资源简介

(共18张PPT)
19.2　平行四边形
第4课时　平行四边形的判定
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 成都青羊模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添
加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　D　）
A. AB＝CD B. AB＝AD
C. ∠ADB＝∠DBC D. ∠ABC＝∠ADC
（第1题）
D
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2. 新考法 条件开放题　顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个
四边形.有下列条件：① AD∥BC；② AB∥CD；③ AD＝BC；④ AB
＝CD；⑤ ∠A＝∠C；⑥ ∠B＝∠D. 从中选取两个，在①②，③
④，①③，⑤⑥，③⑥这几种选择中，不能得出“四边形ABCD是平行
四边形”这一结论的是 　③⑥　.（填序号）
③⑥　
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3. （2025 安庆岳西段考）如图，AC是 ABCD的一条对角线，
BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N. 求证：四边形BMDN是平行四边
形.
（第3题）
解：∵ BM⊥AC，DN⊥AC，∴ ∠DNC＝∠DNA＝∠BMC＝∠BMA＝90°.
∴ DN∥BM. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠DAN＝∠BCM. ∴ △ADN≌△CBM. ∴ DN＝BM. ∴ 四边形BMDN是平行四边形.
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4. （2025 黄山模拟）下列关于平行四边形的判定不正确的是（　B　）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
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5. 已知四边形的四条边的长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对
边的长，且满足a2＋c2＋ ＝2ac，则四边形一定是（　B　）
A. 任意四边形
B. 平行四边形
C. 对角线相等的四边形
D. 对角线互相垂直的四边形
B
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6. 分类讨论思想　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC
＝18，E是BC的中点.点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿AD向
点D运动；同时，点Q以每秒3个单位的速度从点C出发，沿CB向点B
运动.当点P停止运动时，点Q也随之停止运动.设运动的时间为t s，则
当以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 　2 或.
2或3.5
（第6题）
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7. ★ 如图，AD为△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，交AC于点
E，在BA上截取BF＝AE，连接EF. 求证：EF＝BD.
（第7题）
解：∵ AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴ ∠BAD＝∠CAD，∠BAD＝∠ADE. ∴ ∠CAD＝∠ADE.
∴ AE＝DE. 又∵ BF＝AE，∴ DE＝BF. 又∵ DE∥BF，∴ 四边形BDEF是平行四边形.∴ EF＝BD.
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8. （2025 宿州砀山期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上
的高.点E在AB的延长线上，连接ED，且∠AED＝30°，过点A作
AF⊥AB，与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE.
（1） 求证：四边形BECF为平行四边形.
解：（1） ∵ AD是等边三角形ABC的BC边上的高，
∴ BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°.∵ ∠AED＝
30°，∴ ED＝AD，∠ADF＝∠AED＋∠EAD＝
60°.∵ AF⊥AB，∴ ∠DAF＝90°－∠EAD＝
60°.∴ △ADF为等边三角形.∴ AD＝DF. ∵ ED＝
AD，∴ ED＝DF. ∵ BD＝DC，∴ 四边形BECF为
平行四边形.
（第8题）
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（2） 若AB＝6，求四边形BECF的周长.
解：（2） ∵ AB＝6，∴ 易得BD＝3，AD＝
3 .∵ △ADF为等边三角形，∴ AF＝AD＝3 .
∴ BF＝ ＝ ＝3 .
∵ ∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴ ∠BDE＝
30°.∴ BE＝BD＝3.∴ 四边形BECF的周长为2
（BF＋BE）＝2（3 ＋3）＝6 ＋6.
（第8题）
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9. 如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点D，E，G分别在
BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE到点F，连接
BF，使得BE＝BF.
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（1） 求证：四边形BDEF为平行四边形.
解：（1） ∵ △ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴ ∠ABC＝∠C.
∵ EG∥BC，DE∥AC，∴ ∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG
是平行四边形.∴ ∠DEG＝∠C. ∵ BE＝BF，∴ ∠F＝∠BEF＝
∠AEG＝∠C. ∴ ∠F＝∠DEG. ∴ BF∥DE. 又∵ EG∥BC，即
EF∥BD，∴ 四边形BDEF为平行四边形.
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（2） 当∠C＝30°，BD＝2 时，求D，F两点之间的距离.
解：（2） 如图，分别过点E，F作EN⊥BD于点N，FM⊥BD交DB
的延长线于点M，连接DF. ∵ EG∥BC，∴ ∠BEF＝∠ABC，
∠BFE＝∠MBF. ∵ AB＝AC，BE＝BF，∠C＝30°，∴ ∠ABC
＝∠BEF＝∠BFE＝∠MBF＝∠C＝30°.∵ 四边形BDEF是平行四
边形，∴ BF＝DE. ∴ BE＝DE. ∵ EN⊥BD，∴ BN＝ BD＝ .
（第9题答案）
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∵ ∠ABC＝30°，∴ 设EN＝x，则BE＝2x.在Rt△BEN中，由勾股
定理，得BN2＋EN2＝BE2，即（ ）2＋x2＝（2x）2，解得x＝1
（负值舍去）.∴ EN＝1，BE＝2.∴ BF＝BE＝2.∵ FM⊥BD，
∠MBF＝30°，∴ FM＝ BF＝1.∴ 在Rt△BMF中，由勾股定理，
得BM＝ ＝ .∴ DM＝BM＋BD＝3 .在Rt△FMD中，
由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝2 .∴ D，
F两点之间的距离为2 .
（第9题答案）
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10. ★ 新考法 条件开放题　在 ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐
角，O为对角线BD的中点.某数学学习小组要在BD上找两点E，F，
使四边形AECF为平行四边形，现总结出甲、乙、丙三种方案如图所
示.
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（1） 这三种方案中，能得到四边形AECF为平行四边形的是 　甲、
乙、丙　.
甲、
乙、丙　
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（2） 请将（1）中方案的证明过程写下来.（若有多种，则只写一
种即可）
解：答案不唯一，如方案甲.连接AC. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
O为BD的中点，∴ OB＝OD，OA＝OC. ∵ E，F分别为DO，BO的
中点，∴ OE＝ OD，OF＝ OB. ∴ OE＝OF. ∴ 四边形AECF为平
行四边形.
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10(共21张PPT)
专题特训七　平行四边形的性质与判定的综合
第19章　四 边 形
类型一　证明四边形是平行四边形
1. （2025 阜阳临泉期末）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上
的两点，且AE＝CF，连接DE，BF. 请判断四边形DEBF的形状，并
给出证明.
（第1题）
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解：四边形DEBF是平行四边形.∵ E，F是对角线AC上的两点，且
AE＝CF，∴ AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. ∵ 四边形ABCD是
平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAF＝∠DCE.
∴ △ABF≌△CDE. ∴ BF＝DE，∠AFB＝∠CED. ∴ BF∥DE. ∴
四边形DEBF是平行四边形.
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类型二　证明两直线平行
2. （2025 马鞍山含山期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是
AB，CD边的中点，且AB＝CD，AD＝BC，连接DE，BF，求证：
DE∥BF.
（第2题）
解：∵ AB＝CD，AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB＝CD，AB∥CD. ∵ E，F分别是AB，CD的中点，∴ DF＝BE. ∵ AB∥CD，
∴ 四边形DEBF是平行四边形.∴ DE∥BF.
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类型三　证明角相等
3. 如图，在 ABCD中，E是CD的中点，F是边BC上一点，且
EF⊥AE. 求证：∠DAE＝∠FAE.
小华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证∠DAE＝
∠FAE，只需证△AMF是等腰三角形即可.请你参考小华的想法，完成
此题的证明.
（第3题）
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解：延长AD，FE相交于点M. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠MDE＝∠C，∠M＝∠EFC. 又∵ E是CD的中
点，
∴ DE＝CE. ∴ △EDM≌△ECF. ∴ EM＝EF. 又∵ EF⊥AE，∴ AE
垂直平分MF. ∴ AF＝AM，即△AMF是等腰三角形.∴ ∠DAE＝
∠FAE.
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类型四　求角的度数
4. （2025 合肥庐阳期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角
线AC，BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点
E，交BC于点F.
（1） 求证：四边形ABCD为平行四边形.
（第4题）
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解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠OAD＝∠OCB. 在
△AOD和△COB中，
∴ △AOD≌△COB. ∴ AD＝CB. 又∵ AD∥BC，∴
四边形ABCD为平行四边形.
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（2） 连接BE，若∠BAD＝105°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的
度数.
解：（2） 设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x.由（1），得
四边形ABCD为平行四边形，∴ OB＝OD.
∵ EF⊥BD，∴ BE＝DE. ∴ ∠EBD＝∠EDB.
∵ AD∥BC，∴ ∠EDB＝∠DBF. ∴ ∠EBD＝
∠EDB＝∠DBF＝2x.∵ ∠BAD＋∠ABE＋∠EBD＋
∠EDB＝180°，∴ 105°＋x＋2x＋2x＝180°，解
得x＝15°，即∠ABE＝15°.
（第4题）
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类型五　证明线段相等
5. 如图，在 ABCD中，BC＝2AB，∠DCB的平分线交BA的延长线
于点F，交AD于点E，连接BE.
（1） 求证：DE＝AE.
解：（1） ∵ CF是∠DCB的平分线，∴ ∠DCE＝∠BCF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝DC.
∴ ∠DCE＝∠F. ∴ ∠BCF＝∠F. ∴ BC＝BF. ∵ BC＝
2AB，∴ BF＝2AB. ∴ A为BF的中点.∴ AB＝AF.
又∵ AB＝DC，∴ DC＝AF. ∵ ∠DEC＝∠AEF，
∴ △DEC≌△AEF. ∴ DE＝AE.
（第5题）
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（2） 若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB.
∴ ∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC.
∵ △DEC≌△AEF，∴ CE＝FE. 又∵ BC＝BF，
∴ ∠EBC＝∠FBE＝ ∠CBF＝35°.
∴ ∠BEA＝∠EBC＝35°.
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类型六　求线段的长
6. （2025 阜阳临泉期末）如图，在 ABCD中，AC是对角线，
DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，连接BE，DF.
（1） 求证：四边形DEBF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝CB. ∴ ∠DAE＝∠BCF.
∵ DE⊥AC，BF⊥AC，∴ DE∥BF，∠DEA＝
∠BFC＝90°.在△DAE和△BCF中，
（第6题）
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∴ △DAE≌△BCF. ∴ DE＝BF.
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
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（2） 若DE＝EF＝2，CF＝ BE，求CD的长.
解：（2） ∵ DE⊥AC，∴ ∠DEC＝90°.∵ DE＝
EF＝2，∴ △DEF是等腰直角三角形.∴ DF＝ DE
＝2 .由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形，
∴ BE＝DF＝2 .∴ CF＝ BE＝ ×2 ＝4.
∴ CE＝EF＋CF＝6.∴ CD＝ ＝2 ，即
CD的长为2 .
