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(共11张PPT)
7.5　本章小结
第七章　相交线与平行线
考点 　邻补角和对顶角
典例1　如图，直线AB与CD相交于点O. 若∠1＋∠2
＝80°，则∠1＝ °，∠3＝ °.
典例1图
40　
140　
典例2　如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的
平分线，∠AOC＝54°，则∠BOE的度数为 .
典例2图
117°　
考点 　垂线
典例3　如图，直线AB，CD相交于点O，
OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝
50°，求∠COB，∠BOF的度数.
解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°.
∴∠COB＝∠DOA＝∠DOE－∠1＝90°－50°＝40°.
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOF＝2∠DOA＝2×40°＝80°.
∴∠BOF＝180°－∠AOF＝180°－80°＝100°.
考点 　同位角、内错角、同旁内角
典例4　如图，下列说法错误的是(　D　)
D
A. ∠3和∠5是同位角
B. ∠4和∠5是同旁内角
C. ∠2和∠4是对顶角
D. ∠2和∠5是内错角
考点 　命题与定理
典例5　下列命题中，是假命题的是(　C　)
A. 邻补角一定互补
B. 平移不改变图形的形状和大小
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 相等的角不一定是对顶角
C
典例6　把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成
“如果……那么……”的形式：
.
如果两个数互为相反
数，那么这两个数的和为零　
考点 　平行线的判定和性质的综合运用
典例7　如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　C　)
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
典例8　如图，AD∥EF，∠1＋∠2＝180°.
(1)求证：DG∥AB；
(1)证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD＋∠2＝180°.
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠BAD.
∴DG∥AB.
(1)证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD＋∠2＝180°.
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠BAD.
∴DG∥AB.
典例8　如图，AD∥EF，∠1＋∠2＝180°.
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠ADB＝120°，求∠B
的度数.
(2)解：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－120°＝60°.
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC＝ ∠ADC＝30°.
∵DG∥AB，
∴∠B＝∠GDC＝30°.
考点 　平移
典例9　如图，把三角形ABC向上平移4个单位长度，再
向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′.
(1)在图中画出三角形A′B′C′；
(2)连接A′A，C′C，则四边形A′ACC′的面积为 .
21　
(1)解：如图所示，三角形A′B′C′即为所求.
答图(共16张PPT)
7.1　相交线
第2课时　两条直线垂直
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　垂线的定义
如图，两条直线a，b相交形成四个角，若∠1＝90°，
则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，直线a叫作直
线b的垂线，它们的交点O叫作垂足.
【几何语言】因为∠1＝90°，所以a⊥b.
典例1　如图，直线AB，CD相交于点O，当∠AOC
＝90°时，∠AOD＝ °，∠BOD＝ °，
∠BOC＝ °，直线AB，CD的位置关系是
，记作 .
90　
90　
90　
垂直　
AB⊥CD　
知识点 　利用垂线的性质求角的度数
垂线的性质：两直线垂直，则它们的夹角为90°.
【几何语言】因为a⊥b，所以∠1＝90°.
典例2　如图，OA⊥OB，∠AOC＝140°，
则∠1＝ .
50°　
变式2　如图，OA⊥OB，若∠1＝30°，则∠2的度数
是(　A　)
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
A
典例3　如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，
垂足为O. 若∠BOE＝40°，求∠AOC的度数.
解：因为OE⊥CD，
所以∠EOD＝90°.
又因为∠BOE＝40°，
所以∠BOD＝90°－40°＝50°.
由对顶角的性质，得∠AOC＝∠BOD＝50°.
变式3　(教材P8习题T3 改编)如图，直线AB，CD，
EF都经过点O，且AB⊥CD. 若∠COE＝32°，求
∠BOF的度数.
解：因为AB⊥CD，
所以∠AOC＝90°.
又因为∠COE＝32°，
所以∠AOE＝90°＋32°＝122°.
所以∠BOF＝∠AOE＝122°.
知识点 　画垂线
经过直线l上一点A
画l的垂线 经过直线l外一点B
画l的垂线
方法 一“落”、二“移”、三“画”
借助三角尺
借助量角器
垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直.
典例4　(教材P5例2)如图，
过点P画出射线AB或线段
AB的垂线.
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的
垂线.
解：如图所示.
答图
1. 如图，AO⊥OB，∠AOB∶∠BOC＝3∶2，
则∠AOC＝ °.
150　
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠AOF，
OE⊥CD于点O，∠AOE＝50°.求∠COB，∠BOF
的度数.
解：因为OE⊥CD，
所以∠DOE＝90°.
因为∠AOE＝50°，
所以∠AOD＝90°－50°＝40°.
由对顶角的性质，得∠COB＝∠AOD＝40°.
因为OD平分∠AOF，
所以∠AOF＝2∠AOD＝80°.
所以∠BOF＝180°－∠AOF＝100°.
3. (教材P8习题T4)如图，画AE⊥BC，
CF⊥AD，垂足分别为E，F.
解：如图所示，AE，CF即为所求.
答图
4. 如图，O是直线AB上一点，∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分
∠COB. 试判断直线AB与射线OC的位置关系，并说明理由.
解：AB⊥OC. 理由如下：
因为点O是直线AB上一点，
所以∠AOD＋∠DOB＝180°.
因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，
所以∠AOD＝3∠DOB.
所以3∠DOB＋∠DOB＝180°.
所以∠DOB＝45°.
又因为OD平分∠COB，
所以∠COB＝2∠DOB＝90°.
所以AB⊥OC.
5. 【核心素养 几何直观】如图，直线EF，CD相交于
点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF. 若∠AOE＝x°，
则∠BOD＝ °(用含x的式子表示)，∠AOE和
∠BOD的数量关系为 .
x　
∠AOE＝2∠BOD　(共18张PPT)
7.2　平行线
第8课时　平行线的性质
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点　平行线的性质
性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互
补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
典例1　如图，直线c与直线a，b相交，且a∥b，∠1
＝60°，则∠2的度数是(　B　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 80°
B
变式1　(教材P19习题T2 改编)如图，为了加固房屋，
要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC. 如果∠ABC
＝31°，那么∠ADE＝ °.
