资源简介

(共17张PPT)
3　公 式 法
第1课时　利用平方差公式分解因式
第四章　因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 西安期末）在下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分
解的是（　D　）
A. a2－16b2 B. －1＋4m2
C. －36x2＋y2 D. －m2－1
2. （2025 长治长子期末）下列各式中，不是多项式a2b－4b的因式的
为（　D　）
A. b B. a＋2
C. a－2 D. a－4
D
D
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3. 如果多项式mx2－ 分解因式的结果为 ，那么m，n
的值分别为（　C　）
A. 4，5 B. －4，5
C. 16，25 D. －16，25
4. （2025 北京）分解因式：7m2－28＝ 　7（m＋2） （m－2）　.
C
7（m＋2） （m－2）　
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5. 在一个半径为R cm的大圆上，挖去9个半径为r cm的小圆，当R＝
70，r＝10时，剩余部分的面积为 　4 000π　cm2（结果保留π）.
4 000π　
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6. 分解因式：
（1） －1＋4m2n2.
解：（2mn＋1）（2mn－1）.
（2） a3b－9ab.
解：ab（a＋3）（a－3）.
（3） a2－4（a－b）2.
解：（3a－2b）（2b－a）.
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（4） （3a＋2b）2－（a－b）2.
解：（4a＋b）（2a＋3b）.
（5） 3a2（x＋y）3－27a4（x＋y）.
解：3a2（x＋y）（x＋y－3a）（x＋y＋3a）.
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7. （2025 龙口期中）甲、乙两人对－x3＋x进行因式分解.甲的结果为
－x（x＋1）（x－1）；乙的结果为x（1＋x）（1－x）.下列判断
中，正确的是（　C　）
A. 只有甲的结果正确
B. 只有乙的结果正确
C. 甲、乙两人的结果都正确
D. 甲、乙两人的结果都不正确
C
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8. 已知x－y＝3，y－z＝2，x＋z＝4，则代数式x2－z2的值是（　C　）
A. 9 B. 18 C. 20 D. 24
C
9. 新情境 游戏活动　 （2025 郑州惠济期末）小刚是一位密码编译爱
好者，在他的密码手册中，a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2
－b2分别对应济、爱、我、惠、游、美六个字，现将（x2－y2）a2－
（x2－y2）b2分解因式，结果呈现的密码信息可能是（　C　）
A. 我爱美 B. 惠济游
C. 我爱惠济 D. 美我惠济
C
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10. （2025 合肥期末）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值
为 　10　.
11. 已知a，b，c是△ABC的三边长，则代数式（a－c）2－b2 　＜　0（填“＞”“＜”或“＝”）.
10　
＜　
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12. 分解因式：
（1） （x－1）2＋2（x－5）.
解：原式＝x2－9＝（x＋3）（x－3）.
（2） x4（x－2）－16（x－2）.
解：原式＝（x－2）2（x2＋4）（x＋2）.
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13. 若3a＋b＝50，a－3b＝11，求－2（2a－b）2＋2（a＋2b）2的
值.
解：原式＝－2（3a＋b）（a－3b）.当3a＋b＝50，a－3b＝11时，
原式＝－2×50×11＝－1 100.
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14. 利用因式分解简便计算：
（1） 2.992－3.992.
解：原式＝（2.99－3.99）×（2.99＋3.99）＝－6.98.
（2） 5652×11－4352×11.
解：原式＝（5652－4352）×11＝（565＋435）×（565－435）×11＝
1 000×130×11＝1 430 000.
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15. 已知n为整数，求证： ［1－（－1）n］（n2－1）的计算结果总是
偶数.
解：当n是偶数时，原式＝ ×（1－1）×（n2－1）＝0.当n是奇数
时，原式＝ ×（1＋1）×（n＋1）（n－1）＝ （n＋1）（n－1）.
设n＝2k＋1（k为整数）.∴ （n＋1）（n－1）＝ ［（2k＋1）
＋1］［（2k＋1）－1］＝k（k＋1）.∵ 0和k（k＋1）（k为整数）都
是偶数，∴ ［1－（－1）n］（n2－1）的计算结果总是偶数.