（第6题）
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7. （2025 淮南期末）如图，在 ABCD中，E是AD的中点，延长CB
到点F，使BC＝2BF，连接BE，AF.
（1） 求证：四边形AFBE是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC. 又∵ E是AD的中点，
∴ AE＝ AD. ∵ BC＝2BF，∴ BF＝ BC.
∴ AE∥BF，AE＝BF. ∴ 四边形AFBE是平行四
边形.
（第7题）
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（2） 若AB＝6，AD＝8，∠C＝60°，求BE的长.
解：（2） 过点A作AG⊥BF于点G，则∠AGB＝
∠AGF＝90°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC. ∴ ∠ABF＝∠C＝60°.∴ ∠BAG＝
30°.又∵ AB＝6，AD＝8，∴ 易得BG＝3，FG
＝1.∴ AG＝ ＝3 .∴ BE＝AF＝
＝2 .
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类型七　相关综合性问题
8. 在等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动
点，且满足DE＝EF，∠DEF＝60°，作点E关于AC的对称点G，连
接CG，DG.
（1） 当点D，E，F在如图所示的位置时，请在图中补全图形，并证
明四边形DBCG是平行四边形.
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解：（1） 补全图形如图所示.∵ △ABC是等边三角
形，∴ ∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵ 点E，G关于
AC对称，∴ ∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG.
∴ ∠A＝∠ACG. ∴ AB∥CG，即BD∥CG.
（第8题答案）
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∵ ∠DEF＝60°，∠BED＋∠CEF＋∠DEF＝180°，
∴ ∠BED＋∠CEF＝120°.∵ 在△BDE中，∠BDE＋∠BED＝
180°－∠B＝120°，∴ ∠BDE＝∠CEF. 在△BDE和△CEF中，
∴ △BDE≌△CEF. ∴ BD＝CE. ∴ CG＝BD.
又∵ BD∥CG，∴ 四边形DBCG是平行四边形.
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（2） 当AD＜BD，AB＝ DE时，求∠BDE的度数.
解：（2） 如图，连接DF，GF. ∵ 四边形DBCG是
平行四边形，∴ BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°.
∵ △ABC是等边三角形，∴ BC＝AB＝ DE. ∴
DG＝ DE. ∵ DE＝EF，∠DEF＝60°，∴
△DEF是等边三角形.∴ DE＝DF. ∵ 点E，G关于
AC对称，
∴ 易得EF＝GF，∠CEF＝∠CGF. ∴ DE＝DF
＝GF. ∴ DG＝ DF＝ GF.
（第8题答案）
（第8题答案）
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∴ 在△DFG中，DG2＝DF2＋GF2.∴ ∠DFG＝
90°.又∵ DF＝GF，∴ ∠FDG＝∠FGD＝
（180°－90°）÷2＝45°.∴ ∠CGF＝∠DGC－
∠FGD＝15°.∴ ∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°.
（第8题答案）
（第8题答案）
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8(共17张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第3课时　菱形的性质
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 潜山期末）在菱形ABCD中，若∠A＝60°，则∠B的度数
是（　C　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
C
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2. （2025 淮南期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC
的中点.若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（　C　）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
（第2题）
C
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3. （2025 青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，
BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 　12　.
（第3题）
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4. （2025 马鞍山和县期中）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，
BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH. 若∠CAD＝25°，则
∠DHO的度数是 　25°　.
（第4题）
25°　
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5. （2025 泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上
的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
（第5题）
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE
＝BC－CF，即BE＝BF. ∵ ∠B＝∠B，∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF
＝CE.
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6. （2025 安徽模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A，
B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线
MN，交AD于点E，连接CE. 若∠B＝135°，则CE的长为（　A　）
A. B. ＋1 C. ＋1 D. 2
（第6题）
A
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7. 数形结合思想　如图，菱形ABCD的对角线AC的中点与平面直角坐
标系的原点O重合，且AD∥x轴.若点A（－1，2），菱形ABCD的面
积为20，则点D的坐标为（　D　）
（第7题）
A. （3，2） B. （2，2）
C. （2 ，2） D. （4，2）
D
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8. ★ 易错题　如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E，F分别是AB，BC
的中点，P是AC上一动点，则PF＋PE的最小值为（　C　）
A. 3 B. 3 C. 4 D. 4
（第8题）
C
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9. （2025 兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD
于点F，BE＝CE. 若AB＝4 ，则AF＝ 　4　.
（第9题）
4　
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10. （2025 辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC
上，OF＝1，连接BE，G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 　 　.
（第10题）
　
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11. （2025 凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G.
若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 　5　.
（第11题）
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12. （2025 合肥庐江期中）如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠BAD＝
120°，对角线AC，BD相交于点O. 求：
（1） 菱形的两条对角线的长.
解：（1） 由题意，知AB＝BC＝4 cm，AC⊥BD，
∠BAD＝120°，∴ ∠BAC＝ ∠BAD＝60°.
∴ △ABC是等边三角形.∴ AC＝AB＝4 cm.∴ 在菱形
ABCD中，AO＝ AC＝2 cm.在Rt△AOB中，由勾股
定理，得OB2＋OA2＝AB2，∴ BO＝ ＝
＝2 （cm）.∴ 在菱形ABCD中，BD＝
2BO＝4 cm.∴ 菱形的两条对角线长分别为4 cm，
4 cm.
（第12题）
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12
13
（2） 菱形的面积.
解：（2） 由（1），得菱形的面积＝ AC BD＝
×4×4 ＝8 （cm2）.
（第12题）
1
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3
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5
6
7
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11
12
13
13. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边
CD上.
（1） 若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF.
解：（1） 连接AC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝
BC＝CD，AB∥CD. ∵ ∠B＝60°，∴ ∠ECF＝
180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形.∵ E是BC
的中点，∴ AE⊥BC. ∴ ∠AEC＝90°.∵ ∠AEF＝
60°，∴ ∠FEC＝∠AEC－∠AEF＝30°.
∴ ∠CFE＝180°－∠FEC－∠ECF＝30°.∴
∠FEC＝∠CFE. ∴ EC＝CF. ∴ BC－EC＝CD－
CF，即BE＝DF.
（第13题）
1
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6
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12
13
（2） 若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形.
解：（2） 由（1），知△ABC是等边三角形.∴ AB＝
AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.∴ ∠ACF＝∠ECF－
∠ACB＝60°.∴ ∠B＝∠ACF. ∵ ∠EAF＝60°，
∴ ∠EAF－∠EAC＝∠BAC－∠EAC，即∠CAF＝
∠BAE. 在△ABE和△ACF中，
∴ △ABE≌△ACF. ∴ AE＝AF. 又∵ ∠EAF
＝60°，∴ △AEF是等边三角形.
（第13题）
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13(共17张PPT)
19.2　平行四边形
第2课时　平行线间的距离
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 邢台任泽期中）如图，a，b是两条平行线，则表示这两条平
行线间距离的线段有（　D　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
（第1题）
D
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13
2. （2024 惠州惠城期末）如图，若直线m∥n，则下列线段中，可以
表示平行线m与n之间距离的为（　B　）
A. AB B. AC
C. AD D. DE
（第2题）
B
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13
3. 新情境 现实生活　铁道工人把直铁轨下面的每根枕木做成一模一样
的依据是（　A　）
A. 平行线间的距离处处相等
B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短
D. 两点确定一条直线
A
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12
13
4. 如图，两条平行线间依次有三个图形：△ABC， CDEF，梯形
DGMN. 根据图中所标数据比较它们的面积，其中面积最大的
是（　B　）
A. △ABC B. CDEF
C. 梯形DGMN D. 无法比较
（第4题）
B
1
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12
13
5. （2024 贵港覃塘期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，
BC＝5，DE∥BC. 若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离
是（　B　）
A. 2 B. 1.4
C. 3 D. 2.4
（第5题）
B
1
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10
11
12
13
6. 如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？
如果相等，请说明理由.你还能得到哪些图形面积相等的结论？你还能
在平行线l1，l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？这样的三
角形能画出多少个？
（第6题）
1
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11
12
13
解：相等.理由：∵ l1∥l2，∴ l1，l2之间的距离是固定的.∴ △ABC和
△DBC的公共边BC上的高相等.∴ △ABC和△DBC的面积相
等.△BAD的面积＝△CAD的面积，△AOB的面积＝△DOC的面积.能.
这样的三角形能画出无数个.
（第6题）
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11
12
13
7. （2024 宁波镇海期中）有下列说法：① a，b，c是直线，若
a∥b，b∥c，则a∥c；② 夹在两条平行线间的线段的长度，叫做这
两条平行线间的距离；③ 不相交的两条直线叫做平行线；④ 经过直线
外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.其中，正确的有（　B　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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11
12
13
8. 已知AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，且EF＝
10.若∠AEF＝135°，则AB，CD间的距离是（　D　）
A. 5 B. 6
C. 3 D. 5
9. 已知直线a∥b∥c，且a，b间的距离为2 cm，a，c间的距离为
3 cm，则b，c间的距离为（　C　）
A. 2 cm或3 cm B. 3 cm
C. 1 cm或5 cm D. 5 cm
D
C
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13
10. 新考向 跨学科　（2025 南阳淅川期末）如图，语文中的汉语拼音
书写栏是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成的.已知相邻两条
平行线间的距离都是1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条直线上，则
正方形ABCD的面积为（　D　）
A. B. C. 3 D. 5
（第10题）
D
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12
13
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝2 ，三个
顶点C，A，B依次在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l2，l3之间
的距离为7，则l1，l2之间的距离为 　4　.
（第11题）
4　
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13
12. 如图，点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，判断S△AEF与
S△BCE的大小关系.
（第12题）
解：连接BD. ∵ BC∥AD，∴ 点F与点B到AD的距离相等.∴ 易得S△AFD＝S△ABD. ∴ S△AFD
－S△AED＝S△ABD－S△AED，即S△AEF＝S△BED.
∵ AB∥CD，∴ 点D与点C到AB的距离相等.
∴ S△BCE＝S△BED. ∴ S△AEF＝S△BCE.
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13
13. （2024 上海金山段考）如图，直线l∥l1∥l2，直线l与直线l1之间
的距离恰好等于直线l与直线l2之间的距离.若l1，l2之间的距离为2，点
A，B，C分别在l，l1，l2上，则当△ABC为等腰直角三角形时，求
△ABC的面积.
（第13题）
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13
解：① 当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图①，∵ l∥l1∥l2，直线l1
与l2之间的距离为2，且l，l1之间的距离等于l，l2间的距离，∴ 易得
BC＝2，AB＝AC＝ .∴ S△ABC＝ AB AC＝1.② 当∠ABC＝
90°，BA＝BC时，如图②，过点A，C作直线l1的垂线，垂足分别为
M，N，则∠AMB＝∠BNC＝90°.∵ l∥l1∥l2，直线l1与l2之间的距
离为2，且l，l1之间的距离等于l，l2间的距离，∴ CN＝2，AM＝1.
