资源简介

(共16张PPT)
18.2　勾股定理的逆定理
第2课时　勾股定理的逆定理的综合应用
第18章　勾股定理
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 合肥肥东期末）如图，在正方形网格中，△ABC和△CDE的
顶点都是网格线的交点，那么∠BCA＋∠DCE＝ 　45°　.
（第1题）
45°　
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2. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的
顶点叫做格点，A，B，C都是格点，则∠ABC＝ 　45　°.
（第2题）
45　
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3. 小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂
直尾翼，小明测量发现AB＝13 cm，AD＝5 cm，∠DBC＝90°，BC＝
16 cm，CD＝20 cm.根据设计要求需保证AD∥BC. 请判断该尾翼是否
符合设计要求，并说明理由.
（第3题）
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解：该尾翼符合设计要求.理由：∵ ∠DBC＝90°，BC＝16 cm，CD
＝20 cm，∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝ ＝
＝12（cm）.∵ 在△ABD中，AB＝13 cm，AD＝5 cm，
∴ AD2＋BD2＝AB2.∴ △ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.
∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ AD∥BC. ∴ 该尾翼符合设计要求.
（第3题）
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4. （2025 芜湖南陵期末）如图，在小正方形组成的3×2方格中，每个
小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中
点A，B，C，D中，能与点M，N构成直角三角形的是（　D　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
（第4题）
D
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5. 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB，
则CD的长为（　C　）
A. 2 B. C. 3 D.
（第5题）
C
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6. （2023 黄山休宁期中）如图，在8×8的正方形网格中，小正方形的
边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上.有下列结论：① △ABC是
直角三角形；② △ABC的周长是3 ＋5；③ 点B到边AC的距离是2；
④ 若点D在格点上（不与点A重合），且满足S△BCD＝S△BCA，则这样
的点D有3个.其中，正确的有 　①②③　.（填序号）
（第6题）
①②③　
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7. 新情境 科技民生　（2025 阜阳太和期末）产业兴旺是乡村振兴的重
要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水.如图，某乡村有一
块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和
△EDC，分别种植梨树和桃树两种不同的果树.经测量，∠EDC＝
90°，DC＝30米，CE＝50米，BD＝70米，AB＝80米，AE＝10米，
求四边形ABDE的面积.
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解：如图，连接BE. 在Rt△DCE中，由勾股定
理，得DE＝ ＝ ＝40
（米）.在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＝
BD2＋DE2＝702＋402＝6 500（平方米）.在
△ABE中，∵ AB2＋AE2＝802＋102＝6 500
（平方米）＝BE2，∴ △ABE是直角三角形，且∠A＝90°.∴ S四边形ABDE＝S△ABE＋S△BDE＝
×80×10＋ ×70×40＝1 800（平方米）.
（第7题答案）
（第7题答案）
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8. 新情境 现实生活　（2023 合肥庐阳期中）如图，在一条东西走向的
河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC.
由于某种原因，从村庄C到取水点A的路现在已经不通.该村庄为方便
村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在同一条直线
上），并新修一条路CH，测得BC＝3千米，CH＝2.4千米，BH＝1.8
千米.
（第8题）
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解：（1） 是.理由：∵ （2.4）2＋（1.8）2＝9＝32，
∴ CH2＋BH2＝BC2.∴ △CHB是直角三角形，
∠CHB＝90°，即CH⊥AB. ∴ CH是从村庄C到河
边的最近的路.
（1） CH是否为从村庄C到河边的最近的路？请说明理由.
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（2） 求原来路线AC的长.
解：（2） 设AC＝x千米，则AB＝x千米，AH＝
AB－BH＝（x－1.8）千米.由（1），知CH⊥AB.
∴ ∠AHC＝90°.∵ 在Rt△ACH中，CH＝2.4千
米，∴ 由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2，即x2＝
（x－1.8）2＋（2.4）2，解得x＝2.5.∴ 原来路线
AC的长为2.5千米.
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9. 新考法 新定义题　如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，
NB三段.若以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，则称M，N
是线段AB的“勾股分割点”.
（1） 已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三段.若AM＝2，
MN＝4，NB＝2 ，则M，N是线段AB的“勾股分割点”吗？请说明
理由.
（第9题）
解：（1） 是.理由：∵ AM2＋NB2＝22＋（2 ）2
＝16，MN2＝42＝16，∴ AM2＋NB2＝MN2.∴ 以
AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形.
∴ M，N是线段AB的“勾股分割点”.
