资源简介

(共17张PPT)
17.2　一元二次方程的解法
第2课时　公 式 法
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 合肥瑶海期中）用求根公式解一元二次方程3x2－2x＝1时，
a，b，c的值是（　C　）
A. a＝3，b＝－1，c＝－2
B. a＝3，b＝－2，c＝1
C. a＝3，b＝－2，c＝－1
D. a＝3，b＝2，c＝1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 用公式法解方程 x2＋4 x＝2 时，求得b2－4ac的值为（　 D）
A. 16 B. 4 C. 32 D. 64
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 2x2－3x－1＝0
B. 2x2＋4x－1＝0
C. －x2－3x＋2＝0
D. 3x2－2x＋1＝0
3. 在用求根公式x＝ 求一元二次方程的根时，小珺正确地代
入了a，b，c的值，得到x＝ ，则她求解的一
元二次方程是（　A　）
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 一元二次方程 （x－1）＝ 的根为 　x1＝ ，x2＝
　.
5. 已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，则m
＝ 　 　.
x1＝ ，x2＝
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 用公式法解下列方程：
（1） －2x2＋4x－1＝0.
解：∵ a＝－2，b＝4，c＝－1，∴ b2－4ac＝42－4×（－2）×
（－1）＝8.∴ x＝ ＝ .∴ x1＝ ，x2＝ .
（2） 3x2－7x＋4＝0.
解：∵ a＝3，b＝－7，c＝4，∴ b2－4ac＝（－7）2－4×3×4＝1.
∴ x＝ .∴ x1＝1，x2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3） （x＋1）（x－5）＝－2.
解：整理成一般式，得x2－4x－3＝0.∵ a＝1，b＝－4，c＝－3，
∴ x＝ ＝ ＝2± .∴ x1＝2＋ ，x2＝2－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 当方程（x－1）（x＋3）＝12化为ax2＋bx＋c＝0的形式，且a为
正数时，a，b，c的值分别为（　C　）
A. 1，－2，－15 B. 1，－2，15
C. 1，2，－15 D. －1，2，－15
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 易错题　关于x的方程 x2＝3mx－ m2（m＞0）的两个根分别
为（　B　）
A. x1＝ ，x2＝
B. x1＝ m，x2＝ m
C. x1＝ ，x2＝
D. x1＝ m，x2＝－ m
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 利用公式法解得一元二次方程3x2－11x－1＝0的两个根分别为m，
n，且m＞n，则m的值为（　D　）
A. B.
C. D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 若x＝ 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则a
＋b－c的值为 　2　.
11. 新考法 新定义题　（2025 合肥庐阳期末）定义新运算：对于两个
不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大
值，如：max{1，3}＝3，max{－1，－3}＝－1.按照这个规定，若
max{x，－x}＝ ，则x的值是 　 ＋2或－1　.
2　
＋2或－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次
方程（k－1）x2－x＋k2＋1＝0的根，则k的值为 　－5或 或
　.
13. 当a＜0时，方程x｜x｜＋｜x｜－x－a＝0的根为 　x＝－1－
　.
－5或 或
　
x＝－1－
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 观察下列四个方程：① x2－2x－2＝0；② 2x2＋3x－1＝0；③ 2x2
－4x＋1＝0；④ x2＋6x＋3＝0.有三个方程的一次项系数有共同特点
（数的奇偶性），请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点
的一元二次方程的求根公式.
解：方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）.设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中b2－4ac≥0，b＝2n，n为整数.∵ b2－4ac≥0，即（2n）2
－4ac≥0，∴ n2－ac≥0.∵ 由公式法，可知方程的根为x＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ 一元二次方程ax2＋2nx＋c＝0（n2－ac≥0，n为整数）的求根公式为x＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 新考法 阅读理解 【阅读思考】 我们思考如何解决一个数学问题
时，若从某一个角度用某种方法难以奏效，不妨换一个角度去思考，换
一种方法去处理，这样有可能使问题迎刃而解.例如：解方程x3－2 x2
＋2x－ ＋1＝0，这是一个高次方程，我们未学过其解法，难以求解.
如果我们换一个角度（“已知”和“未知”互换），即将 看成“未
知数”，x看成“已知数”，那么原方程可整理成x （ ）2－（2x2＋
1） ＋（x3＋1）＝0.∵ a＝x，b＝－（2x2＋1），c＝x3＋1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∴ b2－4ac＝［－（2x2＋1）］2－4x（x3＋1）＝4x2－4x＋1＝
（2x－1）2≥0.∵ 易知x≠0，∴ ＝ ，解得 ＝x＋1或 ＝ .故方程可转化为一个一元一次方程 ＝x＋1和一个一元二次方程x2－x＋1＝ x，从而不难求出这个高次方程的根.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解决问题】 解方程：9x－3x2－3＋ x3＋ x＝0.