31　
典例2　如图，已知AB∥CD，则与∠BAE相等的角
是(　D　)
A. ∠CAB B. ∠C
C. ∠CAE D. ∠AEC
D
变式2　如图，把一块含有45°的直角三角尺的两个顶点
放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是(　C　)
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
C
典例3　如图，已知AB∥ED，∠CAB＝72°，则
∠ACD的度数为(　A　)
A. 108° B. 82° C. 72° D. 62°
A
变式3　如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2的度数
为(　A　)
A. 140° B. 150°
C. 160° D. 70°
A
典例4　如图，AB∥CD，直线EF分别
交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，
∠1＝70°，求∠2和∠3的度数.
解：∵EG平分∠BEF，∠1＝70°，
∴∠BEF＝2∠1＝140°，∠1＝∠BEG＝70°.
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠3＝180°，∠2＝∠BEG＝70°.
∴∠3＝40°.
变式4　如图，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B
在直线b上，AB⊥BC，∠2＝35°，求∠1的度数.
解：∵a∥b，∠2＝35°，
∴∠3＝∠2＝35°.
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°.
∴∠1＋∠3＝180°－∠ABC＝90°.
∴∠1＝90°－∠3＝90°－35°＝55°.
1. 如图，已知AB∥ED，∠ECF＝62°，则∠BAC的
度数为(　C　)
A. 108° B. 82°
C. 62° D. 72°
第1题图
C
2. 如图，AB∥CD，∠C＝60°，BE⊥BC，则
∠ABE＝ °.
第2题图
30　
3. 如图，已知DE∥AF，∠CDA＝∠DAB. 试说明：
∠CDE＝∠BAF.
解：∵DE∥AF，
∴∠EDA＝∠DAF.
∵∠CDA＝∠DAB，
∴∠CDA－∠EDA＝∠DAB－∠DAF.
∴∠CDE＝∠BAF.
4. (教材P20习题T8)当光线从水中射向
空气时，要发生折射，在水中平行的光
线，折射到空气中也是平行的.如图，
∠1＝45°，∠2＝122°，求图中∠3，
∠4的度数.
解：如图，由题意，得a∥b，c∥d.
∴∠3＝∠1＝45°，∠4＝∠2＝122°.
答图
解：如图，由题意，得a∥b，c∥d.
∴∠3＝∠1＝45°，∠4＝∠2＝122°.
答图
5. 如图，已知AB∥CD，CD∥EF，∠A＝106°，
∠ACE＝52°.求∠E的度数.
解：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠ACD＝180°.
∵∠A＝106°，
∴∠ACD＝74°.
∵∠ACE＝52°，
∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝74°－52°＝22°.
∵CD∥EF，
∴∠E＝∠ECD＝22°.
6. (教材P20习题T10)如图，若AB∥FE，
BC∥DE，则∠E＋∠B等于多少度？
答图
解：如图，∵AB∥FE，
∴∠BOE＝∠B.
∵BC∥DE，
∴∠E＋∠BOE＝180°.
∴∠E＋∠B＝180°.
7. 【思想方法 辅助线构造平行】如图，
AB∥EF，CD⊥EF于点D，∠ABC＝
40°.求∠BCD的度数.
答图
解：如图，过点C作CP∥AB，
则∠BCP＝∠ABC＝40°.
∵CD⊥EF，∴∠CDF＝90°.
∵AB∥EF，CP∥AB，∴CP∥EF.
∴∠PCD＝180°－∠CDF＝90°.
∴∠BCD＝∠BCP＋∠PCD＝40°＋90°＝130°.(共5张PPT)
数学活动——画平行线的方法
第七章　相交线与平行线
核心素养：应用意识、创新意识
素材1 甲同学画平行线的具体作图步骤如下：
素材2 乙同学通过折纸的方法画平行线，具体作图步
骤如下：
问题解决
任务1 探究 作图 的依据 (1)甲同学画平行线的依据为
；
(2)乙同学画平行线的依据可以
是 .(填序号)
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，同位角相等；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行.
同位角
相等，两直线平行　
①③④
任务2 证明 平行 素材2：(1)如图1，在纸上画出一条直
线BC，在BC外取一点P. 过点P折叠
纸片，使得点C的对应点C′落在直
线BC上(如图2)，记折痕DE与BC的
交点为A，将纸片展开铺平，则
∠PAB＝ °；
90　
任务2 证明 平行 (2)再过点P将纸片进行折叠，使得点E的
对应点E′落在直线DP上(如图3)，再将
纸片展开铺平(如图4).此时乙同学说，PF
就是BC的平行线.乙同学的说法正确吗？
请说明理由.
任务2：(2)解：乙同学的说法正确.理由如下：
根据折叠的性质可知∠EPF＝∠E′PF.
∵∠EPF＋∠E′PF＝180°，
∴∠EPF＝90°.
∴∠EPF＝∠PAB.
∴PF∥BC.(共12张PPT)
7.2　平行线
第7课时　平行线的判定(2)
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点　运用平行线的判定定理证明平行
典例1　如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分
∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°.试说明：
DE∥BC.
解：∵CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，
∴∠ACB＝2∠DCB＝80°.
∵∠AED＝80°，
∴∠AED＝∠ACB.
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
变式1　如图，点E在射线AB上，CE平分∠ACD，
∠ACE＝∠AEC. 试说明：AB∥CD.
解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵∠ACE＝∠AEC，
∴∠DCE＝∠AEC.
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
典例2　如图，点G在CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，
AE平分∠BAG，GF平分∠AGC. 试说明：AE∥GF.
解：∵∠BAG＋∠AGD＝180°，
∠AGC＋∠AGD＝180°，
∴∠BAG＝∠AGC.
∵AE平分∠BAG，
∴∠1＝ ∠BAG.
∵GF平分∠AGC，
∴∠2＝ ∠AGC.
∴∠1＝∠2.
∴AE∥GF(内错角相等，两直线平行).
变式2　如图，EF分别与AB，CD相交于点M和点
N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END. 若∠AME＝
∠DNF，试说明：MP∥NQ.
解：∵∠AME＝∠DNF，∠AME＋∠AMF＝∠DNF
＋∠END＝180°，
∴∠AMF＝∠END.
又MP平分∠AMF，NQ平分∠END，
∴∠PMF＝ ∠AMF，∠QNE＝ ∠END.
∴∠PMF＝∠QNE.
∴MP∥NQ(内错角相等，两直线平行).
1. 将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平
分∠DCE交DE于点F. 试说明：CF∥AB.
解：依题意，得∠3＝45°，∠DCE＝90°.
∵CF平分∠DCE，
∴∠1＝∠2＝45°.
∴∠1＝∠3.
∴CF∥AB(内错角相等，两直线平行).
