资源简介

★启用前注意保密
广东省中山市华侨中学等校 2026届高三模拟测试 (一)数学试题
本试卷共 4页，19小题，满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码
横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答
无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 复数 z= 2 的共轭复数为 ( )
1-i
A. 1- i B. 1+ i C. 2- 2i D. 2+ 2i
【答案】A
2 1+ i
【详解】因为复数 z= 2 = = 2+2i = 2+2i- = 1+ i，1 i 1- i 1+ i 1-i2 2
z 所以 = 1- i.
故选：A
2. 某班有 45名学生，其中 20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢
篮球和乒乓球的人数为 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】B
【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为 x，
则只喜欢篮球的有 20- x，只喜欢乒乓球的有 25- x，
所以 10+ 20-x + 25-x + x= 45，解得 x= 10，
所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为 10，
故选：B.
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ( )
A. 若m α,n α，则m n B. 若m α,α β，则m β
C. 若m⊥ α,m β，则 α⊥ β D. 若m⊥ α,m⊥n，则n α
【答案】C
【详解】对于A，若m α,n α，则m n或m,n异面，故A错误；
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对于B，若m α,α β，则m β或m β，故B错误；
对于C，若m β，则存在m1 β，且m m1，因为m⊥ α，所以m1⊥ α，而m1 β，从而 α⊥ β，故C
正确；
对于D，若m⊥ α,m⊥n，则n α或n α，故D错误.
故选：C.
4. 关于实数 x，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：x> 2；乙：x< 4；丙：x> 3．如果甲、乙、丙三个
陈述中有且仅有一个正确，则 x的取值范围可以为 ( )
A. (3, +∞) B. (-∞,2] C. 2,3 D. [4, +∞)
【答案】B
【详解】若甲正确，乙和丙错误，则 x> 2且 x≥ 4且 x≤ 3，不存在这样的实数 x满足条件，舍去；
若乙正确，甲和丙错误，则 x< 4且 x≤ 2且 x≤ 3，可得 x≤ 2，即 x的范围为 (-∞,2]；
若丙正确，甲和乙错误，因为丙：x> 3，则甲：x> 2一定正确，不符合题意，舍去.
综上可得：实数 x的取值范围为 (-∞,2].
故选：B.
5. 把函数 y= 2x的图象关于 y轴对称后得到 g x 的图象，则 g x 的图象与函数 y= log 1x的图象关于
2
( )
A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 直线 y= x对称
【答案】D
1 x
【详解】由题意知，g x = 2-x= .因为指数函数 y= ax与对数函数 y= log2 ax(a> 0且 a≠ 1)互
为反函数，图象关于直线 y= x对称，所以 g x 的图像与函数 y= log 1x的图像关于直线 y= x对称.
2
故选：D.
x-4 2 +y2
6. 1方程 = 表示的圆锥曲线的离心率 e= ( )
25-4x 5
A. 1 B. 4 C. 5 D. 5
5 5 4
【答案】B
x-4 2 +y2
【详解】因为 = 1 ，所以 5 x-4 2 +y2= 25-4x ，
25-4x 5
所以 25 x-4 2 +y2 = 252- 200x+ 16x2，
x2 y2
化简得 + = 1，是焦点在 x轴上的椭圆.
25 9
故 a= 5，c= 4 c 4，所以离心率为 e= = .
a 5
7. 若 α，β是第三象限角，且 tanα= 17 ，tanβ= 17，则 sin α+β = ( )
17
A. - 1 B. 0 C. 2 D. 1
2
【答案】D
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sinα 17
【详解】因为 tanα= 17 =，所以 cosα 17 ，17 sin2α+cos2α=1
因为若 α是第三象限角，所以 sinα< 0,cosα< 0，
解得 sinα=- 2 ，cosα=- 34
6 6
sinβ
同理因为 tanβ= 17，所以 cosβ
= 17
，
sin2β+cos2β=1
因为若 β是第三象限角，所以 sinβ< 0,cosβ< 0，
解得 sinβ=- 34 ，cosβ=- 2 .
6 6
而 sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= - 2 × - 2 + - 34 × - 34 = 16 6 6 6

