资源简介

(共18张PPT)
16.2　二次根式的运算
第2课时　二次根式的除法
第16章　二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列运算错误的是（　B　）
A. ÷ ＝2 B. ÷ ＝1
C. ÷ ＝ D. ÷ ＝
2. 把 化为最简二次根式，得（　D　）
A. 4b B. 2 C. D.
B
D
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3. （2025 淮南期末）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　B　）
A. B. C. D.
B
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4. 等式 ＝ 成立的条件是 　6＜x≤9　.
5. 已知长方形的面积为4 ，一条边的长为 ，则相邻的另一条边
的长为 　 　.
6＜x≤9　
　
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6. 计算：
（1） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
（2） 9 ÷ .
解：原式＝27 × ＝（27× ）×5＝180.
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（3） 2 ÷4 .
解：原式＝ ＝ .
（4） .
解：原式＝ ＝2 .
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7. 将下列式子化成最简二次根式：
（1） .
解：原式＝ ＝ .
（2） .
解：原式＝ ＝ ＝ .
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（3） （a＞0，c＞0）.
解：原式＝ ＝ .
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8. 已知 ＝ ，则实数a的取值范围是（　C　）
A. a≤1 B. a＜0
C. 0＜a≤1 D. a＞0
C
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9. （2025 合肥蜀山期中）已知a＝ ＋2，b＝ ，则a与b的关系
为（　C　）
A. ab＝1 B. ab＝－1
C. a＝b D. a＝－b
C
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10. 已知a＝ － ，b＝ － ，c＝ －
，则a，b，c的大小关系是（　A　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. b＜c＜a
A
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11. 化简 的结果是（　B　）
A. B. －
C. －3 D.
B
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12. （2025 淮北期中）若m为实数，在“（ ＋2）□m”的“□”中
添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择）后，其运算
的结果为有理数，则m的值不可能是（　C　）
A. ＋2 B. －2
C. 2 D. 2－
C
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13. 计算：2 × ÷ ＝ 　 　.
14. 已知a＜0，则 ÷ ＝ 　－2a　.
15. 计算：x ÷ × .
解：原式＝x ×（－ ）× ＝（－x × ）
× ＝－ x ＝－ x x2y2＝－ x3y2.
　
－2a　
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16. 新考法 阅读理解　【阅读材料】 对于一些特殊类型的根式，我们
有一些常用的化简计算方法.
如： ＝ ＝7＋4 ，这是利用平方差公式进行
化简运算的思路.
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性
质 ＝｜a｜.
如：对于 － ，设x＝ － .
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由 ＞ ，可知x＞0.
由x2＝（ － ）2＝3＋ ＋3－ －
2 ＝2.
∴ x＝ ，即 － ＝ .
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【学以致用】 请你根据以上材料中的方法，化简： ＋
－ .
解：设x＝ － .∵ ＜ ，
∴ x＜0.∵ x2＝（ － ）2＝6－3 ＋6＋3 －
2 ＝6，∴ x＝－ .∴ 原式＝
－ ＝5－2 － ＝5－3 .
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16(共21张PPT)
第16章整合拔尖
第16章　二次根式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一　二次根式的概念和性质
典例1　（2025 连云港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范
围是（　D　）
A. x≤1 B. x≥1 C. x≤－1 D. x≥－1
D
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可得到
答案.
［变式］ （2025 绥化）若式子 有意义，则x的取值范围是 　x＞
－1　.
x＞
－1　
典例2　下列二次根式中，是最简二次根式的为（　D　）
A. B.
C. D.
［变式］ 下列二次根式中，是最简二次根式的为（　D　）
A. B. C. D.
D
D
考点二　二次根式非负性的应用
典例3　若（3x＋2y－19）2＋ ＝0，则x＋y的平方根是
（　C　）
A. 8 B. ±8 C. ±2 D. 2
利用非负数之和为0，则每个非负数分别为0，求出x＋y的值，进而求
出平方根.
C
［变式］ 若实数a，b满足｜a＋1｜＋ ＝0，则a＋b＝ 　1　.
1　
考点三　二次根式的大小比较
典例4　请比较 － 和 － 的大小.
　　先将两式变形为 ， ，再由 ＞ ，得 ＋
＞ ＋ ，从而比较出大小.
解：∵ － ＝ ， － ＝ ，且 ＞
，∴ ＋ ＞ ＋ .∴ － ＜ － .
