＝81，
∴81的算术平方根是9，即 ＝9.
解：(1)∵92＝81，
∴81的算术平方根是9，即 ＝9.
(2)2 ；
解：(2)∵2 ＝ ，2＝ ，
∴2 的算术平方根是 ，即 ＝ .
解：(2)∵2 ＝ ，2＝ ，
∴2 的算术平方根是 ，即 ＝ .
(3)(－4)2.
被开方数越大，对应的算术平方根就越大.
解：(3)∵(－4)2＝42，
∴(－4)22的算术平方根是4，即 ＝4.
知识点 　算术平方根的实际应用
典例2　(教材P44练习T3)排球比赛场地呈长方形，长是
宽的2倍，面积为162 m2.它的长与宽分别是多少？
解：设宽为x m，则长为2x m.
根据题意，得x 2x＝162，即x2＝81.
由边长的实际意义，得x＝9.
∴2x＝2×9＝18.
∴它的长是18 m，宽是9 m.
解：设宽为x m，则长为2x m.
根据题意，得x 2x＝162，即x2＝81.
由边长的实际意义，得x＝9.
∴2x＝2×9＝18.
∴它的长是18 m，宽是9 m.
变式2　《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其
中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极
高的工艺水平和独特的工艺门类.现有一块长方形绣
布，长、宽之比为4∶3，绣布的面积为588 cm2.求绣布
的周长.
解：设绣布的长为4x cm，宽为3x cm.
根据题意，得4x 3x＝588，即x2＝49.
由边长的实际意义，得x＝7.
∴4x＝4×7＝28，3x＝3×7＝21.
∴绣布的周长为2×(28＋21)＝98(cm).
知识点 　算术平方根的非负性
典例3　已知x，y为有理数，且 ＋(y－2)2＝0，
求x－y的值.
解：∵ ≥0，(y－2)2≥0，
且 ＋(y－2)2＝0，
∴ ＝0，(y－2)2＝0.
∴x－1＝0，y－2＝0.解得x＝1，y＝2.
∴x－y＝1－2＝－1.
解：∵ ≥0，(y－2)2≥0，
且 ＋(y－2)2＝0，
∴ ＝0，(y－2)2＝0.
∴x－1＝0，y－2＝0.解得x＝1，y＝2.
∴x－y＝1－2＝－1.
变式3　已知有理数a，b满足 ＋ ＝0，求
(a－b)2 026.
解：∵ ≥0， ≥0，
且 ＋ ＝0，
∴ ＝0， ＝0.
∴a－3＝0，4－b＝0.解得a＝3，b＝4.
∴(a－b)2 026＝(3－4)2 026＝(－1)2 026＝1.
解：∵ ≥0， ≥0，
且 ＋ ＝0，
∴ ＝0， ＝0.
∴a－3＝0，4－b＝0.解得a＝3，b＝4.
∴(a－b)2 026＝(3－4)2 026＝(－1)2 026＝1.
1.9的算术平方根为(　B　)
A. － B. 3 C. －3 D.
B
2. 下列式子中，正确的是(　C　)
A. ＝±6 B. ＝－6
C. ＝6 D. ± ＝6
C
3. 填空：
(1) 表示25的 ；
(2)0的算术平方根为 ；
(3)2的算术平方根为 .
算术平方根　
0　
　
4. 求下列各数的算术平方根：
(1)225；
解：(1)∵152＝225，
∴225的算术平方根是15，即 ＝15.
解：(1)∵152＝225，
∴225的算术平方根是15，即 ＝15.
(2)1 .
解：(2)∵1 ＝ ，2＝ ，
∴1 的算术平方根是 ，即 ＝ .
5. 求下列各式的值：
(1)－ ；
解：(1)∵0.72＝0.49，
∴－ ＝－0.7.
(2) .
解：(2) ＝5.
解：(1)∵0.72＝0.49，
∴－ ＝－0.7.
解：(2) ＝5.
6. 的算术平方根是 　 　.
　
7. 已知 ＝x， ＝2，z是9的算术平方根，求2x
＋y－5z的值.
解：∵ ＝x， ＝2，z是9的算术平方根，
∴x＝5，y＝4，z＝3.
∴2x＋y－5z＝2×5＋4－5×3
＝10＋4－15
＝－1.
