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专题03 函数、方程及不等式的应用
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）如图，是中国象棋棋盘的一部分，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“炮”与“帅”的相对位置即可求解；
【详解】解：由题意得：每一格代表一个单位长度，
∵“帅”向右移动一格，向上移动两格得到“炮”，
∴“炮”所在位置的坐标为
故选：B．
2．（本题3分）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可．
【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，
根据题意得．
故选：B．
3．（本题3分）已知：如图，甲、乙两个工程队合作修一条长为3000米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的．甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成剩下的全部工程．完成的工程量y（米）与工程时间x（天）的关系如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．完成该工程一共用了30天 B．乙工程队在该工程中一共工作了10天
C．甲工程队每天修路50米 D．乙工程队每天修路200米
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象获取信息以及一元一次方程的工程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据甲队单独做了20天，完成1000米，得出甲工程队每天修路50米，因为甲、乙两个工程队的工作效率是一定的，则列式，得出乙工程队每天修路150米，结合图象性质，即可作答．
【详解】解：从图象可知，工程时间，所对应的是
∴完成该工程一共用了30天，故A是正确的；
∵（天）
∴乙工程队在该工程中一共工作了10天，故B是正确的；
∵甲队单独做了20天，完成1000米，
∴
即甲工程队每天修路50米；故C是正确的；
设乙工程队每天修路x米,
则
解得
∴乙工程队每天修路150米，故D是错误的
故选：D
4．（本题3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可．
【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：
，
故选：A．
5．（本题3分）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ）
A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成
B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成
C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成
D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成
【答案】A
【分析】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答．
【详解】解：∵设计划每天植树棵，
∴方程中表示原计划种植的时间（天数），表示实际每天种植棵，即实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，表示实际种植的时间（天数），表示原计划种植的时间比实际种植的时间多5天，即提前5天完成．
∴题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确．
故选：A．
6．（本题3分）在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀所叫次数 … 84 98 119 …
温度（） … 15 17 20 …
如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．利用待定系数法求解得到函数解析式；再把代入解析式求y值即可．
【详解】解：设蟋蟀1分钟叫的次数为x次，当地温度为y摄氏度，一次函数关系式为，
由题意，得，
解得：
∴；经检验符合题意；
当时，
故选B．
7．（本题3分）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　）
A．第30天该产品的市场日销售量最大
B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大
C．第20天该产品的日销售总利润最大
D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多
【答案】C
【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）．
A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意；
B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意；
C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意；
D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键．
8．（本题3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（ ）
A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出解析式，再把代入解析式即可判断．
【详解】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过，
∴设出池底所在抛物线的解析式为，
把代入解析式可得，
解得，
∴，
当时，，
此时最深处到水面的距离为，
故选：C．
9．（本题3分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要4min
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意；
B、由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意；
C、当水温升至时，用时，
当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意；
D、在中，令，则，
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热，
把代入，得：，
即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意；
故选：C．
10．（本题3分）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键．
根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可．
【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为，
①当时，如下图，
，，
∴，
∵的面积为，
∴，
是开口向下顶点为的抛物线，
∴B、D符合；
②当时，如下图，
，
是y随x增大而减小的线段，
∴只有B符合．
故选：B．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为．请你判断：1个物块B的质量是 ．

【答案】5
【分析】设物块B、C的质量分别是x克，y克，根据题意列方程组，解方程组即可．
【详解】解：设物块B、C的质量分别是x克，y克，根据题意得，
，得，
解得，
即1个物块B的质量是．
故答案为：5．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是熟练运用加减消元法．
12．（本题3分）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警．请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置： ．
【答案】南偏西方向，距离为
【分析】本题主要考查了坐标确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题的关键．直接根据题意得出的长以及的度数，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，，
故答案为：南偏西方向，距离为；
13．（本题3分）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ．
【答案】
【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
14．（本题3分）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距厘米 20 21 22 23
身高厘米 160 169 178 187
某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米．
【答案】24
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先根据表格数据得到d与h是一次函数关系，然后可设此函数解析式为，利用待定系数法即可求出此函数解析式．
【详解】解：由表格可知随着指距的增加，身高增加相同的长度，
故设此函数解析式为，
依题意有，
解得，
故h与d之间的关系式为：，
把代入可得：，
解得：，
故答案为：24．
15．（本题3分）以下是龙湾风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过人 人均收费元
超过人 每增加1个，人均收费降低1元，但人均收费不低于元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 ．
【答案】40
【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为人，根据总费用为元列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴人数超过人．