∵ ∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°，∴ ∠MAB＝
∠NBC. ∴ △AMB≌△BNC.
（第13题答案）
1
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12
13
∴ BM＝CN＝2.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AB＝
＝ ＝ ，∴ S△ABC＝ AB BC＝ .③ 当∠ACB＝90°，CA
＝CB时，如图③，同理②，可得S△ABC＝ .综上所述，△ABC的面积
为1或 .
（第13题答案）
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12
13(共18张PPT)
专题特训九　特殊四边形中的动点问题
第19章　四 边 形
类型一　平行四边形中的动点问题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，P
为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连接PQ，
则PQ长的最小值为（　D　）
A. 3 B. 2
C. 6 D. 3
（第1题）
D
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6
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9
2. （2025 陕西）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°.
动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边三角
形MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大
时，DN的长为 　5　.
（第2题）
5　
1
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9
类型二　矩形中的动点问题
3. （2025 龙东地区）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝
60°，E是边CD的中点，F是对角线AC上一动点，作点C关于直线
EF的对称点P. 若PE⊥AC，则CF的长为 　3或9　.
（第3题）
3或9　
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9
4. 易错题　（2025 内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，
E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，
H为EF的中点，连接GH，则GH长的最大值是 　5　.
（第4题）
5　
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5. 易错题　（2025 合肥庐阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，
AC＝BC，O是边AB的中点，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC，
交AC于点E，作DF⊥BC，交BC于点F，连接EF，G是EF的中点，
若AB＝12.
（1） EF长的最小值为 　6　.
6　
1
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9
（2） 连接OG，当OG＝OD时，求EF的长.
解：如图，连接OC，CD. 由题意，易证四边形DECF是
矩形.∵ G是EF的中点，∴ CD经过点G，EF＝CD，即
G是CD的中点.∵ AC＝BC，O是AB的中点，∴
OC⊥AB. ∴ OG是Rt△OCD的斜边CD上的中线.∴ OG
＝CG＝DG. 当OG＝OD时，则OG＝OD＝DG，
∴ △ODG是等边三角形.设OG＝OD＝DG＝a，则EF
＝CD＝2a.在Rt△OCD中，由勾股定理，得OC＝
＝ ＝ a.∵ 易得OC＝6，
∴ a＝ OC＝ ×6＝2 .∴ EF＝2a＝4 .
（第5题答案）
（第5题答案）
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9
类型三　菱形中的动点问题
6. （2025 六安裕安二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对
角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上一动点，且PM⊥AB于点
M，PN⊥AD于点N. 下列说法中错误的是（　D　）
A. △ABC为等边三角形
B. ∠MPN＝60°
C. OB＝ OA
D. PM＋PN＝AC
（第6题）
D
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9
7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时
从A，C两点出发，分别沿AB，CB向点B匀速移动（到点B停止移
动），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.当移动t s时，△DEF
为等边三角形，求t的值.
（第7题）
1
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7
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9
解：连接BD. ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AD＝AB＝BC＝4 cm，
AB∥CD，∠ADB＝ ∠ADC＝ ×120°＝60°.∴ △ABD是等边三
角形.∴ BD＝AD. ∵ △DEF是等边三角形，∴ ∠EDF＝60°，DE
＝DF. ∴ ∠ADB－∠EDB＝∠EDF－∠EDB，即∠ADE＝∠BDF.
在△ADE和△BDF中， ∴ △ADE≌△BDF.
∴ AE＝BF. ∴ 当AE＝BF时，△DEF是等边三角形.∵ 点E的速度为
1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，∴ AE＝t cm，CF＝2t cm.∴ BF＝BC
－CF＝（4－2t）cm.∴ t＝4－2t，解得t＝ .
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类型四　正方形中的动点问题
8. 易错题分类讨论思想　（2025 合肥瑶海期末）在正方形ABCD中，
E是BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F.
（1） 若点F在线段BC上，AB＝BE，则∠AED的度数是 　112.5°　.
112.5°　
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（2） 若正方形ABCD的边长为3，且BC＝2BF，求线段DE的长.
解：∵ 四边形ABCD是正方形，且边长为3，∴ AB＝BC＝AD＝CD
＝3，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ADE＝∠CDE＝45°.∵ BC＝
2BF，∴ BF＝ BC＝ .有两种情况：① 当点F在线段BC上时，过点
E作直线垂直AD于点P，交BC于点H，连接CE，如图①.∴ ∠HPD
＝90°.∵ BF＝ ，BC＝3，∴ CF＝BC－BF＝3－ ＝ .在△ADE和
△CDE中， ∴ △ADE≌△CDE.
（第8题答案）
1
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9
∴ AE＝CE.
∵ ∠HPD＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴ 四边形CDPH是矩形.∴ CH
＝PD，PH＝CD＝AD＝3，∠APE＝∠EHF＝90°.∵ ∠ADE＝
45°，∠HPD＝90°，∴ △PED是等腰直角三角形.∴ PD＝PE.
∵ AD＝PH，∴ AP＋PD＝PE＋EH. ∴ AP＝EH. ∵ ∠APE＝
∠EHF＝90°，EF⊥AE，∴ ∠PAE＋∠PEA＝90°，∠PEA＋
∠HEF＝90°.∴ ∠PAE＝∠HEF.
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在△PAE和△HEF中， ∴ △PAE≌△HEF. ∴
AE＝FE. ∵ AE＝CE，∴ FE＝CE.
∴ △EFC是等腰三角形.∵ PH⊥CF，∴ CH＝FH＝ CF＝ .∴ PD
＝PE＝CH＝ .在Rt△PDE中，由勾股定理，
得DE＝ ＝ PD＝ .
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9
② 当点F在CB的延长线上时，过点E作直线垂直AD于点P，交BC于点H，连接CE，如图②.∴ CF＝BF＋BC＝ ＋3＝ .同理①，可得FE＝CE，PD＝PE＝CH. ∵ PH⊥CF，∴ CH＝FH＝ CF＝ .∴ PD＝PE＝CH＝ .在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝ ＝ PD＝ .综上所述，线段DE的长为 或 .
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9. 易错题　（2025 安庆怀宁期末）如图，正方形ABCD的边长为6，O
是对角线AC，BD的交点，E，F分别是边AD，AB上的动点，且AE
＝BF，连接BE，CF.
（1） 线段BE与线段CF之间的数量关系是 　BE＝CF　.
BE＝CF　
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9
（2） 连接OE，求OE＋CF的最小值.
解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，在BA的延长线上
取一点P，使PA＝AB，连接PE，OP. ∴ ∠AHO＝
90°.∵ 四边形ABCD是正方形，边长为6，∴ AB＝BC＝
6，∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OC. ∴ ∠AHO＝
∠ABC＝90°，AP＝AB＝6.∴ OH∥BC. ∵ OA＝OC，
∴ 易得OH是△ABC的中位线.∴ OH＝ BC＝3，AH＝
BH＝ AB＝3.∴ PH＝AH＋PA＝3＋6＝9.在Rt△OPH
中，由勾股定理，得OP＝ ＝3 .∵ PA＝
AB，∠BAD＝90°，∴ AD是线段BP的垂直平分线.∴
BE＝PE.
（第9题答案）
（第9题答案）
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9
由（1），知BE＝CF，∴ CF＝BE＝PE. ∴ OE＋CF＝
OE＋PE. ∴ 当OE＋PE的值最小时，OE＋CF的值也
最小.∵ OE＋PE≤OP＝3 ，∴ 当点O，E，P共线
时，OE＋PE取得最小值，最小值是3 .∴ OE＋CF的
最小值是3 .
（第9题答案）
（第9题答案）
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9(共15张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第1课时　矩形的性质
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024 东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，
BC，BD于点E，F，O. 下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是
（　D　）
A. O为矩形ABCD两条对角线的交点
B. EO＝FO
C. AE＝CF
D. EF⊥BD
（第1题）
D
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11
2. （2025 绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹
角为60°，这个矩形的面积是（　B　）
A. 25 B. 25 C. 25 D. 50
3. （2025 湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面
积是 　2m　.
B
2m　
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11
4. 若矩形ABCD的一条对角线的长为2 cm，两条对角线构成的两组对顶
角中，有一组对顶角的度数是120°，求矩形ABCD的周长.
解：根据题意，作出图形如图所示，其中∠BOC＝
120°.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°，
AC＝BD＝2 cm，OA＝ AC，OB＝ BD. ∴ OA＝
OB＝1 cm.∵ ∠BOC＝120°，∴ ∠AOB＝180°－
∠BOC＝60°.∴ △AOB是等边三角形.∴ AB＝OA＝
1 cm.∵ 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴ 由勾股定
理，得BC＝ ＝ ＝ （cm）.
∴ 矩形的周长为2（AB＋BC）＝2×（1＋ ）＝
（2＋2 ）cm.
（第4题答案）
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11
5. （2025 兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于
点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P. 若
P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE的度数为（　C　）
A. 95° B. 100°
C. 110° D. 145°
（第5题）
C
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11
6. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE∥AB，交AD于点
E. 若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（　B　）
A. 4 B. 5
C. D.
（第6题）
B
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7. （2025 池州贵池期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是BC边
上一点，连接DE，AE，过点D作DF⊥AE交BC于点G，垂足为F.
若DE＝ ，ED平分∠AEC，则BC的长为（　B　）
A. 4 B. 5
C. D. 2
（第7题）
B
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11
8. （2025 滁州全椒期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，
BD，DG，则下列结论错误的是（　B　）
A. BE＝CD
B. ∠DGF＝135°
C. ∠ABG＋∠ADG＝180°
D. 若 ＝ ，则3S△BDG＝13S△DGF
（第7题）
B
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11
9. （2025 贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，
DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，
H，且H是DE的中点.若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　 　.
（第9题）
　
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10. （2025 吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接
AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
（1） 求证：△ABE≌△DCF.
解：（1） 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝
90°.在△ABE和△DCF中，
∴ △ABE≌△DCF.
（第10题）
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11
（2） 当AB＝12，DF＝13时，求BE的长.
解：（2） 由（1），知△ABE≌△DCF，∴ AE＝DF
＝13.∵ AB＝12，∴ BE＝ ＝5.
（第10题）
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11. ★ 如图①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的
高，连接DE，M，N分别是线段BC，DE的中点，连接MN，DM，
ME.
（1） 求证：MN⊥DE.
解：（1） ∵ CD，BE分别是边AB，AC上的高，
∴ ∠BDC＝∠BEC＝90°.∵ M是BC的中点，∴ DM＝ BC，ME＝ BC. ∴ DM＝ME. 又∵ N是DE的中点，∴ MN⊥DE.
（第11题）
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11
（2） 猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想.