解：∵ ＝x， ＝2，z是9的算术平方根，
∴x＝5，y＝4，z＝3.
∴2x＋y－5z＝2×5＋4－5×3
＝10＋4－15
＝－1.
8. 如图，玩具厂要制作一批体积为100 000 cm3的长方
体包装盒，其高为40 cm.按设计需要，底面应做成正方
形，则底面边长应是多少？
解：∵长方体体积为100 000 cm3，高为40 cm，
∴底面面积＝100 000÷40＝2 500(cm2).
∴正方形底面边长＝ ＝50(cm).
答：底面边长应是50 cm.
9. 【核心素养 创新意识】定义一种新的运算：
a*b＝ (a≠b，且a＋b≥0)，例如：3*1＝
＝1，则6*(5*4)＝ .
1　(共20张PPT)
8.2　立方根
第4课时　立方根
第八章　实数
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B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　立方根的概念
(1)立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于
a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
一个数a的立方根记为“ ”，读作“三次根号a”，
其中a是被开方数，3是根指数，且不能省略.
(2)求一个数的立方根的运算，叫作开立方.立方与开立
方互为逆运算.
典例1　根据立方根的意义填空：
因为13＝1，所以1的立方根是(　1　)；
因为(　0.4　)3＝0.064，所以0.064的立方根是(　0.4　)；
因为(　－2　)3＝－8，所以－8的立方根是(　－2　)；
因为3＝－ ，所以－ 的立方根是 ；
1
0.4
0.4
－2
－2
因为(　0　)3＝0，所以0的立方根是(　0　).
0
0
①正数的立方根是正数；
②负数的立方根是负数；
③0的立方根是0.
典例2　求下列各数的立方根：
(1)－27；
解：(1)∵(－3)3＝－27，
∴－27的立方根是－3，即 ＝－3.
解：(1)∵(－3)3＝－27，
∴－27的立方根是－3，即 ＝－3.
(2) ；
解： (2)∵3＝ ，
∴ 的立方根是 ，即 ＝ .
(3)0.216.
解：(3)∵0.63＝0.216，
∴0.216的立方根是0.6，即 ＝0.6.
解：(3)∵0.63＝0.216，
∴0.216的立方根是0.6，即 ＝0.6.
变式2　求下列各数的立方根：
(1)64；
解：(1)∵43＝64，
∴64的立方根是4，即 ＝4.
解：(1)∵43＝64，
∴64的立方根是4，即 ＝4.
(2)3 ；
(3)(－5)3.
一般地， ＝a.
解：(2)∵3 ＝ ，又3＝ ，
∴3 的立方根为 ，即 ＝ .
解：(3)(－5)3的立方根是－5，即 ＝－5.
知识点 　互为相反数的两个数的立方根的关系
典例3　求下列各式的值：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
2　
－2　
3　
－3　
变式3　求下列各式的值：
(1) ；
解：(1) ＝－ ＝－4.
(2)－ ；
解：(2)－ ＝ ＝ .
解：(1) ＝－ ＝－4.
解：(2)－ ＝ ＝ .
(3) .
一般地， ＝－ .
解：(3) ＝－ ＝－ ＝－ .
知识点 　用计算器求立方根
一些计算器上设有“ ”键，用它可以求出一个数的
立方根(或其近似值).
典例4　用计算器求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2)－ ＝ .
14　
－23　
变式4　用计算器求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2) ≈ (精确到0.01).
－2.1　
3.05　
知识点 　立方根的实际应用
典例5　如图是一块体积为216 cm3的正方体铁块，求该
正方体铁块的棱长.
解：设该正方体铁块的棱长为x cm.
由题意，得x3＝216.
∵63＝216，
∴x＝6.
答：该正方体铁块的棱长为6 cm.
1. 下列说法中不正确的是(　D　)
A. 8的立方根是2 B. －8的立方根是－2
C. 的立方根为2 D. 125的立方根为±5
D
2. 对于 说法错误的是(　D　)
A. 表示－8的立方根
B. 结果等于－2
C. 与－ 的结果相等
D. 没有意义
D
3. 估算 的值在(　B　)
A. 3和4之间 B. 4和5之间
C. 6和7之间 D. 8和9之间
B
4. 若一个数的算术平方根与它的立方根相等，则这个
数是 .