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16. 新考法 新定义题　 （2025 无锡锡山期中）若一个正整数x能表示
成a2－b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“优美
数”，a与b是x的一个平方差分解.
例如：∵ 5＝32－22，
∴ 5是“优美数”，3与2是5的平方差分解.
∵ M＝x2＋2xy＝x2＋2xy＋y2－y2＝（x＋y）2－y2（其中x，y是正整
数），
∴ M也是“优美数”，x＋y与y是M的一个平方差分解.
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（1） 27是否是“优美数”？如果是，请写出27的所有平方差分解；如
果不是，请说明理由.
解：（1） 27是“优美数”.∵ 142－132＝（14＋13）×（14－13）＝
27×1＝27，62－32＝（6＋3）×（6－3）＝9×3＝27，∴ 27是“优美
数”，14与13，6与3都是27的平方差分解.
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（2） 设两个连续正奇数为2n－1和2n＋1（其中n是正整数），由它们
构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请
举例说明.
解：（2） 能.　理由：（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n（n是正整
数）.∵ 8n能被8整除，∴ 由它们构成的“优美数”能被8整除.
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16(共15张PPT)
3　公 式 法
第2课时　利用完全平方公式分解因式
第四章　因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 乐清期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的
是（　C　）
A. 4a2＋4a－1 B. x2－2x－1
C. －m2＋m－ D. 4x4－x2＋
C
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2. （2025 株洲荷塘期末）对下列多项式进行因式分解，结果中不含因
式a＋1的是（　C　）
A. a2－1
B. a2＋a
C. a2－2a＋1
D. （a＋2）2－2（a＋2）＋1
C
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3. 9（a－b）2＋12（a2－b2）＋4（a＋b）2因式分解的结果是（　A ）
A. （5a－b）2 B. （5a＋b）2
C. （5a－2b）2 D. （3a－2b）（3a＋2b）
4. （2025 东营）分解因式：2m3－12m2＋18m＝ 　2m（m－3）2　.
5. （2025 鹰潭余江期末）已知a＋2b＝1，则代数式a2－4b2＋4b＋
2 025的值为 　2 026　.
A
2m（m－3）2　
2 026　
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6. 分解因式：
（1） a2－16ab＋64b2.
解：（a－8b）2.
（2） （2025 烟台）2x2－12xy＋18y2.
解：2（x－3y）2.
（3） －a＋18a2－81a3.
解：－a（1－9a）2.
（4） 49＋（a＋2b）2－14（a＋2b）.
解：（a＋2b－7）2.
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7. 已知一个正方形的面积是9a2＋12ab＋4b2（a＞0，b＞0），则该正
方形的周长为（　D　）
A. 3a＋2b B. 6a＋4b
C. 9a＋6b D. 12a＋8b
8. （2025 榆林横山期末）若非零实数a，b满足4a2＋b2＝4ab，则 的
值为（　A　）
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
D
A
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9. 新考法 开放题　 （2025 成都）多项式4x2＋1加上一个单项式后能运
用完全平方公式分解因式，那么加上的单项式可以为 　4x　（写出一
个即可）.（答案不唯一）
10. （a＋1）（a＋3）＋1分解因式的结果是 　（a＋2）2　.
11. 已知｜x－2y－1｜＋x2＋4xy＋4y2＝0，则x＋y＝ 　 　.
4x　
（答案不唯一）
（a＋2）2　
　
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12. ★分解因式：
（1） （x2＋4）2－16x2.
解：（x＋2）2（x－2）2.
（2） －（a2＋2）2＋6（a2＋2）－9.
解：－（a＋1）2（a－1）2.
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13. 用因式分解计算：
（1） 1 0012－202 202＋1012.
解：原式＝（1 001－101）2＝9002＝810 000.
（2） 2 0242＋2 0252－4 048×2 025.
解：原式＝（2 024－2 025）2＝（－1）2＝1.