8. 已知△ABC中，AB= 4，AC= 2，且 |λAB+ (2- 2λ)AC |(λ∈R)的最小值为 2 3，若P为边AB上

任意一点，则PB PC的最小值为 ( )
A. 0 B. - 3 C. - 9 D. - 3 3
2 4 2
【答案】C
【详解】延长AC至D，使得CD=AC= 2，连接BD，点E为△ABD所在平面内 点，连接AE，

则 λAB+ (2- 2λ)AC = λAB+ (1- λ)AD，令 λAB+ (1- λ)AD=AE，则点E在直线BD上，

由 λAB+ 2-2λ AC 的最小值为 2 3，得 AE min= 2 3，
2 3 3
当且仅当AE⊥BD时 AE 取得最小值，则 sin∠ABD= = ，4 2
又∠ABD π是锐角，则∠ABD= ，而AD=AB= 4，即△ABD为正三角形，
3
π
于是∠BAC= ，AB AC = 4× 2cos π = 4，令PB= xAB，则AP= (1- x)AB，
3 3
因此PB PC = xAB (AC -AP) = xAB AC - 2x(1- x)AB = 16x2- 12x
= 4x- 3
2
- 9 ≥- 9 3，当且仅当 x= 时取等号，2 4 4 8

所以PB PC 9的最小值为- .
4
故选：C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 数列 an 是等比数列，公比 q≠±1，其前n项和为Sn，则 ( )
A. 当 q> 1时， an 为递增数列
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B. 若S5= 3，S10= 9，则S15= 21
C. 若S5，S15，S10成等差数列，则 a5，a15，a10成等差数列
D. 若 an+1，a3n+1，a2n+1成等差数列，则Sn，S3n，S2n成等差数列
【答案】BCD
【详解】对于A，当 a1< 0时，q> 1时， an 为递减数列，故A错误；
对于B，若S5= 3，S10= 9，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，
则S15= 21，故B正确；
a 1-q15 a 1-q5 a 1-q10
对于C，若S5，S15，S10成等差数列，则 2S15=S5+

S10，即 2
1
- =
1
- +
1
，
1 q 1 q 1-q
即 2q15= q5+ q10，即 2a 141q = a1q4+ a 91q ，即 2a15= a5+ a10，
所以 a5，a15，a10成等差数列，故C正确；
对于D，an+1，a3n+1，a2n+1成等差数列，所以 2a3n+1= an+1+ a2n+1，
即 2a1q3n= a qn+ a q2n1 1 ，所以 2q3n= qn+ q2n，
3n n 2n a1 1-q
3n a 1-qn a 1-q2n
即 2 1-q = 1- +