解：将3看成“未知数”，x看成“已知数”，则原方程可整理成x 32－
（x2＋1） 3＋ ＝0.∵ a＝x，b＝－（x2＋1），c＝ x3＋ x，∴ b2－4ac＝［－（x2＋1）］2－4x ＝1＞0.∵ 易知x≠0，∴ 3＝ ，解得3＝ 或3＝ .当3＝ 时，解得x1＝6；当3＝ 时，解得x2＝3－ ，x3＝3＋ .经检验，x2＝3－ ，x3＝3＋ 都是所列分式方程的根.综上所述，原方程的根为x1＝6，x2＝3－ ，x3＝3＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共15张PPT)
17.5　一元二次方程的应用
第2课时　利用一元二次方程解决几何图形问题
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24 m
长的围栏围成一个面积为40 m2的长方形场地.设长方形场地的宽为
x m，根据题意可列方程为（　A　）
A. x（24－2x）＝40 B. x（24－x）＝40
C. 2x（24－2x）＝40 D. 2x（24－x）＝40
（第1题）
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 已知长方形ABCD的面积为1，长与宽的差为1，则该长方形的周长
为（　C　）
A. 2 B. C. 2 D.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. （2023 六安金安二模）如图，有一块宽为16 m的长方形荒地.某物业
计划将其分成A，B，C三部分，分别种植不同的植物.若A，B两部分为
正方形，且C的面积比B的面积少40 m2，则该长方形荒地的长为 　26　m.
（第3题）
26　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 新情境 现实生活　（2025 威海）如图，某校有一块长20 m、宽14 m
的长方形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度
相同的小路（阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m2的9个长方
形地块，请求出小路的宽度.
（第4题）
解：设小路的宽度为x m，则9个长方形地块可合成长为（20－4x）m、宽为（14－4x）m的长方形.根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9.整理，得2x2－17x＋8＝0，解得x1＝ ，x2＝8（不符合题意，舍去）.
∴ 小路的宽度为 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 新情境 现实生活　（2025 合肥庐阳期末）如图，长方形草坪的长和
宽分别为30 m，20 m，若将该草坪的长和宽各增加x m，扩建后增加的
面积是原来长方形草坪面积的 .根据题意，下列方程正确的是（　A　）
A
A. （20＋x）（30＋x）＝ ×20×30
B. （20－x）（30－x）＝ ×20×30
C. x2＝ ×20×30
D. （20＋x）（30＋x）＝ ×20×30
（第5题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 如图，一次函数y＝2x＋3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P
在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OB，OA的垂线，
垂足分别为C，D. 当长方形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（　C）
（第6题）
C
A. B. （1，1）
C. （－1，1）或 D. 不存在
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 分类讨论思想　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC
＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向运动，点Q从
点C出发，以2 cm/s的速度沿射线CB方向运动.若点P，Q同时出发，
设运动时间为t s，则当t＝ 　7－ 或7或7＋ 　时，△PBQ的面积
为1 cm2.
（第7题）
7－ 或7或7＋ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则图中x的
值为 　4或6　.
（第8题）
4或6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，在长为32米、宽为20米的长方形地面上修筑同样宽度的道路
（图中涂色部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方
米，则道路的宽度为 　2　米.
（第9题）
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. （2025 安庆怀宁期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6 cm，BC
＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动，同时点Q从
点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度运动.当P，Q两点中有一个点
运动到终点时，两点均停止运动.运动几秒后，△PCQ的面积为长方形
ABCD面积的 ？
（第10题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：8÷2＝4（s），6÷1＝6（s）.设运动时间为t s（0≤t≤4），则
BP＝2t cm，CP＝BC－BP＝（8－2t）cm，CQ＝t cm.根据题意，
得 （8－2t） t＝ ×8×6.整理，得t2－4t＋4＝0，解得t1＝t2＝2.
∴ 运动2 s后，△PCQ的面积为长方形ABCD面积的 .
（第10题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 数形结合思想　（2025 合肥蜀山期中）如图，OA＝OB＝60 cm，
OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3 cm/s的速度向点B爬
行，同时另一小虫N由点O以1 cm/s的速度沿射线OC爬行，小虫爬行的
时间为t s.
（1） ON＝ 　t　 cm，OM＝ 　｜60－3t｜　 cm.（用含t的代数式
表示）
t　
｜60－3t｜　
（第11题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于
150 cm2？
解：（2） 当0≤t≤20时，由题意，得 ×t×（60－3t）＝150，解得
t1＝t2＝10；当20＜t≤40时，由题意，得 ×t×（3t－60）＝150，解
得t3＝10－10 （舍去），t4＝10＋10 .综上所述，10 s或（10＋
10 ）s时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于
150 cm2.
（3） 若△OMN为等腰三角形，请直接写出t的值.
解：（3） t的值为15或30.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共15张PPT)
17.5　一元二次方程的应用
第3课时　可化为一元二次方程的分式方程的应用
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境 现实生活　（2023 十堰）为了进一步丰富文体活动，学校准
备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格贵20
元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设
每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　A　）
A. － ＝5 B. － ＝5
C. － ＝5 D. － ＝5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 新情境 现实生活　某市为处理污水，需要铺设一条长为5 000 m的管
道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，每天实际比原计划多铺设
20 m，结果提前15天完成任务.设原计划每天铺设管道x m，则可得方程
为 　 － ＝15　.