2. 如图，∠B＝60°，∠ACE＝120°，CD平分
∠ACE，试说明：AB∥CD.
解：∵CD平分∠ACE，
∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.
∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠DCE.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
3. 如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分
∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由.
解：EF∥BD. 理由如下：
∵EF平分∠AED，且∠AED＝40°，
∴∠2＝ ∠AED＝ ×40°＝20°.
又∠1＝20°，
∴∠1＝∠2.
∴EF∥BD(内错角相等，两直线平行).
4. 如图，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且
∠EBC与∠ECB互余.试说明：AB∥CD.
解：∵∠EBC与∠ECB互余，
∴∠EBC＋∠ECB＝90°.
∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∠BCD＝2∠ECB.
∴∠ABC＋∠BCD＝2∠EBC＋2∠ECB＝
2(∠EBC＋∠ECB)＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
5. (1)如图1，AB，CD，EF是三条公路，且
AB⊥EF，CD⊥EF. 请直接写出AB与CD的位置关
系： ；
AB∥CD　
(2)解：OM∥O′N. 理由如下：
示意图如图，延长NO′交AB于点P.
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠EOB＝∠CO′F＝90°.
∵OM平分∠EOB，O′N平分∠CO′F，
∴∠EOM＝∠FO′N＝45°.
∵∠FO′N＝∠EO′P，
∴∠EOM＝∠EO′P.
(2)如图2，在(1)的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N
的岔道O′N平分∠CO′F，试判断OM与O′N的位置关系，并说明
理由.
答图
∴OM∥O′P(同位角相等，两直线平行).
∴OM∥O′N.(共8张PPT)
专项1｜过拐点作平行线的常见模型
第七章　相交线与平行线
类型 “铅笔”型
1. (1)如图，若AB∥DE，∠B＝135°，
∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
解：(1)如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE.
∴∠B＋∠BCF＝180°，∠D＋∠DCF＝180°.
∵∠B＝135°，∠D＝145°，
∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°.
∴∠BCD＝80°.
答图
(2)在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，
∠D之间的数量关系吗？并说明理由.
解：(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：
∵AB∥CF∥DE，
∴∠B＋∠BCF＝180°，∠D＋∠DCF＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠DCF＋∠D＝360°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
2. 如图，∠ABC＋∠C＋∠CDE＝360°，
直线FG分别交AB，DE于点F，G. 若
∠1＝110°，求∠2的度数.
答图
解：如图，过点C作CH∥AB，
则∠ABC＋∠BCH＝180°.
∵∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＝360°，
即∠ABC＋∠BCH＋∠DCH＋∠CDE＝360°，
∴∠DCH＋∠CDE＝180°.
∴CH∥DE.
∴AB∥DE.
∴∠DGF＝∠1＝110°.
∴∠2＝180°－110°＝70°.
3. 如图，AB∥CD，BEFD是AB，CD之间的一条折
线，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的值.
答图
解：如图，过点E作EP∥AB，过点F作FQ∥CD，
∴AB∥EP∥FQ∥CD.
∴∠1＋∠BEP＝180°，
∠PEF＋∠QFE＝180°，
∠QFD＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠1＋∠BEP＋
∠PEF＋∠QFE＋∠QFD＋∠4＝540°.
类型 “M”型(或“燕尾”型)
4. 如图，若AB∥CD，∠B＝60°，∠D＝45°，求
∠BED的度数.
答图
答图
解：如图，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD.
∴∠1＝∠B＝60°，∠2＝∠D＝45°.
∴∠BED＝∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.
类型 “锄头”型(或“牛角”型)
5. 如图，AB∥CD，∠A＝68°，
∠C＝40°，求∠E的度数.
答图
解：如图，过点E作EF∥CD.
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1＝68°.
∵EF∥CD，
∴∠1＋∠FEA＝180°，∠C＋∠FEC＝180°.
∴∠FEA＝180°－∠1＝112°，
∠FEC＝180°－∠C＝140°.
∴∠AEC＝∠FEC－∠FEA＝140°－112°＝28°.
6. 如图，AB∥CD，E为AB，CD之外
的任意一点，若∠BED＝30°，求∠D－
∠B的度数.
答图
解：如图，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD.
∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF.
∴∠D－∠B＝∠DEF－∠BEF＝∠BED＝30°.(共18张PPT)
7.2　平行线
第5课时　平行线的概念
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　同一平面内两条直线的位置关系
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：
相交与平行.
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作
平行线.
平行用符号“∥”表示.例如：直线AB与CD平行，可以
记作AB∥CD.
典例1　观察如图所示的长方体，回答问题：
(1)与线段AB平行的线段是 ；
DC，EF，HG　
(2)AB与DH所在直线不相交，它
们 平行线(填“是”或“不
是”).由此可知，在 内，
不相交的两条直线才是平行线.
不是　
同一平面　
知识点 　经过直线外一点画已知直线的平行线
借助直尺和三角尺画平行线的方法：用四个字归纳为一
“落”、二“靠”、三“推”、四“画”.
　 　 　 　
过点A画直线a的平行线，能画出几条？
平行线的基本事实及其推论
(1)平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线
与这条直线平行.
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行.
【几何语言】如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
典例2　如图，P，Q分别是直线EF外两点.
(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；
解：(1)如图所示.
解：(1)如图所示.
答图
(2)直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
解：(2)AB∥CD. 理由如下：
因为AB∥EF，CD∥EF，所以AB∥CD.
变式2　(教材P12练习(2))如图，用直尺和
三角尺过点C画CE∥DA，与AB交于点E；
过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F.
解：如图所示.
答图
典例3　在同一平面内，下列说法中错误的是(　B　)
A. 过两点有且只有一条直线
B. 过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
变式3　互不重合的四条直线a，b，c，d，若a∥b，
b∥c，c∥d，那么直线a与d的位置关系是 .
a∥d　
1. 过直线l外一点A作l的平行线，可以作(　A　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
A
2. 如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与
折痕间的位置关系是(　C　)
A. 平行 B. 垂直
C. 平行或垂直 D. 无法确定
C
3. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 两条不相交的直线叫作平行线
B. 一条直线的平行线有且只有一条
C. 在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D. 若两条线段不相交，则它们互相平行
C
4. 下面给出的图形中分别有直线、射线、线段，能相
交的是 ，一定平行的是 .(填序号)
①④　
⑤　
5. 如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD
的位置关系是 ，理由是
.