［变式］ （2023 蚌埠龙子湖期中）比较大小： 　＞　 .
（填“＞”“＜”或“＝”）
＞　
考点四　二次根式的混合运算
典例5　计算：｜－6｜－ × ＋22.
解：原式＝6－ ＋4＝6－4＋4＝6.
［变式］ （2025 合肥蜀山期中）计算： －6 ＋（ － ）2.
解：原式＝2 － ＋3－2 ＋2＝5－ .
考点五　利用数形结合思想化简二次根式
典例6　（2025 安庆太湖期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如
图所示，则化简 － － 的结果为（　A　）
（典例6图）
A. －2b B. －2a C. 0 D. 2a－2b
　　利用数轴得出a，b和a－b的符号，进而利用绝对值和二次根式的
性质化简得出答案.
A
［变式］ 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
－（ ）2＋ 的结果为（　B　）
A. a－2b B. －a－2b
C. －2a－b D. a＋2b
B
考点六　利用整体思想化简求值
典例7　（2023 池州青阳期末）当a＝ ＋2，b＝ －2时，a2＋ab
＋b2的值是（　D　）
A. 10 B. 15 C. 18 D. 19
　　先分别求出a＋b和ab的值，再利用完全平方公式将a2＋ab＋b2变
形为（a＋b）2－ab，最后代入计算即可得出答案.
D
［变式］ （2023 马鞍山花山期中）已知x＝ ＋ ，y＝ － ，
则x2－y2＝ 　4 　.
4 　
1. （2025 阜阳临泉期末）下列二次根式中，是最简二次根式的
为（　C　）
A. B.
C. D.
C
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2. 已知a，b，c满足｜a－3｜＋ ＋（c－b）2＝0，则2a＋
b＋c的值为（　A　）
A. 10 B. －10
C. 5 D. －5
A
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3. （2025 凉山）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围
是 　m≥1　.
4. （2025 合肥庐江模拟）计算：（2＋ ）（2－ ）＝ 　1　.
5. 比较大小：2 　＜　5 .（填“＞”“＜”或“＝”）
6. 观察下列等式：① 2 ＝ ；② 3 ＝ ；③ 4 ＝
……根据反映的规律，如果x ＝ ，那么x2－y
＝ 　1　.
m≥1　
1　
＜　
1　
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7. 计算：
（1） ＋3 － × .
解：原式＝2 ＋3 － × ＝5 － .
（2） ＋（π－2 024）0－｜－ －2｜.
解：原式＝2 ＋1－（ ＋2）＝2 ＋1－ －2＝ －1.
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8. 数形结合思想　（2023 滁州定远期中）实数a，b在数轴上对应点的
位置如图所示，化简： ＋ －｜a－b｜.
（第8题）
解：由图，可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，a＜b，∴ a＋1＜0，b－1＞
0，a－b＜0.∴ 原式＝｜a＋1｜＋｜b－1｜－｜a－b｜＝－（a＋
1）＋（b－1）＋（a－b）＝－a－1＋b－1＋a－b＝－2.
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9. 整体思想　（2025 安庆怀宁期中）已知x＝ ，y＝ ，
求：
（1） x2y－xy2的值.
（1）x2y－xy2＝xy（x－y）＝1×4 ＝4 .
解：∵ x＝ ＝ ＝3＋2 ，y＝ ＝
＝3－2 ，∴ xy＝（3＋2 ）×（3－2 ）＝
1，x－y＝（3＋2 ）－（3－2 ）＝4 .
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（2） x2－xy＋y2的值.
解：∵ x＝ ＝ ＝3＋2 ，y＝ ＝
＝3－2 ，∴ xy＝（3＋2 ）×（3－2 ）＝
1，x－y＝（3＋2 ）－（3－2 ）＝4 .
（2） x2－xy＋y2＝（x－y）2＋xy＝（4 ）2＋1＝32＋1＝33.
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9(共18张PPT)
16.2　二次根式的运算
第1课时　二次根式的乘法
第16章　二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. （2025 兰州）计算 × 的结果是（　B　）
A. 6 B. C. D. 1
B
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2. （2025 安庆怀宁期中）下列变形正确的是（　C　）
A. ＝ ×
B. ＝ × ＝4×
C. ＝
D. ＝25－24＝1
C
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3. 若 ＝a， ＝b，则 可以表示为（　D　）
A. B. a
C. a2b D. ab2
D
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4. （2025 阜阳三模）计算 × 的结果是 　6　.