－ ＝15　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 新情境 现实生活　新华中学九年级同学参加“手拉手”活动，甲班
全体同学（人数不超过60）都参加此项活动，共捐书300本，乙班有30
人参加此项活动，共捐书260本.这两个班参加此项活动的同学人均捐书
比甲班人均捐书多1本，求甲班有多少名同学.下面给出了一种解法：
解：第一步，设甲班有x名同学.依题意，得 ＝ －1.
第二步，去分母、整理，得x2－230x＋9 000＝0，解这个方程，得x1＝
50，x2＝180.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第三步，经检验，x1＝50，x2＝180都是原方程的根.∴ 甲班有50名或
180名同学.
这种解法有错误吗？如果有，请指出第几步出错，并说明错误原因，给
出正确结果.
解：有错误.第三步出错，错在方程的根只检验了是否符合原方程，没
有检验是否符合题意，忽略了“甲班全体同学（人数不超过60）”这个
已知条件.正确结果：第三步，经检验，x1＝50，x2＝180都是原方程的
根.∵ 甲班全体同学人数不超过60，∴ x＝50.∴ 甲班有50名同学.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 一条河上有A，B，C三个码头，C码头在A码头和B码头之间，
A，B两码头之间的距离为90千米，A，C两码头之间的距离为30千米.
一艘轮船从A码头顺流航行到B码头，再从B码头航行到C码头共用
6.75小时（码头停留时间不计）.已知水流速度为2千米/时，则轮船在
静水中的速度为多少？设轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程
为（　C　）
C
A. ＋ ＝6.75 B. ＋ ＝6.75
C. ＋ ＝6.75 D. ＋ ＝6.75
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 甲、乙两人同时从如图所示的圆形跑道（圆形跑道的总长小于
700 m）的一直径的两端点A，B沿圆周相向而行，两人第一次相遇时距
点A的路程为100 m（AB上方），第二次相遇时距点B的路程为60 m
（AB下方），则圆形跑道的总长为（　C　）
A. 240 m B. 360 m C. 480 m D. 600 m
（第5题）
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 甲、乙两组工人一起做某项工作12天后，因甲组工人另有任务而由
乙组工人继续做了3天才完成.如果单独完成这项工作，那么甲组比乙组
快6天，求各组单独完成这项工作所需要的天数.设甲组单独完成这项工
作需要x天，由题意，可得方程为 　 ＋ ×（12＋3）＝1　.
＋ ×（12＋3）＝1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 某玩具店采购人员第一次用100元采购了某品牌玩具，很快售完.第
二次去采购时，发现该品牌玩具每件的批发价上涨了0.5元，用去了150
元，所采购的玩具的数量比第一次多10件.两批玩具的销售单价均为2.8
元，则第二次采购玩具 　60　件.（提示：批发价低于销售价）
60　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 新情境 现实生活　某汽车装配厂计划在规定的时间内组装汽车21
辆，组装了6辆汽车后，又追加了组装5辆汽车的订单，要求在规定时间
内完成任务.通过挖潜改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽
车，结果提前1天完成任务.追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？
解：设原计划平均每天组装x辆汽车，则追加订单后，平均每天组装
（x＋2）辆汽车.由题意，得 － － ＝1.整理，得x2＋7x－30
＝0，解得x1＝3，x2＝－10（不合题意，舍去）.经检验，x＝3是原方
程的根，且符合题意.当x＝3时，x＋2＝3＋2＝5.∴ 追加订单后，平均
每天组装5辆汽车.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时
（即任意时刻的车速都不能超过120千米/时）.以下是王师傅和李师傅
行驶完这段高速公路全程时的对话片段.王师傅说：“你的车速太快
了，平均每小时比我多行驶20千米，比我少用30分钟行驶完了全程.”
李师傅说：“虽然我的车速快，但是最快车速比我的平均车速只快
15%，并没有超速违法.”李师傅超速违法吗？为什么？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：李师傅没有超速违法.设李师傅的平均车速为x千米/时，则王师傅
的平均车速为（x－20）千米/时.根据题意，得 － ＝ .整理，
得x2－20x－8 000＝0，解得x1＝100，x2＝－80（不合题意，舍去）.经
检验，x＝100是原方程的根，且符合题意.∴ 李师傅的最快车速是
100×（1＋15%）＝115（千米/时）.∵ 115＜120，∴ 李师傅没有超速
违法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方
式销售.经市场调查，批发每天可售出6吨.
（1） 受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在每
天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，
结果提前5天完成销售任务.原计划零售平均每天售出多少吨？
解：（1） 设原计划零售平均每天售出x吨.根据题意，得 －
＝5，解得x1＝2，x2＝－16（不符合题意，舍去）.经检
验，x＝2是原方程的根，且符合题意.∴ 原计划零售平均每天售出2吨.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2） 在（1）的条件下，若批发每吨获得的利润为2 000元，零售每吨
获得的利润为2 200元，求实际获得的总利润.