EF∥CD　
如果两条直线都
与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　
6. 根据下列语句，画出图形：
(1)P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB
平行；
解：(1)如答图1所示(答案不唯一).
答图1
解：(1)如答图1所示(答案不唯一).
答图1
(2)直线AB，CD是相交直线，P是直线AB，CD外一
点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相
交于点E.
解： (2)如答图2所示(答案不唯一).
答图2
解： (2)如答图2所示(答案不唯一).
答图2
7. 【思想方法 分类讨论】在平面上有三条直线a，b，c，它们之间有哪几种可能的位置关系？你能画出来吗？
解：有三种可能的位置关系.
①三条直线都平行，如答图1所示；
②只有两条直线平行，如答图2所示；
解：有三种可能的位置关系.
①三条直线都平行，如答图1所示；
②只有两条直线平行，如答图2所示；
答图2
答图1
③任意两条直线都不平行，如答图3所示.
答图3(共17张PPT)
7.2　平行线
第6课时　平行线的判定(1)
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　平行线的判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
典例1　如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，
c，a⊥b，a⊥c.试说明：b∥c.
解：∵a⊥b，
∴ .
同理∠2＝90°.
∴ .
∴b∥c(　 　).
∠1＝90°　
∠1＝∠2　
同位角相等，两直线平行
变式1　如图，直线AB与CD被EF所截，∠1＝∠2，试
说明：AB∥CD.
解：∵∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
知识点 　平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这
两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
典例2　如图，已知∠1＝130°，∠2＝50°，试说明：
a∥b.
解：∵∠1＝130°，
∠1＋∠3＝180°，
∴∠3＝50°.
∴∠2＝∠3.
∴a∥b(内错角相等，两直线平行).
变式2　如图，已知EC，FD分别与直线AB交于C，D
两点，∠1＝∠2.试说明：CE∥DF.
解：∵∠ECD ＝180°－∠1，
∠FDC＝ 180°－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠ECD ＝∠FDC.
∴CE∥DF(内错角相等，两直线平行).
知识点 　平行线的判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么
这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
典例3　(教材P35习题T2)如图是一个弯形管道的平面示
意图，其中的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时
说管道AB∥DC对吗？为什么？
解：说管道AB∥DC是对的.理由如下：
∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
变式3　完成下面的推理过程.
如图，已知∠1＝110°，∠2＝70°，试说明：a∥b.
解：∵∠1＝110°(已知)，
∴∠3＝∠1＝110°(对顶角相等).
又 (已知)，
∴ .
∴a∥b(　 　).
∠2＝70°　
∠2＋∠3＝180°　
同旁内角互补，两直线平行
1. 如图，已知∠1＝70°，要使a∥b，则须具备另一个
条件(　A　)
A. ∠3＝70° B. ∠3＝110°
C. ∠4＝70° D. ∠2＝110°
A
2. (教材P14练习T1)如图，E是AB上一点，F是DC上
一点，G是BC的延长线上一点.
(1)如果∠B＝∠DCG，那么可以判断
哪两条直线平行？为什么？
解：(1)AB∥CD，因为“同位角相等，两直线平行”.
解：(1)AB∥CD，因为“同位角相等，两直线平行”.
(2)如果∠D＝∠DCG，那么可以判断哪两条直线平
行？为什么？
解：(2)AD∥BC，因为“内错角相等，两直线平行”.
解：(2)AD∥BC，因为“内错角相等，两直线平行”.
(3)如果∠D＋∠DFE＝180°，那么可以判断哪两条直
线平行？为什么？
解：(3)AD∥EF，因为“同旁内角互补，两直线平行”.
解：(3)AD∥EF，因为“同旁内角互补，两直线平行”.
3. 如图，直线AB，CD被直线AE所截，CF平分
∠DCE，∠1＝110°，∠2＝55°.试说明：AB∥CD.
解：∵CF平分∠DCE，∠2＝55°，
∴∠DCE＝2∠2＝110°.
又∠1＝110°，
∴∠1＝∠DCE.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
4. 如图，已知∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠2，试说明：
DE∥BC.
解：∵∠3＋∠4＝180°，
∠1＋∠4＝180°，
∴∠1＝∠3.
又∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3.
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行).
5. (教材P15练习T3)在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.
如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量
图中标出的哪个角？为什么？
解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，∠5和∠2是内错角，
∠3和∠2是同旁内角，
如果度量出∠4，根据“同位角相等，
两直线平行”，就可以判断两条钢轨平行.
如果度量出∠5，根据“内错角相等，
两直线平行”，就可以判断两条钢轨平行.
如果度量出∠3，根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断
两条钢轨平行.
综上所述，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图
中的∠4或∠5或∠3.
6. 【核心素养 几何直观】如图，直线a，b，c被直线
d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：a∥c.
解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行).
∵∠3＝∠4，
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
∴a∥c(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行).(共14张PPT)
7.2　平行线
第9课时　平行线判定与性质的综合运用
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点　平行线的判定与性质
判定 性质
(1)同位角相等，两直线平行； (2)内错角相等，两直线平行； (3)同旁内角互补，两直线平行. (1)两直线平行，同位角相等；
(2)两直线平行，内错角相等；
(3)两直线平行，同旁内角互补.
典例1　如图，∠A＝∠C，若∠B＝35°，求∠D的
度数.
解：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD.
∴∠D＝∠B.
∵∠B＝35°，
∴∠D＝35°.
变式1　如图，∠AEC＝∠BFD，CE∥BF. 试判断
AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：AB∥CD. 理由如下：
∵CE∥BF，∴∠B＝∠AEC.
∵∠AEC＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠B.
∴AB∥CD.
典例2　将一副三角尺拼成如图所示的图形，其中B，C，E三点
在同一条直线上，C，A，D三点在同一条直线上，∠DCE的平
分线CF交DE于点F.
(1)试说明：CF∥AB；
解：(1)依题意，得∠DCE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠BAC＝45°.
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE＝ ∠DCE＝45°.
∴∠FCE＝∠B. ∴CF∥AB.
(2)延长BA交ED于点G，试判断∠EGB与∠EFC的
大小关系.
解：(2)∵CF∥AB，∴∠EGB＝∠EFC.
变式2　已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相
交于点F，∠CFE＝∠E. 试判断AD与BC的位置关
系，并说明理由.
解：AD∥BC. 理由如下：
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2.
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CFE.
∵∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠E.
∴∠2＝∠E.
∴AD∥BC.
典例3　如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2.试探
究AB与DG有何位置关系，并说明理由.