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（2） 已知M，N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边.若AB
＝12，AM＝5，求NB的长.
解：（2） 设NB＝x，则MN＝12－AM－NB＝7
－x.① 当MN为最长线段时，根据题意，得MN2＝
AM2＋NB2，即（7－x）2＝25＋x2，解得x＝ .
∴ NB＝ .② 当NB为最长线段时，根据题意，得
NB2＝AM2＋MN2，即x2＝25＋（7－x）2，解得x
＝ .∴ NB＝ .综上所述，NB的长为 或 .
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9(共9张PPT)
专题特训六　巧用勾股定理解决最短路径问题
第18章　勾股定理
类型一　正方体中的最短路径
1. 数形结合思想　如图，正方体的棱长为3，一只蚂蚁从点A处出发，
沿正方体的表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短距离是（　C　）
A. B.
C. 3 D.
（第1题）
C
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类型二　长方体中的最短路径
2. 如图所示为一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根
细线从点M处开始，绕侧面一圈到达点N处，不计线头，细线的最短长
度为 　 　.
（第2题）
　
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类型三　圆柱中的最短路径
3. 如图，圆柱的底面直径为16 cm，高为18 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，
从点A爬到点B的最短路径是（注：π取3）（　B　）
（第3题）
A. 20 cm B. 30 cm
C. 40 cm D. 50 cm
B
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类型四　台阶中的最短路径
4. 数形结合思想　如图所示为一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、
高分别为60 cm，30 cm，10 cm.A，B是台阶两个相对的端点，在点B
处有一只蚂蚁，想到点A处觅食，那么它爬行的最短路程是（　C　）
A. 60 cm B. 80 cm C. 100 cm D. 140 cm
（第4题）
C
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类型五　根据垂线段最短求最短路径
5. （2025 潜山期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝
10，D为边AB上一动点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，P为EF
的中点，则PD长的最小值为（　A　）
A. 2.4 B. 4.8 C. 6 D. 8
（第5题）
A
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类型六　根据“将军饮马”求最短路径
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分
∠CAB交BC于点D，E，F分别是AD，AC上的动点，则EF＋EC的
最小值为 　 　.
（第6题）
　
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类型七　不规则图形中求最短路径
7. 新情境 现实生活　如图，河岸CD的同侧有A，B两村，且AB＝
2 km，A，B两村到河的距离分别为AC＝2 km，BD＝6 km.现要
在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的费用
为每千米2 000元.请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费
用最少，并求出此时铺设水管的费用.
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解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交
CD于点O，点O即为水厂的位置.过点A′作
A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD
于点F，连接AO，则AF＝A′E，DF＝AC＝2 km，
DE＝A′C＝AC＝2 km.∴ BF＝BD－DF＝6－2＝4
（km）.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝
＝ ＝6（km），∴ A′E
＝6 km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝8 km，由勾
股定理，得A′B＝ ＝ ＝10
（km）.∴ AO＋OB＝A′O＋OB＝A′B＝10 km.∴
此时铺设水管的费用为2 000×10＝20 000（元）.
（第7题答案）
（第7题答案）
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7(共13张PPT)
18.1　勾股定理
第1课时　勾股定理
第18章　勾股定理
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2025 滁州全椒期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2
＋BC2＋AC2的值为（　B　）
A. 24 B. 18
C. 12 D. 9
B
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11
2. （2025 阜阳界首期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC
＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记
为S1，S2，S3，S4.若S2＝40，S3＝58，S4＝62，则AD的长为（　D　）
A. 7 B. 5
C. 4 D. 6
（第2题）
D
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11
3. 数形结合　如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作虚线l垂
直于OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作
弧，与数轴交于点C，那么点C表示的无理数是（　B　）
A. B.
C. 7 D. 29
（第3题）
B
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4. 新考向 数学文化　如图所示为“弦图”的示意图，“弦图”最早是
由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着我
国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰
好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边长分别为a，b
（a＜b），斜边长为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
（第4题）
解：由题图，可知S大正方形＝4×S直角三角形＋S小正方形＝4× ab＋（b－a）2＝2ab＋b2＋a2－2ab＝a2＋b2，S大正方形＝c2，∴ a2＋b2＝c2.