解：（2） 由（1），得实际销售天数是200÷（6＋2＋2）＝20，∴ 实
际获得的总利润是2 000×6×20＋2 200×（2＋2）×20＝416 000
（元）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10(共17张PPT)
17.2　一元二次方程的解法
第3课时　因式分解法
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 易错题　（2025 滁州天长期末）一元二次方程x（x＋4）＝5
（x＋4）的根是（　C　）
A. x＝5
B. x＝－4
C. x1＝5，x2＝－4
D. x1＝－5，x2＝－4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. （2023 马鞍山花山期中）下列将一元二次方程x2－10x＋21＝0转化
成两个一元一次方程正确的是（　C　）
A. x－3＝0，x＋7＝0
B. x＋3＝0，x＋7＝0
C. x－3＝0，x－7＝0
D. x＋3＝0，x－7＝0
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 新考法 新定义题　给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝n xn－
1.例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3.已知函数y＝x3，则关于x的方程y′
＝6x的根是 　x1＝0，x2＝2　.
4. 已知公式ax2＋bx＋c＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）可用来进行
因式分解，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，试分解因式：2x2
－x－1＝ 　2（x－1） 　.
x1＝0，x2＝2　
2（x－1） 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 用因式分解法解下列方程：
（1） x（x－1）＝2－2x.
解：原方程化为x（x－1）＋2（x－1）＝0.把方程左边分解因式，得
（x－1）（x＋2）＝0.∴ x－1＝0或x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝－2.
（2） x2－4x－5＝0.
解：把方程左边分解因式，得（x－5）（x＋1）＝0.∴ x－5＝0或x＋
1＝0，解得x1＝5，x2＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（3） x2－6x＝－8.
解：将原方程化为一般形式，得x2－6x＋8＝0.把方程左边分解因式，
得（x－2）（x－4）＝0.∴ x－2＝0或x－4＝0，解得x1＝2，x2＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. （2025 安庆怀宁期中）解下列方程：① 3x2－27＝0；② x2－3x－1
＝0；③ （x＋2）（x＋4）＝x＋2；④ 2（3x－1）2＝3x－1.较简便
的方法是（　D　）
A. 依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B. 依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 在平面直角坐标系中，点A（x2＋2x，1）与点B（－3，1）关于y
轴对称，则x的值为（　C　）
A. 1 B. 3或1
C. －3或1 D. 3或－1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. （2025 合肥庐阳期末）△ABC的三边长都是方程x2－3x＋2＝0的
解，则△ABC的周长是（　C　）
A. 4 B. 5
C. 3或5或6 D. 3或4或5或6
9. 若方程x2－3x＋2＝0较小的根为p，方程3y2－2y－1＝0较大的根为
q，则p＋q的值为（　C　）
A. 2 B. 3
C. 2 D. 1
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. （2025 淮北濉溪期末）若（a＋5b）（a＋5b＋6）＝7，则a＋5b
＝ 　1或－7　.
11. （2025 安庆宜秀段考）若实数x，y满足（x2＋y2）（x2＋y2＋3）
＝4，则x2＋y2的值为 　1　.
1或－7　
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. （2023 六安金寨期中）用适当的方法解下列方程：
（1） 7x2＝21x.
解：将原方程化为7x2－21x＝0.把方程左边分解因式，得7x（x－3）
＝0.∴ 7x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3.
（2） （x＋1）（x＋3）＝15.
解：将原方程化为x2＋4x－12＝0.把方程左边分解因式，得（x－2）
（x＋6）＝0.∴ x－2＝0或x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝－6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（3） 9（x－2）2＝4（x＋1）2.
解：开平方，得3（x－2）＝±2（x＋1）.∴ 3（x－2）＝2（x＋1）
或3（x－2）＝－2（x＋1），解得x1＝8，x2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 新考法 新定义题　（2025 合肥段考）对于任意实数a，b
（a≠0）规定一种新运算：a*b＝ab＋ab－2.例如：3*2＝32＋3×2－
2＝13.请根据上述定义解决以下问题：
（1） 计算：（－2）*3.
解：（1） （－2）*3＝（－2）3＋（－2）×3－2＝－16.
（2） 若（－x）*2的值为1，求x的值.
解：（2） ∵ （－x）*2＝（－x）2－2x－2＝x2－2x－2，∴ x2－2x
－2＝1，即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 新考法 阅读理解 为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可
以将x2－1看成一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4
＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝± .
当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝± .
∴ 原方程的根为x1＝ ，x2＝－ ，x3＝ ，x4＝－ .
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了
数学的转化思想.运用上述方法解下面的方程：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1） （x2－x）（x2－x－4）＝－4.
解：（1） 设x2－x＝a，则原方程可化为a2－4a＋4＝0，解得a1＝a2
＝2.当a＝2时，x2－x＝2，即x2－x－2＝0.把方程左边分解因式，得
（x－2）（x＋1）＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴ 原方程的根为x1＝
2，x2＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） x4＋x2－12＝0.