5. 用计算器求下列各式的值：
(1) ＝ ；
(2) ＝ .
0或1　
15　
－18　
6. 求下列各式的值：
(1) ；
解：(1) ＝－7.
(2)－ .
解：(2)－ ＝ .
解：(1) ＝－7.
解：(2)－ ＝ .
7. (教材P51习题T6)如图是一种圆柱形升降阻车桩，
它的体积为22 600 cm3，高h等于底面半径r的5.48
倍，底面半径r是多少厘米？(π取3.14，结果保留小
数点后两位)
解：由题意，得V＝πr2h＝πr2 5.48r＝π 5.48r3＝22
600，
即3.14×5.48r3＝22 600.
∴r3≈1313.4.
∴r≈10.95.
答：底面半径r约是10.95 cm.
8. 【思想方法 归纳】填表：
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000
0.01 0.1 1 10 100
根据你发现的规律填空：
(1)已知 ＝b，则 ＝ 　 　，
＝ ；(用含b的式子表示)
0.01
0.1
1
10
100
　
10b　
(2)在(1)的条件下，若 ＝100b，则x＝ .
12 000000(共19张PPT)
8.1　平方根
第1课时　平方根
第八章　实数
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B层　提升
A层　基础
C层　拓展
『知识回顾』　计算：
(1)02＝ ；
(2)22＝ ，(－2)2＝ ；
(3)2＝ 　 　，2＝ 　 　；
(4)0.12＝ ，(－0.1)2＝ .
0　
4　
4　
　
　
0.01　
0.01　
知识点 　平方根的概念
(1)一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么
这个数x叫作a的平方根或二次方根.
(2)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(3)平方与开平方互为逆运算.如右图：
典例1　求下列各数的平方根：
(1)25；
解：(1)∵(±5)2＝25，∴25的平方根是±5.
(2)0.64.
解：(2)∵(±0.8)2＝0.64，
∴0.64的平方根是±0.8.
解：(1)∵(±5)2＝25，∴25的平方根是±5.
解：(2)∵(±0.8)2＝0.64，
∴0.64的平方根是±0.8.
变式1　求下列各数的平方根：
(1) ；
解：(1)∵2＝ ，∴ 的平方根是± .
(2)2.25.
解：(2)∵(±1.5)2＝2.25，
∴2.25的平方根是±1.5.
解：(1)∵2＝ ，∴ 的平方根是± .
解：(2)∵(±1.5)2＝2.25，
∴2.25的平方根是±1.5.
知识点 　用数学符号表示平方根
正数a的正的平方根记为“ ”，读作“根号a”，a
叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“－ ”表
示，故正数a的平方根可以用“± ”表示，读作“正、
负根号a”.
典例2　下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方
根；如果没有，说明理由.
(1)4；
解：(1)∵4是正数，
∴4有两个平方根，± ＝±2.
(2)－42.
解：(2)∵－42是负数，∴－42没有平方根.
解：(1)∵4是正数，
∴4有两个平方根，± ＝±2.
解：(2)∵－42是负数，∴－42没有平方根.
①正数a有两个平方根，它们互为相反数，记为± .
②0的平方根是0，负数没有平方根.
③只有当a≥0时， 有意义；而当a＜0时， 没有
意义.
知识点 　平方根的性质及运用
典例3　求下列各式中x的值：
(1)x2＝36；
解：(1)∵x2＝36，(±6)2＝36，
∴x＝± ＝±6.
(2)81x2＝49.
解：(2)∵81x2＝49，∴x2＝ .
∵2＝ ，
∴x＝± ＝± .
典例4　一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，
求这个数.
解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，
则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0.解得a＝1.
∴这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，
则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0.解得a＝1.
∴这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
变式4　已知3a－1与7－a是正数x的两个不相等的平方
根，求x的值.
解：由题意，得3a－1＋7－a＝0.
解得a＝－3.
∴x＝(7－a)2＝100.
解：由题意，得3a－1＋7－a＝0.
解得a＝－3.
∴x＝(7－a)2＝100.