q 1-q 1 1 ，即 2
1- = - + - ，q 1 q 1 q
所以 2S3n=Sn+S2n，所以Sn，S3n，S2n成等差数列，故D正确.
f(x)
10. 已知定义在R上的奇函数 f x 和偶函数 g x 满足 f x + g x = 2ex，h x = ，则 ( )
g(x)
A. h x 是奇函数 B. g x 是增函数
- , - = h(x)-h(y)C. h x 值域为 1 1 D. h x y
1-h(x)h(y)
【答案】ACD
【详解】对于A，由 f x + g x = 2ex，因为 f x 为奇函数，g x 为偶函数，
可得 g x - f x = 2e-x，联立方程组，解得 f x = ex- e-x,g x = ex+ e-x，
f(x) ex-e-x e-x-ex ex-e-x
所以 h x = = ，可得 h -x = =- =-h x ，
g(x) ex+e-x e-x+ex ex+e-x
所以函数 h x 为奇函数，所以A正确；
对于B，因为 g x 为偶函数，所以函数 g x 不可能为单调增函数，所以B错误；
x -x 2x
对于C，由函数 h x e -e = = e -1 = 1- 2 ，
ex+e-x e2x+1 e2x+1
因为 e2x+ 1∈ (1, +∞)，所以 h x ∈ (-1,1)，所以C正确；
x
D h x = e -e
-x ey-e-y x-y -(x-y)
对于 ，由 ，可得 h y = - ，h x-y =
e -e
，
ex+e-x ey+e y ex-y+e-(x-y)
ex-e-x ey-e-y- = - = (e
x-e-x)(ey+e-y)-(ey-e-y)(ex+e-x)
则 h x h y
ex+e-x ey+e-y (ex+e-x)(ey+e-y)
exey+exe-y-e-xey= -e
-xe-y-(eyex-eye-x-e-yex+e-ye-x) 2ex-y-2e-(x-y)= ，
(ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y)
(ex-e-x y -y x -x- ( ) ( )= - )(e -e ) = (e +e )(e
y+e-y)-(ex-e-x)(ey-e-y)
且 1 h x h y 1
(ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y)
exey+exe-y+e-xey= +e
-xe-y-(exey-exe-y-e-xey+e-xe-y) 2ex-y+2e-(x-y)= ，
(ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y)
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2ex-y-2e-(x-y)
h(x)-h(y) = (e
x+e-x)(ey+e-y) 2ex-y-2e-(x-y) ex-y-e-(x-y)
所以 = = = h(x- y)，
1-h(x)h(y) 2ex-y+2e-(x-y) 2ex-y+2e-(x-y) ex-y+e-(x-y)
(ex+e-x)(ey+e-y)
所以D正确.
故选：ACD.
11. 在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为
Q1，Q2，Q3，其中Q2是这组数的中位数，Q1和Q3分别可看作这组数被Q2分成的前后两组数的中位
数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数
Q1，Q2，Q3；然后连接Q1和Q3画出“箱子”，中位数Q2在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相
连接 (如图①)．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图 (如图②)，根
据该图判断下列说法正确的是 ( )
A. 三个班级中，甲班分数的方差最小
B. 三个班级中，乙班分数的极差最大
C. 丙班得分低于 80的学生人数多于得分高于 80的学生人数
D. 若每班有 42个学生，则三个班级的第 11名中，丙班的分数最高
【答案】ABD
【详解】由图，三个班中甲班得分的极差最小，乙班得分的极差最大，故甲班得分的分布更集中，对应
方差最小，A、B都对，
由于丙班得分的中位数Q2位于 80分上方，则该班低于 80分的学生人数少于高于 80分的学生人数，
C错，
由题意及分位数的定义，三个班级的第 11名 (分数从高到低的第 11名)的得分大概对应Q3位置的分
数，结合箱形图知丙班的分数最高，D对.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，M是C上一点，△MOF的面积为 2，则 |MF| = .
【答案】5
【详解】由题意，F 1,0 ，p= 2，
S 1△MOF= OF yM = 2，，所以 yM = 4，2
y2
则 x = MM = 4，4
p
由抛物线的定义知，|MF| = xM+ = 5.2
故答案为：5.
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13. 若对任意的 x∈ 0,π ，有 cos ωx+ π ≤ 1 (ω> 0)恒成立，则ω的取值范围为 ．3 2
【答案】 0, 1 3
π 1 1
【详解】因为 cos ωx+ ≤ ，所以- ≤ cos ωx+ π ≤ 1 ，3 2 2 3 2
π + 2kπ≤ωx+ π ≤ 2π即 + 2kπ,k∈ Z 4π或 + 2kπ≤ωx+ π ≤ 5π + 2kπ,k∈ Z，
3 3 3 3 3 3
又因为 x∈ 0,π π π ，所以 ≤ωx+ ≤ωπ+ π ，
3 3 3
π
所以 <ωπ+ π ≤ 2π ，即 0<ω≤ 1 ，
3 3 3 3
所以ω 1的取值范围为 0, ．3
14. 空间中有四个半径为 2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则
该小球的半径为 ．
【答案】 6- 2
【详解】由题意可知:连接四个球的球心，得到一个棱长为 4的正四面体,
设正四面体为PABC，设四面体PABC的外接球球心为O，半径为R，
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，
则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，
4 2
2 2 4 3
棱长为 ，所以AD= AB2- BC = 16-4= ，3 2 3 3
所以PD= AP2-AD2= 42- 4 3
2
= 4 6 ，3 3
在Rt△AOD中，OD=PD-OP= 4 6 -R，OA=R,
3
2 2
所以OA2=AD2+OD2 R2= 4 3，即 +3
4 6 -R , 解得R= 6．3
所以与 4个球都外切的小球的球心也在O处，所以小球的半径 r=R- 2= 6- 2.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是 0.8，该同学连续射击三次，当前一次
命中时，下一次也命中的概率是 0.7；当前一次未命中时，下一次命中的概率是 0.9．
(1)求该同学第二次命中的概率；
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(2)设随机变量X为三次射击中命中的次数，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)0.74
(2)分布列答案见解析，E X = 2.292
【解析】
【小问 1详解】