5. 计算 的结果是 　 　.
6. 计算：
（1） × ＝ 　6 　.
（2） 6 ×（－3 ）＝ 　－72　.
（3） ×3 ＝ 　 　.
（4） 2 ×3 ×4 ＝ 　360　.
6　
　
6 　
－72　
　
360　
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7. 化简或计算：
（1） .
解：原式＝ ＝3 .
（2） × .
解：原式＝ ＝ ＝10.
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（3） × .
解：原式＝ ＝1.
（4） × .
解：原式＝ ＝ ＝6 .
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8. 对于任意实数x，下列各式一定成立的是（　D　）
A. ＝
B. ＝x＋1
C. ＝
D. ＝6x2
D
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9. 已知k，m，n都是整数.若 ＝k ， ＝20 ， ＝
6 ，则下列关于k，m，n的大小关系中，正确的是（　A　）
A. m＜k＜n B. m＝n＜k
C. m＜n＜k D. k＜m＝n
10. 已知m＝ ×（－2 ），则下列说法正确的是（　A　）
A. 5＜m＜6 B. 4＜m＜5
C. －5＜m＜－4 D. －6＜m＜－5
A
A
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11. （2025 合肥庐阳期中）把x 根号外的因式移到根号内，得（ 　）
A. B.
C. － D. －
12. 一个长方体的长、宽、高分别为 cm， cm， cm，它的体
积为 　5 　cm3.
13. 计算 （a＜0）的结果为 　－4a　.
14. （2025 滁州期末）已知 是整数，则正整数a的最小值是 　2　.
D
5 　
－4a　
2　
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15. 计算：
（1） 2 × .
解：原式＝2× × ＝2×（－3）× ＝－3.
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（2） ×2 × .
解：原式＝ ×2 × × ＝2× × ＝－
＝－4 .
（3） 3a （a≥0，b≥0）.
解：原式＝3a ＝－2a ＝－12ab .
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16. 新情境 安全意识　（2025 阜阳颍上期末）安全问题，时刻警醒.高
空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦从高
空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.经过查阅相关资
料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h
（单位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响，g≈10 N/kg）
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解：（1） 当h＝45时，t＝ ＝3，∴ 从45 m高空抛物到落地的时
间为3 s.
（1） 求从45 m高空抛物到落地的时间.
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（2） 已知高空抛物动能（单位：J）＝10（单位：N/kg）×物体质量
（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛
出后，经过4 s后落在地上.根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动
能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确.（注：
伤害无防护人体只需要65 J的动能）
解：（2） 当t＝4时， ＝4，∴ ＝16.∴ h＝80.∴ 这个玩具产生
的动能为10×0.2×80＝160（J）.∵ 160＞65，∴ 这个玩具产生的动能
会伤害到楼下的行人，小南的判断正确.
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17. 新考法 探究题　（2025 合肥瑶海期末）观察以下等式：
第1个等式： ＝3；
第2个等式： ＝4；
第3个等式： ＝5；
第4个等式： ＝6.
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（1） 按照以上规律，写出第5个等式： 　 ＝7　.
（2） 按照以上规律，写出你猜想的第n个等式： 　 ＝
n＋2　（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立.
解：∵ ＝ ＝ ＝n＋2，∴ 等
式成立.
＝7　
＝
n＋2　
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17(共14张PPT)
16.2　二次根式的运算
第3课时　二次根式的加减
第16章　二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 －4 的结果是（　B　）
A. 1 B.
C. 3 D. 5
B
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2. （2025 芜湖南陵期末）下列二次根式中，能与 合并的是（　B　）
A. B.
C. D.
B
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3. （2025 阜阳颍上期末）下列计算正确的是（　D　）
A. ＋ ＝
B. 5 －2 ＝3
C. ＝
D. × ＝9
D
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4. （2025 自贡）计算： －3 ＝ 　0　.
5. （2025 安庆太湖期末）若 与最简二次根式 是同类二次
根式，则a＝ 　2　.
6. 计算3 －2 ＋ 的结果为 　－4 　.
0　
2　
－4 　
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7. 计算：
（1） ＋ .
解：原式＝6 ＋2 ＝8 .
（2） ＋ － .