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5. （2025 安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC
＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则线段BD的长为（　C　）
A. 5 B. 5
C. 3 D. 6
（第5题）
C
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11
6. （2025 滁州全椒期末）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高
为h，则下列各式总能成立的是（　D　）
A. ab＝h2
B. a2＋b2＝2h2
C. ＋ ＝
D. ＋ ＝
D
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11
7. （2025 合肥期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD
＝9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位
置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　A　）
A. 6 cm2 B. 8 cm2
C. 10 cm2 D. 12 cm2
（第7题）
A
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8. （2025 阜阳阜南期末）已知Rt△ABC的斜边AB＝ ，面积为2，
则AC＋BC＝ 　5　.
9. （2025 成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC
＝2.以点A为圆心，AB长为半径作弧；再以点C为圆心，BC长为半径
作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　 　.
5　
　
（第9题）
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10. 如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于
点F，AB＝CB. 若AB＝8，CF＝2，则CD的长为 　10　.@思维拓展
（第10题）
10　
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11
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AB的中点，
过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝2 .求：
（1） △ACD的面积.
解：（1） ∵ ∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝2 ，
∴ 由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即2AB2＝8.∴ AB
＝BC＝2.∴ S△ABC＝ AB BC＝ ×2×2＝2.∵ D是AB的
中点，∴ S△ACD＝ S△ABC＝1.
（第11题）
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（2） 线段DE的长.
解：（2） 由（1），得AB＝2.又∵ D是AB的中点，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.在Rt△BCD中，由勾股定理，得
CD＝ ＝ ＝ .∵ AE⊥CD，∴
∠E＝90°.∴ S△ACD＝ CD AE＝ × ×AE＝1.∴
AE＝ .在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE＝
＝ ＝ .
（第11题）
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11(共18张PPT)
18.1　勾股定理
第2课时　勾股定理的应用
第18章　勾股定理
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 将一架长3.5米的木梯斜靠在竖直的墙上，木梯顶端离地面2.8米，
则木梯底端到墙脚的距离为（　C　）
A. 2.7米 B. 2.5米
C. 2.1米 D. 1.5米
C
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2. 新考向 数学文化　《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中
有一道题，原文是今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从
之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？译文：今有门，不知
其高和宽，有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门
高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问：门的高、宽、对角线
的长分别是多少？若设门对角线的长为x尺，则可列方程为（　A　）
A
A. x2＝（x－4）2＋（x－2）2
B. 2x2＝（x－4）2＋（x－2）2
C. x2＝42＋（x－2）2
D. x2＝（x－4）2＋22
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9
3. 新情境 现实生活　（2025 连云港）如图，长为3 m的梯子靠在墙
上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 　2.4　m.
（第3题）
2.4　
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4. 新情境 现实生活　（2025 淮南期中）如图，OM，ON是两条公
路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160 m的点A处有一所学校，
当重型运输卡车沿公路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P
为圆心，100 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点
P与点A的距离越近，噪声影响越大.假设重型运输卡车沿着公路ON方
向行驶的速度为5 m/s.求：
（第4题）
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解：（1） 如图，过点A作AH⊥ON于点H，则点A到
ON的最短距离为线段AH的长度.∴ AH的长度为噪声对
学校的影响最大时，卡车与学校之间的距离.∵ ∠O＝
30°，OA＝160 m，∴ AH＝ OA＝80 m.∴ 噪声对学校
的影响最大时，卡车与学校之间的距离为80 m.
（第4题）
（1） 噪声对学校的影响最大时，卡车与学校之间的距离.
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（2） 该卡车沿公路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间.
解：（2） 如图，在ON上取两点C，D，连接AC，AD.
当AC＝AD＝100 m时，则卡车在CD段给学校带来噪声
影响.∵ AC＝AD，AH⊥CD，∴ CH＝DH. 由（1）
知，AH＝80 m，在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH
＝ ＝ ＝60（m）.∴ CD＝2CH
＝120 m.∵ 重型运输卡车沿着公路ON方向行驶的速度为
5 m/s，∴ 该卡车沿公路ON方向行驶一次给学校带来噪
声影响的时间为120÷5＝24（s）.
（第4题）
（第4题答案）
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5. 新情境 现实生活　如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆
绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度
为1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处.若前后
摆动过程中摆绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离
地面的高度是（　A　）
A. 0.9 m B. 1.3 m
C. 1.6 m D. 2 m
（第5题）
A
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6. （2025 阜阳颍上期中）如图，该衣架可以近似地看成一个等腰三角
形ABC，其中AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若AC＝60 cm，∠C＝
30°，则BC的长为 　60 　cm.