记事件Ai i=1,2,3 ，则P A1 = 0.8，P A2 A1 = 0.7，P A2 A1 = 0.9，

由全概率公式可得P A2 =P A1 P A2 A1 +P A1 P A2 A1
= 0.8× 0.7+ 0.2× 0.9= 0.74.
【小问 2详解】
由题意可知，随机变量X的可能取值有 0、1、2、3，
则P X=0 = 0.2× 0.1× 0.1= 0.002，P X=3 = 0.8× 0.7× 0.7= 0.392，
P X=1 = 0.8× 0.3× 0.1+ 0.2× 0.9× 0.3+ 0.2× 0.1× 0.9= 0.096，
P X=2 = 0.8× 0.7× 0.3+ 0.8× 0.3× 0.9+ 0.2× 0.9× 0.7= 0.51，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P 0.002 0.096 0.51 0.392
所以，E X = 0× 0.002+ 1× 0.096+ 2× 0.51+ 3× 0.392= 2.292.
16. 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD= π ，AB CD，AC= 3．
6
(1)若∠BAC= π ，求 sin∠BDA；
2
(2)求平面四边形ABCD面积的取值范围．
7
【答案】(1) ；
14
(2) 0, 3 3+6 .4
【解析】
【小问 1详解】
由∠ABD=∠CBD= π π π AC，得∠ABC= ，而∠BAC= ,AC= 3，则AB= ∠ = 1，6 3 2 tan ABC
BC= AC∠ = 2，由AB CD，得∠BDC=∠CBD，∠ACD=∠BAC=
π
，
sin ABC 2
则CD=BC= 2，AD= AC2+CD2= 7，在△ABD AB AD中，由正弦定理得 =
sin∠ADB sin∠ ，ABD
1
sin∠ADB= ABsin∠ABD
1×
= 2 = 7所以 .
AD 7 14
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【小问 2详解】
由 (1)知∠ABC= π ,∠BCD= 2π 2π，设∠ACB= θ
3 3 0<θ< 3 ，
△ABC AB = BC = AC在 中，由正弦定理得
sin∠ACB sin∠BAC sin∠ = 2，ABC
则AB= 2sinθ,BC= 2sin θ+ π ，又CD=BC，3
因此四边形ABCD的面积S=S 1△ABC+S△ACD=S△ABC+S△BCD= AB BCsin
π + 1 BC2sin 2π
2 3 2 3
= 3sinθsin θ+ π + 3sin2 θ+ π = 3 1 sinθ+ 3 cosθ 3 sinθ+ 3 cosθ3 3 2 2 2 2
= 3 3 + 3sinθcosθ = 3 3 + 3 sin2θ 0< 2θ< 4π，由 ，得- 3 < sin2θ≤ 1，4 4 2 3 2
0< 3 3因此 + 3 sin2θ≤ 3 3+6 3 3+6，即 04 2 4 4
所以四边形ABCD 3 3+6面积的取值范围是 0, 4 .
17. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AB=AD=CD= 1，BC=PC=
2，CD⊥PB．
(1)求PD的长；
(2)若PB= 3，
①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值；

②空间中一动点Q满足 BQ = PQ ，求 AQ 的最小值．
【答案】(1) 3
(2) 21 3① ；②
7 4
【解析】
【小问 1详解】
如图：
，
在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
因为AB=AD=CD= 1，BC= 2，则FC= 1 ，所以∠DCF= 60°，
2
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连接BD，
在三角形BCD中，由余弦定理得：BD2= 4+ 1- 2× 2× 1cos60° = 3，
所以BD= 3，又BC= 2，CD= 1，所以BD2+CD2=BC2，
所以BD⊥CD，又CD⊥PB，BD∩PB=B，且BD,PB 平面PBD，
所以CD⊥平面PBD，又PD 平面PBD，所以CD⊥PD，
因为PC= 2，所以PD= 4-1= 3 .
【小问 2详解】
①在三角形BDP中，由余弦定理得：cos∠BDP= 3+3-9 =- 1 ，
2× 3× 3 2
所以∠BDP= 120°，由于CD⊥平面PBD，