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14. 分解因式：（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x2－y2）.小朝思考了半
天，也没有得出答案，就打电话给好朋友小辉.小辉只是在电话里说了
一句话，小朝就茅塞顿开了.你知道小辉说了什么吗？这个多项式又该
如何分解因式呢？
解：先将x2－y2分解因式.原式＝（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x＋
y）（x－y）＝［（x＋y）－2（x－y）］2＝（x＋y－2x＋2y）2＝
（3y－x）2.
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15. 新考法 过程性学习　 ① 分解因式：a2－6a＋5；② 求a2－6a＋5
的最值.
小明解答①的过程如下：a2－6a＋5＝a2－6a＋9－9＋5＝（a－3）2－
4＝（a－5）（a－1）.
小丽解答②的过程如下：a2－6a＋5＝a2－6a＋9－9＋5＝（a－3）2
－4.
∵ （a－3）2≥0，
∴ （a－3）2－4≥－4，即a2－6a＋5≥－4.
∴ a2－6a＋5的最小值为－4.
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（1） 根据小明的解答，将a2－12a＋20因式分解.
解：（1） a2－12a＋20＝（a2－12a＋36）－16＝（a－6）2－42＝
（a－2） （a－10）.
（2） 根据小丽的解答，求代数式a2－8a－9的最小值.
解：（2） a2－8a－9＝（a2－8a＋16）－25＝（a－4）2－25.∵ （a
－4）2≥0，∴ （a－4）2－25≥－25，即a2－8a－9≥－25.∴ a2－8a
－9的最小值为－25.
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16. 分解因式：（a－b）2－2（a－b）＋1.
解：设a－b＝M.
∴ 原式＝M2－2M＋1＝（M－1）2.
再将a－b＝M还原，得原式＝（a－b－1）2.
上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想.
（1） 分解因式：（x＋y）（x＋y－4）＋4.
解：（1） 设x＋y＝M. ∴ 原式＝M（M－4）＋4＝M2－4M＋4＝
（M－2）2.再将x＋y＝M还原，得原式＝（x＋y－2）2.
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（2） 已知a为正整数，求证：（a－1）（a－2）（a－3）（a－4）
＋1为整数的平方.
解：（2） 原式＝（a－1）（a－4）（a－2）（a－3）＋1＝（a2－
5a＋4）（a2－5a＋6）＋1.设a2－5a＋4＝N. ∴ 原式＝N（N＋2）
＋1＝N2＋2N＋1＝（N＋1）2.∵ a为正整数，∴ N＝a2－5a＋4＝（a
－1）（a－4）也是整数.∴ N＋1也是整数.∴ （a－1）（a－2）（a
－3）（a－4）＋1为整数的平方.
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16(共7张PPT)
专题特训七　因式分解的方法
第四章　因式分解
类型一　提公因式法
1. 分解因式：
（1） －5a2b3＋20ab2－5ab.
解：－5ab（ab2－4b＋1）.
（2） 15x（x－y）－12（y－x）2.
解：3（x－y）（x＋4y）.
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类型二　公式法
2. 分解因式：
（1） 4a4－36a2b2.
解：4a2（a＋3b）（a－3b）.
（2） （2025 绥化）2mx2－4mxy＋2my2.
解：2m（x－y）2.
（3） （x2－3）2－36.
解：（x2＋3）（x＋3）（x－3）.
（4） （m2－5）2＋8（m2－5）＋16.
解：（m－1）2（m＋1）2.
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类型三　分组分解法
3. 分解因式：
（1） x2－4y2＋x＋2y.
解：（x＋2y）（x－2y＋1）.
（2） a2＋2a＋1＋b2－2b－2ab.
解：（a－b＋1）2.
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类型四　十字相乘法
4. 如图，可以把x2＋3x＋2因式分解的过程用十字相乘的形式形象地表
示出来：先分解二次项系数，把结果分别写在十字交叉线的左上角和左
下角；再分解常数项，把结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们可以得到
x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）.请利用这种方法因式分解：x2－11x＋
28＝ 　（x－4）（x－7）　；
2x2－3x－2＝ 　（2x＋1）（x－2）　.