设参加这次旅游的人数为．依题意可知，
解得：或．
当时，，故应舍去；
即：参加这次旅游的人数为人．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
16．（本题3分）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m
【答案】4
【分析】本题考查函数的图象，根据两组合作30天共挖掘210可得两组的工作效率和，再根据甲组单独工作30天挖掘了90可得甲组的工作效率，进而得出乙组的工作效率，从而得出答案．
【详解】两组的工作效率和为：（天），
甲组的工作效率为：天），
∴乙组的工作效率为：天），
即乙组每天挖掘4，
故答案为：4．
17．（本题3分）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度是服药时间x（h）的反比例函数，点在该反比例函数图象上，当血药浓度为时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 h后服药更合理．
【答案】5
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，设y与x之间的函数关系式为，先求解反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求解即可．
【详解】解：设y与x之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
当时，则，
故答案为：
18．（本题3分）相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过、、、、、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为，则的值为 ．
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字规律，总结数字规律是解题的关键．根据第个三角点数和为，第个三角点数和为，第个三角点数和为，第个三角点数和为，第个三角点数和为，总结得到第个三角形数和为，从而列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
第个三角点数和为，
∴第个三角形数和为，
，
解得或（舍去），
故答案为．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？
(2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？
【答案】(1)1200人；26辆
(2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆
(3)B种：6辆，A种：19辆
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算．
（1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，
根据题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y可以为6，7，
∴该学校共有2种租车方案，
方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）解：选择方案1的总租金为（元）；
选择方案2的总租金为（元）．
∵，
∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算．
20．（本题6分）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为．
【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解；
（2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解；
（3）将代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，
电路中的电阻；
（2）解：由欧姆定律可知，，
由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为，
，解得：，
即电源的电压为，
电流关于电路中的电阻的函数关系为；
（3）解：电流表的读数为，
，
解得：，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为．
21．（本题8分）2023年12月18日，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式开园，吸引大量游客前去游玩，带火了东北美食“万物皆可冰糖”．冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．
(1)求冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价；
(2)容融在销售中发现冰糖皮皮虾每根售价15元时，每天可售出40根，每根售价提高1元时，每天少售出3根．当售价为多少时，容融获得的利润最大，利润最大为多少？（冰糖皮皮虾售价为整数）
【答案】(1)冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价分别为元和元
(2)当售价为20元时，获得的利润最大，最大为200元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）设冰糖青椒每根的进价为元，根据冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设售价为元，利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可．
【详解】（1）解：设冰糖青椒每根的进价为元，由题意，得：
，
解得：；
经检验是原方程的解，
∴，
答：冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价分别为元和元；
（2）设售价为元，利润为，由题意，得：
，
∴当时，取得最大值，
∵为整数，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴当售价为20元时，获得的利润最大，最大为200元．
22．（本题8分）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
(1)点出发几秒后，可使的面积为？
(2)点出发几秒后，？
【答案】(1)点P，Q出发1秒后，可使的面积为
(2)点P，Q出发2.4秒后，
【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
（1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可；
（2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
（2）解：设点P，Q出发y秒后，，
∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
23．（本题9分）2022年国庆期间，思蒙“小桂林”4A级景区试营业并连续五天举行大型文艺汇演：唱民歌，奏民乐，说民俗，舞龙，放河灯等传统节目，已知该河灯每个进价为20元．调查发现，当销售价为25元时，平均每天可售出250个；而当销售价每增加1元时，平均每天的销售量将减少10个．应物价部门要求，商品售价不得超过进价的2倍．
(1)若希望平均每天获利2250元，则每个该河灯的定价应为多少元？
(2)旅游公司决定每销售1个河灯，就捐赠元给希望工程，帮助困难学生．若平均每天扣除捐赠后可获得最大利润为1690元，求的值．
【答案】(1)每个河灯的定价应为35元
(2)a的值为4
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
（1）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程即可求解；
（2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列函数解析式，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个玩具的定价为元，
根据题意得，，
解得：，
商品售价不得超过进价的2倍．
，符合题意．
答：每个玩具的定价35元时，网店每天获利2250元；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为，
根据题意得，，
，且抛物线的对称轴为直线，
当，的最大值是1690．
，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，，符合题意，
，
答：的值为4．
24．（本题9分）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
(1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
(2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
(2)购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用．
（）设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
25．（本题10分）冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．
(1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？
(2)某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）
【答案】(1)鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元
(2)当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用：
（1）设鸭绒服的单价为每件元，根据鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进鸭绒服件，根据某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，列出不等式求出的取值范围，设总利润为，根据题意，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元，