解：（2） ∠DME＝180°－2∠A. 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝
180°－∠A. 同理（1），得DM＝ME＝BM＝MC＝ BC，
∴ ∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM. ∴ ∠BMD＋∠CME＝
（180°－2∠ABC）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋
∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A. ∴ ∠DME＝180°
－（∠BMD＋∠CME）＝180°－2∠A.
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（3） 如图②，当∠BAC变为钝角时，（1）（2）中的结论是否仍然成
立？若成立，直接回答，无须证明；若不成立，请说明理由.
　
解：（3） （1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC. 同理（1），得DM＝ME＝BM＝MC＝ BC，
∴ ∠ACB＝∠CEM，∠ABC＝∠BDM.
∴ ∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（∠ACB＋∠ABC）＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC. ∴ ∠DME＝180°－（∠BME＋∠CMD）＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.
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11(共18张PPT)
19.1　多 边 形
第2课时　多边形的外角和
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新考法 新定义题　（2025 六安霍邱期末）完美五边形是指可以无重
叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图，五边形ABCDE是完美五边
形，其中∠5＝35°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为（　C　）
A. 180° B. 360° C. 325° D. 145°
（第1题）
C
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2. （2025 遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边
形的边数为（　A　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
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3. （2025 眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交
于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　C　）
A. 216° B. 180° C. 144° D. 120°
（第3题）
C
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4. 新情境 现实生活　如图，伸缩晾衣架利用的原理是四边形的 　不稳
定性　.
（第4题）
不稳
定性　
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14
5. （2025 长春）如图①所示为一个正十二面体，它的每个面都是正五
边形，其表面展开图如图②所示，则∠α的度数为 　36°　.
　
（第5题）
36°　
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14
6. （1） 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边
形的边数.
解：（1） 设这个多边形的边数为n.由题意，得（n－2）×180°＝
3×360°－180°，解得n＝7.∴ 这个多边形的边数为7.
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13
14
（2） 在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3
倍还大20°，求这个多边形的内角和.
解：（2） 设这个多边形的一个外角的度数为α，则与其相邻的内角的
度数为3α＋20°.由题意，得（3α＋20°）＋α＝180°，解得α＝40°.
又∵ 多边形的外角和为360°，且每个外角都相等，∴ 这个多边形的
边数为360°÷40°＝9.∴ 这个多边形的内角和为（9－2）×180°＝
1 260°.
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14
7. 下列用木条钉成的支架中，不容易变形的是（　B　）
8. （2025 凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个
多边形的一个顶点处可以引出的对角线的数量为（　B　）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
B
B
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14
9. （2025 邯郸一模）如图所示为正n边形纸片的一部分，其中只有
∠B，∠C和BC边是完整的，直线l与破损的边AB，CD相交.若α＋β
＝90°，则n的值为（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
（第9题）
C
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14
10. 如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2 ，则它的边长为（　D　）
A. 1 B. C. D. 2
（第10题）
D
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11. （2025 永州祁阳模拟）如图，小明从点A出发，前进10 m后向右转
20°，再前进10 m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到
出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形.小明一共走了 　180　m.
（第11题）
12. 每个外角都为36°的多边形共有 　35　条对角线.
180　
35　
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14
13. 新考法 探究题　如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相
等，那么这个多边形叫做正多边形.如图所示为一组正多边形，观察每
个正多边形中∠α的度数变化情况，解答下列问题.
（1） 将表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° …
60°
45°
36°
30°

（第13题）
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14
（2） 是否存在这样一个正n边形，使得∠α＝20°？若存在，求出n的
值；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在.由（1），得 ＝20°，解得n＝9.
（3） 是否存在这样一个正n边形，使得∠α＝21°？若存在，直接写出
n的值；若不存在，请说明理由.
解：（3） 不存在.理由：若存在这样一个正n边形，使得∠α＝21°，
则 ＝21°，解得n＝8 .∵ n是正整数，∴ 不存在这样一个正n边
形，使得∠α＝21°.
（第13题）
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14
14. 新考法 探究题　已知在正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边
形ABCMN中，点E在CB的延长线上，点D在另一边的延长线上，且
BE＝CD，DB的延长线交AE于点F.
　 　
（第14题）
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14
（1） 如图①，求∠AFB的度数.
解：（1） ∵ 在正三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝
60°，∴ ∠ABE＝180°－∠ABC＝120°，∠BCD＝180°－∠ACB
＝120°.∴ ∠ABE＝∠BCD. 又∵ BE＝CD，∴ △ABE≌△BCD.
∴ ∠E＝∠D. 又∵ ∠FBE＝∠CBD，∴ ∠AFB＝∠E＋∠FBE＝
∠D＋∠CBD＝∠ACB＝60°.
（第14题）
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14
（2） 如图②，∠AFB的度数为 　90°　；如图③，∠AFB的度数
为 　108°　.
（3） 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边
形”，其他条件不变，请用含n的代数式表示∠AFB的度数.
解：（3） ∠AFB＝180°－ .
90°　
108°　
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14(共14张PPT)
专题特训八　特殊四边形中的折叠问题
第19章　四 边 形
类型一　平行四边形中的折叠问题
1. 如图，将 ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，点A落在线段BF
上的点A′处，点C落在点E处，连接EA′，EF. 若恰有EF⊥EA′，则
∠A＝ 　126°　.
（第1题）
126°　
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2. 新考法 综合与实践　综合实践课上，老师组织同学们开展了
ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，
将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点M处，点D的对应
点为N，连接CM.
（1） 【观察发现】 如图①，若∠D＝60°，ME⊥AB，BE＝2，则
EC＝ 　 　，∠NFA＝ 　30°　.
　
30°　
（第2题）
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（2） 【操作探究】 如图②，当点N落在BA的延长线上时，求证：四
边形EMNF为平行四边形.
解：由折叠，知∠CEF＝∠MEF，∠EFD＝∠EFN，∠N＝∠D. ∵ AD∥BC，∴ ∠CEF＋∠EFD＝180°.∴ ∠MEF＋∠EFN＝180°.∴ ME∥NF.
∴ ∠BME＝∠N. ∵ ∠B＝∠D，AD＝BC，
∴ ∠BME＝∠B. ∴ BE＝ME＝CE. ∴ ME＝ BC.
∵ AD∥BC，点N在BA延长线上，∴ ∠B＝∠NAF＝∠N. ∴ AF＝NF＝DF. ∴ NF＝ AD. ∵ AD＝BC，∴ ME＝NF. ∴ 四边形EMNF为平行四边形.
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类型二　矩形中的折叠问题
3. （2025 宿州埇桥期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，
且｜∠α－∠β｜＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”.根据这个约
定，如图，将一矩形纸片沿着EP折叠（点P在线段BC上，点E在线段
AB上），使点B落在点B′处.若∠1和∠2互为“伙伴角”，则∠3的度
数为 　40°或80°　.
40°或80°　
（第3题）
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4. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C与点A重合.
（1） 连接CF，四边形AECF是否为特殊的四边形？请说明理由.
解：（1） 四边形AECF是菱形.理由：∵ 四边形ABCD
是矩形，∴ AD∥BC. ∴ ∠AFE＝∠CEF. 由折叠，得
∠AEF＝∠CEF，CE＝AE，∴ ∠AEF＝∠AFE.
∴ AE＝AF. ∴ AF＝CE. ∴ 四边形AECF是平行四边
形.
∵ CE＝AE，∴ 四边形AECF是菱形.
（第4题）
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（2） 若AB＝5 cm，AD＝10 cm，求四边形AECF的周长与面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD＝
10 cm，∠B＝90°.由折叠，得CE＝AE. 设CE＝AE＝
x cm，则BE＝BC－CE＝（10－x）cm.由勾股定理，
得AB2＋BE2＝AE2，∴ 52＋（10－x）2＝x2，解得x＝
.∴ CE＝AE＝ cm.∴ 四边形AECF的周长＝4CE＝
4× ＝25（cm），四边形AECF的面积＝AB CE＝
5× ＝ （cm2）.
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类型三　菱形中的折叠问题
5. 如图①所示为一张菱形纸片ABCD，E，F分别是边AB，CD上的
点.将该菱形纸片沿EF折叠得到图②，BC的对应边B′C′恰好落在直线
AD上.已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周长为（　C　）
　
（第5题）
A. 24 B. 21 C. 15 D. 12
C
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6. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，E是边AB上一点，
将△DAE沿DE折叠得到△DGE，再将△BEF沿EF折叠，使BE落在直
线EG上，点B的对应点为H，EF交BC于点F.
（1） ∠DEF的度数是 　90°　.
（第6题）
90°　
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（2） 若E是AB的中点，求DF的长.
解：∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AD∥BC，∠BCD＝
∠A＝120°，AD＝CD＝BC＝AB＝2.∴ ∠A＋∠B
＝180°.由折叠的性质，可得AE＝EG，AD＝DG＝
2，BE＝EH，BF＝HF，∠A＝∠EGD，∠B＝
∠EHF. ∵ E是AB的中点，∴ AE＝BE. ∴ EG＝
EH，即易得点G与点H重合.∵ ∠EGD＋∠EHF＝
∠A＋∠B＝180°，∴ 点D，G，F在同一条直线上.
如图，过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M. ∵
∠BCD＝120°，∴ ∠DCM＝180°－∠BCD＝60°.
（第6题答案）
（第6题答案）
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∴ ∠CDM＝90°－∠DCM＝30°.∵ CD＝2，∴ CM
＝ CD＝1.在Rt△CDM中，由勾股定理，得DM＝
＝ .设BF＝HF＝x，则MF＝2－x＋1
＝3－x，DF＝2＋x.在Rt△MDF中，由勾股定理，得
DF2＝MF2＋DM2，即（2＋x）2＝（3－x）2＋（ ）
2，解得x＝ .∴ DF＝2＋ ＝ .
（第6题答案）
（第6题答案）
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类型四　正方形中的折叠问题
7. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，BE＝4，EC＝8，将
正方形边AB沿AE折叠得到AF，延长EF交DC于点G，连接AG. 有下
列结论：① ∠EAG＝45°；② GF＝CF；③ FC∥AG；④ S△GFC＝
14.4.其中，正确的是（　A　）
A. ①③④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①②④
（第7题）
A
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8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，将△AED，△DCF
分别沿DE，DF折叠，使点A，C都与EF上的点G重合.
（1） 求证：四边形ABCD是正方形.
解：（1） 由折叠的性质，可知△ADE≌△GDE，
△DCF≌△DGF. ∴ DA＝DG＝DC，∠A＝∠DGE＝
90°，∠C＝∠DGF. ∴ ∠DGF＝180°－∠DGE＝
90°.∴ ∠C＝90°.又∵ ∠B＝∠A＝90°，∴ 四边形
ABCD是矩形.又∵ DA＝DC，∴ 四边形ABCD是正方形.
（第8题）
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（2） 若AB＝6，F是BC的中点，求AE的长.