所以以D为坐标原点，分别以DB，DC向量的方向为 x,y轴的正方向，
过点D作垂直于DC的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A 3 ,- 1 ,0 ，B 3,0,0 ，C 0,1,0 ，D 0,0,0 ，P2 2 -
3 ,0, 3
2 2 ，

设平面PAB的一个法向量为m= x,y,z ，

AB= 3 1

, ,0 ，AP= - 3, 1 , 3 ，2 2 2 2

AB m =
3 1
0 x+ y=0
，所以AP m=0
2 2
1 3 ，令 x= 1，则 y=- 3，z= 3，- 3x+ 2 y+ 2 z=0

所以m= 1,- 3, 3 ，

设平面PCD的一个法向量为n= a,b,c ，

DC = 0,1,0 DP= - 3 ， ,0, 32 2 ，
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DC n =0 b=0 ，所以 - 3 a+ 3 ，令 a= 3，则 c= 1，b= 0，DP n=0 2 2 c=0

所以n= 3,0,1 ，
设平面PAB与平面PCD的夹角为 θ，
则 cosθ= cos m ,n = 2 3 = 21 .7
7 × 2
②因为点Q满足 BQ = PQ ，所以设点Q在PB的垂直平分面 α上，

PB= 3 3则 ,0,- 3 为平面 α的法向量，
2 2
则 AQ 的最小值为点A到平面 α的距离，
PB E 3 ,0, 3

AE= - 3 , 1 3的中点为 ， , ，4 4 4 2 4

AE PB - 9 - 9
所以点A 3到平面 α的距离为 = 8 8 = ，
PB 27 + 9 44 4

所以 AQ 3的最小值为 .4
18. 已知函数 y= f x 的定义域为D，对于给定实数 t，定义集合Vf t = x f x+t ≥ f x ．
(1)若 f x = x3- 13x，求Vf 2 ；
(2)若D=R，求证：“y= f x 为周期函数”的充要条件是“存在非零常数 t，使得Vf t =Vf -t =D”．
1 e 2(3) e若 f x = a x- - - x lnx- - ，D= 0,+∞ ，且对于任意 t∈D，都有Vf t =D，2 e 1 e 1
求实数 a的取值范围．
【答案】(1)Vf 2 = -∞,-3 ∪ 1,+∞ ；
(2) 1证明见解析； (3)a∈ ,1e .
【解析】
【小问 1详解】
V f 2 = x f x+2 ≥ f x ，
若 f x+2 ≥ f x ，则 x+2 3 - 13 x+2 ≥ x3- 13x，
所以 6x2+ 12x- 18= 6 x+3 x-1 ≥ 0，
所以Vf 2 = -∞,-3 ∪ 1,+∞
【小问 2详解】
充分性：因 Vf t =Vf -t =R， x∈R,f x+t ≥ f x ,f x-t ≥ f x ，
所以 f x ≥ f x+t ，所以 f x = f x+t ，因为 t≠ 0，所以 f x 是周期函数；
必要性：若 f x 是周期函数，设T是 f x 的周期，则 f x = f x±T ，
所以V = x f x+T ≥ f x f T =R，Vf -T = x f x-T ≥ f x =R，
所以存在 t=T≠ 0，使Vf t =Vf -t =R.
【小问 3详解】
因为 t> 0，Vf t = 0,+∞ ，所以 x,t> 0，f x+t ≥ f x ，
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所以 f x 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f x = a x- e - lnx+ 1- - ≥ 0，e 1 e 1
若 a≤ 0，则 x→+∞,f x →-∞，则不满足 f x ≥ 0；
所以 a> 0 f x = a x- e，设 - - lnx+
1
- = h x ，e 1 e 1
h x = ax-1因为 ，
x
当 x∈ 0, 1 1 ,h x < 0,h x 单调递减；当 x∈ ,+∞ ,h x > 0,h x 单调递增；a a
所以 h 1a = f
1 ≥ 0，即 lna- e- a-1 ≥ 0，a e 1
设 g x = lnx- e 1 e- x-1 ，则 g
x = - ，
e 1 x e-1
当 x∈ 0, e-1 ,g x > 0,g x e-1 单调递增；当 x∈ ,+∞ ,g x < 0,g x 单调递减；e e
1 1
又 g = g 1 = 0,g a ≥ 0，所以 ≤ a≤ 1；e e
所以 a∈ 1 ,1 .e
19. C : x
2 y2
已知椭圆 + = 1 a>b>0 1 的离心率为 ，右焦点 F关于直线 l:2x- y= 0的对称点在圆