（第6题）
60 　
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7. 新情境 科技民生　如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，
要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B处取∠ABD＝120°，
BD＝520 m，∠D＝30°，那么当另一边开挖点E与点D的距离约为多
少米时，恰好使A，C，E三点在同一条直线上？（结果精确到1 m，参
考数据： ≈1.732）
（第7题）
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解：∵ A，C，E三点在同一条直线上，∠ABD＝120°，∠D＝
30°，∴ ∠AED＝120°－30°＝90°.∵ 在Rt△BDE中，BD＝
520 m，∠D＝30°，∴ BE＝ BD＝260 m.∴ 根据勾股定理，得DE
＝ ＝260 ≈260×1.732≈450（m）.∴ 当另一边开挖点E
与点D的距离约为450 m时，恰好使A，C，E三点在同一条直线上.
（第7题）
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8. （2025 安庆潜山期末）如图，长25米的梯子AC斜靠在一面墙上，梯
子底端离墙的距离BC为7米.
（1） 这个梯子的顶端距地面有多高？
解：（1） 根据勾股定理，得这个梯子的顶端距地面 ＝24（米）.
（第8题）
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9
（2） 如果梯子的顶端下滑了4米（AA′＝4米），那么梯子的底端在水
平方向滑动了几米？
解：（2） 由题意，得A′C′＝AC＝25米，A′B＝
AB－AA′＝24－4＝20（米）.根据勾股定理，得
A′B2＋BC′2＝A′C′2，即202＋（7＋CC′）2＝
252.∴ CC′＝8米，即梯子的底端在水平方向滑动了
8米.
（第8题）
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9. 新情境 环保意识　为了保护环境，在新农村改造的过程中，需要修
建污水处理厂.如图，A，B是位于小河MN同侧的两个村，A村到小河
MN的距离AC＝6 km，B村到小河MN的距离BD＝1 km.经测量，CD
＝24 km，现准备在小河边修建一个污水处理厂O（不考虑河宽）.
（1） 设OC＝a km，请用含a的代数式表示OA＋OB的长.（保留根
号）
（第9题）
1
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3
4
5
6
7
8
9
解：（1） 在Rt△AOC和Rt△BOD中，AC＝6 km，BD＝1 km，OC＝a km，则OD＝（24－a）km，∴ 根据勾股定理，得OA＝ ＝ km，OB＝ ＝ km.∴ OA＋
OB＝［ ＋ ］km.
（第9题）
1
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4
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7
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9
（2） 为了节省材料，使得两村的排污管道最短，求最短的排污管
道的长.
解：（2） 如图①，作点B关于直线MN的对称点B′，连接AB′交MN于点O，则B′D＝BD＝1 km.此时，OA＋OB＝OA＋OB′的长最小，
即点O是使两村排污管道最短的污水处理厂的位置.过点B′作B′E⊥AC，交AC的延长线于点E，则CE＝B′D＝1 km，AE＝AC＋CE＝7 km，B′E＝CD＝24 km.根据勾股定理，得AB′＝ ＝
＝25（km）.∴ 最短的排污管道的
长为25 km.
（第9题答案）
1
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7
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9
（3） 根据（1）（2）的结果，运用数形结合思想，求 ＋
的最小值.
　
解：（3） 如图②，AC⊥CD，BD⊥CD，O是CD上一点，连接OA，OB，BD＝2，AC＝6，CD＝15.设OC＝a，则OD＝15－a.根
据勾股定理，得OA＋OB＝ ＋ .作点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O′，则当点O在点O′处时，OA＋OB的长最小，即 ＋ 的值最小.过点B′作B′E⊥AC，交AC的延长线于点E，则B′D＝BD＝2，CE＝B′D＝2，AE＝AC＋CE＝8，B′E＝CD＝15.∴ ＋
的最小值为 ＝17.
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9(共18张PPT)
专题特训五　巧用勾股定理解决折叠问题
第18章　勾股定理
类型一　三角形中的折叠问题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC沿AM折叠，使点B落
在AC边上点D的位置.
（1） 若AM＝MC，求∠C的度数.
解：（1） ∵ △ABC沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的位置，
∴ ∠BAM＝∠DAM. ∵ AM＝MC，
∴ ∠C＝∠DAM. ∴ ∠BAM＝∠DAM＝∠C.
∵ ∠B＝90°，∴ ∠BAM＋∠DAM＋∠C＝90°.
∴ ∠C＝30°.
（第1题）
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6
（2） 若AB＝12，BC＝16.
① 求BM的长.
② △AMC的面积为 　60　.