（x－4）（x－7）　
（2x＋1）（x－2）　
（第4题）
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类型五　换元（整体）法
5. 分解因式：（a＋b）2＋2（a＋b）＋1.
解：设a＋b＝t.
∴ 原式＝t2＋2t＋1＝（t＋1）2＝（a＋b＋1）2.
这样的解题方法称为“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复
出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.“换元法”是一
种重要的数学方法，不少问题能用“换元法”解决.
请用“换元法”分解因式：
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（1） （m＋n）2－10（m＋n）＋25.
解：设m＋n＝t.∴ 原式＝t2－10t＋25＝（t－5）2＝（m＋n－5）2.
（2） （x2－6x＋8）（x2－6x＋10）＋1.
解：设x2－6x＝t.∴ 原式＝（t＋8）（t＋10）＋1＝t2＋18t＋81＝
（t＋9）2＝（x2－6x＋9）2＝（x－3）4.
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5(共18张PPT)
第四章整合拔尖
第四章　因式分解
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一　因式分解与整式乘法
典例1　（2025 深圳期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解
且正确的是（　B　）
A. a5b3＝ab a4b2
B. x2－x－6＝（x－3）（x＋2）
C. 2x2－y2＝（2x＋y）（2x－y）
D. 2x（x＋y）－6y（x＋y）＝（x＋y）（2x－6y）
B
［变式］ 等式x2＋（m＋k）x＋k＝（x＋2）（x＋4）是因式分解
吗？请求出km的值.
解：是因式分解.∵ （x＋2）（x＋4）＝x2＋6x＋8＝x2＋（m＋k）
x＋k，∴ 解得 ∴ km＝8－2＝ .
考点二　用提公因式法与公式法分解因式
典例2　分解因式：
（1） 9x2－16y2.
解：（3x＋4y）（3x－4y）.
（2） ax4－ay4.
解：a（x2＋y2）（x＋y）（x－y）.
（3） 2m2＋16m＋32.
解：2（m＋4）2.
（4） a2－4b2＋12bc－9c2.
解：（a＋2b－3c）（a－2b＋3c）.
［变式］ 分解因式：
（1） a2（a－b）＋（b－a）.
解：（a－b）（a＋1）（a－1）.
（2） a3（x－y）＋6a2（y－x）＋9a（x－y）.
解：a（x－y）（a－3）2.
（3） （a2＋b2）2－4a2b2.
解：（a＋b）2（a－b）2.
考点三　因式分解的应用
典例3　常用的因式分解方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用
上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现
前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下：
x2－4y2＋2x－4y
＝（x2－4y2）＋（2x－4y）…分组
＝（x－2y）（x＋2y）＋2（x－2y）…组内分解因式
＝（x－2y）（x＋2y＋2）…整体思想提公因式
这种因式分解的方法称为分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1） 分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y.
解：（1） 原式＝（x－3y）2－3（x－3y）＝（x－3y）（x－3y
－3）.
（2） 已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断
△ABC的形状并说明理由.
解：（2） △ABC为等腰三角形.理由：∵ a2－b2－ac＋bc＝0，∴ （a
＋b）（a－b）－c（a－b）＝0，即（a－b）（a＋b－c）＝0.
∴ a－b＝0或a＋b－c＝0.∵ a＋b－c＞0，∴ a－b＝0，即a＝b.
∴ △ABC为等腰三角形.
［变式］ 若a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求a，b的值.
看到a2＋2a可想到如果添上常数1恰好就是a2＋2a＋1＝（a＋1）2，这
个过程称为“配方”.
同理，可得b2－4b＋4＝（b－2）2，恰好把常数5分配完.
原式可以化为（a＋1）2＋（b－2）2＝0.
由平方的非负性，可得a＋1＝0且b－2＝0，解得a＝－1，b＝2.
（1） 若a2＋b2＋4a－8b＋20＝0，求a2＋b2的值.
解：（1） 整理等式，得a2＋4a＋4＋b2－8b＋16＝0，即（a＋2）2＋
（b－4）2＝0.∴ a＋2＝0，b－4＝0，解得a＝－2，b＝4.∴ a2＋b2＝
（－2）2＋42＝20.