a2 b2 2
x2+ y2= 1 P 2上，点 ,n n>0 在椭圆C上．3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知T为 l:x= 4上的动点，过T作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，
①证明：直线MN过定点，并求定点坐标；
②是否存在点T，使得∠MPF=∠NPF成立？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2 2
【答案】(1) x + y = 1
4 3
(2)①证明见解析，定点坐标为 1,0 ；②存在，且点T 4,- 27 617
【解析】
【小问 1详解】
设点F c,0 关于直线 l的对称点为A，
因为原点O在直线 l上，由对称性知 OF = OA ，
因为原点O为圆 x2+ y2= 1的圆心，且点A在圆 x2+ y2= 1上，所以 OF = OA = 1，即 c= 1，
又因为椭圆C的离心率为 e= c = 1 ，可得 a= 2，故 b= a2-c2= 22-12= 3，
a 2
x2 2
所以椭圆C的标准方程为 + y = 1.
4 3
【小问 2详解】
①设点M x1,y1 、N x2,
x x y y
y2 ，先证明椭圆C在点M处的切线方程为
1 + 1 = 1.
4 3
证明如下：
x1x y1y
4 + 3 =1联立 2 y2 可得 3x21+4y2 2 2x 1 x - 24x1x+ 16 3-4y1 = 0(*)，4 + 3 =1
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x21 + y
2
因为点M在椭圆C上，则 1 = 1，所以 3x2+ 4y2
4 3 1 1
= 12，
所以方程 (*)可化为 12x2- 24x1x+ 12x21= 0，即 x2- 2x x+ x21 1= 0，
Δ= 4x2 21- 4x1= 0，
x x y y x x y y
所以椭圆C在点M处的切线方程为 1 + 1 = 1，即直线TM的方程为 1 + 1 = 1，
4 3 4 3
x
同理可知直线TN的方程为 2
x + y2y = 1，
4 3
ty1
设点T 4,t ，则 x1+ 3 =1 x + ty ，22 3 =1
ty ty
所以点M、N的坐标均满足方程 x+ = 1，故直线MN的方程为 x+ = 1，
3 3
在直线MN的方程中，令 y= 0可得 x= 1，故直线MN过定点F 1,0 ；
2
2
P n
2
②将点 的坐标代入椭圆方程得 3 + = 1，
4 3
又因为n> 0，可得n= 2 6 ，故点P
3
2 , 2 6 ，
3 3
设直线PM、PN的倾斜角分别为 α、β，设直线PF的倾斜角为 γ，
因为∠MPF=∠NPF，则 α- γ= γ- β或 β- γ= γ- α，所以 α+ β= 2γ，
2 6 -0
且有 tanγ= kPF= 3 =-2 6，2
3 -1
易知直线PM、PN的斜率都存在，设直线PM、PN的斜率分别为 k1、k2，
所以 tan α+β = =
2tanγ
tan2γ =- 4 6 = 4 6 ，
1-tan2γ 1- -2 6 2 23
tanα+tanβ k +k
即 tan α+β = = 1 1 = 4 6
1- ，tanαtanβ 1-k1k2 23
2 2 6
不妨设直线MN的方程为 p x- + q3 y- 3 = 1，
2 2 2 2 6 2 6 2
椭圆C的方程为 3x2+ 4y2= 12，即 3 x- + + 4 y- + = 12，3 3 3 3
3 x- 2
2 2 6 2 + 4 y- + 4 x- 2 + 16 6 y- 2 6即 = 0，3 3 3 3 3
2 2
即 3 x- 23 + 4 y-
2 6
3 + 4 x-
2 + 16 6 y- 2 6 p x- 2 +q y- 2 6 = 0，3 3 3 3 3
16 6 2 6 2 2
整理可得 4+ q y-3 3 + 4q+
16 6 p x- 2 y- 2 6 + 4p+3 x- 23 3 3 3 = 0(*)，
y- 2 6
x- 2
2
等式两边同时除以 ，并令 k= 3 ，3 x- 23
则方程 (*)可化为 4+ 16 6 q k2+ 16 6 p+4q k+ 4p+3 = 0，3 3
所以 k 16 6 16 61、k2是关于 k的方程 4+ q k2+ p+4q k+ 4p+3 = 0的两根，3 3
16 6 p+4q
所以 k1+ k 32=- =-
4 6p+3q 4p+3 12p+9
，k1k2= = ，
4+ 16 6 q 4 6q+3 4+ 16 6 q 4 4 6q+3 3 3
