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2026年广东中考第一次模拟考试数学试卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正负数的实际应用，关键是熟练应用知识点解题；利用正负数表示具有相反意义的量，海平面以上记为正，则海平面以下记为负．
【详解】解：∵规定海平面以上的海拔高度记为正，
∴海平面以下的海拔高度记为负，
∵艾丁湖海拔在海平面下米，
∴其海拔可记为：米，
故选：A．
2．下列计算中，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的乘除法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的减法法则对B选项进行判断；运用完全平方公式结合二次根式的运算法则对D选项进行判断．
【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项错误，符合题意；
D、，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．2026年1月1日，湖南省全省接待游客777.99万人次．长沙作为全省的旅游核心，贡献了其中的主要客流．将数据777.99万用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：777.99万．
故选：C．
4．下列几何体中，俯视图是三角形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，解题的关键是掌握常见几何体的俯视图形状．
分别分析每个选项中几何体的俯视图形状，再与题目要求的三角形进行比对．
【详解】解：A、圆锥的俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意；
B、球的俯视图是圆，此选项不符合题意；
C、正方体的俯视图是正方形，此选项不符合题意；
D、三棱柱的俯视图是三角形，此选项符合题意．
故选：D．
5．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．3 D．5
【答案】B
【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键．
【详解】解：延长，，相交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵D是的中点，，
∴．
故选：B．
6．甲、乙两个同学一周五天做的数学题个数如表所示：
周一 周二 周三 周四 周五
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
则下列结论正确的是（ ）
A．甲的平均数为12.5 B．
C．乙的众数为12 D．甲的极差为2
【答案】B
【分析】本题考查平均数，方差的定义，众数，极差的含义，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了
一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算，同时求解众数与极差即可得出答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，
，
，
∵，
∴；故B符合题意；
∵12，14都出现2次，
∴乙的众数为12与14，故C不符合题意；
甲的极差是，故D不符合题意；
故选：B．
7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程．
设小道的宽为，将小道平移后根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，平移后的种植面积如图阴影所示，
则种植部分的长为，宽为，
由题意得：．
故选：C．
8．如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵一粒米等可能落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为.
故选：C．
9．周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（ ）
A．小华的速度是
B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：
C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇
D．小华家到植物园的距离是
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用、函数图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据图象给出的信息逐项判断即可．
【详解】解：如图，
A：由图象可知，小华走了，
∴小华的速度为，故该选项不合题意；
B：由题意知，爸爸开车的速度是，
爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，故该选项不合题意；
C：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，
由图可知爸爸和小华在点处相遇，
当时，
解得，
，
∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，故该选项不合题意；
D：设家到植物园的路程为，则有，
解得，故该选项符合题意．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　）
A．2.5 B． C． D．3
【答案】D
【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键．
根据新运算的定义，将 ， 代入公式 ，计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的加法运算．
由根与系数的关系可求得和的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出的面积，再根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵，其中与是一组对应边，，
∴，
∵
∴，
∴边上的高是，
故答案为：18．
15．抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大，从而比较大小．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上，
∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ．
∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大，
∴ ．
故答案为：．
三、解答题（第16，17，18每题7分；第19，20，21题，每题9分；第22题13分；第23题14分。共8小题，共75分）
16．解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元二次方程求解的方法是关键．根据题意，先去分母，转换为一元二次方程，再根据解一元二次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可．
【详解】解：两边同时乘以得
，
整理得，
，
解得或 ，
经检验：是增根，舍去，是原方程的根，
所以原方程的根是．
17．如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证：
(1)为等边三角形；
(2)是的切线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由切线的性质得出，由直角三角形的性质及圆的基本性质可得出，即可得证；
（2）由等边三角形的性质得出，证明得，由切线的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，即点为的中点，
∴，
∵点、在上，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵为等边三角形，，
∴，
∵点、在上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
18．综合与实践
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数
【答案】(1)图象见解析，，
(2)
【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及；
（2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如下：
，抛物线顶点在y轴，