解：（2） 设x2＝y，则原方程化为y2＋y－12＝0.把方程左边分解因
式，得（y－3）（y＋4）＝0，解得y1＝3，y2＝－4.当y＝3时，x2＝
3，解得x＝± .当y＝－4时，x2＝－4，方程没有实数根.∴ 原方程
的根为x1＝ ，x2＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共15张PPT)
17.5　一元二次方程的应用
第1课时　利用一元二次方程解决变化率、数字问题
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境 环保意识　随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能
源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售
量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车一月份至三月
份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（　B　）
A. 8 000（1＋2x）＝12 000
B. 8 000（1＋x）2＝12 000
C. 8 000＋8 000（1＋x）＋8 000（1＋x）2＝12 000
D. 8 000×2（1＋x）＝12 000
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 新考向 跨学科　小明是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方
程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：大江东去浪淘
尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位
三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？假设周瑜去
世时岁数的十位数字是x，则可列方程为 　10x＋（x＋3）＝（x＋3）.
10x＋（x＋3）＝（x＋3） 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字
与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求
这个三位数.
解：设这个三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是x＋
3，个位数字是2x＋3.由题意，得100x＋10（x＋3）＋（2x＋3）＝5
（2x＋3）2＋12.整理，得5x2－13x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝ （舍
去）.∴ x＋3＝5，2x＋3＝7.∴ 这个三位数是257.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 新情境 现实生活　某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅
游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接
待游客的年平均增长率为（　B　）
A. 10% B. 20%
C. 22% D. 44%
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 新情境 科技民生　（2025 凉山）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，
月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860吨.若设月平均增长率为
x，则可列出的方程是（　C　）
A. 560（1＋x）2＝1 860
B. 560＋560（1＋x）＋560（1＋2x）＝1 860
C. 560＋560（1＋x）＋560（1＋x）2＝1 860
D. 560＋560（1＋2x）2＝1 860
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 已知甲商品经过连续两次降价后，售价由原来的每件100元降到每件
64元，设平均每次降价的百分率为x；乙商品经过连续两次涨价后，售
价由原来的每件64元涨到每件100元，设平均每次涨价的百分率为y.下
列关于x，y的大小关系正确的是（　C　）
A. x＞y B. x＝y
C. x＜y D. 无法判断
7. 两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 　56　.
C
56　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. （2025 泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品
每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年
平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1） 求乙种商品每件进价的年平均下降率.
解：（1） 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意，得125
（1－x）2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍
去）.∴ 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2） 2024年该超市用不超过7 800元的资金一次性购进甲、乙两种商品
共100件，求最少购进多少件甲种商品.
解：（2） 设购进y件甲种商品，则购进（100－y）件乙种商品.根据题
意，得（125－25×2）y＋80×（100－y）≤7 800，解得y≥40.∴ y的
最小值为40.∴ 最少购进40件甲种商品.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. （2025 合肥包河期中）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2，
3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元.
（1） 求该水果店2，3月份销售利润的月平均增长率.
解：（1） 设该水果店2，3月份销售利润的月平均增长率为x.由题意，
得2（1＋x）2＝4.5，解得x＝0.5＝50%，x＝－2.5（不合题意，舍
去）.∴ 该水果店2，3月份销售利润的月平均增长率为50%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2） 如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元
的月份.
解：（2） 由（1），得4月份的销售利润为4.5×（1＋50%）＝6.75
（万元），6.75＜10；5月份的销售利润为4.5×（1＋50%）2＝10.125
（万元），10.125＞10.∴ 月销售利润首次突破10万元的是5月份.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 新情境 科技民生　某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，
通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月共
生产再生纸800吨，其中4月再生纸的产量比3月的2倍少100吨.
（1） 求4月再生纸的产量.
解：（1） 设3月再生纸的产量为x吨，则4月再生纸的产量为（2x－
100）吨.由题意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300.∴ 2x－100＝
2×300－100＝500.∴ 4月再生纸的产量为500吨.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2） 若4月每吨再生纸的利润为1 000元，5月再生纸的产量比4月增加
m%，5月每吨再生纸的利润比4月增加 %，则5月再生纸的利润可达到
66万元.求m的值.
解：（2） 由题意，得1 000 ×500（1＋m%）＝660 000.整
理，得m2＋300m－6 400＝0，解得m1＝20，m2＝－320（不合题意，
舍去）.∴ m的值为20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（3） 若4月每吨再生纸的利润为1 200元，4～6月每吨再生纸的利润的
月平均增长率与6月再生纸的产量比上月增长的百分率相同，6月再生纸
的利润比上月增加了25%，求6月每吨再生纸的利润.