解：（2） 由（1），知四边形ABCD是正方形，∴ BC＝AB
＝6.由折叠的性质，得AE＝EG，CF＝GF. 设AE＝EG＝
x，则BE＝6－x.∵ F是BC的中点，∴ BF＝CF＝GF＝
3.∴ EF＝x＋3.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2
＋BF2，即（x＋3）2＝（6－x）2＋32，解得x＝2.∴ AE的
长为2.
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8(共20张PPT)
19.2　平行四边形
第3课时　平行四边形的对角线性质
第19章　四 边 形
目
录
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
1. 如图，在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，对角线相交于O点，过O
点作EO⊥BD交BC于点E，则△CDE的周长为（　A　）
A. a＋b B. ab
C. 2（a＋b） D. 2（b－a）
（第1题）
A
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12
2. （2025 淮北濉溪期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O. 若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（　C　）
A. 10＜m＜12 B. 2＜m＜22
C. 1＜m＜11 D. 5＜m＜6
（第2题）
C
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12
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的全等三
角形共有（　C　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
（第3题）
C
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4. （2025 河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角
线长为n.若n为整数，则n的值可以为 　答案不唯一，如2　.（写出
一个即可）
答案不唯一，如2　
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12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD，OA＝OC. ∵ E，
F分别是OB，OD的中点，∴ OE＝ OB，OF＝ OD. ∴ OE＝OF.
在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF.
∴ AE＝CF.
5. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，
OD的中点.求证：AE＝CF.
（第5题）
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12
6. （2025 阜阳颍上期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，AB⊥AC. 若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　C　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
（第6题）
C
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12
7. （2025 东莞二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E. 若AB＝3，AC＝4，AD
＝5，则图中涂色部分的面积是（　B　）
A. 1.5 B. 3
C. 6 D. 4
（第7题）
B
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12
8. （2025 宿州萧县期末）如图，在 ABCD中，∠ABC＝120°，AB
＝2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE. 有
下列结论：① ∠BDC＝30°；② AD＝2OE；③ DE＝BC；④ OD＝
AD. 其中，正确的有（　B　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个
（第8题）
B
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12
9. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠AEB＝
45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在的直线折叠，得到△AB′C，连接
DB′，则DB′的长为 　 　.
（第9题）
　
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12
10. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，且分别
与AB，CD相交于点E，F，连接EC.
（1） 求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OD＝OB，
AB∥DC. ∴ ∠EBO＝∠FDO. 在△BEO和△DFO中，
∴ △BEO≌△DFO. ∴ OE＝OF.
（第10题）
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12
（2） 若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，
AD＝BC，OA＝OC. ∵ EF⊥AC，∴ EF垂直平分AC.
∴ AE＝CE. ∵ △BEC的周长是10，∴ BC＋BE＋CE＝
BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.∴ 2（BC＋AB）＝20，
即 ABCD的周长为20.
（第10题）
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11. ★ 如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的
直线EF分别交边AD，BC于点E，F，易证：OE＝OF（不需要证
明）.
（第11题）
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（1） 如图②，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的
直线EF分别交BA，DC的延长线于点E，F，求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，OA＝OC.
∴ ∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F. 在△AOE和△COF中，
∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF.
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（2） 连接图②中的DE，BF，其他条件不变，得到图③.若AB＝
2AE，△AOE的面积为1，则四边形BEDF的面积为 　12　.
12　
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12. 新情境 科技民生　如图①， ABCD是某公园的平面示意图，A，
B，C，D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC，BD相交于点
O，测量得AB＝0.5 km，AC＝1.2 km，BD＝1 km.
（1） 求公园的面积.
（第12题）
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC＝1.2 km，BD＝
1 km，∴ OA＝OC＝ AC＝0.6 km，OB＝OD＝ BD＝0.5 km.过点B
作BE⊥OA于点E. ∵ AB＝OB＝0.5 km，OA＝0.6 km，BE⊥OA，
∴ AE＝ OA＝0.3 km.∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝
＝0.4 km.∴ S△AOB＝ OA BE＝0.12 km2.∴ 易得S ABCD
＝4S△AOB＝0.48 km2，即公园的面积为0.48 km2.
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（2） 如图②，公园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建两条
绿道AN，CM，其中点M在OB上（点M不与点O，B重合），点N在
OD上，且BM＝ON，并计划在△AON与△COM两块绿地所在的区域
种植郁金香，求种植郁金香区域的面积.
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解：（2） 连接AM，CN. ∵ 在△ACM中，OA＝OC，∴ S△COM＝
S△AOM. ∴ S△AON＋S△COM＝S△AON＋S△AOM＝S△AMN. ∵ OB＝BM＋
OM，BM＝ON，OB＝OD＝ BD，∴ MN＝ON＋OM＝OB＝
BD. ∴ S△AMN＝ S△ABD＝ S ABCD. 由（1），知S ABCD＝0.48 km2，
∴ S△AMN＝0.12 km2.∴ S△AON＋S△COM＝S△AMN＝0.12 km2.∴ 种植郁
金香区域的面积为0.12 km2.
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12(共30张PPT)
第19章整合拔尖
第19章　四 边 形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一　多边形中的相关计算
典例1　（2025 吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线
交于点F，则∠F的度数为 　36°　.
36°　
（典例1图）
　　根据正多边形的内角和、邻补角性质、三角形的内角和定理即可得
出答案.
［变式］ （2025 长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C
＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝ 　205°　.
205°　
考点二　平行四边形的性质与判定
典例2　（2025 马鞍山和县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，
F分别在AB，CD上，且AE＝CF. 连接BD，EF交于点O.
（1） 求证：四边形DEBF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AE＝
CF，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ EB＝DF，
BE∥DF. ∴ 四边形DEBF是平行四边形.
（典例2图）
解：（2） 由（1），得四边形DEBF是平行四边
形，∴ BO＝DO. ∵ BD⊥EF，△CBF的周长是
12，∴ DF＝BF，BF＋CF＋BC＝DF＋CF＋
BC＝CD＋BC＝12.∴ 平行四边形ABCD的周长
＝2（CD＋BC）＝24.
（2） 若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求平行四边形ABCD的周长.
　　（1） 根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，AB∥CD；
　　（2） 根据平行四边形的性质，得BO＝DO，由BD⊥EF可证明
EF是BD的垂直平分线，可得DF＝BF.
［变式］ （2025 亳州蒙城期中）如图，在四边形ABCD中，
AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连
接AE.
（1） 求证：AE＝BC.
解：（1） ∵ AB∥CD，∠B＝45°，∴ ∠C＋
∠B＝180°.∴ ∠C＝135°.∵ DE＝DA，
AD⊥CD，∴ ∠E＝45°.∵ ∠E＋∠C＝180°，
∴ AE∥BC. ∴ 四边形ABCE是平行四边形.∴ AE＝BC.
（2） 若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCE是平行四边形，∴ AB＝
CE＝3.∴ AD＝DE＝AB－CD＝2.∴ 四边形ABCE
的面积＝3×2＝6.
考点三　矩形的性质与判定
典例3　如图，在 ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延
长AE，交BC的延长线于点F，连接DF，∠ACF＝90°.
（1） 求证：四边形ACFD是矩形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE. ∵ E为线段CD的中
点，∴ DE＝CE. ∴ △ADE≌△FCE. ∴ AE＝FE. ∴ 四边
形ACFD是平行四边形.∵ ∠ACF＝90°，∴ 四边形ACFD
是矩形.
（典例3图）
（2） 若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积.
解：（2） ∵ 四边形ACFD是矩形，∴ ∠CFD＝90°，AC
＝DF，AD＝CF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝
BC. 又∵ CF＝5，∴ BC＝5.在Rt△CDF中，CF＝5，CD
＝13，∴ 由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝
12.∴ AC＝12.∵ △ADE≌△FCE，∴ S△ADE＝S△FCE. ∵ AE
＝FE，∴ S△FCE＝ S△ACF＝ × ×5×12＝15.∵ S ABCD
＝BC AC＝5×12＝60，∴ S四边形ABCE＝S ABCD－S△ADE＝
S ABCD－S△FCE＝60－15＝45.
［变式］ （2025 北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的
中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形.
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE是
△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形
DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝
90°.∴ 四边形DFCG是矩形.
（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝
45°，∴ △BDF是等腰直角三角形.∴ BF＝DF＝3.
∵ DG＝FC＝5，∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由
（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩
形，∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.
∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ CE＝ ＝
.∵ E为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2 .
考点四　菱形的性质与判定
典例4　（2025 合肥庐阳期末）如图，在矩形ABCD中，点E在BC
上，AE平分∠BED，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF.
（1） 求证：四边形AFED是菱形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，
AD∥BC. ∴ ∠DAE＝∠BEA，AD∥EF. ∵ BF＝
CE，∴ BF＋BE＝CE＋BE，即EF＝BC. ∴ AD＝
EF. ∴ 四边形AFED是平行四边形.∵ AE平分
∠BED，∴ ∠DEA＝∠BEA. ∴ ∠DAE＝∠DEA.
∴ AD＝ED. ∴ 四边形AFED是菱形.
（典例4图）
（2） 若BE＝2，AB＝4，求菱形AFED的面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABF＝
90°.∵ 四边形AFED是菱形，∴ AF＝EF. 设AF＝
EF＝x，则BF＝x－2.在Rt△ABF中，由勾股定
理，得AB2＋BF2＝AF2，∴ 42＋（x－2）2＝x2，
解得x＝5.∴ EF＝5.∴ S菱形AFED＝EF AB＝5×4＝20.
［变式］ （2025 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD
相交于点O. 若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 　15　.
15　
考点五　正方形的性质与判定
典例5　（2025 淮南田家庵期中）如图，E，F分别是正方形ABCD的
边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O. 有下列结论：
① AE＝BF；② AE⊥BF；③ AO＝OE；④ S△AOB＝S四边形DEOF. 其中，
正确的有（　C　）
C
（典例5图）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
［变式］ （2025 合肥肥东期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为
AB的中点，四边形ACED为平行四边形，DE，BC相交于点F，连接
DC，BE.
（1） 试判断四边形BDCE的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形BDCE是矩形.理由：∵ AC＝BC，D
为AB的中点，∴ AD＝BD，CD⊥AB. ∴ ∠BDC＝
90°.∵ 四边形ADEC为平行四边形，∴ AD∥CE，AD
＝CE，BD∥CE，BD＝CE. ∴ 四边形BDCE是平行
四边形.又∵ ∠BDC＝90°，∴ 四边形BDCE是矩形.
（2） 当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE为正方形？并证明.
解：（2） 当∠ACB＝90°时，四边形BDCE为正方
形.∵ 四边形ADEC为平行四边形，∴ DE∥AC.
∴ ∠BFD＝∠ACB. ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠BFD＝
90°，即BC⊥DE. ∴ 四边形BDCE为正方形.