解：原式＝ ＋ －2 － ＝1－ .
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8. （2025 合肥蜀山期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的
为（　A　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
A
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9. 已知 ≈1.414，则计算2 －3 －99 的结果约是（　A　）
A. －141.4 B. －100
C. 141.4 D. －0.014 14
A
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10. （2025 芜湖期末）若 ＋ ＝ ，则a和b的值不可能是（　D）
A. a＝2，b＝2
B. a＝ ，b＝
C. a＝0，b＝8
D. a＝4，b＝2
D
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11. （2025 合肥段考）已知等腰三角形的两边长分别为3 ，4 ，
则此等腰三角形的周长为（　C　）
A. 6 ＋4
B. 6 ＋4 或3 ＋8
C. 3 ＋8
D. 6 ＋8
C
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12. 5－ ，2＋ ，2＋ 的大小关系是（　D　）
A. 2＋ ＞2＋ ＞5－
B. 5－ ＞2＋ ＞2＋
C. 2＋ ＞5－ ＞2＋
D. 5－ ＞2＋ ＞2＋
D
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13. （2025 黄山期中）若 ＋ ＝5 ，则x的值为 　18　.
14. （2025 淮南三模）计算： －｜1－ ｜＋ .
解：原式＝3 －（ －1）－ ＝3 － ＋1－ ＝2 ＋ .
15. （2025 安庆怀宁期中）化简： ＋6 －2x .
解：原式＝2 ＋3 －2 ＝3 .
18　
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16. 是否存在正整数a，b（a＞b），使其满足 ＋ ＝ ？若
存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.由题意，得 ＋ ＝ ＝6 ，∵ a，b是正整数，a
＞b，∴ ＞ .∴ ＝5 ， ＝ 或 ＝4 ， ＝2 .
∴ a＝75，b＝3或a＝48，b＝12.
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16(共8张PPT)
专题特训一　二次根式的化简求值
第16章　二次根式
类型一　利用二次根式的非负性化简求值
1. 已知a，b满足 ＋ ＝0，求3a
的值.
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解：∵ ＋ ＝0， ≥0，
≥0，∴ 解得 ∴ 原式＝
＝ ＝ ＝3a .∴ 当a＝ ，b＝4时，原
式＝3× × ＝2.
类型二　利用二次根式的性质化简求值
2. 若a，b为实数，且b＜ ＋ ＋2，化简：
＋ .
解：由题意，得 解得a＝2，∴ b＜2.∴ b－2＜0.∴ 原式
＝ ＋ ＝ ＋2＝3.
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类型三　利用乘法公式化简求值
3. 已知x＝2＋ ，y＝2－ ，求下面各式的值：
（1） x2－y2.
解：（1） 由条件可知，x＋y＝2＋ ＋2－ ＝4，x－y＝2＋
－2＋ ＝2 ，∴ x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝4×2 ＝8 .
（2） ＋ .
解：（2） 由条件可知，x＋y＝4，xy＝（2＋ ）（2－ ）＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＝4.
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4. 已知x＝ ，y＝ .
（1） 求x2－xy＋y2的值.
解：（1） ∵ x＝ ＝ ＝2－ ，y＝ ＝
＝2＋ ，∴ x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝（2
－ ＋2＋ ）2－3×（2－ ）（2＋ ）＝42－3×1＝16－3＝13.
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（2） 若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a＋b）2＋
的值.
解：（2） 由（1）知，x＝2－ ，y＝2＋ .∵ 1＜3＜4，∴ 1＜
＜2.∴ －2＜－ ＜－1，3＜2＋ ＜4.∴ 0＜2－ ＜1.∵ x的小
数部分为a，y的小数部分为b，∴ a＝2－ ，b＝2＋ －3＝ －
1.∴ 原式＝（2－ ＋ －1）2＋ ＝1＋
＝1＋2 －3＝2 －2.
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5. （2025 阜阳界首期中）已知m＝ － ，n＝ ＋ ，求mn3－
m3n的值.
解：由条件可得，mn＝（ － ）（ ＋ ）＝5－3＝2，m＋n
＝ － ＋ ＋ ＝2 ，n－m＝ ＋ －（ － ）＝
2 ，∴ mn3－m3n＝mn（n2－m2）＝mn （n＋m）（n－m）＝
2×2 ×2 ＝8 .