（2） 若4a2＋b2－20a＋6b＋34＝0，求2a－b的值.
解：（2） 整理等式，得4a2－20a＋25＋b2＋6b＋9＝0，即（2a－5）
2＋（b＋3）2＝0.∴ 2a－5＝0，b＋3＝0，解得a＝2.5，b＝－3.∴ 2a
－b＝2.5×2＋3＝8.
1. （2025 合肥庐阳期末）下列因式分解正确的是（　D　）
A. 6ax－3ax2＝3（2ax－ax2）
B. x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）（x＋y）
C. x2＋2xy－4y2＝（x－2y）2
D. ay2－a＝a（y＋1）（y－1）
D
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2. （2025 开封通许期末）若m＋n－3＝0，则2m2＋4mn＋2n2－6的值
为（　A　）
A. 12 B. 2 C. 3 D. 0
3. 如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方
形的面积.通过分析图形，可以将多项式m2＋4mn＋3n2分解因式
为 　（m＋3n）（m＋n）　.
（第3题）
A
（m＋3n）（m＋n）　
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4. 分解因式：
（1） －12x2y＋6xy－18xy2.
解：－6xy（2x－1＋3y）.
（2） 9a2（x－y）＋4b2（y－x）.
解：（x－y）（3a＋2b）（3a－2b）.
（3） （a＋b）2－4（a＋b－1）.
解：（a＋b－2）2.
（4） x2－2x－15.
解：（x＋3）（x－5）.
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5. 已知A＝3x2－12，B＝5x2y3＋10xy3，C＝（x＋1）（x＋3）＋1，
则多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请
说明理由.
解：多项式A，B，C有公因式.∵ A＝3x2－12＝3（x＋2）
（x－2），B＝5x2y3＋10xy3＝5xy3（x＋2），C＝（x＋1）（x＋3）＋1＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2，∴ 多项式A，B，C的公因式为x＋2.
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6. 因式分解：（x2－2x－1）（x2－2x＋3）＋4.
解：设x2－2x＝y.
原式＝（y－1）（y＋3）＋4（第一步）
＝y2＋2y＋1（第二步）
＝（y＋1）2（第三步）
＝（x2－2x＋1）2（第四步）.
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（1） 第二步到第三步运用了（　C　）
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
C
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（2） 因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最
后结果.
解：（2） 不彻底.　（x－1）4.
（3） 请模仿以上方法对多项式（x2－4x） （x2－4x＋8）＋16进行因
式分解.
解：（3） 设x2－4x＝y.原式＝y（y＋8）＋16＝y2＋8y＋16＝（y＋
4）2＝（x2－4x＋4）2＝（x－2）4.
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6(共8张PPT)
专题特训八　因式分解的应用
第四章　因式分解
类型一　简便计算
1. 计算： × × ×…× ＝ 　 　.
　
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（1） .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
（2） 9992＋999＋6852－3152.
解：原式＝999×（999＋1）＋（685－315）×（685＋315）＝
999×1 000＋370×1 000＝1 000×（999＋370）＝1 000×1 369＝
1 369 000.
2. 利用因式分解计算：
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类型二　化简求值
3. （2025 成都金牛期末）已知x＋2y＝5，x－2y＝－3，则代数式x2
－4y2－4x＋8y的值是 　－3　.
4. 利用因式分解求值：m（m＋n）（m－n）－m（m＋n）2，其中
m＋n＝1，mn＝ .
解： 原式＝－2mn（m＋n）.当m＋n＝1，mn＝ 时，原式＝－
2× ×1＝－1.
－3　
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类型三　判断整除
5. （2025 宜宾段考）当n为正整数时，2（n＋1）2＋2（n＋1）能被4
整除吗？
解：原式＝2（n＋1）（n＋2）.∵ n为正整数，∴ n＋1或n＋2必有一
个数是偶数.∴ 2（n＋1）（n＋2）是4的倍数.∴ 当n为正整数时，2
（n＋1）2＋2（n＋1）能被4整除.