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH. 若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　A　）
A. 4 B. 8 C. D. 6
（第1题）
A
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2. （2025 六安裕安段考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F，G，连接AF，AG. 下列结论错误的是（　D　）
A. 当AF∥BG时，四边形AGBF为矩形
B. 当AD＝BD时，四边形AGBF为矩形
C. 当AB＝FG时，四边形AGBF为矩形
D. 当BF＝BG时，四边形AGBF为菱形
（第2题）
D
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3. （2023 淮南凤台期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过
点O作直线EF⊥AC，分别交DC于点F，交AB于点E，G为AE的中
点，连接OG，∠AOG＝30°.有下列结论：① CD＝3OG；② OG＝
BC；③ △OGE是等边三角形；④ S△AOE＝ S矩形ABCD. 其中，正确的个
数为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第3题）
C
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4. （2025 六安霍邱期末）如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x
轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线.若BC＝12，BD＝10，则点D
的坐标是 　（20，6）　.
（第4题）
（20，6）　
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5. （2025 合肥庐阳期末）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，
BC的中点，连接BE，DF.
（1） 求证：四边形BEDF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵ E，F分别是AD，BC的
中点，∴ AE＝DE＝ AD，BF＝ BC. ∴ DE＝BF.
又∵ DE∥BF，∴ 四边形BEDF是平行四边形.
（第5题）
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（2） 若BE平分∠ABC，AB＝6，求 ABCD的周长.
解：（2） ∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE.
又∵ AD∥BC，∴ ∠AEB＝∠EBC. ∴ ∠ABE＝
∠AEB. ∴ AE＝AB＝6.∴ AD＝2AE＝12.
∴ ABCD的周长为2（AB＋AD）＝2×（6＋12）
＝36.
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6. 如图，过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对
称点为E，连接AE，直线AE交直线DP于点F.
（1） 若∠CDP＝25°，求∠DAF的度数.
解：（1） 如图①，连接CE，DE. ∵ 点C关于直线DP
的对称点为E，∴ CD，ED关于DP对称，∠CDP＝
∠EDP＝25°，CD＝ED. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC＝90°，AD＝CD. ∴ AD＝ED，∠ADE＝
90°＋25°＋25°＝140°.∴ ∠DAF＝∠DEA＝
（180°－∠ADE）＝ ×（180°－140°）＝20°.
（第6题）
（第6题答案）
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（2） 请判断线段CD，EF，AF之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） CD2＝ （AF2＋EF2）.理由：如图②，连接
DE，CE，AC，CF. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD
＝CD，∠ADC＝90°.∵ 点C关于直线DP的对称点为
E，∴ CF＝EF，CD＝ED＝AD，∠DCF＝∠DEF.
∴ ∠DEF＝∠DAF. ∴ ∠DAF＝∠DCF. ∵ ∠FAC＋
∠FCA＝∠FAC＋∠DAF＋∠DCA＝90°，∴ ∠AFC
＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝90°.在Rt△ACF中，
AC2＝AF2＋CF2＝AF2＋EF2.在Rt△ACD中，AD2＋
CD2＝AC2.∴ 2CD2＝AF2＋EF2，即CD2＝ （AF2＋
EF2）.
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（3） 在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含
a，b的式子表示DF的长.
　 　 　 　
解：（3） 连接DE，CE，AC，CF，CE与DP交于点H. 如图③，当点F在点D，H之间时，DF＝ （a－b）.如图④，当点D在点F，H之间时，DF＝ （b－a）.如图⑤，当点H在点F，D之间时，DF＝ （a＋b）.
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6(共15张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第2课时　矩形的判定
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下列是
几个学习小组拟定的方案，其中，正确的是（　D　）
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等
D. 测量其中三个内角是否都为直角
D
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2. （2025 德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一
个条件可以是（　D　）
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
（第2题）
D
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3. （2025 云南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中
点，延长BO至点D，使OD＝OB，连接AD，CD. 记AB＝a，BC＝
b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
（1） 求证：四边形ABCD是矩形.
解：（1） ∵ O是AC的中点，∴ OA＝OC. ∵ OB＝
OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠ABC＝
90°，∴ 四边形ABCD是矩形.
（第3题）
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（2） 若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长.
解：（2） ∵ l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2，l3＝2
（AB＋BC）＝2（a＋b）＝28，∴
解得 ∴ AB＝6，BC＝8.∴ AC＝
＝10.
（第3题）
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4. 如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点D，O是边AC上的一个
动点，过点O作直线MN∥BC，分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点
E，F，连接AE，AF. 有下列结论：① OE＝OF；② CE＝CF；③ 若
CE＝12，CF＝5，则OC＝6；④ 当AO＝CO时，四边形AECF是矩
形.其中，正确的是（　A　）
A. ①④ B. ①②
C. ①②③ D. ②③④
（第4题）
A
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5. （2025 铜陵枞阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC
＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），过点M作
ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F. 若P是EF的中点，则CP长的最小
值是（　A　）
A. 1.2 B. 1.5
C. 2.4 D. 2.5
（第5题）
A
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6. ★ 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C按顺时针方向旋
转180°得到△FEC，连接AE，BF. 当∠ACB＝ 　60°　时，四边形
ABFE为矩形.
（第6题）
60°　
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7. （2025 淮北濉溪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的
中点，AE∥BC，过D点作EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F，连
接AF，CE. 求证：四边形AECF是矩形.
（第7题）
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解：∵ D是AC的中点，∴ DA＝DC. ∵ AE∥BC，∴ ∠AED＝
∠CFD. ∵ ∠ADE＝∠CDF，∴ △ADE≌△CDF. ∴ AE＝CF.
又∵ AE∥BC，∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AE∥BC，
EF∥AB，
∴ 四边形ABFE是平行四边形.∴ AB＝EF. ∵ AB＝AC，∴ AC＝EF.
∴ 四边形AECF是矩形.
（第7题）
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8. （2025 阜阳阜南期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分
∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F.
（1） 求证：DF＝BE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ ∠ADB＝∠CBD.
∵ DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴ ∠EDB
＝ ∠ADB，∠DBF＝ ∠CBD. ∴ ∠EDB＝
∠DBF. ∴ DE∥BF. 又∵ AB∥CD，∴ 四边形
DEBF是平行四边形.∴ DF＝BE.
（第8题）
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（2） 若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形.
解：（2） ∵ AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴ DE⊥AB. 又∵ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ 四边形DEBF是矩形.
（第8题）
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9. 新考法 条件开放题　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，F为AC的中点，延长FD到点E，使DE＝DF，连接
BF，CE，BE.
（1） 求证：BE＝CF.
解：（1） ∵ AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴ BD＝CD. 在△BDE和△CDF中，
∴ △BDE≌△CDF. ∴ BE＝CF.
（第9题）
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（2） 判断四边形BECF的形状，并给予证明.
解：（2） 四边形BECF是平行四边形.∵ BD＝CD，
DE＝DF，∴ 四边形BECF是平行四边形.
（第9题）
（3） 再给△ABC添加一个条件，使四边形BECF是矩形，并加以证明.
解：（3） 答案不唯一，如AB＝BC. 由（2），知四边形BECF是平行
四边形，∴ BE∥FC，BE＝FC.
∴ BE∥AF. ∵ F为AC的中点，∴ AF＝FC. ∴ BE＝AF. ∴ 四边形
ABEF是平行四边形.∴ AB＝EF.
∵ AB＝BC，∴ EF＝BC. ∴ 四边形BECF是矩形.
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9(共19张PPT)
19.2　平行四边形
第5课时　三角形中位线
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A
＝70°，则∠EDF的度数为（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°）
（第1题）
C
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2. （2025 六安期末）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且
∠AFB＝90°.若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（　A　）
（第2题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
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3. （2025 扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中
点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，
则DF的长是 　6　.
（第3题）
6　
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4. 如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，F是AC的中
点，连接EF.
（1） 求证：EF∥BC.
　　（第4题）
解：（1） 延长AE交BC于点H. ∵ CD是△ABC的角平分线，∴ ∠ACE＝∠HCE. ∵ AE⊥CD，∴ ∠CEA＝∠CEH＝90°.在△CAE和△CHE中，
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∴ △CAE≌△CHE. ∴ AE＝HE，
即E是AH的中点.又∵ F是AC的中点，∴ EF是△AHC
的中位线.∴ EF∥BC.
　　（第4题）
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（2） 猜想∠B，∠DAE，∠EAC之间的数量关系，并加以证明.
解：（2） ∠EAC＝∠B＋∠DAE. 由（1），知
△CAE≌△CHE，∴ ∠EAC＝∠EHC. 又∵ ∠EHC
＝∠B＋∠DAE，∴ ∠EAC＝∠B＋∠DAE.
　　（第4题）
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5. （2025 河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，D，E分别是边BA，CA与网
格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　）
A. B. 1 C. D.
（第5题）
B
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6. （2025 滁州凤阳期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，
∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中
点.若BC＝8，则△PMN的周长是（　B　）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
（第6题）
B
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，
且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，DE的中点，连接
MN，则MN的长度为（　A　）
A. B. C. 2 D.
（第7题）
A
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8. （2025 阜阳太和期末）如图，M是△ABC的边AB的中点，CN平分
∠ACB，且CN⊥AN，垂足为N. 若AC＝3，AB＝5，MN＝0.4，则
△ABC的周长是（　B　）
A. 12 B. 11.8
C. 12.4 D. 13
（第7题）
B
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12
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边
上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，M，N分别是AD，BE
的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　.
（第9题）
　
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10. （2025 合肥瑶海期末）如图，等边三角形ABC的边长是4，D，E
分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD，
EF.
（1） 请判断四边形CDEF的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形CDEF为平行四边形.理由：
∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE∥CB，
DE＝ BC. ∴ DE∥CF. ∵ CF＝ BC，∴ DE＝
CF. ∴ 四边形CDEF为平行四边形.
（第10题）
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（2） 求EF的长.
解：（2） ∵ 四边形CDEF为平行四边形，∴ CD＝
EF. ∵ D为AB的中点，△ABC为等边三角形，等边
三角形ABC的边长为4，∴ CD⊥AB，BC＝4，BD
＝ AB＝2.∴ EF＝CD＝ ＝2 .
（第10题）
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11. ★ 如图，E为 ABCD的边DC的延长线上一点，且CE＝DC，连
接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC，交BD于点O，连接
OF. 求证：DE＝4OF.
（第11题）
解：连接BE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB＝DC，O是AC的中点.∵ CE＝DC，
∴ AB＝CE. 又∵ AB∥CE，∴ 四边形ABEC是平行四边形.∴ F是BC的中点.又∵ O是AC的中点，∴ OF是△ABC的中位线.∴ AB＝2OF. 又∵ AB＝DC＝CE，∴ DE＝
2DC＝2AB＝4OF.
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12. 如图，在四边形ABDC中，AD与BC相交于点E，∠1＝∠2＝
∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于点H，交AD于点F.