1. “9的平方根”这句话用数学符号表示为(　B　)
A. B. ± C. D. ±
B
2. 下列说法正确的是(　C　)
A. 正数的平方根是它本身
B. 100的平方根是10
C. －10是100的一个平方根
D. －1的平方根是－1
C
3. 下列各数中，没有平方根的是(　A　)
A. －32 B.
C. (－3)2 D. －(－3)
A
4. 求下列各数的平方根：
(1)100；
解：(1)∵(±10)2＝100，
∴100的平方根是±10.
解：(1)∵(±10)2＝100，
∴100的平方根是±10.
解：(2)∵2＝ ，
∴ 的平方根是± .
(2) ；
(3) .
解：(3)∵2＝ ，
∴ 的平方根是± .
5. 若a2＝16， ＝5，且ab＜0，则a＋b的值
为 .
1或－1
6. 已知(x－1)2－9＝0，求式子中x的值.
解：整理可得(x－1)2＝9，
∵(±3)2＝9，
∴x－1＝±3.
当x－1＝3时，x＝4；
当x－1＝－3时，x＝－2.
综上所述，x＝4或x＝－2.
解：整理可得(x－1)2＝9，
∵(±3)2＝9，
∴x－1＝±3.
当x－1＝3时，x＝4；
当x－1＝－3时，x＝－2.
综上所述，x＝4或x＝－2.
7. 【思想方法 分类讨论】若关于m的代数式m－1和
3m－5是某个正数的平方根，求这个正数.
解：由题意，得m－1和3m－5互为相反数或相等，即
m－1＋3m－5＝0或m－1＝3m－5.
解：由题意，得m－1和3m－5互为相反数或相等，即
m－1＋3m－5＝0或m－1＝3m－5.
解得m＝ 或m＝2.
∴m－1＝ 或m－1＝1.
∵2＝ ，12＝1，
∴这个正数为 或1.(共19张PPT)
8.3　实数及其简单运算
第5课时　实数(1)
第八章　实数
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B层　提升
A层　基础
C层　拓展
『知识回顾』　把下列有理数写成小数的形式：
(1) ＝ ； (2)－ ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
发现：有理数可以写成 或 .
2.5　
－0.6　
1.2 　
0. 　
有限小数　
无限循环小数
知识点 　无理数的定义
无限不循环小数又叫作无理数.
常见的无理数包含以下三种形式：
(1)无限不循环小数，如：0.101 001 000 1…(相邻两个1
之间0的个数逐次加1)；
(2)化简后含有π的数，如： ，－π；
(3)所有开方开不尽的数，如： ， ， .
典例1　在 ，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个
数逐次加1)， ，－π， 中，无理数有(　C　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数.
C
知识点 　实数的相关定义及分类
1. 定义：有理数和无理数统称实数.
2. 分类：
典例2　把下列各数分别填入相应的大括号内.
，3.141 5， ，－0.6，0， ， .
(1)有理数：{　 ，3.141 5，－0.6，0， 　…}；
(2)无理数：{　 ， 　…}；
(3)分数：{　 ，3.141 5，－0.6　…}.
，3.141 5，－0.6，0， 　
， 　
，3.141 5，－0.6　
变式2　把下列各数分别填入相应的集合中.
，π，3.14，－ ，0，－5.123 45…，－ ，0. .
(1)有理数集合：{　 ，3.14，－ ，0，0. 　…}；
(2)无理数集合：{　π，－5.123 45…，－ 　…}；
(3)正实数集合：{　 ，π，3.14，0. 　…}.
，3.14，－ ，0，0. 　
π，－5.123 45…，－ 　
，π，3.14，0. 　
知识点 　实数与数轴的关系
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以
用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点
都表示一个实数.
典例3　如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A
与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，
点A到达点B的位置，点B表示的数为(　B　)
A. π B. －π C. 1 D. π或－π
B
知识点 　利用数轴比较实数的大小
典例4　(教材P54练习T3)把下列实数表示在数轴上，并
比较它们的大小(用“＜”连接)：
－2， ， ，－π.
解：如图所示.
答图
∴－π＜－2＜ ＜ .
变式4　把下列实数在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来.
－｜－3｜，4.5，－1.5， ，π.
对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点
表示的实数大.
解：如图所示.
答图
∴－｜－3｜＜－1.5＜ ＜π＜4.5.