解：（2） ① ∵ △ABC沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的位置，
∠B＝90°，∴ AB＝AD＝12，BM＝DM，∠ADM＝90°.∵ AB＝
12，BC＝16，∴ AC＝ ＝20.∴ CD＝AC－AD＝20－12＝
8.设BM＝DM＝x，则CM＝16－x.∵ ∠MDC＝180°－∠ADM＝
90°，∴ DM2＋CD2＝CM2，即x2＋82＝（16－x）2，解得x＝6.
∴ BM的长为6.
60　
（第1题）
1
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5
6
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC
沿CE折叠，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF折叠，使点B
落在CD的延长线上的点B′处.
（1） 求∠ECF的度数.
解：（1） 由折叠的性质可知，∠ACE＝∠ECD＝ ∠ACD，∠BCF
＝∠B′CF＝ ∠BCB′.∵ ∠ACB＝∠ACD＋∠BCB′＝90°，
∴ ∠ECD＋∠FCD＝ （∠ACD＋∠BCB′）＝ ×90°＝45°，即
∠ECF＝45°.
1
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6
（2） 若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积.
解：（2） 由折叠的性质可知，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B′F＝1，∴ ∠EFC＝180°－∠DEC－∠ECF＝45°＝∠ECF. ∴ EF＝CE＝4.∴ BE＝EF＋BF＝4＋1＝5.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝ .设AE＝x，则AB＝x＋5.∵ 在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2，∴ AE2＋CE2＝AB2－BC2，即x2＋42＝（x＋5）2－（ ）2，解得x＝ .∴ AE＝ ，AB＝ ＋5＝ .∴ S△ABC＝ AB CE＝ × ×4＝ .
1
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6
3. 分类讨论思想　如图①，直线MN⊥PQ，垂足为O，直线l分别与射
线OP，ON相交于点A，B，且OA＝4，OB＝3.
1
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4
5
6
（1） 求线段AB的长.
解：（1） ∵ MN⊥PQ，∴ ∠AOB＝90°.∵ OA＝4，OB＝3，
∴ AB＝ ＝ ＝5.
1
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5
6
（2） 若C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值.
解：（2） 如图①，过点O作OC⊥AB于点C. 此时点O
到点C的距离最小，即为OC的长.∵ S△AOB＝ OA OB
＝ AB OC，∴ OC＝ ＝ ＝ ，即点O到点C
的距离的最小值为 .
（第3题答案）
（第3题答案）
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（3） 如图②，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点D处，DE⊥MN，
垂足为E，求DE的长.
解：（3） 如图②，连接OD，交AB于点C. ∵ 点O与点D关于AB对
称，∴ AB垂直平分OD，即OC⊥AB，OC＝CD. ∴ OC＝ ＝
＝ .∴ OD＝OC＋CD＝ .根据折叠可知，BD＝OB＝3.设BE＝
x，则OE＝OB＋BE＝3＋x.在Rt△BDE中，DE2＝BD2－BE2＝32－
x2，在Rt△ODE中，DE2＝OD2－OE2＝2－（3＋x）2，∴ 33－x2
＝2－（3＋x）2，解得x＝ .
∴ DE＝ ＝ ＝ .
（第3题答案）
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6
（4） 若F为直线MN或PQ上的一个动点，并使得以A，B，F为顶点
的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为 　8　.
8　
1
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6
类型二　长方形中的折叠问题
4. 如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D
与点B重合，点C落在点C′处，折痕EF交
AD于点E，交BC于点F.
（1） 求线段AE的长.
解：（1） 在长方形纸片ABCD中，∠A＝90°.根据折叠可知，BE＝
DE. 设AE＝x，则BE＝DE＝9－x.在Rt△ABE中，根据勾股定理，
可得BE2＝AB2＋AE2，即32＋x2＝（9－x）2，解得x＝4，∴ AE＝4.
（第4题）
1
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4
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6
（2） 线段BF的长为 　5　.
（第4题）
5　
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5
6
5. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C′处，
BC′交AD于点E.
（1） 试判断△BDE的形状，并说明理由.
解：（1） △BDE是等腰三角形.理由：由折叠，可知
∠CBD＝∠EBD. ∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠CBD＝∠EDB. ∴ ∠EBD＝
∠EDB. ∴ BE＝DE，即△BDE是等腰三角形.
（第5题）
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5
6
（2） 若AB＝6，BC＝18，求△BDE的面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是长方形，∴ AD＝BC＝
18，∠A＝90°.设DE＝x，则BE＝x，AE＝18－
x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋AE2＝
BE2，∴ 62＋（18－x）2＝x2，解得x＝10.∴ DE＝
10.∴ S△BDE＝ DE AB＝ ×10×6＝30.