（1） 求证：CD∥AB.
解：（1） ∵ BD＝CD，∴ ∠1＝∠BCD. 又∵ ∠1
＝∠2，∴ ∠BCD＝∠2.∴ CD∥AB.
　　（第12题）
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12
（2） 求证：△BDE≌△ACE.
解：（2） ∵ CD∥AB，∴ ∠CDA＝∠3.由（1），
知∠1＝∠BCD. 又∵ ∠1＝∠3，∴ ∠CDA＝
∠BCD. ∴ DE＝CE. ∵ ∠2＝∠3，∴ BE＝AE. 在
△BDE和△ACE中，
∴ △BDE≌△ACE.
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12
（3） 若O是AB的中点，连接OF，求证：OF＝ BE.
解：（3） 由（2），知△BDE≌△ACE. ∴ ∠1＝∠4，∠BDE＝∠ACE＝90°.∴ ∠ACH＝90°－∠BCH. 又∵ CH⊥AB，即∠BHC＝90°，∴ ∠2＝90°－∠BCH.
∴ ∠ACH＝∠2＝∠1＝∠4.∴ AF＝CF. ∵ ∠AEC＝90°－∠4，∠ECF＝90°－∠ACH，∴ ∠AEC＝∠ECF. ∴ EF＝CF. ∴ EF＝AF，即F是AE的中点.又∵ O是AB的中点，∴ OF是△ABE的中位线.∴ OF＝ BE.
　　（第12题）
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12(共15张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第4课时　菱形的判定
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 宿州萧县一模）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点
O，AB∥CD. 添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形ABCD是菱
形的为（　A　）
A. AD＝BC，AC⊥BD
B. AB＝CD，AB＝AD
C. AD∥BC，OA2＋OB2＝AB2
D. AB＝CD，AC⊥BD
A
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2. （2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直
平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
（第2题）
C
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3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添
加一个条件： 　AC⊥BD（答案不唯一）　，使平行四边形ABCD为
菱形.
（第3题）
AC⊥BD（答案不唯一）　
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4. （2025 贵州）如图，在 ABCD中，E为对角线AC的中点，连接
BE，且BE⊥AC，垂足为E. 延长BC至点F，使CF＝CE，连接EF，
FD，且EF交CD于点G.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形.
解：（1） ∵ E为对角线AC的中点，BE⊥AC，∴ BE
垂直平分AC. ∴ AB＝BC. ∵ 四边形ABCD是平行四边
形，∴ 四边形ABCD是菱形.
（第4题）
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（2） 若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积.
解：（2） ∵ BE＝EF，∴ ∠EBF＝∠EFB. ∵ CF＝
CE，∴ ∠CEF＝∠CFE. ∴ ∠BCE＝∠CEF＋
∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF. ∵ ∠BEC＝90°，
∴ ∠CBE＝30°，∠BCA＝60°.∴ ∠ACB＝
∠ACD＝60°.∴ ∠DCF＝60°.∴ ∠BCE＝∠DCF.
∵ BC＝CD，CE＝CF，∴ △BCE≌△DCF. ∴
∠DFC＝∠BEC＝90°.∵ CF＝CE＝4，∴ DF＝
CF＝4 .∴ △DCF的面积＝ DF CF＝8 .
（第4题）
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5. （2025 合肥庐阳期末）如图，将两张对边平行且宽度相同的纸条随
意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分是一个四边形，则下列结
论不一定成立的是（　D　）
A. ∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B. AB＝BC
C. AB＝CD，AD＝BC
D. ∠DAB＋∠BCD＝180°
（第5题）
D
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6. （2025 合肥庐阳期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，
E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点.若四边
形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　A　）
A. AB＝CD B. AB⊥CD
C. AC＝BD D. AC⊥BD
（第6题）
A
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7. 新考法 条件开放题　如图，在△ABC中，AD，CD分别平分
∠BAC，∠ACB，AE∥CD，CE∥AD. 有下列条件：① AB＝AC；
② AB＝BC；③ AC＝BC. 从中选择一个作为已知条件，能使四边形
ADCE为菱形的是 　②　.（填序号）
（第7题）
②　
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8. 新考法 条件开放题　如图，在四边形ABCD中，连接四边的中点
E，F，G，H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个
条件，使四边形EFGH成为一个菱形.这个条件可以是 　答案不唯一，
如四边形ABCD的对角线相等　.
（第8题）
答案不唯一，
如四边形ABCD的对角线相等　
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9. ★ （2025 淮南期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝
CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
（1） 求证：∠BAC＝∠DAC.
解：（1） 在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC. ∴ ∠BAC＝∠DAC.
（第9题）
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（2） 若∠BEC＝∠ABE，求证：四边形ABCD是菱形.
解：（2） ∵ ∠BEC＝∠ABE，∴ AB∥CD.
∴ ∠BAC＝∠ACD. 又∵ ∠BAC＝∠DAC，∴
∠CAD＝∠ACD. ∴ AD＝CD. ∵ AB＝AD，CB＝
CD，∴ AB＝CB＝CD＝AD. ∴ 四边形ABCD是菱形.
（第9题）
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10. 如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝
∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED分别与AB，BC交于点M，H.
（1） 求证：CF＝CH.
解：（1） ∵ ∠ACB＝∠DCE＝90°，∴ ∠ACB－∠BCE＝∠DCE
－∠BCE，即∠1＝∠2.∵ AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴ ∠A＝（180°－90°）÷2＝45°.
同理，可得∠D＝45°.∴ ∠A＝∠D.
∵ AC＝DC，∴ △ACF≌△DCH. ∴ CF＝CH.
（第10题）
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（2） 如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转，使∠BCE＝45°，
试判断四边形ACDM是什么特殊四边形，并说明理由.
解：（2） 四边形ACDM是菱形.理由：∵ ∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，∴ ∠1＝∠2＝45°.由（1），知∠D＝45°，∴ ∠E＝180°－∠D－∠DCE＝45°.∴ ∠1＝∠E. ∴ AC∥DE，即MD∥AC. ∴∠AMH＝180°－∠A＝135°.∴ ∠AMH＋∠D＝180°.
∴ AM∥DC. ∴ 四边形ACDM是平行四边形.∵ AC＝CD，∴ 四边形ACDM是菱形.
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10(共18张PPT)
19.2　平行四边形
第1课时　平行四边形的边角性质
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 宿州萧县期末）在平行四边形ABCD中，∠A＝140°，则
∠D的度数为（　A　）
A. 40° B. 70° C. 110° D. 140°
A
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2. （2025 贵州）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝
60°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长
为（　D　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
（第2题）
D
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13
3. 在 ABCD中，若AB＝5，BC＝2 ，则其周长为 　10＋4 　.
4. 在 ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为 　60°　.
10＋4 　
60°　
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5. （2025 宜宾）如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE
并延长，交BC的延长线于点F，且AD＝5.
（1） 求证：△ADE≌△FCE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E
是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，
∴ △ADE≌△FCE.
（第5题）
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（2） 求BF的长.
解：（2） ∵ △ADE≌△FCE，∴ FC＝AD＝5.
∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.
（第5题）
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13
6. （2025 安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC
的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足
AF＝CH，则下列为定值的是（　C　）
A. 四边形EFGH的周长
B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积
D. 线段FH的长
（第6题）
C
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7. （2025 淮南期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线
与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F恰好为DC的中点，
DG⊥AE，垂足为G. 若DG＝1，则AE的长为（　C　）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
（第7题）
C
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8. （2025 新疆生产建设兵团）如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线
交AB于点E. 若AD＝2，则BE的长为 　2　.
（第8题）
2　
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13
9. （2025 淮南期中）如图，在 ABCD中，点P在对角线AC上，过点
P作EF∥AB，HG∥AD，记四边形BFPH的面积为S1，四边形DEPG
的面积为S2，则S1 　＝　S2.（填“＞”“＜”或“＝”）
（第9题）
＝　
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13
10. （2025 安庆宜秀段考）如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，
AB＝AE，AD＝DE. 若∠B＝70°，则∠CDE的度数为 　30°　.
（第10题）
30°　
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13
11. （2025 马鞍山和县期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，
AF⊥CD于点F，∠BAD＝120°，BE＝2，FD＝3.求：
（1） ∠EAF的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝
120°，∴ AD∥BC，∠B＝∠D. ∴ ∠B＋∠BAD＝
180°.∴ ∠B＝180°－120°＝60°.∴ ∠B＝∠D＝
60°.∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB＝∠AFD＝
90°.∴ ∠BAE＝∠DAF＝30°.∴ ∠EAF＝∠BAD
－∠BAE－∠DAF＝60°.
（第11题）
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（2） ABCD的周长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝
CD，AD＝BC. ∵ ∠BAE＝∠DAF＝30°，∴ AB＝
2BE，AD＝2DF. ∵ BE＝2，FD＝3，∴ AB＝4，
AD＝6.∴ ABCD的周长为2（AB＋AD）＝2×
（4＋6）＝20.
（第11题）
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13
12. （2025 宿州埇桥期末）如图，在 ABCD中，∠A＝50°，DE平
分∠ADC，交AB于点E.
（1） 求∠ADE的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC∥AB. ∴ ∠A＋∠ADC＝180°.∵ ∠A＝
50°，∴ ∠ADC＝130°.∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE＝ ∠ADC＝65°.
（第12题）
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13
（2） 若AB＝10，BC＝7，求BE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝
BC＝7，DC∥AB. ∴ ∠AED＝∠CDE. ∵ DE平分
∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∴ ∠ADE＝∠AED.
∴ AE＝AD＝7.∴ BE＝AB－AE＝10－7＝3.
（第12题）
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13. ★ 如图，点E在 ABCD的内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1） 求证：△BCE≌△ADF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝
BC，AD∥BC. ∴ ∠ABC＋∠BAD＝180°，即
（∠ABE＋∠BAD）＋∠CBE＝180°.∵ AF∥BE，
∴ ∠ABE＋∠BAF＝180°，即（∠ABE＋∠BAD）
＋∠DAF＝180°.∴ ∠CBE＝∠DAF. 同理，可得
∠BCE＝∠ADF. 在△BCE和△ADF中， ∴ △BCE≌△ADF.
（第13题）
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（2） 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值.
解：（2） ∵ 点E在 ABCD的内部，∴ 易得S△BCE＋
S△AED＝ S ABCD. 由（1），知△BCE≌△ADF，
∴ S△BCE＝S△ADF. ∴ S四边形AEDF＝S△ADF＋S△AED＝
S△BCE＋S△AED＝ S ABCD. ∵ ABCD的面积为S，
四边形AEDF的面积为T，∴ T＝ S，即 ＝2.