解：AB∥DG. 理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°.
∴EF∥AD.
∴∠1＝∠BAD.
又∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2.
∴AB∥DG.
变式3　如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，垂足为F，BC⊥BE，
点E，D，C在同一条直线上.
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
35°　
(2)若∠ABC＝125°，则∠BEC的度数为 .
(1)解：AB∥CD. 理由如下：
∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝∠EBC＝90°.
∴AD∥BC.
∴∠ADE＝∠C.
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A.
∴AB∥CD.
1. (教材P18练习T1)如图，如果直线a∥b，∠1＋∠2＝
180°，那么直线b和c平行吗？为什么？
解：直线b和c平行.理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，
∴a∥c.
∵a∥b，
∴b∥c.
2. 如图，AB∥CD，∠D＝∠B. 试说明：∠E＝∠F.
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF.
又∠D＝∠B，
∴∠D＝∠DCF.
∴DE∥BF.
∴∠E＝∠F.
3. 如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F，试说明：
BC∥EF.
解：∵∠A＝∠EDF，
∴AC∥DF.
∴∠C＝∠CGF.
又∠C＝∠F，
∴∠CGF＝∠F.
∴BC∥EF.
4. 『跨学科』如图，MN，EF分别表示两面互相平行的镜子，一束光线AB
照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反
射后的光线为CD，此时∠3＝∠4.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：AB∥CD. 理由如下：
∵MN∥EF，∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
又∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，
∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD.
∴AB∥CD.
5. 【核心素养 几何直观】如图，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在∠AMN，∠DNM的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分∠MND.
(1)若∠AMN＝60°，则∠DNQ＝ °；
(2)若∠P＝∠Q，试说明：MP平分∠AMN.
30　
(2)解：∵∠P＝∠Q，
∴PM∥NQ.
∴∠MNQ＝∠PMN.
∵NQ平分∠MND，
∴∠PMN＝∠MNQ＝ ∠MND.
∵AB∥CD，∴∠MND＝∠AMN.
∴∠PMN＝ ∠AMN.
∴MP平分∠AMN.(共18张PPT)
7.1　相交线
第4课时　两条直线被第三条直线所截
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　认识同位角、内错角、同旁内角
图 角 定义 形状 举例
三线八角 同位角 位于直线AB，CD的同一侧，并 且都在直线EF的同侧的两个角. “F”字形 ∠1和∠5
内错角 位于直线AB，CD之间，并且分 别在直线EF的两侧的两个角. “Z”字形 ∠3和∠5
同旁 内角 位于直线AB，CD之间，并且都 在直线EF的同侧的两个角. “U”字形 ∠4和∠5
典例1　(教材P7例3)如图，直线DE，
BC被直线AB所截.
(1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4
各是什么位置关系的角？
解：(1)∠1和∠2是内错角，
∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.
解：(1)∠1和∠2是内错角，
∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.
典例1　(教材P7例3)如图，直线DE，BC被直线AB所截.
(2)如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补
吗？为什么？
解：(2)∠1和∠2相等，∠1和∠3互补.
理由如下：
因为∠1＝∠4，∠2＝∠4，
所以∠1＝∠2.
因为∠1＝∠4，∠4＋∠3＝180°，
所以∠1＋∠3＝180°.
变式1　(教材P8练习T1)分别指出下列各图中的同位
角、内错角、同旁内角.
解：图1中，
同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；
内错角有：∠3和∠5，∠4和∠6；
同旁内角有：∠3和∠6，∠4和∠5.
图2中，
同位角有：∠1和∠3，∠2和∠4；
同旁内角有：∠2和∠3.
辨别同位角、内错角、同旁内角的方法：把两个角
的边都画出来，看构成什么形状.
知识点 　从复杂的图形中分离出“三线八角”
典例2　根据图形填空：
(1)若直线ED，BC被直线AB所截，
则∠1和 是同位角；
(2)若直线ED，BC被直线AF所截，
则∠3和 是内错角；
∠2　
∠4　
(3)若直线AB，AF被直线ED所截，
则∠5和 是同旁内角.
∠3　
变式2　根据图形填空：
(1)∠1和∠2是直线 和 被直线 所
截形成的 角；
(2)∠1和∠3是直线 和 被直线 所
截形成的 角；
AB　
CD　
EF　
同位　
EF　
CD　
AB　
内错　
(3)∠2和∠3是直线 和 被
直线 所截形成的 角.
AB　
EF　
CD　
同旁内　
1. 下列各图中，∠1和∠2是内错角的是(　B　)
A B C D
B
2. 如图，∠1和∠2是一对(　D　)
A. 对顶角 B. 同位角
C. 内错角 D. 同旁内角
第2题图
D
3. 如图，下列说法不正确的是(　C　)
A. ∠1和∠3是同旁内角
B. ∠2和∠3是内错角
C. ∠2和∠4是同位角
D. ∠3和∠5是对顶角
第3题图
C
4. 如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同
旁内角等于 °，∠3的内错角等于 °.
100　
80　
5. 已知∠1与∠2是同位角，则(　D　)
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2
C. ∠1＜∠2 D. 以上都有可能
D
6. 数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图
形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).
从左往右依次表示(　A　)
A. 同位角、内错角、同旁内角
B. 同旁内角、同位角、内错角
C. 同位角、对顶角、同旁内角
D. 同位角、内错角、对顶角
A
7. (教材P9习题T7 改编)如图，∠1和∠2是直线
和 被直线 所截形成的 角；∠3
和∠4是直线 和 被直线 所截形成
的 角.
第7题图
AB　
CD　
BD　
内错　
AD　
BC　
BD　
内错　
8. 如图，直线a，b，c被直线l1与直线l2所截，与∠1
是同位角关系的角有(　C　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第8题图
C
9. 【核心素养 推理能力】如图是一个跳棋棋盘，其游戏
规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳
动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位
角、内错角或同旁内角的位置上.
例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：
路径1：∠1 ∠9 ∠3；
路径2：∠1 ∠12 ∠6 10∠3；
路径3：……
(1)写出从∠1跳到∠8的一条路径；
解：(1)∠1 ∠12∠8(答案不唯一).
(2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否
跳到终点位置∠8？
解：(2)能.路径是∠1 ∠10 ∠5 ∠8.
9. 【核心素养 推理能力】如图是一个跳棋棋盘，其游戏
规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳
动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位
角、内错角或同旁内角的位置上.