（第5题）
1
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5
6
类型三　平面直角坐标系中的折叠问题
6. 已知在平面直角坐标系中，A（－5，4），AB⊥x轴于点B，
AC⊥y轴于点C，D是y轴正半轴上的动点，将△BOD折叠得到
△BED，点O与点E对应，折痕为BD，连接CE.
（1） 如图①，∠A＝ 　90　°，AB＝ 　4　，AC＝ 　5　.
（第6题）
90　
4　
5　
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6
（2） 如图②，△BED的边BE，DE分别与AC交于点F，G，且EG＝
CG.
① 求证：CF＝ED.
解：（2） ① ∵ EG＝CG，∴ ∠ECG＝∠CEG. ∵ 将△BOD折叠得
到△BED，∴ BE＝OB＝5，DE＝OD，∠BED＝∠BOD＝90°＝
∠ACO. ∴ ∠FEC＝∠DCE. 又∵ EC＝CE，∠ECG＝∠CEG，
∴ △ECF≌△CED. ∴ CF＝ED.
1
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② 设CD＝x，则OD＝4－x＝DE＝CF. ∴ AF＝5－（4－x）＝1＋
x.∵ △ECF≌△CED，∴ EF＝CD＝x.∴ BF＝5－x.∵ 在Rt△ABF
中，AB2＋AF2＝BF2，∴ 16＋（1＋x）2＝（5－x）2，解得x＝ .
∴ OD＝4－x＝4－ ＝ .
② 求OD的长.
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（3） 分类讨论思想　当△CDE是以C为直角顶点的直角三角形时，直
接写出点D的坐标.
解：（3） 点D的坐标为 或（0，10）.
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6(共18张PPT)
18.2　勾股定理的逆定理
第1课时　勾股定理的逆定理
第18章　勾股定理
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 淮南期末）下列单位长度相同的各组线段中，能构成直角三
角形的是（　A　）
A. 1， ，2 B. 3，5，7
C. 4，6，8 D. ， ，2
2. 若3，4，a为勾股数，则a的值为（　B　）
A. B. 5 C. 5或7 D. 5或
A
B
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3. 若一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，则这个三角形的三边上的高
之比为 　20∶15∶12　.
20∶15∶12　
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4. 已知△ABC的三边a，b，c满足下列条件，试判断△ABC是否为直
角三角形.
（1） a＝12，b＝35，c＝37.
解：（1） ∵ a2＋b2＝122＋352＝1 369，c2＝372＝1 369，∴ a2＋b2＝
c2.∴ △ABC是直角三角形.
（2） a＝24，b＝51，c＝45.
解：（2） ∵ a2＋c2＝242＋452＝2 601，b2＝512＝2 601，∴ a2＋c2＝
b2.∴ △ABC是直角三角形.
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（3） a＝18，b＝28，c＝24.
解：（3） ∵ a2＋c2＝182＋242＝900，b2＝282＝784，∴ a2＋c2≠b2.
∴ △ABC不是直角三角形.
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5. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点.
（1） 直接写出下面线段的长度：AB＝ 　5 　，AD＝ 　5　.
5 　
5　
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（2） 连接BD，判断△ABD的形状，并说明理由.
解：如图，连接BD. △ABD是直角三角形.理由：根据
勾股定理，得BD＝ ＝5.由（1）知，AB＝
5 ，AD＝5，∴ AB2＝AD2＋BD2.∴ △ABD是直角
三角形.
（第5题答案）
（第5题答案）
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6. （2025 合肥庐阳期末）已知四个三角形分别满足下列条件：① 三边
长的比为5∶12∶13；② 三个内角度数之比为3∶4∶5；③ 三边长分别
为3，4，5；④ 一个内角等于另两个内角之和.其中，是直角三角形的
有（　C　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
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7. 新考向 数学文化　如图所示为用三张正方形纸片以顶点重合的方式
设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，
3，4，5，选取其中三张（可重复选取）拼成上述图案，使所围成的三
角形是面积最大的直角三角形，则选取的三张纸片的面积分别是（　B）
A. 1，4，5 B. 2，3，5
C. 3，4，5 D. 2，2，4
（第7题）
B
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12
8. （2025 亳州期末）如图，在6×7的网格中，A，B，C都是网格线
的交点，则∠CAB的度数是（　B　）
A. 30° B. 45°
C. 50° D. 60°
（第8题）
B
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9. 如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝20 cm，BC边上的中线AD＝
8 cm，则△ABC的面积为 　48　cm2.
