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湖北省2026届高三十一校第二次联考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足：，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3. 是为奇函数的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. B.
C. D.
5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值）
A. 2 B. C. D.
6. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A. 三棱锥外接球表面积为
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 若平面，则动点轨迹的长度为
D. 若，则动点的轨迹长度为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　）
A. C的虚轴长为 B. C的离心率为
C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于
10. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 的对称轴过的对称中心
D. ，使得
11. 已知函数有三个零点，则（ ）
A. 若成等差数列，则成等比数列
B. 若成等比数列，则成等差数列
C. 若成等差数列，则数列的公差为
D. 若成等比数列，则数列的公比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．
13. 已知数列的前项和为，且，，则___________．
14. 设分别是与零点，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
16. 锐角三角形的内角的对边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）设为锐角三角形的垂心，求的值．
17. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
（1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；
（2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．
18 已知，其中．
（1）求证：当时，；
（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；
（3）证明：，其中．
19. 已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为．
（1）求；
（2）若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点．
（i）设，证明：．
（ii）若平分，求线段长度的所有可能取值．
参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点
（3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）

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