解：（3） 设4～6月每吨再生纸的利润的月平均增长率为y，5月再生纸
的产量为a吨.由题意，得1 200（1＋y）2 a（1＋y）＝（1＋25%）
×1 200（1＋y） a，∴ 1 200（1＋y）2＝1 500.∴ 6月每吨再生纸的利
润为1 500元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10(共14张PPT)
17.1　一元二次方程
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 安庆太湖期末）下列方程中，是一元二次方程的为（　A　）
A. x2＝1 B. x2＋y＝1
C. x2＝x（x－1） D. x2＋ ＝1
2. （2025 阜阳界首期中）一元二次方程3x2＋4＝2x的一次项系数为
（　C　）
A. 2 B. 3
C. －2 D. 4
A
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3. （2025 亳州蒙城期中）若方程（m－1）x2＋2x＋3＝0是关于x的一
元二次方程，则（　B　）
A. m≠－1 B. m≠1
C. m≠2 D. m≠3
4. （2025 青海）若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c
的值为 　3　.
B
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5. 新情境 现实生活　已知参加同学聚会的每两人都握一次手，所有人
共握手21次.若设共有x人参加同学聚会，则可列方程（化成一般形式）
为 　 x2－ x－21＝0　.
x2－ x－21＝0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6. 把下面的方程化成一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数以
及常数项.
（1） （2x－1）（3x＋2）＝x2＋2.
解：去括号，得6x2＋4x－3x－2＝x2＋2.移项，合并同类项，得5x2＋
x－4＝0.∴ 二次项系数为5，一次项系数为1，常数项为－4.
（2） （2 －x）（2 ＋x）＝（3＋x）2.
解：去括号，得8－x2＝9＋6x＋x2.移项，合并同类项，得2x2＋6x＋1
＝0.∴ 二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
7. 已知关于x的方程（m2－4）x2＋（m－2）x＋3m－1＝0.
（1） 当m为何值时，此方程为一元一次方程？
解：（1） 由题意，得 解得m＝－2.
（2） 当m为何值时，此方程为一元二次方程？
解：（2） 由题意，得m2－4≠0，∴ m≠±2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8. （2025 阜阳颍上期中）若方程6x－2＝□ 是关于x的一元二次方程，
则“□”可以是（　A　）
A. －3x2 B. －22
C. －2y2 D. －x
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9. 一元二次方程（x－2）（x＋3）＝0化成一般形式后，常数项
为（　B　）
A. 6 B. －6
C. 1 D. －1
B
10. （2025 芜湖一模）若关于x的一元二次方程（m－2）x2＋4x＋m2
－4＝0的常数项为0，则m的值为（　A　）
A. －2 B. 2
C. ±2 D. 0
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
11. （2025 池州贵池期末）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0
（a≠0）有一根为x＝2 024，则关于x的一元二次方程a（x－2）2＋
bx＝2b－2必有一根为（　A　）
A. x＝2 026
B. x＝2 025
C. x＝2 024
D. x＝2 022
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12. （2025 亳州期末）若x＝a为方程2x2＋x－4＝0的根，则6a2＋3a
－9的值为（　B　）
A. 2 B. 3
C. －4 D. －9
13. 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根为－b，则
a－b的值为 　1　.
B
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
14. （2025 合肥瑶海期末）若方程（m＋2） xm2＋（m－1）x－2＝0
是关于x的一元二次方程，则m＝ 　± 　.
15. 定义新运算：若m，n是实数，则m，n满足m*n＝m（2n－1）.
若m，n是关于x的一元二次方程2x2－x＋k＝0（k＜0）的两根，则
m*m－n*n＝ 　0　.
± 　
0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
16. 已知关于x的方程－x2＋mx－3m＝5x的各项系数与常数项之和为
2，求m的值.
解：将方程化为一般形式为x2＋（5－m）x＋3m＝0，∴ 二次项系数
为1，一次项系数为5－m，常数项为3m.∴ 1＋（5－m）＋3m＝2，
解得m＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
17. 整体思想　已知x＝a是方程x2－2 024x＋1＝0的一个根，求2a2－
4 047a＋1＋ 的值.
解：∵ x＝a是方程x2－2 024x＋1＝0的一个根，∴ a2－2 024a＋1＝
0.∵ 易知a≠0，∴ a－2 024＋ ＝0，a2＝2 024a－1，a2＋1＝
2 024a.∴ a＋ ＝2 024.∴ 原式＝2（2 024a－1）－4 047a＋1＋
＝4 048a－2－4 047a＋1＋ ＝a＋ －1＝2 024－1＝2 023.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17(共19张PPT)
17.2　一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法、配方法
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 方程 x2－2＝0的根为（　C　）
A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝ ，x2＝－
C. x1＝2，x2＝－2 D. x1＝2 ，x2＝－2
2. 方程（x－3）2－25＝0的根为（　D　）
A. x1＝8，x2＝2 B. x1＝－8，x2＝2
C. x1＝－8，x2＝－2 D. x1＝8，x2＝－2
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3. （2025 合肥庐阳期末）用配方法解方程x2＋4x＝－1时，配方结果正
确的是（　A　）
A. （x＋2）2＝3 B. （x＋2）2＝5
C. （x－2）2＝3 D. （x－2）2＝5
4. （2025 贵州）一元二次方程x2－1＝0的根是 　x1＝1，x2＝－1　.