由题意，得：，
解得：（舍去）或；
经检验，是原方程的解，
∴，
答：鸭绒服的单价为每件元，鹅绒服每件元；
（2）设购进鸭绒服件，则购进鹅绒服件；
由题意，得：，
解得：；
设总利润为，则：，
整理，得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元．
26．（本题10分）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响．
(1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？
(2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨
(2)从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：
（1）设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨，根据“从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元”列方程组求解即可；
（2）设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨，根据“从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元”列不等式组求出m的取值范围，设利润为w万元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨，
根据题意，得 ，
解得，
答：从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨；
（2）解：设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨，
根据题意，得，
解得，
设利润为w万元，
则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元．
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专题03 函数、方程及不等式的应用
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）如图，是中国象棋棋盘的一部分，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）已知：如图，甲、乙两个工程队合作修一条长为3000米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的．甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成剩下的全部工程．完成的工程量y（米）与工程时间x（天）的关系如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．完成该工程一共用了30天 B．乙工程队在该工程中一共工作了10天
C．甲工程队每天修路50米 D．乙工程队每天修路200米
4．（本题3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ）
A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成
B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成
C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成
D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成
6．（本题3分）在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀所叫次数 … 84 98 119 …
温度（） … 15 17 20 …
如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度大约为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　）
A．第30天该产品的市场日销售量最大
B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大
C．第20天该产品的日销售总利润最大
D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多
8．（本题3分）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（ ）
A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6
【9．（本题3分）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要4min
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
10．（本题3分）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为．请你判断：1个物块B的质量是 ．

12．（本题3分）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警．请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置： ．
13．（本题3分）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ．
14．（本题3分）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距厘米 20 21 22 23
身高厘米 160 169 178 187
某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米．
15．（本题3分）以下是龙湾风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过人 人均收费元
超过人 每增加1个，人均收费降低1元，但人均收费不低于元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 ．
16．（本题3分）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m
17．（本题3分）学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度是服药时间x（h）的反比例函数，点在该反比例函数图象上，当血药浓度为时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人 h后服药更合理．
18．（本题3分）相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过、、、、、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？
(2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？
20．（本题6分）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
21．（本题8分）2023年12月18日，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式开园，吸引大量游客前去游玩，带火了东北美食“万物皆可冰糖”．冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．
(1)求冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价；
(2)容融在销售中发现冰糖皮皮虾每根售价15元时，每天可售出40根，每根售价提高1元时，每天少售出3根．当售价为多少时，容融获得的利润最大，利润最大为多少？（冰糖皮皮虾售价为整数）
22．（本题8分）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
(1)点出发几秒后，可使的面积为？
(2)点出发几秒后，？
23．（本题9分）2022年国庆期间，思蒙“小桂林”4A级景区试营业并连续五天举行大型文艺汇演：唱民歌，奏民乐，说民俗，舞龙，放河灯等传统节目，已知该河灯每个进价为20元．调查发现，当销售价为25元时，平均每天可售出250个；而当销售价每增加1元时，平均每天的销售量将减少10个．应物价部门要求，商品售价不得超过进价的2倍．
(1)若希望平均每天获利2250元，则每个该河灯的定价应为多少元？
(2)旅游公司决定每销售1个河灯，就捐赠元给希望工程，帮助困难学生．若平均每天扣除捐赠后可获得最大利润为1690元，求的值．
24．（本题9分）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
(1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
(2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
25．（本题10分）冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件．
(1)求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？
(2)某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完）
26．（本题10分）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响．
(1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？
(2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？
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