例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：
路径1：∠1 ∠9 ∠3；
路径2：∠1 ∠12 ∠6 10∠3；
路径3：……(共20张PPT)
7.1　相交线
第3课时　点到直线的距离
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　垂线段的定义
过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间
的线段，叫作这点到已知直线的垂线段.
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，
A3，…，其中PO⊥l，则称PO为点P到直线l的垂线段.
典例1　如图，在三角形ABC中，∠C是直角，其中能
表示点到直线的垂线段的条数是(　C　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
变式1　如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，
D，下列说法不正确的是(　D　)
D
A. 点A到BC的垂线段为AD
B. 点C到AD的垂线段为CD
C. 点B到AC的垂线段为AB
D. 点D到AB的垂线段为BD
知识点 　垂线段的性质及应用
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
简单说成：垂线段最短.
典例2　如图是人行横道的示意图，若从点P通过马
路，则在PA，PB，PC，PD四条路线中，距离最短的
路线是(　C　)
A. PA B. PB C. PC D. PD
C
变式2　如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出
一条最短路线，并说明理由.
解：如图所示，过点B作BA⊥l，则沿BA引水距离最
短，理由：垂线段最短.
答图
解：如图所示，过点B作BA⊥l，则沿BA引水距离最
短，理由：垂线段最短.
答图
知识点 　点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线
的距离.
如图，点P到直线l的距离是指垂线段PO的长度.
典例3　如图，点A到直线l的距离是(　A　)
A. 线段AD的长度 B. 线段AE的长度
C. 线段AB的长度 D. 线段AC的长度
A
变式3　如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8
cm，AC＝6 cm，AB＝10 cm，那么点A到BC的距离
为 ，点B到AC的距离为 ，A，B两点
之间的距离为 .
6 cm　
8 cm　
10 cm　
1. 如图，在直线l外一点P与直线上各点
的连线中，PA＝6，PO＝5，PB＝5.5，
OC＝4，则点P到直线l的距离为(　C　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 5.5
第1题图
C
2. 如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
D是线段BC上任意一点，连接AD，则线段AD的长不
可能是(　A　)
第2题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
3. 如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.
他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在
了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是
.
第3题图
垂线
段最短　
4. 如图，已知AB⊥AC，AD⊥BC，AB＝4 cm，AC
＝3 cm，AD＝2.4 cm，BC＝5 cm，CD＝1.8 cm.
第4题图
(1)点B到直线AD的距离为 ；
(2)点C到直线AD的距离为 ；
3.2 cm　
1.8 cm　
(3)点B到直线AC的距离为 ；
(4)点C到直线AB的距离为 .
4 cm　
3 cm　
5. 如图，直线l表示草原上的一条河，小明家在B处，
小红家在A处.小明从家出发到小红家取钓
鱼工具再去河边钓鱼，问小明按怎样的路
线走能使总路程最短？请作出这条路线.
解：如图所示，沿线段BA，AO走能使总路程最短.
答图
6. (教材P6练习T3)如图，在三角形ABC
中，∠C＝90°.
(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线
AC的距离是哪些线段的长度；
解：(1)点A到直线BC的距离为线段AC的长度，点B到
直线AC的距离为线段BC的长度.
解：(1)点A到直线BC的距离为线段AC的长度，点B到
直线AC的距离为线段BC的长度.
6. (教材P6练习T3)如图，在三角形ABC中，∠C＝90°.
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？
解：(2)AB边最长.理由如下：
由垂线段最短，
可得AB＞AC，AB＞CB，
所以AB边最长.
解：(2)AB边最长.理由如下：
由垂线段最短，
可得AB＞AC，AB＞CB，
所以AB边最长.
7. 如图，平原上有A，B，C，D四个
村庄，为解决当地缺水问题，政府准备
投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
解：(1)如图所示，连接AD，BC，交点就是蓄水池H
的位置.
答图
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请你画
图确定渠道的位置，并说明理由.
答图
解：(2)如图所示，应沿线段HG开渠.理由如下：
垂线段最短.
答图(共20张PPT)
7.4　平移
第11课时　平移(1)
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　平移的概念
一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的
距离，这样的图形运动叫作平移.图形平移的方向不限
于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移.
典例1　下列运动属于平移的是(　B　)
A. 转动的电风扇的叶片
B. 打气筒打气时活塞的运动
C. 行驶的自行车的后轮
D. 在游乐场荡秋千的小朋友
B
变式1　下列现象不属于平移的是(　D　)
A. 高楼的电梯在上上下下
B. 传送带上，瓶装饮料的移动
C. 一个铁球从高处自由落下
D. 风筝在风中转动
D
典例2　2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运
动会于2024年7月26日开幕，会徽标志如下图所示.以下
通过平移这个标志能得到的图形是(　C　)
A B C D
C
变式2　在下面的四幅图案中，能通过平移左图得到的
是(　C　)
A B C D
C
知识点 　平移的性质
下图为平移前后的图形，它们的形状、大小
(填“相同”或“不相同”).其中AA′ BB′
(填“＝”或“≠”)；AA′ BB′(填“平行”
或“不平行”).
相
同　
＝　
平行　
平移的性质：(1)新图形与原图
形的形状和大小完全相同；
(2)连接各组对应点的线段平行
(或在同一条直线上)且相等.
典例3　如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距
离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不正确的
是(　C　)
C
A. AA′∥BB′
B. AA′＝BB′
C. ∠ACB＝∠A′B′C′
D. BC＝B′C′
变式3　如图，将三角形ABC沿射线AB平移到三角形
DEF的位置，则下列说法不正确的是(　A　)
A. AC＝DB B. AD＝BE
C. AC∥DF D. ∠C＝∠F
A
典例4　如图，三角形ABC沿射线BC方向平移得到三
角形ECD. 若BD＝4 cm，则BC的长为(　C　)
A. 4 cm B. 3 cm
C. 2 cm D. 无法确定
C
变式4　如图，三角形ABC经过水平向右平移后得到三角
形DEF. 若AE＝10，BD＝3，则平移的距离是(　A　)
A. 3.5 B. 2
C. 3 D. 6
A
1. 平移只改变图形的(　C　)
A. 形状 B. 大小
C. 位置 D. 面积
C
2. 如图，将三角形ABC沿射线AC平移得到三角形DEF，
下列线段的长度中，能表示平移距离的是(　B　)
A. AC B. AD C. DC D. AF
B
3. 如图，将三角形ABC沿AB方向平移后，到达三角形
BDE的位置.若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则
∠CBE的度数为(　A　)
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
A
4. 如图，三角形DEF是由三角形ABC经过平移得到的.