1. 如图，－ 在数轴上对应的点是(　C　)
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
C
2. 下列四个数中，最小的数是(　A　)
A. －2 B. － C. 0 D.
A
3. (教材P54练习T1 改编)下列说法正确的是(　B　)
A. 无限小数都是无理数
B. 无理数都是无限小数
C. 带根号的数都是无理数
D. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数
轴上的所有点都表示有理数
B
4. 把下列各数分别填在相应的大括号内.
，3.1， ，－π， ， ，0，－ ，0. .
(1)整数集合：{　 ， ，0　…}；
(2)负实数集合：{　－π，－ 　…}；
(3)有理数集合：{　 ，3.1， ， ，0，0. 　…}；
， ，0　
－π，－ 　
，3.1， ， ，0，0.
(4)无理数集合：{　 ，－π，－ 　…}.
，－π，－ 　
5. 如图，一条数轴被一摊墨迹覆盖了一部分，下列实
数中：4.14， ，0.16，－π， ， ，2.010 010
001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，被墨迹覆盖的
无理数有 个.
3　
6. 如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，
且表示的数为－1.若将正方形ABCD绕点C逆时针旋
转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对
应的数为 .
－1－ 　
7. 【思想方法 分类讨论】若x＞0，试比较x与 的
大小.
解：当x＞1时，x＞ ；
当x＝1时，x＝ ；
当0＜x＜1时，x＜ .
解：当x＞1时，x＞ ；
当x＝1时，x＝ ；
当0＜x＜1时，x＜ .(共21张PPT)
8.3　实数及其简单运算
第6课时　实数(2)
第八章　实数
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B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　实数的相反数和绝对值
＝
(1)相反数：数a的相反数是－a.
(2)绝对值：指一个实数在数轴上
所对应点到原点的距离.一个正实
数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反
数，0的绝对值是0.
典例1　填空：
(1) 的相反数是 　－ 　；
(2) 　± 　的绝对值是 ；
(3) －1的相反数是 　1－ 　；
(4)｜－ ｜＝ 　 　，｜ ｜＝ 　 　；
(5)｜ －2｜＝ 　2－ 　；
(6)｜ － ｜＝ 　 － 　.
－ 　
± 　
1－ 　
　
　
2－ 　
－ 　
变式1　填空：
(1)－ 的相反数是 　 　；
(2)π－3.14的相反数是 ；
(3)－(－ )＝ 　 　，｜－ ｜＝ 　 　；
(4)｜3－ ｜＝ 　3－ 　；
(5)｜1－ ｜＝ 　 －1　；
(6) 的绝对值是 .
　
3.14－π　
　
　
3－ 　
－1　
4　
知识点 　实数的运算
(1)实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为
0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质
等同样适用.
典例2　计算：
(1) ＝ ， ＝ ；
(2) ＝ ， ＝ ；
(3) ×6＝ ， × ＝ .
－3　
－2　
7　
13　
2　
3　
典例3　计算：
(1)2 －3 ；
解：(1)原式＝(2－3) ＝－ .
(2)(＋ )－ ；
解：(2)原式＝ ＋(－ )＝ .
解：(1)原式＝(2－3) ＝－ .
解：(2)原式＝ ＋(－ )＝ .
(3) ＋ ；
解：(3)原式＝5＋4＝9.
(4)2 －｜1－ ｜.
解：(4)原式＝2 －(－1)
＝2 － ＋1
＝(2－1) ＋1
＝ ＋1.
解：(3)原式＝5＋4＝9.
解：(4)原式＝2 －(－1)
＝2 － ＋1
＝(2－1) ＋1
＝ ＋1.
变式3　计算：
(1)3 ＋ ；
解：(1)原式＝(3＋1) ＝4 .
(2) ＋2 ；
解：(2)原式＝ － ＋2
＝ ＋(－1＋2)
＝ ＋ .
解：(1)原式＝(3＋1) ＝4 .
解：(2)原式＝ － ＋2
＝ ＋(－1＋2)
＝ ＋ .
(3) ＋ － ；
解：(3)原式＝－3＋3－(－1)＝1.
(4) －｜1－ ｜.
解：(4)原式＝ －(－1)
＝ － ＋1
＝1.
解：(3)原式＝－3＋3－(－1)＝1.
解：(4)原式＝ －(－1)
＝ － ＋1
＝1.