5. 将2x2＋x＝1变形成（x＋h）2＝k的形式为 　2＝ 　.
A
x1＝1，x2＝－1　
2＝ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6. 易错题　用直接开平方法或配方法解下列方程：
（1） （x－2）2－6＝0.
解：整理，得（x－2）2＝6.开平方，得x－2＝± .∴ 原方程的根为
x1＝2＋ ，x2＝2－ .
（2） x2＋2x－15＝0.
解：整理，得x2＋2x＝15.配方，得x2＋2x＋1＝15＋1，即（x＋1）2
＝42.开平方，得x＋1＝±4.∴ 原方程的根为x1＝3，x2＝－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
（3） 2x2＋5x＝12.
解：将二次项系数化为1，得x2＋ x＝6.配方，得x2＋ x＋2＝6＋
2，即2＝ .开平方，得x＋ ＝± .∴ 原方程的根为x1＝
，x2＝－4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
（4） 3x2－x－1＝0.
解：将二次项系数化为1，得x2－ x－ ＝0.移项，得x2－ x＝ .配
方，得x2－ x＋2＝ ＋2，即2＝ .开平方，得x－ ＝
± .∴ 原方程的根为x1＝ ，x2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
7. （2025 合肥庐阳期末）用配方法解一元二次方程x2＋2x－2＝0时，
原方程可变形为（x＋h）2＝k的形式，则h＋k的值为（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8. 已知甲方程为（x－4）2＝9，乙方程为（x＋9）2＝－4，则关于
甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（　A　）
A. 甲有两个不相等的解，乙无解
B. 甲、乙都有两个不相等的解
C. 甲有两个相等的解，乙无解
D. 甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9. （2025 合肥瑶海期中）关于x的一元二次方程a（x＋h）2＋k＝0的
两根分别为－5，1，则关于x的方程a（2x＋h－3）2＋k＝0（a≠0）
的两根分别为（　D　）
A. x1＝－6，x2＝－2 B. x1＝0，x2＝－1
C. x1＝－9，x2＝－1 D. x1＝－1，x2＝2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10. 用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，此方程可变形为（　A）
A. 2＝
B. 2＝
C. 2＝
D. 2＝
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
11. （2025 合肥瑶海期中）将一元二次方程x2－2x＋a＝0配方后得到
（x＋b）2＝2，则a＋b＝ 　－2　.
12. 用配方法解方程 x2＋x－ ＝0时，可配方为 ［（x＋1）2＋k］
＝0，其中k＝ 　－6　.
－2　
－6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13. 已知a2＋b2－8a＋4b＋20＝0，则关于x的方程ax2－2bx－ b＝0
的根为 　x1＝x2＝－ 　.
14. 新考法 新定义题　我们定义：一个整式能表示成a2＋b2（a，b是
整式）的形式，则称这个整式为“完全式”.例如：M＝x2＋2xy＋2y2
＝（x＋y）2＋y2（x，y是整式），则M为“完全式”.若S＝x2＋9y2
＋4x－6y＋k（x，y是整式，k为常数）为“完全式”，则当S＝0
时，y2－k的值为 　－ 　.
x1＝x2＝－ 　
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15. 已知（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝35，求a＋b的值.
解：∵ （2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝35，∴ （2a＋2b）2－1＝
35，即（2a＋2b）2＝36.∴ 2a＋2b＝±6.∴ a＋b＝3或－3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
16. 新考法 阅读理解 我们用配方法解一般形式的一元二次方程时，要
先把二次项系数化为1，再进行配方.请阅读如下解方程的过程：
解方程：2x2－2 x－3＝0.
解：∵ 2x2－2 x－3＝0，∴ （ x）2－2 x＋1＝3＋1.
∴ （ x－1）2＝4.∴ x－1＝±2.∴ x1＝－ ，x2＝ .
仿照上述方法，解方程：3x2－2 x＝2.
解：原方程可化为（ x）2－2× x× ＋（ ）2＝2＋
（ ）2，∴ （ x－ ）2＝4.∴ x－ ＝±2.∴ x1＝ ，
x2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
17. 新考法 阅读理解 阅读材料：
把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（或最小）值问题.
如：x2＋2x＋3＝（x2＋2x＋1）＋2＝（x＋1）2＋2.∵ （x＋1）
2≥0，∴ （x＋1）2＋2≥2.∴ 代数式x2＋2x＋3有最小值，最小值是2.
根据以上材料，解决下列问题：
（第17题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
（1） 求代数式x2－4x＋5的最小值.
解：（1） ∵ x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，且（x－2）2≥0，
∴ （x－2）2＋1≥1.∴ 代数式x2－4x＋5的最小值为1.
（第17题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
（2） 若代数式2x2＋kx＋7的最小值为2，求k的值.
解：（2） ∵ 2x2＋kx＋7＝2 ＋7＝22＋7－ ，
∴ 当22＝0时，代数式2x2＋kx＋7的值最小，为7－ .