∴设抛物线解析式为，
的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，
由题可知
将A，C代入抛物线解析式，得，
解得，
函数解析式为：
∴顶点为
故；
（2）解：当时，代入抛物线表达式
解得
最大宽度为
他们能站的最大宽度为才不会被水淋到．
19．如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【详解】（1）证明：中，，平分，
，，
，，
，，
四边形是矩形；
（2）解：，平分，，，
．
在直角三角形中，由勾股定理得：．
四边形是矩形，
，．
，
．
20．本学期开学初，某校教导处统计各年级学生报到人数，见下列不完整的统计图，如图甲、乙所示．请根据所给信息，解答下列问题：
(1)全校报到的学生总人数为______名．
(2)九年级女生人数占九年级学生人数的百分比是______．
(3)如果六年级男生和女生的人数之比与七年级男生和女生的人数之比相等，则七年级男生人数是______名．
【答案】(1)800
(2)
(3)
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，百分比的应用，正确看懂统计图是解题的关键．
（1）计算六年级学生总人数，再除以即可解答；
（2）根据九年级人数占比，计算九年级总人数，再计算出女生人数即可求出占比；
（3）计算出七年级的学生总人数，再按照比例求得七年级男生人数．
【详解】（1）解：（名），
故全校报到的学生总人数为800名，
故答案为：800；
（2）解：根据扇形统计图，可得九年级学生占比为，
所以九年级总人数为（名），
则九年级女生人数为（名），
，
故答案为：；
（3）解：七年级学生人数为（名），
七年级男生人数比女生人数为，
所以七年级男生人数是（名），
故答案为：．
21．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数）
【答案】(1)旗杆的高度为12米
(2)小明需要后退约米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案；
（2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为12米；
（2）解：如图，过E作于点G，
由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
米，，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得（米），
米，
米米，
答：小明需要后退约米．
22．已知：，，
(1)当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案）
(3)嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可得，，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可；
（2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】（1）解：，
当时，
原式
；
故答案为：；
（2）∵，，，
当时，
∴，，，
∴，
∴，
∴这个三角形的面积是；
故答案为：24；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
，
，
当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数．
23．如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)猜想与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据，设，则，由勾股定理得，进而得，由此得，，则点，代入可求出的值；
（2）由为中点，得，将代入可得，则，由，可证，根据对应角相等及等角的余角相等可得，进而得证；
（3）设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，由得，由得，，则，进而可得，则，，进而可证．
【详解】（1），
设，则，
正方形中，，，
中，由勾股定理得：，
，
，，，
，
代入得；
（2）证明：为中点，
，
由已知得，代入得，
，，
，
，
正方形中，，
，
，
中，，
，
，即；
（3），理由如下：
设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，如图所示：
，
，正方形中，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点并综合运用是解题的关键．2026年广东中考第一次模拟考试数学试卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（ ）米．
A． B． C． D．
2．下列计算中，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2026年1月1日，湖南省全省接待游客777.99万人次．长沙作为全省的旅游核心，贡献了其中的主要客流．将数据777.99万用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
4．下列几何体中，俯视图是三角形的为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．3 D．5
6．甲、乙两个同学一周五天做的数学题个数如表所示：
周一 周二 周三 周四 周五
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
则下列结论正确的是（ ）
A．甲的平均数为12.5 B．
C．乙的众数为12 D．甲的极差为2
7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长、宽的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（ ）
A．小华的速度是
B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：
C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇
D．小华家到植物园的距离是
10．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　）
A．2.5 B． C． D．3
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．因式分解： ．
12．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ．
13．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
14．已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是 ．
15．抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是 ．
三、解答题（第16，17，18每题7分；第19，20，21题，每题9分；第22题13分；第23题14分。共8小题，共75分）
16．解分式方程：．
17．如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证：
(1)为等边三角形；
(2)是的切线．
18．综合与实践
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数
19．如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于，若，，求的长．
20．本学期开学初，某校教导处统计各年级学生报到人数，见下列不完整的统计图，如图甲、乙所示．请根据所给信息，解答下列问题：
(1)全校报到的学生总人数为______名．
(2)九年级女生人数占九年级学生人数的百分比是______．
(3)如果六年级男生和女生的人数之比与七年级男生和女生的人数之比相等，则七年级男生人数是______名．
21．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数）
22．已知：，，
(1)当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案）
(3)嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由．
23．如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)猜想与的数量关系，并证明．

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