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第5章 分式 单元测试（提升卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）若分式的值为，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）下列分式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）已知，则的值为（）
A．2025 B． C．2026 D．
9．（本题3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B．．且 C． D．且
10．（本题3分）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（ ）
A．甲先到达 B．乙先到达 B地
C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）当_____时，分式的值为0．
12．（本题3分）若分式与的值互为相反数，则x的值为___．
13．（本题3分）若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______．
14．（本题3分）如果，那么式子的值是______．
15．（本题3分）若分式方程的解为，则的值为______．
16．（本题3分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）计算：
(1)计算：
(2)解方程：
18．（本题8分）先化简，再求值：，其中．
19．（本题8分）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡．
(1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）；
(2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由；
①你知道小王为什么这样判断吗？
②小王的说法全面吗？
20．（本题8分）小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
(1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
(2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
21．（本题8分）某工人原计划在规定时间内加工1500个零件，在加工了1小时后，改进了操作方法，工作效率提升到原来的两倍．因此加工完成后，比预定的时间提前了2个小时．求原计划每小时加工多少个零件？
22．（本题10分）已知关于x的分式方程．
(1)当时，解分式方程；
(2)若这个分式方程无解，求m的值．
23．（本题10分）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”．
(2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．
24．（本题12分）阅读下列材料：
，
，
．
根据材料中的方法，解答下列问题：
(1)在和式中，第6项为______，第n项为_______；
(2)受此启发，请你解下面的分式方程：
．
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《第5章 分式 单元测试（提升卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A A B C C D A
1．C
【分析】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念求解即可．
【详解】A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C． 是最简分式，符合题意；
D．，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】利用等式的性质给方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘项．
本题考查分式方程去分母的方法，解题关键是确定最简公分母．
【详解】解：∵
∴该分式方程的最简公分母为，
方程两边同时乘以
得．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键．
根据分式值为可得分子为，分母不为，即可求解．
【详解】解：分式的值为，
，且，
解得：，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变，
A选项中分子分母都乘以，分式的值不变，原变形正确，符合题意，
B选项中分子分母除以整式不一致，原变形不正确，不符合题意，
C选项分子分母同时加2不符合分式基本性质，原变形不正确，不符合题意，
D选项分子分母同时乘以整式不一致，原变形不正确，不符合题意．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米．根据提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天，列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可．
【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意；
B、，原计算错误，故符合题意；
C、，计算正确，故不符合题意；
D、，计算正确，故不符合题意；
故选B．
7．C
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先把分式的分子分母因式分解，然后约分，再把非负数的性质可得到，然后代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴，
解得：，
当时，原式．
故选：C
8．C
【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴原式
∵，
∴
代入得：
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围．
【详解】解：∵原分式方程为
∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得：
移项合并同类项得：
∴
∵方程的解是非负数
∴
解得：．
又∵分式方程分母不能为0，即
∴
解得：．
∴的取值范围是且．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可．
【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，
由题意得，，
解得，，
a，b均大于0，且，
，
，
甲先到达，
故选A．
11．
【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可．
【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ．
解 ，得 ，
∴或．
由 ，
得 ．
∴．
故答案为：
12．0
【分析】本题主要考查相反数、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
根据相反数列分式方程求解即可．
【详解】解：∵分式与的值互为相反数，
∴，
，
，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
故答案为：0．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解决问题的关键．
先将原式化简，得到，再令，使结果为整数．
【详解】解：
，
要使结果为整数，取，则，为整数，
故“”代表的式子可以是．
14．3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则．
先对分式进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】解：由得，，
，
故答案为：．
15．3
【分析】本题主要考查了分式方程的解法，包括代入已知解来求解方程中的未知参数，同时也涉及到方程的变形、化简以及解的验证等基本技能．解题的关键是将已知解 代入方程并化简求得 ．　把代入原方程，转化为关于a的方程并求解即可．
【详解】解：将代入方程，得：
解得，
经检验，当时，原方程分母为和，当时，分母分别为4和1，均不为零，
故答案为：3．
16． 1 3
【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可．
【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故，
设，通分得分子为，
与分子比较系数，得方程组：，
解得 ，；
故答案为1，3．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先把分子分母因式分解，然后计算除法，即可求解；
（2）先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
去分母得
解得
检验：当时
是原方程的解．
18．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
19．(1)
(2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析
【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答；
（2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可；
【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为，
根据题意可知，，
∴；
（2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0．
理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且，
∴且，
∴当时，，
∴小王认为“该分式的值不可能为6”；
②小王的说法不全面，
理由：∵，
∴，
即该分式的值也不可能为8．
20．(1)，
(2)，当时，原式
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简．
（1）观察小颖和小红的解法即可得到答案；
（2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可．
【详解】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
21．原计划每小时加工300个零件．
【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时加工x个零件，则改进了操作方法后每小时加工个零件，根据在加工了1小时后，改进了操作方法，比预定的时间提前了2个小时，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每小时加工x个零件，则改进了操作方法后每小时加工个零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每小时加工300个零件．
22．(1)
(2)1或
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
对于（1），代入数值求出解即可；
对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：把代入分式方程，得
，
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为；
（2）解：去分母，得．
整理，得．
当，即时，方程无解，则原分式方程无解；
当时，由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程，得，
解得．
综上所述，m的值为1或．
23．(1)不是的“雅中式”，理由见解析
(2)，所有符合条件的的值之和为
【分析】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．
（1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得；
（2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得．
【详解】（1）解：不是的“雅中式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∴不是的“雅中式”．
（2）解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数，
∴的所有可能的值为，
∴的所有可能的值为（舍去），
∴所有符合条件的的值之和为．
24．(1)；
(2)
【分析】本题是规律探究题，解特殊分式方程．
（1）以序号为前提，依次观察每个分数，可以发现，每个分母是两个连续奇数乘积，其中最小奇数为，据此求解即可；
（2）参考（1）中规律得到，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴在和式中，第6项为，第n项为；
故答案为：；；
（2）解：原方程可变形为，
整理，得．
方程两边乘，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解．
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