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13(共22张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第5课时　正方形的性质与判定
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 滁州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质
是（　B　）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线互相垂直
B
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2. （2025 合肥瑶海期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结
论不正确的是（　C　）
A. 当AB＝BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，且AC＝BD，它是正方形
D. 当AC＝BD时，它是矩形
（第2题）
C
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3. （2025 合肥庐江段考）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上
一点，F为边AB上一点，且BF＝DE，连接EF. 若∠CDE＝50°，则
∠BFE的度数为 　70°　.
（第3题）
70°　
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4. （2025 广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，
BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：△ADE≌△CBF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC，
BC∥AD. ∴ ∠ADE＝∠CBF. ∵ DE＝BF，
∴ △ADE≌△CBF.
（第4题）
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（2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长.
解：（2） 连接AC交BD于点O. ∵ 四边形ABCD为正方
形，BD＝10，∴ OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5，AF
＝CF，AE＝CE. 由（1），知△ADE≌△CBF，∴ AE＝
CF. ∴ AF＝CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.
∴ OF＝OE，即EF＝2OF. ∵ 四边形AECF的周长为4AF
＝4 ，∴ AF＝ .在Rt△AOF中，由勾股定理，得
OF＝ ＝3，∴ EF＝2OF＝6，即EF的长为6.
（第4题）
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5. （2025 天长期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC
＝5.正方形DEFG的边长为 ，顶点D，E，G分别在△ABC的边
上，则BG的长为（　B　）
A. 3 B. 3
C. 5 D. 5
（第5题）
B
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6. （2025 芜湖二模）正方形ABCD，CEFG按如图所示的方式放置，
点B，C，E在同一条直线上，点P在EC边上，且∠APF＝90°，连
接AF交CG于点M，连接PM. 下列条件中，不能使PA＝PF的
是（　D　）
A. EP＝BC
B. PM＝PE＋GM
C. S正方形ABCD＋S正方形CEFG＝2S△APF
D. ∠DAM＝∠EFP
（第6题）
D
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7. （2025 淮南田家庵期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形
OABC是正方形，M，N分别是边AB，BC上的点.已知点A（1，3），
点N（n，0），∠MON＝45°，则△MNB的周长为 　2 　.
（第7题）
2 　
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8. （2023 广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是
BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN长的最大值
为 　 　.
（第8题）
　
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9. （2025 长沙）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD
上，且BE＝DF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（1） 在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF. 又
∵ AB∥CD，∴ 四边形AECF是平行四边形.
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（2） 连接EF. 若BC＝12，BE＝5，求EF的长.
解：（2） 如图，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHC＝
∠EHF＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴
AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°.
∴ ∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°.∴ 四边形EBCH是矩
形.∴ EH＝BC＝12，CH＝BE＝5.∴ DH＝CD－CH＝
12－5＝7.∵ BE＝DF＝5，∴ HF＝DH－DF＝7－5＝2.
在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF＝ ＝
2 .
（第9题答案）
（第9题答案）
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10. （2025 合肥包河期末）如图，在正方形ABCD的边AB，BC，
CD，DA上分别截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接EF，
FG，GH，HE得四边形EFGH.
（1） 求证：四边形EFGH是正方形.
（第10题）
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝
DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵ AE＝BF＝CG＝
DH，∴ AB－AE＝BC－BF＝CD－CG＝DA－DH，即
BE＝CF＝DG＝AH. 在△AEH，△BFE，△CGF，
△DHG中，
（第10题）
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∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴ HE＝EF＝FG＝GH，
∠AEH＝∠BFE. ∴ 四边形EFGH是菱形.在△BEF中，∠BEF＋
∠BFE＝90°，∴ ∠BEF＋∠AEH＝90°.∴ ∠HEF＝180°－
（∠BEF＋∠AEH）＝90°.∴ 四边形EFGH是正方形.
（第10题）
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（2） 连接EG. 若AB＝7，BE＝3，求EG的长.
解：（2） ∵ AB＝7，BE＝3，∴ AE＝AB－BE＝4，AH
＝BE＝3.在Rt△AEH中，由勾股定理，得HE＝
＝5.∵ 四边形EFGH是正方形，∴ HE＝GH＝
5，∠EHG＝90°.在Rt△EHG中，由勾股定理，得EG＝
＝5 .
（第10题）
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11. 新情境 现实生活　（2025 德阳）在综合实践活动中，同学们将对
学校的一块正方形花园ABCD进行测量并规划使用.如图，点E，F处是
它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF，BE，AF，BE相交于
点O（门的大小忽略不计）.
（1） 这两条路是否等长？它们有什么位置关系？并说明理由.
（第11题）
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解：（1） 这两条路等长；位置关系是互相垂直.理由：
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BA＝AD＝CD，∠BAE
＝∠D＝90°.∵ DE＝CF，∴ AD－DE＝CD－CF，
即AE＝DF. ∴ △BAE≌△ADF. ∴ BE＝AF，∠ABE
＝∠DAF. ∵ ∠BAE＝∠BAO＋∠DAF＝90°，
∴ ∠BAO＋∠ABE＝90°.∵ ∠AOB＝180°－
（∠BAO＋∠ABE）＝90°，即AF⊥BE.
（第11题）
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（2） 同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想
在四边形OBCF上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在点F
处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端
P与点B处的距离不少于1.5米.请问能否修建成这样的直路？若能，能
修建几条？并说明理由.
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解：（2） 能修建一条这样的直路，且点P在边界BC上.
理由：∵ AD＝AB＝CD＝4米，AE＝3米，∴ DE＝
CF＝1米.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝
＝ ＝5（米）.由（1），得AF＝
BE＝5米，AF⊥BE，∴ S△ABE＝ BE OA＝
AB AE.
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∴ OA＝ ＝ ＝2.4（米）.∴ OF＝AF－OA＝5－2.4＝2.6
（米）.根据“垂线段最短”，得点F到路段OB的最短距离为2.6米，∴
路段OB上不存在点P到点F的距离等于2.5米.当点P在边界BC上时，
在Rt△PCF中，由勾股定理，得PC＝ ＝ ＝
（米），∴ BP＝BC－PC＝ 米.∵ 4－ ＞4－ ，即4
－ ＞1.5，∴ 此时点P符合题意，即能修建一条这样的直路.
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11(共19张PPT)
19.1　多 边 形
第1课时　多边形的内角和
第19章　四 边 形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列图形中，不属于凸多边形的是（　A　）
2. （2025 北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为
（　C　）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
A
C
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3. （2025 扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数
为 　9　.
4. （2025 六安金安一模）若过n边形的一个顶点可以画出5条对角线，
则n的值是 　8　.
9　
8　
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5. （2025 合肥庐阳期末）如图，在六边形ABCDEF中，若∠A＋∠B
＋∠C＋∠D＝490°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G的
度数为 　65°　.
（第5题）
65°　
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6. 已知一个n边形的每一个内角的度数都为150°.
（1） 求这个n边形的内角和.
解：（1） 由题意，得150°n＝（n－2）×180°，解得n＝12.∴ 这
个n边形的内角和为12×150°＝1 800°.
（2） 从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？
解：（2） 从这个n边形的一个顶点出发，可以画出12－3＝9（条）对
角线.
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7. （2025 合肥庐阳三模）如图，正六边形FGHIJK内有一个正五边形
ABCDE. 其中，AB∥FG，DE的延长线交FK于点L，则∠ELF的度数
为（　B　）
A. 72° B. 96° C. 108° D. 120°
（第7题）
B
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8. 已知从n边形的一个顶点出发的对角线将该多边形分成7个三角形，
则该多边形的对角线一共有（　D　）
A. 14条 B. 18条
C. 20条 D. 27条
9. ★ 已知一个多边形被截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是
1 620°，则原来这个多边形的边数是（　D　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 以上都有可能
D
D
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10. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝
60°，则一定有（　D　）
A. ∠ADE＝20°
B. ∠ADE＝30°
C. ∠ADE＝ ∠ADC
D. ∠ADE＝ ∠ADC
D
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11. （2025 合肥包河期中）已知两个多边形的内角总和为1 080°，且
边数之比为2∶3，则这两个多边形的边数分别是 　4，6　.
4，6　
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12. 已知n边形的内角和θ＝（n－2）×180°.
（1） 甲同学说：“θ能取360°.”而乙同学说：“θ也能取630°.”
甲、乙两名同学的说法对吗？为什么？
解：（1） 甲同学的说法对，乙同学的说法不对.当θ＝360°时，（n－
2）×180°＝360°，解得n＝4.当θ＝630°时，（n－2）×180°＝
630°，解得n＝ .∵ n为大于或等于3的整数，∴ θ不能取630°.
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（2） 若n边形变为（n＋x）边形，发现内角和增加了360°，用列方
程的方法求x的值.
解：（2） 由题意，得（n＋x－2）×180°－（n－2）×180°＝
360°，解得x＝2.∴ x的值是2.
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13. 如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠ADC＝180°，CE平分
∠BCD，交AB于点E，连接DE.
（1） 若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数.
解：（1） ∵ ∠B＋∠ADC＝180°，∠A＋∠B＋
∠BCD＋∠ADC＝360°，∴ ∠A＋∠BCD＝360°
－180°＝180°.∵ ∠A＝50°，∴ ∠BCD＝180°
－∠A＝130°.∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE＝
∠BCD＝65°.∵ ∠B＝85°，∴ ∠BEC＝180°
－∠BCE－∠B＝30°.
（第13题）
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（2） 若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE.
解：（2） 由（1），知∠A＋∠BCD＝180°，
∴ ∠A＋∠BCE＋∠DCE＝180°.∵ ∠CDE＋
∠DCE＋∠1＝180°，∠1＝∠A，∴ ∠BCE＝
∠CDE. ∵ CE平分∠BCD，∴ ∠DCE＝∠BCE.
∴ ∠CDE＝∠DCE.
（第13题）
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14. 新考法 探究题　（2025 池州四模）数学兴趣小组开展探究活动，
主题是“四边形内n个点可把四边形分割成不重叠三角形的个数”.指
导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下表：
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示意图
n的值 1 2 3 4
不重叠 三角形 的个数 4 6 8 10
（1） 把上面的表格补充完整.
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（2） 四边形内n个点把四边形分割成不重叠三角形的个数可用含n的
代数式表示为 　2n＋2　.
2n＋2　
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（3） 小组同学灵活运用数学知识，探究归纳出了m（m≥3）边形
内部的n个点，把m边形分割成不重叠三角形的个数的一般规律，过
程如下：
① m（m≥3）边形内部的n个点，把m边形分割成不重叠的x个三角
形；
② 三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180°x；
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③ m边形的内角和可以表示为 　180°（m－2）　；
④ m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数
可以表示为 　360°n　；
⑤ 这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，则这x个三角形的
总内角和又可以看成是m边形的内角和加上n个周角的和，即 　180°
（m－2）＋360°n　；
⑥ 综上可得，x＝ 　m＋2n－2　.
请你将过程填写完整.
180°（m－2）　
360°n　
180°
（m－2）＋360°n　
m＋2n－2　
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