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类型四　利用整体思想化简求值
6. 易错题　已知a，b为实数，且a＋b＝－8，ab＝8，求b ＋a
的值.
解：∵ a＋b＝－8，ab＝8，∴ a＜0，b＜0，（a＋b）2＝64，即a2
＋b2＋2ab＝64.又∵ ab＝8，∴ a2＋b2＝48.∴ 原式＝b ＋a ＝－
－ ＝（－ － ） ＝－ ＝－ ＝－12 .
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6(共18张PPT)
16.1　二次根式
第16章　二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 淮北期末）下列各式一定属于二次根式的为（　A　）
A. B.
C. D.
2. （2025 福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以
是（　D　）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
A
D
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3. （2025 亳州利辛期中）下列运算中，正确的是（　B　）
A. ＝－2 B. － ＝－5
C. ＝±7 D. － ＝3
4. （2025 阜阳界首期中）若 ＝4－a，则a的取值范围
是（　B　）
A. a＜4 B. a≤4
C. a＞4 D. a≥4
B
B
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5. （2025 北京）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
是 　x≥1　.
x≥1　
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6. （2025 芜湖无为期中）若 为整数，则x的值可以是 　7（答案
不唯一）　.（写出一个即可）
7. 化简： ＝ 　2 025　.
注：标“★”的题目设有“方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警
示”，详见“答案与解析”.
8. （2025 合肥庐阳期末）化简 的结果为 　π－3　.
7（答案
不唯一）　
2 025　
π－3　
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9. 计算：
（1） （－2 ）2.
解：20.
（2） .
解： .
（3） － .
解： .
（4） （ ）2＋｜－ ｜.
解：3.
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10. 求使得下列各式有意义的字母的取值范围.
（1） .
解：m为全体实数.
（2） .
解：x≥0且x≠3.
（3） .
解：x为全体实数.
（4） ＋ .
解：x＝1.
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11. 有这样一道题：化简a＋ .甲同学给出了如下的解答过
程：a＋ ＝a＋ ＝a＋a－1＝2a－1.甲同学
的解答过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程.
解：不正确.a＋ ＝a＋ ＝a＋｜a－1｜.当
a≥1时，原式＝a＋a－1＝2a－1；当a＜1时，原式＝a＋1－a＝1.
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12. （2025 安徽）下列计算正确的是（　B　）
A. ＝－a B. ＝－a
C. a3 （－a）2＝a6 D. （－a2）3＝a6
B
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13. 数形结合思想　（2025 亳州利辛期中）实数a，b在数轴上对应点
的位置如图所示，则化简 － 的结果是（　C　）
A. 0 B. －2a
C. －2b D. 2a－2b
（第13题）
C
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14. （2025 合肥庐阳期末）已知1＜x＜2，则化简 ＋
｜x－3｜的结果是（　D　）
A. 2 B. －2
C. 2x－8 D. 8－2x
15. 在实数范围内分解因式：2x2－6＝ 　2（x＋ ）（x－ ）　.
D
2（x＋ ）（x－ ）　
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16. （2025 齐齐哈尔）若代数式 ＋（x－2 025）0有意义，则实数x
的取值范围是 　x＞3且x≠2 025　.
17. （2025 安徽模拟）已知实数x，y，若y＝ ＋ ＋5，
则x－y＝ 　－3　.
x＞3且x≠2 025　
－3　
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18. 已知｜2 022－x｜＝x－ ，求x－2 0222的值.
解：由题意，得x－2 023≥0，解得x≥2 023.∴ 原等式去绝对值，得x
－2 022＝x－ .整理，得 ＝2 022.两边平方，得x
－2 023＝2 0222.∴ x－2 0222＝2 023.
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19. （2025 宣城宁国期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长
为c，化简： － .
解：由三边关系定理，得3＋5＞c，5－3＜c，即8＞c＞2，∴ 原式＝
－ ＝｜c－2｜－ ｜c－8｜＝c－2－
（8－c）＝ c－6.
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20. 已知x，y为实数，且y＜ ＋ ＋3，化简：｜y－3｜＋
.
解：由题意，得 ∴ x＝1.∴ y＜3.∴ y－3＜0，y－4＜0.
∴ 原式＝3－y＋ ＝3－y＋（4－y）＝7－2y.
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21. （2025 马鞍山花山期中）（1） 通过计算下列各式的值探究问题：
＝ 　4　； ＝ 　0　； ＝ 　1　.