典例4　计算(结果保留小数点后两位)：
(1) ＋π；
解：(1)原式≈1.414＋3.142≈4.56.
(2) × .
解：(2)原式≈1.732×2.236≈3.87.
解：(1)原式≈1.414＋3.142≈4.56.
解：(2)原式≈1.732×2.236≈3.87.
变式4　计算(结果保留小数点后两位)：
(1) － ；
解：(1)原式≈3.317－2.449≈0.87.
(2)π .
解：(2)原式≈3.142×1.817≈5.71.
解：(1)原式≈3.317－2.449≈0.87.
解：(2)原式≈3.142×1.817≈5.71.
1. 填空：
(1) 的相反数为 　－ 　；
(2)－ 的绝对值是 ；
(3)2－ 的相反数是 　 －2　；绝对值是 .
－ 　
2　
－2　
－2
2. 计算：
(1)π－ ＋ ≈ (结果精确到0.1)；
(2) π≈ (结果精确到0.01).
3.5　
5.44　
3. 求下列各式中的实数x：
(1) ＝ ；
解：(1)x＝± .
(2) ＝π.
解：(2)x＝±π.
解：(1)x＝± .
解：(2)x＝±π.
4. 计算：
(1) － ；
解：(1)原式＝2－9＝－7.
(2) ＋ ＋ ；
解：(2)原式＝3＋2－0.1＝4.9.
(3)2 － －(－ ).
解：(3)原式＝2 －2＋ ＝3 －2.
解：(1)原式＝2－9＝－7.
解：(2)原式＝3＋2－0.1＝4.9.
解：(3)原式＝2 －2＋ ＝3 －2.
5. 计算： － － .
解：原式＝2－(2－ )－(－2)
＝2－2＋ ＋2
＝ ＋2.
解：原式＝2－(2－ )－(－2)
＝2－2＋ ＋2
＝ ＋2.
6. 如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和
的对应点分别为A，B，点B与点A的距离等于点C
与点O的距离，设点C所表示的数为x.
(1)求数x的值；
解：(1)∵点A，B分别表示1， ，
∴AB＝ －1，即x＝ －1.
解：(1)∵点A，B分别表示1， ，
∴AB＝ －1，即x＝ －1.
(2)求(x－ )2的立方根.
解：(2)由x＝ －1，得(x－ )2＝(－1－ )2＝1.
∵1的立方根为1，
∴(x－ )2的立方根为1.
解：(2)由x＝ －1，得(x－ )2＝(－1－ )2＝1.
∵1的立方根为1，
∴(x－ )2的立方根为1.
，（≥ ）
，（＜ ）
7. 【核心素养 创新意识】对于任意两个正数x和y，规
定x y＝ 例如：4 1＝ －1＝1，
则(5 2)－(5 3)＝ .
2 －5　(共20张PPT)
8.1　平方根
第3课时　算术平方根(2)
第八章　实数
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　用计算器求算术平方根
在计算数的算术平方根时，有些数比较大或不容易求出
其算术平方根，可以借助计算器求其算术平方根，多数
计算器都有“ ”键，用它可求出一个正有理数的算
术平方根(或其近似值).
典例1　用计算器求下列各式的值：
(1) ；　　　(2) (精确到0.001).
解：(1)依次按键 　6 241 ＝ ，显示： ，
∴ ＝ .
(2)依次按键 　7 ＝ ，显示： ，
∴ ≈ .
79
79　
2.645 751 311　
2.646　
变式1　用计算器求下列各式的值：
(1) ；
解：(1) ＝37.
(2) ；
解：(2) ＝10.06.
(3) (精确到0.01).
解：(3) ≈2.24.
解：(1) ＝37.
解：(2) ＝10.06.
解：(3) ≈2.24.
知识点 　估算算术平方根的大致范围
典例2　估算 的值(　B　)
A. 在0和1之间 B. 在1和2之间
C. 在2和3之间 D. 在3和4之间
B
变式2　与1＋ 最接近的整数是(　C　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
知识点 　比较大小
典例3　比较下列各组数的大小：
(1) 和3；
解：(1)∵3＝ ， ＞ ，
∴ ＞3.
(2) 和8.
解：(2)∵8＝ ， ＞ ，
∴ ＞8.
解：(1)∵3＝ ， ＞ ，
∴ ＞3.