（第9题）
48　
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10. ★ 已知a，b，c满足｜a－3 ｜＋ ＋（c－ ）2＝0.
（1） a＝ 　3 　，b＝ 　7　，c＝ 　 　.
（2） 判断以a，b，c为三边长能否构成三角形.若能构成三角形，判
断此三角形的形状，并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
解：能.∵ 7＜3 ＜8，2＜ ＜3，∴ b＋c＞a.∴ 能构成三角形.又
∵ a2＝54，b2＋c2＝54，∴ b2＋c2＝a2.∴ 此三角形是直角三角形，面
积为 bc＝ .
3 　
7　
　
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11. 新情境 现实生活　如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面
是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口O，各自沿固
定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16
海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海
里.已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行
的方向，并说明理由.
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解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°.理由：如图，由
题意，得OA＝12海里，OB＝16海里，AB＝20海里.∵
122＋162＝202，即OA2＋OB2＝AB2，∴ △OAB是直角三
角形，且∠AOB＝90°.∵ ∠COA＝60°，∴ ∠DOB＝
180°－90°－60°＝30°.∴ “长峰”号航行的方向是南
偏东30°.
（第11题答案）
（第11题答案）
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12. 新考法 新定义题　（2025 合肥包河期中）通过对《勾股定理》的
学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平
方，那么这个三角形是直角三角形.如果我们新定义一种三角形——两
边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和谐三角形”.
（1） 根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 　是　“和
谐三角形”.（填“是”或“不是”）
是　
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12
（2） 已知某三角形的三边的长分别为 ，3， ，请你判断该三角
形是否为“和谐三角形”，并说明理由.
解：（2） 该三角形是“和谐三角形”.理由：∵ （ ）2＋（ ）2
＝2×32，∴ 该三角形是“和谐三角形”.
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（3） 在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝35，c2＝70，请
你判断该三角形是否为“和谐三角形”，并说明理由.
解：（3） 当c为斜边长时，该三角形不是“和谐三角形”；当b为斜
边长时，该三角形是“和谐三角形”.理由：① 当c为斜边长时，b2＝c2
－a2＝70－35＝35，而a2＝35，b2＝35，c2＝70，不满足两边的平方和
等于第三边平方的2倍，∴ 该三角形不是“和谐三角形”.② 当b为斜
边长时，b2＝a2＋c2＝35＋70＝105，∵ 35＋105＝2×70，∴ a2＋b2＝
2c2.∴ 该三角形是“和谐三角形”.综上所述，当c为斜边长时，该三
角形不是“和谐三角形”；当b为斜边长时，该三角形是“和谐三角
形”.
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12(共24张PPT)
第18章整合拔尖
第18章　勾股定理
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一　利用勾股定理求线段的长
典例1　如图，在△ABC中，D是AB边上一动点，过点D作DE∥BC
交边AC于点E，且DE平分∠ADC. 在BC边上取点F，使∠DFC＝
45°.若BC＝14，BF＝2，求DF的长.
（典例1图）
解：过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝90°.∵ ∠DFC＝45°，
∴ ∠DFC＝∠HDF＝45°.∴ FH＝DH. ∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE＝∠CDE. ∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B，∠CDE＝
∠BCD. ∴ ∠B＝∠BCD. ∴ BD＝CD. ∴ BH＝CH＝ BC＝7.∴ FH
＝BH－BF＝7－2＝5.∴ FH＝DH＝5.∴ DF＝ ＝
＝5 .
　如图，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝90°，得出∠DFC＝
∠HDF＝45°，∴ FH＝DH. 根据角平分线定义和平行线的性质得到
∠B＝∠BCD，故有BD＝CD；由等腰三角形的性质得BH＝CH＝
BC＝7，则FH＝BH－BF＝7－2＝5，最后利用勾股定理即可求解.
［变式］ （2025 宿州埇桥期中）如图，在△ABC中，O为△ABC三边
垂直平分线的交点，连接OB. 若∠A＝60°，AB＝8，AC＝6，则OB
的长为（　D　）
A. 5 B.
C. 4 D.
D
考点二　勾股定理与折叠问题
典例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为
BC边上一点.将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在AC的延长线上的
点E处，则DE的长为 　 　.
　
（典例2图）
　　先由折叠的性质得到AE＝AB＝13，BD＝ED，再由勾股定理求
出AC＝5，从而得到CE＝8.设DE＝x，则DC＝BC－BD＝12－x，再
利用勾股定理求解即可.