综上，对于任意有理数a， ＝ 　｜a｜　.
4　
0　
1　
｜a｜　
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（2） 运用（1）中所得的结论解决问题：
有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，化简： － －
＋｜a＋b｜.
　　（第21题）
解：由数轴知，－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a＋b＜0，∴ 原
式＝－a－b－（b－a）＋（－a－b）＝－a－b－b＋a－a－b＝
－a－3b.
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21(共15张PPT)
16.2　二次根式的运算
第4课时　二次根式的混合运算
第16章　二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 淮南期中）下列计算正确的是（　C　）
A. 2＋ ＝2
B. （－2 ）2＝6
C. ÷ ＝
D. 2 － ＝2
C
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2. 计算（2 ＋ ）× 的结果是（　C　）
A. 4 B. 6
C. 2 ＋2 D. 4 ＋2
3. 估算3×（ － ）的值在（　C　）
A. 4和5之间 B. 5和6之间
C. 6和7之间 D. 7和8之间
4. （2025 天津）计算（ ＋1）（ －1）的结果为 　60　.
C
C
60　
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5. （2025 阜阳太和期末）计算：
（1） ÷ － × ＋ .
解：原式＝2 －3＋3 ＝5 －3.
（2） （ ＋1）（ －1）－（ －1）2.
解：原式＝3－1－（2－2 ＋1）＝2－2＋2 －1＝2 －1.
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6. 如图，在一个长方形中无重叠地放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两
张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　C　）
A. （4－2 ）cm2 B. （8 －4）cm2
C. （8 －12）cm2 D. 8 cm2
（第6题）
C
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7. （2025 合肥段考）若（2＋ ）2＝a＋b （a，b为有理数），
则a＋b的值为（　D　）
A. 6 B. 9
C. 11 D. 11
D
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8. 新情境 游戏活动　老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完
成二次根式的混合运算.如图，老师把题目交给一名同学，他完成一步
解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看
到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是（　B　）
A. 小明和小丽 B. 小丽和小红
C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮
（第8题）
B
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9. 从－ ， ， 中任意选择两个数，分别填在算式（□＋○）2÷
的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 　答案不唯 一，如
－2.（只需写出一种结果）
答案不唯一，如
－2 　
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10. （2025 安庆潜山期中）计算：
（1） ＋（ ＋1）（ －1）.
解：原式＝ ＋2－1＝1＋2－1＝2.
（2） （ －2 ）× －6 .
解：原式＝ －2 －6× ＝3 －2×3 －3 ＝－6 .
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（3） （ －1）（ ＋1）＋（1－ ）2＋｜2－ ｜.
解：原式＝5－1＋1－2 ＋5＋ －2＝8－ .
（4） ＋（ －1）2－｜－2 ｜＋ .
解：原式＝2 ＋4－2 －2 ＋2＝6－2 .
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11. 新考法 探究题　（2025 安庆怀宁期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的
平方，如：3＋2 ＝（1＋ ）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋ b＝（m＋ n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a
＋ b＝m2＋2n2＋2mn .∴ a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把部分a＋ b形式的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
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（1） 当a，b，m，n均为正整数时，若a＋ b＝（m＋ n）2，
用含m，n的式子分别表示a，b：a＝ 　m2＋3n2　，b＝ 　2mn　.
（2） 7＋4 的算术平方根为 　2＋ 　.
m2＋3n2　
2mn　
2＋ 　
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11
（3） 若a＋6 ＝（m＋ n）2，且a，m，n均为正整数，求a的
值.
解：（3） ∵ a＋6 ＝（m＋ n）2＝m2＋3n2＋2mn ，∴ a＝
m2＋3n2，2mn＝6，即mn＝3.∵ a，m，n均为正整数，∴ m＝1，n
＝3或m＝3，n＝1.∴ 当m＝1，n＝3时，a＝m2＋3n2＝1＋3×9＝
28；当m＝3，n＝1时，a＝m2＋3n2＝9＋3×1＝12.∴ a的值为28或
12.
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（4） 化简： ＋ .
解：（4） ∵ （ ＋ ）2＝4－
＋2 × ＋4＋ ＝
8＋2 ＝8＋2 ＝8＋2 ＝8＋
2（ －1）＝6＋2 ，∴ 易得 ＋
＝ ＝ ＝ ＋1.
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