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类型四　判断三角形的形状
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.求
证：△ABC是等边三角形.
解：∵ a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，∴ 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋
2bc，即（a2－2ab＋b2）＋（a2－2ac＋c2）＋（b2－2bc＋c2）＝0.
整理，得（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2＝0.∴ a－b＝0，a－c
＝0，b－c＝0.∴ a＝b，a＝c，b＝c.∴ a＝b＝c.∴ △ABC是等边
三角形.
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类型五　比较大小
7. 已知a＝20 252 025×999，b＝20 242 024×1 000，请比较a与b的大
小关系.
解：a＝20 252 025×999＝2 025×999×10 001＝（2 024＋1）×（1 000
－1）×10 001＝2 024×1 000×10 001－2 024×10 001＋1 000×10 001－
10 001，b＝20 242 024×1 000＝2 024×1 000×10 001，∴ a－b＝－
2 024×10 001＋1 000×10 001－10 001＝（－2 024＋1 000－1）×10 001
＝－1 025×10 001＜0.∴ a＜b.
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8. 若A＝x2＋4xy＋y2－4，B＝4x＋4xy－6y－25，试比较A，B的大
小关系.
解：∵ A＝x2＋4xy＋y2－4，B＝4x＋4xy－6y－25，∴ A－B＝x2＋
y2－4x＋6y＋21＝（x－2）2＋（y＋3）2＋8.∵ （x－2）2＋（y＋
3）2＋8≥8，∴ A－B＞0.∴ A＞B.
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8(共17张PPT)
1　因式分解
第四章　因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. ★（2025 济南平阴期末）下列等式中，从左到右的变形为因式分解
的是（　D　）
A. 8a2b3c＝2a2 2b3 2c
B. m2－5＝m
C. （x－y）2＝x2－2xy＋y2
D. 3x3＋27x＝3x（x2＋9）
D
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2. 对于① x－3xy＝x（1－3y）；② （x＋3）（x－1）＝x2＋2x－3
从左到右的变形，下列结论中，正确的是（　C　）
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
C
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3. 有下列因式分解：① a2－ab＝a（a－b）；② 2b2－1＝（2b＋1）
（2b－1）；③ b2－2b＋4＝（b－2）2；④ x2y＋xy2＋xy＝xy
（x＋y）；⑤ a2＋10a＋25＝（a＋5）2.其中，正确的是 　①⑤　
（填序号）.
①⑤　
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4. 数形结合思想　 如图，大长方形的面积可以用式子表示为a2＋3ab
＋2b2，请将这个式子因式分解： 　a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）（a＋
2b） 　.
（第4题）
a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）
（a＋2b）　
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5. 请利用a2＋ab＝a（a＋b）解决问题：
（1） 简便运算：7.62＋7.6×2.4.
解：（1） 原式＝7.6×（7.6＋2.4）＝7.6×10＝76.
（2） 判断n2＋n（n为整数）是奇数还是偶数.
解：（2） n2＋n＝n（n＋1）.若n为奇数，则n＋1为偶数；若n为偶
数，则n＋1为奇数.∴ n与n＋1始终一奇一偶.∴ n（n＋1）为偶数，
即n2＋n是偶数.
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6. （2025 保定曲阳期末）若257＋513能被n整除，则n的值可能
是（　 B）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
B
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7. 将一个二次三项式因式分解，聪聪看错了一次项，分解成3（x－1）
（x－9），江江看错了常数项，分解成3（x－2）（x－4）.原多项式
应该为（　B　）
A. 3x2－30x＋24 B. 3x2－18x＋27
C. 3x2－30x＋27 D. 3x2－18x＋24
B
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8. 将多项式x2＋4mx＋5因式分解得到（x＋5）（x＋n），则m＋n的
值为 　 　.
9. （2025 烟台期末）代数公式可以用几何图形来推理论证.受此启发，
小明将如图①所示的边长为a的正方形剪去2个长为a、宽为b的长方形
和3个边长为b的正方形，拼成了如图②所示的长方形.观察图①②的涂
色部分，可以得到的式子为 　a2－2ab－3b2＝ （a＋b）（a－.