∵ 代数式2x2＋kx＋7的最小值为2，∴ 7－ ＝2，解得k＝±2 .
（第17题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
（3） 如图，图①是一组邻边长分别为7，2a＋5的长方形，面积为S1；
图②是边长为a＋6的正方形，面积为S2，且a＞0.请比较S1与S2的大
小，并说明理由.
解：（3） S2≥S1.理由：由题意可得，S1＝7
（2a＋5）＝14a＋35，S2＝（a＋6）2＝a2＋12a＋36，∴ S2－S1＝a2＋12a＋36－（14a＋35）＝a2－2a＋1＝（a－1）2≥0.∴ S2≥S1.
（第17题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17(共15张PPT)
17.3　一元二次方程根的判别式
第17章　一元二次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 河南）一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. （2025 德阳）若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等
的实数根，则k的值是（　C　）
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0有两个不相等的实数根，则
实数m的取值范围是 　m＞－4　.
4. 若k为整数，且关于x的一元二次方程（k－1）x2－2（k＋1）x＋k
＋5＝0有实数根，则整数k的最大值为 　3　.
m＞－4　
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 已知关于x的方程x2－（m＋1）x＋ m2＝0没有实数根.
（1） 求实数m的取值范围.
解：（1） ∵ 关于x的方程x2－（m＋1）x＋ m2＝0没有实数根，
∴ Δ＝［－（m＋1）］2－4×1× m2＜0，解得m＜－ .
（2） 判断关于x的方程2x2＋x＋m－3＝0是否有实数根.
解：（2） ∵ m＜－ ，∴ Δ＝12－4×2×（m－3）＝25－8m＞0.
∴ 关于x的方程2x2＋x＋m－3＝0有实数根.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝
1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c（记为c′）
比原方程的c小2，则原方程的根的情况是（　A　）
A. 没有实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x＝－1
D. 有两个相等的实数根
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 探讨关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0总有实数根的条件，以下
是三名同学给出的建议.甲：a－b－1＝0；乙：a，b同号；丙：a＋b
－1＝0.下列判断正确的是（　B　）
A. 甲、乙、丙的建议都正确
B. 只有乙的建议不正确
C. 甲、乙、丙的建议都不正确
D. 只有甲的建议正确
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. （2023 广安）已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是（　A　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 易错题　若关于x的方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有实数根，则实数k
的取值范围是 　k≤5　.
10. （2025 宣城宁国期中）已知关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0
无实数根，则一次函数y＝－mx＋m的图象不经过第 　二　象限.
k≤5　
二　
11. （2025 宣城宁国一模）若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两
个相等的实数根，则2b2－8c＋1的值为 　1　.
12. 若一个等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方
程x2－8x＋m＝0的两个根，则实数m的值为 　16或12　.
1　
16或12　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （2025 阜阳阜南期末）已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－1
＝0.
（1） 求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.
解：（1） ∵ Δ＝（－2k）2－4（k2－1）＝4＞0，∴ 无论k为何值，
方程总有两个不相等的实数根.
（2） 若方程的一个根为x＝1，求k的值.
解：（2） ∵ 方程的一个根为x＝1，∴ 1－2k＋k2－1＝0，即k2－2k
＝0，解得k＝2或k＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. （2025 阜阳界首期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m＋
2）x2＋2（m－2）x＋m＋10＝0的两个实数根.
（1） 求m的取值范围.
解：（1） ∵ x1，x2是关于x的一元二次方程（m＋2）x2＋2（m－
2）x＋m＋10＝0的两个实数根，∴ m＋2≠0，且Δ＝［2（m－2）］2
－4（m＋2）（m＋10）≥0，解得m≤－1且m≠－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2） 已知等腰三角形ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外
两边的边长，求这个三角形的周长.
解：（2） ∵ 等腰三角形ABC的底边BC＝4，且x1，x2恰好是△ABC
另外两边的边长，∴ x1＝x2.∴ Δ＝［2（m－2）］2－4（m＋2）（m
＋10）＝0，解得m＝－1.∴ 原方程为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝
3.∵ 3，3，4可以组成三角形，∴ 这个三角形的周长为3＋3＋4＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （2025 淮北濉溪期中）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0），有下列说法：① 若a－b＋c＝0，则b2－4ac≥0；② 若方
程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个
不相等的实数根；③ 若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac
＋b＋1＝0成立；④ 如果x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，那么
b2－4ac＝（2ax0＋b）2.其中，正确的是 　①②④　.（填序号）
①②④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知关于x的一元二次方程（c＋a）x2－2bx＋（c－a）＝0，其
中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1） 如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：（1） △ABC为等腰三角形.理由：由条件可知，c＋a－2b＋c－
a＝0，∴ c＝b.∴ △ABC为等腰三角形.
（2） 如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
解：（2） 由条件可知，a＝b＝c，∴ 方程化为x2－x＝0，解得x1＝
0，x2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

展开更多......

收起↑