［变式］ 如图，将长方形沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处.若
AB＝6 cm，BC＝10 cm，则CF＝ 　 　cm.
　
典例3　（2025 合肥蜀山期中）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝
17，BC＝8，CD＝12，DA＝9，求这个四边形的面积.
（典例3图）
考点三　勾股定理的逆定理的应用
　　先利用勾股定理可得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定∠D
＝90°，最后求面积即可.
解：∵ AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9，∴ AC＝
＝ ＝15.∵ 122＋92＝152，∴ CD2＋AD2＝AC2.
∴ △ACD是直角三角形，∠D＝90°.∴ 四边形ABCD的面积为
×8×15＋ ×12×9＝114.
［变式］ （2025 亳州期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条
件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　B　）
A. ∠A＝∠B－∠C
B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C. a2＝（b＋c）（b－c）
D. a∶b∶c＝5∶12∶13
B
考点四　分类讨论思想在勾股定理中的应用
典例4　（2025 淮北濉溪期中）已知直角三角形的三边长分别是3，4，
a，则a的值是（　D　）
A. B. 5
C. 5或7 D. 5或
　　分长为a的边是直角边和斜边两种情况讨论，分别根据勾股定理列
式计算即可.
D
［变式］ （2023 合肥肥东期末）若一个直角三角形的两边长分别为12
和5，则第三边上的高为 　 或5　.
或5　
1. 新考法 新定义题　（2025 合肥蜀山期中）对角线互相垂直的四边形
叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
AC，BD相交于点O. 若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2的值为（　A　）
A. 20 B. 16 C. 18 D. 25
（第1题）
A
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2
3
4
5
6
2. 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠
后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF. 若AB＝6，BC＝
4 ，则DF的长为（　B　）
A. 2 B. 4 C. D. 2
（第2题）
B
1
2
3
4
5
6
3. 如图所示为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均
为格点，则∠ABC＋∠BAC＝ 　45°　.
（第3题）
45°　
1
2
3
4
5
6
4. 数形结合思想　如图，一圆柱高12 cm，底面半径是3 cm，一只蚂蚁
绕着圆柱的侧面向上爬行.假设蚂蚁绕圆柱侧面从点A爬到点B，圆周
率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 　15 cm　.
（第4题）
15 cm　
1
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5. （2025 阜阳界首期中）如图，某小区有一块四边形花圃ABCD. 已知
∠ADC＝90°，AD＝4 m，AB＝13 m，BC＝12 m，DC＝3 m，求该
花圃的面积.
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解：如图，连接AC. ∵ ∠ADC＝90°，AD＝4 m，
DC＝3 m，∴ AC＝ ＝ ＝5
（m）.∵ BC＝12 m，AB＝13 m，
∴ AC2＋BC2＝AB2.∴ △ABC是直角三角形，且
∠ACB＝90°.∴ S四边形ABCD＝S△ABC－S△ADC＝
×12×5－ ×4×3＝24（m2），即该花圃的面积为
24 m2.
（第5题答案）
（第5题答案）
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6. 如图，在△ABC中，AC＝5，D为边BC上一点，且CD＝1，AD＝
，BD＝4，E是边AB上的动点，连接DE.
（1） 求AB的长.
解：（1） ∵ 在△ACD中，AC2＝25，CD2＝1，AD2＝
26，∴ AC2＋CD2＝AD2.∴ △ACD是直角三角形，且
∠C＝90°.∵ BD＝4，∴ BC＝BD＋CD＝4＋1＝5.
∴ 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝ ＝
5 .
（第6题）
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（2） 当△BDE是直角三角形时，求AE的长.
解：（2） ∵ AC＝BC＝5，∠C＝90°，∴ △ACB是等
腰直角三角形，且∠B＝45°.∴ 当△BDE是直角三角形
时，有两种情况：① 当∠BDE＝90°时，∵ ∠B＝
45°，∴ BD＝DE＝4.∴ 在Rt△BDE中，由勾股定理，
得BE＝ ＝4 .∴ AE＝AB－BE＝5 －
4 ＝ .② 当∠BED＝90°时，∵ ∠B＝45°，∴ BE
＝DE. 设BE＝DE＝x.在Rt△BDE中，由勾股定理，得
BE2＋DE2＝BD2，即x2＋x2＝42，解得x＝2 （负值舍
去）.∴ BE＝DE＝2 .∴ AE＝AB－BE＝5 －2
＝3 .综上所述，当△BDE是直角三角形时，AE的长为
或3 .
（第6题）
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