(1)点A的对应点为 ；
(2)线段AB的对应线段为 ；
(3) 的对应线段为线段DF；
(4)∠A的对应角为 ；
(5) 的对应角为∠F.
点D　
线段DE　
线段AC　
∠D　
∠ACB　
5. 如图，三角形ABC以每秒2 cm的速度沿着射线BC向
右平移，平移2秒后所得图形是三角形DEF，连接
AD，如果AD＝2CE，那么BC的长是 .
第5题图
6 cm　
6. 如图，将三角形ABC沿着射线BC方向平移5 cm，得
到三角形A′B′C′.已知BC＝3 cm，AC＝4 cm，AB＝5
cm，则阴影部分的周长为 .
第6题图
16 cm　
7. 如图，将三角形ABC沿着射线BC方向平移到三角形
DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距
离为3，则阴影部分的面积为 .
18　
8. 【思想方法 分类讨论】如图，点B，C在直线l上，
直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC＝45°，
∠ACB是钝角.将三角形ABC沿着直线l向右平移得到
三角形A1B1C1，连接AB1.在平移过程中，当∠AB1A1
＝2∠CAB1时，∠CAB1的度数是 .
15°或45°　(共17张PPT)
典例1　下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是(　D　)
A B C D
D
变式1　如图，O为直线AB上一点，则∠1的邻补角
是(　D　)
A. ∠COD B. ∠DOB
C. ∠AOD D. ∠COB
D
典例2　如图，直线AB，CD相交形成四个角，已知∠2
＝130°，则∠1的度数是 .
50°　
变式2　如图，直线a与直线b相交于点O，若∠2＝
5∠1，则∠2＝ °.
150　
知识点 　对顶角的定义与性质
(1)定义：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边
分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的
两个角，互为对顶角.
(2)性质：对顶角相等.
典例3　下列各图中，∠1和∠2互为对顶角的是(　A　)
A B C D
A
变式3　下列工具中，可看作对顶角的是(　B　)
A B C D
B
典例4　如图，直线AB与CD相交于点O，若∠BOC＝
85°，则∠AOD的度数是(　B　)
A. 95° B. 85° C. 75° D. 65°
B
变式4　如图，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝
40°，那么∠1的度数是(　B　)
A. 10° B. 20° C. 25° D. 30°
B
知识点 　邻补角、对顶角的性质综合
典例5　如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝
3∠AOC，求∠BOD的度数.
解：由邻补角的定义，得∠AOD＋∠AOC＝180°.
又因为∠AOD＝3∠AOC，
所以3∠AOC＋∠AOC＝4∠AOC＝180°，
即∠AOC＝45°.
由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝45°.
解：由邻补角的定义，得∠AOD＋∠AOC＝180°.
又因为∠AOD＝3∠AOC，
所以3∠AOC＋∠AOC＝4∠AOC＝180°，
即∠AOC＝45°.
由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝45°.
变式5　如图，直线AB，CD相交于点O，∠1∶∠2＝
2∶1，求∠3和∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得∠1＋∠2＝180°.
由题意，得∠1＝2∠2，
所以2∠2＋∠2＝3∠2＝180°，即∠2＝60°.
所以∠1＝2∠2＝120°.由对顶角相等，
得∠3＝∠1＝120°，∠4＝∠2＝60°.
1. 如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量
角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出
所量的角是 °，你的根据是 .
40　
对顶角相等　
2. (教材P8习题T1)如图，直线AB，CD，EF相交于
点O.
(1)写出∠AOC，∠BOE的邻补角；
解：(1)∠AOC的邻补角是∠COB，∠AOD；
∠BOE的邻补角是
∠AOE，∠BOF.
解：(1)∠AOC的邻补角是∠COB，∠AOD；
∠BOE的邻补角是
∠AOE，∠BOF.
2. (教材P8习题T1)如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(2)写出∠DOA，∠EOC的对顶角；
解：(2)∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是
∠DOF.
解：(2)∠DOA的对顶角是∠COB，
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)如果∠AOC＝50°，求∠BOD，∠COB的度数.
解：(3)因为∠AOC＝50°，
又因为∠BOD＝∠AOC，
所以∠BOD＝50°，∠COB＝180°－50°＝130°.
解：(3)因为∠AOC＝50°，
又因为∠BOD＝∠AOC，
所以∠BOD＝50°，∠COB＝180°－50°＝130°.
3. 如图，∠AOB＝35°，则∠BOD＝ °；当
剪刀口∠AOB增大5°时，∠COD增大 °.
145　
5　
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平
分线.若∠AOC＝30°，求∠BOE的度数.
解：由邻补角的定义，得∠AOD＝180°－∠AOC＝
180°－30°＝150°.
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠DOE＝ ∠AOD＝75°.
因为∠DOB＝∠AOC＝30°，
所以∠BOE＝∠DOB＋∠DOE＝30°＋75°＝105°.
5. 【思想方法 方程思想】如图，直线AB，CD相交于
点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°.若
∠BOE∶∠BOD＝3∶2，则∠AOF的度数为 .
45°　(共19张PPT)
7.3　定义、命题、定理
第10课时　定义、命题、定理
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　定义
一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我
们准确地理解它，并作出准确的判断.
典例1　下列语句中，哪句话是定义(　D　)
A. 连接A，B两点
B. 等角的余角相等吗
C. 内错角相等，两直线平行
D. 可以写成分数形式的数称为有理数
D
知识点 　命题
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作
命题.
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论
是由已知事项推出的事项.
典例2　下列语句是命题的是(　C　)
A. 画出两条相等的线段
B. 所有的同位角都相等吗
C. 相等的角是对顶角
D. 延长线段AB到C，使得BC＝BA
C
知识点 　真、假命题的定义
被判断为正确(或真)的命题叫作真命题；被判断为错误
(或假)的命题叫作假命题.
典例3　下列命题中，是真命题的是(　D　)
A. 两个锐角的和一定是钝角
B. 相等的两个角是对顶角
C. 两数的和一定是正数
D. 垂线段最短
D
知识点 　改写命题，写出命题的题设和结论
典例4　(教材P23练习T3 节选)指出下列命题的题设和
结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC＝90°；
题设： ，
结论： .
AB⊥CD，垂足为O　
∠AOC＝90°　
(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.
题设： ，
结论： .