（第9题）
　
a2－2ab－3b2＝（a＋b）（a－ 3b）
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10. 利用简便方法计算：
（1） 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
解：原式＝2.718×（23＋59＋18）＝2.718×100＝271.8.
（2） 57.6×1.6＋57.6×18.4＋57.6×（－19）.
解：原式＝57.6×（1.6＋18.4－19）＝57.6×1＝57.6.
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11. 21×3.12＋62×3.12＋17×3.12能被4整除吗？请说明理由.
解：能.　理由：∵ 原式＝3.12×（21＋62＋17）＝3.12×100＝312＝
78×4，∴ 原式能被4整除.
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12. 下面是一个正确的因式分解，但是其中部分式子被墨水污染看
不清了.
2x2＋3x－6＋ ＝（x－2）（2x＋5）.
（1） 求被墨水污染的式子.
解：（1） ∵ （x－2）（2x＋5）－（2x2＋3x－6）＝2x2＋5x－4x
－10－2x2－3x＋6＝－2x－4，∴ 被墨水污染的式子为－2x－4.
（2） 若被墨水污染的式子的值不小于2，求x的取值范围.
解：（2） 根据题意，得－2x－4≥2，解得x≤－3.∴ x的取值范围是
x≤－3.
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13. 新考法 阅读理解　 先阅读下面的解题过程，然后解答问题.
已知多项式2x3－x2＋m有一个因式为2x＋1，求m的值.
解法一：设2x3－x2＋m＝（2x＋1）（x2＋ax＋b），则2x3－x2＋m＝
2x3＋（2a＋1）x2＋（a＋2b）x＋b.
比较系数，得 解得 ∴ m的值为 .
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解法二：设2x3－x2＋m＝A（2x＋1）（A为整式）.
由于上式为恒等式，为方便计算，取x＝－ ，则2×3－2＋
m＝0，解得m＝ .
（1） 已知关于x的多项式x2＋mx－15有一个因式为x－3，则m
＝ 　2　.
2　
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（2） 已知x4＋mx3＋nx－16有因式x－1和x－2，求m，n的值.
解：（2） 设x4＋mx3＋nx－16＝A（x－1）（x－2）（A为整式）.
分别令x＝1和x＝2，得 解得
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（3） 已知x2＋2x＋1是多项式x3－x2＋ax＋b的一个因式，求a，b的
值，并将该多项式分解因式.
解：（3） 设x3－x2＋ax＋b＝（x＋p） （x2＋2x＋1）.∵
（x＋p）（x2＋2x＋1）＝x3＋（2＋p）x2＋（1＋2p）x＋p，
∴ 解得 ∴ 多项式x3－x2＋ax＋b＝x3－x2
－5x－3.∴ x3－x2－5x－3＝（x－3）（x2＋2x＋1）＝（x－3）（x
＋1）2.∴ a＝－5，b＝－3，将该多项式分解因式为x3－x2－5x－3＝
（x－3）（x＋1）2.
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13(共14张PPT)
2　提公因式法
第四章　因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 菏泽鄄城期末）多项式2xmyn－1－4xm－1yn（m，n均为大于1
的整数）各项的公因式为（　B　）
A. 4xm－1yn－1 B. 2xm－1yn－1
C. 2xmyn D. 4xmyn
2. 在m（a－x）（x－b）－mn（a－x）（b－x）中，公因式为
（　C　）
A. m B. m（a－x）
C. m（a－x）（b－x） D. （a－x）（b－x）
B
C
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3. 若（m＋n）3－mn（m＋n）＝（m＋n） A，则A表示的多项式
为（　D　）
A. m2＋n2 B. m2－mn＋n2
C. m2－3mn＋n2 D. m2＋mn＋n2
4. （2025 榆林定边期末）已知x－y＝ ，xy＝3，则x2y－xy2
＝ 　 　.
D
　
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5. 易错题　 分解因式：
（1） － x3y2＋2x2y2－ x3y3.