解：(2)∵8＝ ， ＞ ，
∴ ＞8.
变式3　通过估算，比较 和0.5的大小.
解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，即 在2与3之间.
∴1＜ －1＜2，即 －1在1与2之间.
∴ ＜ ＜1.
∴ ＞0.5.
解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，即 在2与3之间.
∴1＜ －1＜2，即 －1在1与2之间.
∴ ＜ ＜1.
∴ ＞0.5.
知识点 　算术平方根的实际应用
典例4　现有一张面积为210 cm2的长方形纸片，它的长
与宽的比为3∶2.
(1)求长方形纸片的长和宽；
解：(1)设长为3x cm，宽为2x cm.
根据题意，得3x 2x＝210，即x2＝35.
由边长的实际意义，得x＝ .
∴3x＝3 ，2x＝2 .
∴长方形纸片的长为3 cm，宽为2 cm.
解：(1)设长为3x cm，宽为2x cm.
根据题意，得3x 2x＝210，即x2＝35.
由边长的实际意义，得x＝ .
∴3x＝3 ，2x＝2 .
∴长方形纸片的长为3 cm，宽为2 cm.
(2)要在这张长方形纸片上裁剪出一个面积为144 cm2的
正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由.
解：(2)不能裁剪出来.理由如下：
根据题意，得正方形的边长为 ＝12(cm).
∵12＝2×6＝2 ＞2 ，
∴不能裁剪出来.
解：(2)不能裁剪出来.理由如下：
根据题意，得正方形的边长为 ＝12(cm).
∵12＝2×6＝2 ＞2 ，
∴不能裁剪出来.
典例4　现有一张面积为210 cm2的长方形纸片，它的长
与宽的比为3∶2.
1. 估计 的值在(　D　)
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
D
2. 与 －2最接近的整数是(　C　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
3. 用计算器计算下列各式的值：
(1) ≈ (精确到0.001)；
(2) ≈ (精确到0.001)；
(3)－ ≈ (精确到0.01)；
(4) ≈ (精确到0.1).
15.297　
6.057　
－0.85　
0.6　
4. 如图1，将两块边长均为3 cm的正方形纸板沿对角线
剪开，拼成如图2所示的一个大正方形.
(1)求大正方形的面积；
解：(1)由题意可知，大正方形纸板是由两块小正方形纸
板拼接而成的.
∴大正方形纸板的面积为32＋32＝18(cm2).
(2)求大正方形的边长，并估计这个边长的值在哪两个相
邻的整数之间.
4. 如图1，将两块边长均为3 cm的正方形纸板沿对角线
剪开，拼成如图2所示的一个大正方形.
解：(2)∵大正方形的面积为18 cm2，
∴大正方形纸板的边长为 cm.
∵ ＜ ＜ ，
∴4＜ ＜5.
∴估计 在整数4和5之间.
5. 阅读下面的文字，解答问题：
∵22＜7＜32，∴2＜ ＜3.
∴ 的整数部分为2，小数部分为 －2.
请解答：
(1) 的整数部分为 ；
(2) 的小数部分为 　 －3　.
3　
－3　
6. 比较大小：
(1)3 和 ；
解：(1)2＝2＝ ＝11 ，2＝11.
∵11 ＞11，
∴ ＞ ，即3 ＞ .
解：(1)2＝2＝ ＝11 ，2＝11.
∵11 ＞11，
∴ ＞ ，即3 ＞ .
(2) 和1.5.
解：(2)∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3，即 在2与3之间.
∴ ＋1在3与4之间，即3＜ ＋1＜4.
∴ ＜ ＜2.
∴ ＞1.5.
解：(2)∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3，即 在2与3之间.
∴ ＋1在3与4之间，即3＜ ＋1＜4.
∴ ＜ ＜2.
∴ ＞1.5.
7. 【思想方法 归纳】(1)填表：
a 0.09 9 900 90 000 …
0.3 3 30 300 …
0.3
3
30
300
(2)观察上表思考其中的规律.根据你发现的规律直接完
成下表.(已知 ≈2.236， ≈7.071)
a 0.05 0.5 500 5 000 …
0.223 6 0.707 1 22.36 70.71 …
0.223 6
0.707 1
22.36
70.71

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