∠1＝∠2，∠2＝∠3　
∠1＝∠3　
变式4　把下列命题改写成“如果……那么……”的
形式.
(1)同旁内角互补，两直线平行；

.
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那
么这两条直线平行　
(2)同位角相等.
.
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分
是结论.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等　
知识点 　定理、证明和反例
通过证明可判定一个命题是真命题，通过举反例可判定
一个命题是假命题.
典例5　如图，已知直线a∥b，b⊥c.求证：a⊥c.(将
下面的证明过程填写完整)
证明：∵b⊥c(已知)，
∴∠2＝ °(垂直的性质).
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠ (两直线平行，同位角相等).
∴∠ ＝∠ ＝90°(等量代换).
∴a⊥c(垂直的定义).
90　
2　
1　
2　
变式5　判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，请举
一个反例.
(1)两个锐角的和是钝角；
解：(1)假命题.反例：40°角与20°角的和为60°角，不是
钝角.
(2)若a＞b，则a2＞b2；
解：(2)假命题.反例：a＝1，b＝－3，a＞b，但是a2
＝1＜b2＝9.
解：(1)假命题.反例：40°角与20°角的和为60°角，不是钝角.
解：(2)假命题.反例：a＝1，b＝－3，a＞b，但是a2＝1＜b2＝9.
(3)同位角相等.
解：(3)假命题.反例：两条不平行的直线被第三条直线
所截形成的同位角不相等.
经过推理证实是正确的命题叫作定理.
解：(3)假命题.反例：两条不平行的直线被第三条直线所截形成
的同位角不相等.
1. 下列语句中，不是命题的是(　C　)
A. 正数都大于0
B. 鸟是动物
C. 过一点作直线l的垂线
D. 无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数
C
2. (教材P24练习T1)在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，∠A＋∠B＝180°，求证∠C＋∠D＝180°.
证明：∵∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC(　 　).
∴∠C＋∠D＝180°(　 　).
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
3. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式，再
判断它是真命题还是假命题.
(1)内错角相等，两直线平行；
解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；该命题是真命题.
(2)等角的余角相等.
解：(2)如果两个角相等，那么它们的余角相等；该命题
是真命题.
解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；该命题是真命题.
解：(2)如果两个角相等，那么它们的余角相等；该命题
是真命题.
4. 下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”
是假命题的反例是(　D　)
A. x＝1 B. x＝－1
C. x＝2 D. x＝－2
D
5. 你能列举出两个学过的定义吗？
解：①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条
直线；
②点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂
线段的长度.(答案不唯一)
解：①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条
直线；
②点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂
线段的长度.(答案不唯一)
6. 【核心素养 推理能力】如图，∠ABC的两边分别平
行于∠DEF的两边，且∠ABC＝45°.
(1)图1中，∠DEF＝ °；
图2中，∠DEF＝ °.
45　
135　
(2)请观察图1、图2中的∠DEF
分别与∠ABC有怎样的数量关
系，并归纳出一个真命题(用文字叙述).
(2)解：图1中的∠DEF与∠ABC相等，图2中的∠DEF
与∠ABC互补.结论：如果两个角的两边互相平行，那
么这两个角相等或互补.(共14张PPT)
7.4　平移
第12课时　平移(2)
第七章　相交线与平行线
目录
CONTENTS
B层　提升
A层　基础
C层　拓展
知识点 　平移作图
典例1　如图，平移三角形ABC，使点A与点A′对
应，画出平移后的三角形A′B′C′.
解：如图所示，三角形A′B′C′即为所求.
答图
变式1　如图，平移四边形ABCD，使点A移动到点
A′，画出平移后的四边形A′B′C′D′.
解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求.
答图
知识点 　由一个基本图形通过平移设计图案
典例2　下面四个图案中，可以看成是由图案自身的一
部分经平移后得到的是(　C　)
C
变式2　下列四个图案中，能用其中的一部分平移得到
的是(　B　)
B
知识点 　运用平移的性质解决实际问题
典例3　如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长
方形地块内修筑同样宽的两条道路，道路宽为2 m，余
下部分绿化，求绿化的面积.
解：由题意，得(32－2)×(20－2)＝30×18＝540(m2).
答：绿化的面积为540 m2.
变式3　如图，在一块长为7 m、宽为4 m的长方形草地
上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就
是它的右边线.求这块草地(阴影部分)的面积.
解：由题意，得(7－1)×4＝6×4＝24(m2).
答：这块草地的面积为24 m2.
解：由题意，得(7－1)×4＝6×4＝24(m2).
答：这块草地的面积为24 m2.
1. 如图，不是由一个图形平移得到的是(　D　)
D
2. (教材P29练习T1)在方格纸中平移三角形
ABC，使点A移到点M，点B和点C应移到
什么位置？再次平移三角形，使点A由点M
移到点N，分别画出两次平移后的三角形.
如果直接平移三角形ABC，使点A移到点
N，平移后的三角形和前面第二次平移后
得到的三角形位置相同吗？
解：如图所示.
由图可知，如果直接平移三角形ABC，
使点A移到点N，它和前面第二次平移
答图
后得到的三角形位置相同.
3. 如图，每个小正方形的边长为1.画出三角形ABC先
向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A′B′C′.
解：如图所示，三角形A′B′C′即为所求.
答图
4. 如图，某景点为方便游客赏花，拟在长方形荷花池
塘上架设小桥.若荷塘周长为360 m，且桥宽忽略不计，
则小桥总长为 m.
180　
5. 如图，在长为x m、宽为y m的长方形草地ABCD中
有两条小路l1和l2，l1为W状，l2为平行四边形状，每条
小路的右边线都是由小路左边线右移1 m得到的，则两
条小路l1，l2占地面积的情况是(　C　)
A. l1占地面积大 B. l2占地面积大
C. l1和l2占地面积一样大 D. 无法确定
C
6. 【思想方法 转化化归】下图是某中学新修的一块长方形ABCD的花
草场地，长AB＝100 m，宽AD＝50 m，现在场地中修曲折观景小路.
从A，B两处入口的路宽都为1 m，两小路汇合处
路宽为2 m，其余部分种植草坪，求小路的面积.
答：小路的面积为198 m2.
解：由图可知，长方形ABCD中去掉小路后，草坪
正好可以拼成一个新的长方形，且它的长为100－2
＝98(m)，宽为50－1＝49(m).
∴草坪的面积为98×49＝4 802(m2).
∴小路面积为100×50－4 802＝198(m2).
答：小路的面积为198 m2.

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