解：－ x2y2（2x－8＋xy）.
（2） 6p（2x＋3y）－4q（2x＋3y）.
解：2（2x＋3y）（3p－2q）.
（3） 3x（a－b）－6y（b－a）.
解：3（a－b）（x＋2y）.
（4） 8a（x－y）3－4b（y－x）2.
解：4（x－y）2（2ax－2ay－b）.
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6. 下列利用提公因式法因式分解正确的是（　D　）
A. b（a－4）－c（4－a）＝（a－4）（b－c）
B. 3x2（x－5）2＋2x（x－5）2＝3（x－5）2 （x2＋2x）
C. （2a－b）（a－c）＋（b－2a）（b－c）＝（2a－b）
（a＋b－2c）
D. －5a（2x－3y）－15b（3y－2x）＝－5（2x－3y）（a－3b）
D
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7. 下列各组式子中，没有公因式的为（　B　）
A. －a2＋ab与a2b－ab2
B. mx＋y与x＋y
C. （a＋b）2与－a－b
D. 5m（a－b）与b－a
B
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8. （2025 湖州期末）某养鸡场准备用长为20 m的篱笆围成一个长和宽
分别为a m，b m的长方形场地.若a2b＋ab2＝240，则这个长方形场地
的面积为（　B　）
A. 32 m2 B. 24 m2
C. 16 m2 D. 12 m2
9. 若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为 　3　.
B
3　
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10. 已知a－1＝b＋c，则a（a－b－c）－b（a－b－c）＋c（b＋
c－a）＝ 　1　.
11. 多项式（x＋2）（2x－1）－（x＋2）可以因式分解成2（x＋m）
（x＋n），则m－n的值是 　3或－3　.
12. （2025 上海徐汇期中）已知xy＝15，且满足x2y－xy2－x＋y＝
28，求x－y的值.
解： x2y－xy2－x＋y＝（x－y） （xy－1）＝28.∵ xy＝15，∴ 14
（x－y）＝28.∴ x－y＝2.
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3或－3　
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13. 利用提公因式法证明：对于任意正整数n，代数式2n＋4－2n必有一
个因数30.
解：∵ 2n＋4－2n＝2n×（24－1）＝15×2n＝30×2n－1，∴ 对于任意正
整数n，代数式2n＋4－2n必有一个因数30.
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14. （1） 分解因式：（x－y）（3x－y）＋2x（3x－y）.
解：（1） 原式＝（3x－y）（x－y＋2x）＝（3x－y）（3x－y）
＝（3x－y）2.
（2） 设y＝kx.是否存在实数k，使得（1）中式子的化简结果为x2？若
存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在.将y＝kx代入（3x－y）2，得（3x－kx）2＝［（3－
k）x］2＝（3－k）2x2.令（3－k）2＝1，则3－k＝±1，解得k＝4或
k＝2.
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15. 已知（19x－31）（13x－17）－（17－13x）（11x－23）可因式
分解成（ax＋b）（30x＋c），其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c
的值.
解：（19x－31）（13x－17）－（17－13x）（11x－23）＝（19x－
31）（13x－17）＋（13x－17）（11x－23）＝（13x－17）（30x－
54）.∴ a＝13，b＝－17，c＝－54.∴ a＋b＋c＝－58.
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16. 新考法 过程性学习　 阅读下面因式分解的过程，再解答问题：
1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2
＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）］
＝（1＋x）2（1＋x）
＝（1＋x）3.
（1） 上述分解因式的方法是 　提公因式　法，共应用了 　2　次.
（2） 若分解因式1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2023，
则需要应用上述方法 　2 023　次，分解因式后的结果是 　（ 1＋.
提公因式　
2　
2 023　
（1＋x）2 024　
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（3） 请用以上的方法分解因式：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…
＋x（x＋1）n（n为正整数），必须有简要的过程.
解：原式＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）＋…＋x（1＋x）n－1］＝
（1＋x）2［1＋x＋x（1＋x）＋…＋x（1＋x）n－2］＝…＝（1＋
x）n＋1.
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