第 18·页1/2共·18页
- 4 6p+3qk1+k2 = 4 6q+3
-4 4 6p+3q 4 6
所以
1-k1k2 1- 12p+
= = ，
9 16 6q-12p+3 23
4 4 6q+3
化简得 80 6 p+ 165q+ 3 6= 0①，
MN F 1,0 1 p- 2 6又因为直线 过焦点 ，所以 q= 1，即 p- 2 6q= 3②，
3 3
p=
51
125
联立①②可得 q=- 27 6 ，125
MN 51 x- 2 - 27 6 2 6所以直线 的方程为 y- = 1，125 3 125 3
p
MN k =- =- 51 - 125 = 17 6所以直线 的斜率为 MN =- 3 27 6，解得 t=- ，q 125 27 6 54 t 17
27 6
故存在点T 4,- ，使得∠MPF=∠NPF.17
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2026届高三模拟测试（一)
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填
写在答题卡上，将条形码横贴在答題卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的
答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答
在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1.复数：=己的共轭复数为
A.1-i
B.1+i
C.2-2i
D.2+2i
2.某班有45名学生，其中20人喜欢篮球运动，25人喜欢乒乓球运动，10人对这两项运动
都不喜欢则同时喜欢篮球和乒乓球运动的人数为
A.5
B.10
C.15
D.20
3,设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是
A.若m/1a,nca,则m//n
B.若m/1a,a/1B,则m11B
C.若m⊥x,m/1B,则a⊥B
D.若m⊥c,m⊥n,则n/1a
4.关于实数x,有下列甲，乙，丙三个陈述，分别为甲：x>2:乙：x<4:丙：x>3.若
甲，乙，丙三个陈述中有且仅有一个正确，则x的取值范围可以为
A.(3,+o)
B.（-∞，2]
C.(2,3)
D.[4,+∞)
5.若函数g(x)的图象与函数y=2的图象关于y轴对称，则g(x)的图象与函数y=1og1x
的图象关于
A.x轴对称
B.y轴对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
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6.方程x-42+y2
|25-4x
=上表示的圆锥曲线的离心率=
A号
4
B5
C.4
5
D.5
7.若a,B是第三象限角，且tana=vl7
17 tanB=17,sin(a+)=
A.-1
B.0
C.2
D.1
2
8.已知△ABC中，AB=4,AC=2,且2AB+(2-22)AC(1eR)的最小值为2V3,若
P为边AB上任意一点，则PB·PC的最小值为
A.0
B月
c号
D.-3v3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.数列{an}是等比数列，公比g≠±1，其前n项和为Sn,则
A.当g>1时，{an}为递增数列
B.若S3=3,S10=9,则S1s=21
C.若S5,S1s,S1o成等差数列，则a5,a15,ao成等差数列
D.若an+1,a3n+1,a2+1成等差数列，则Sn，S3m,S2n成等差数列
10.已知定义在R上的奇函数f()和偶函数g()满足f()+g()-2,A(x)=四，则
8(x)
A.h(x)是奇函数
B.g(x)是增函数
C.h(x)的值域为（-1,1)
D4-小鹄
11.在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的
数值为9,22,9，其中22是这组数的中位数，2和马分别可看作这组数被Q2分成的
前后两组数的中位数.利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，
最小值和三个四分位数2,22，马；然后连接2，和马画出“箱子”，中位数22在“箱子”
中间：再将最大值和最小值与箱子相连接（如图①）.某老师绘制了一次数学小测验中甲，
乙，丙三个班级学生得分的箱形图（如图②），根据该图判断下列说法正确的是
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