资源简介

(共13张PPT)
18.1　矩　形
第3课时　矩形判定的应用
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 洛阳洛龙期中）如图，小逸同学利用刻度尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B、C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　B　）
A. 2 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 5 cm
（第1题）
B
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2. （2025 陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　C　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
（第2题）
3. 在△ABC中，CD为AB边上的中线，AD＝CD，如果AC＝12，BC＝5，那么CD的长为 　6.5　.
C
6.5　
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4. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD＝CD＝BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线.求证：四边形DECF是矩形.
（第4题）
解：∵ AD＝CD＝BD，∴ △ABC为直角三角形，∠ACB＝90°.
∵ DF是∠ADC的平分线，DA＝DC，∴ DF⊥AC. 同理可得，DE⊥BC. ∴ ∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°.∴ 四边形DECF是矩形.
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5. 如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心、BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连结BG. 若AB＝4，CE＝10，则AG的长为（　C　）
A. 2 B. 2.5
C. 3 D. 3.5
（第5题）
C
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6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB. 若∠B＝20°，则∠DFE的度数是（　D　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
（第6题）
D
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7. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝3，AD＝DE＝5，则BF的长为 　 　.
（第7题）
　
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8. 如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为AC的中点，F为AD的中点，AC＝2DE，若AB＝10，AD＝6，BC＝12，则EF的长为 　2　.
（第8题）
2　
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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N＋∠CAN＝180°.求证：MN＝AC.
（第9题）
解：∵ ∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴ CM＝AM. ∴ ∠MCA＝∠MAC. ∵ AM＝AN，∴ ∠AMN＝∠ANM. ∵ ∠N＋∠CAN＝180°，∴ AC∥MN. ∴ ∠AMN＝∠MAC. ∴ 易得∠AMC
＝∠NAM. ∴ AN∥MC. 又∵ AC∥MN，∴ 四边形ACMN
是平行四边形.∴ MN＝AC.
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10. 如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.
（第10题）
解：连结EO. ∵ O是AC、BD的中点，∴ AO＝CO，BO＝DO. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ 在Rt△EBD中，∠BED＝90°，O为BD的中点，∴ EO＝ BD. 同理，EO＝ AC. ∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形.
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11. （1） 如图①，AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点.求证：△ECD是等腰三角形.
解：（1） ∵ AC⊥BC，AD⊥DB，∴ △ABC和△ABD是直角三角形.∵ E为AB的中点，∴ CE＝ AB，DE＝ AB. ∴ CE＝DE.
∴ △ECD是等腰三角形.
（第11题）
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（2） 如图②，AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点.CD与AB交于点F，若AC＝BC，CE＝4，BF＝1，求CD的长.
解：（2） 如图，过点E作EG⊥CD于点G. 由（1），可得CE＝DE，
∴ CG＝DG. ∵ AC⊥BC，AC＝BC，∴ △ABC是等腰直角三角形.∵ E为AB的中点，∴ CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB. ∵ BF＝1，∴ EF＝BE－BF＝3.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CF＝ ＝5.由三角形的面积公式得S△CEF＝ CF EG＝ CE EF，∴ EG＝ ＝ ＝2.4.在Rt△CEG中，由勾股定理，
得CG＝ ＝3.2，∴ DG＝CG
＝3.2.∴ CD＝CG＋DG＝6.4.
（第11题）
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11(共17张PPT)
18.1　矩　形
第1课时　矩形的性质
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　D　）
A. ∠ABC＝90°
B. AC＝BD
C. OB＝OC
D. OA＝AB
（第1题）
D
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2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在边BC上，连结OE. 若OB＝BE，∠BAO＝70°，则∠EOC的度数为（　C　）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
（第2题）
C
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3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上的一点，EA平分∠BED，则BE的长为 　2　.
（第3题）
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4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，则△ACE是等腰三角形吗？请说明理由.
（第4题）
解：△ACE是等腰三角形.　理由：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD，CD∥AB. 又∵ CE∥BD，∴ 四边形DCEB是平行四边形.∴ BD＝CE. ∴ AC＝CE. ∴ △ACE是等腰三角形.
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5. 在矩形ABCD中，AB与BC的长之比为3∶4.如果该矩形的周长为28，那么对角线BD的长为 （　D　）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
D
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6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE⊥BD于点E. 若∠DCE＝4∠BCE，则∠ACE的度数为（　D　）
A. 30° B. 48°
C. 50° D. 54°
（第6题）
D
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7. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F. 若AB＝3，BC＝8，则FC的长为（　D　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
（第7题）
D
8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝1，AE垂直平分OB，交OB于点E，则AD的长为 　 　.
（第8题）
　
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9. 如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E. 若AD＝4，AE＝10，则AB的长为 　4.2　.
（第9题）
4.2　
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10. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连结OE.
（1） 求证：△ABE是等腰直角三角形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠ABE＝90°.∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°.∴ 易得△ABE是等腰直角三角形.
（第10题）
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（2） 若∠CAE＝15°，求证：△AOB是等边三角形.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OA＝OB. ∵ ∠CAE＝15°，
∴ ∠BAO＝45°＋15°＝60°.∴ △AOB是等边三角形.
（3） 在（2）的条件下，求∠BOE的度数.
解：（3） 由（2），得△AOB是等边三角形.∴ ∠ABO＝60°.∴ ∠OBE＝90°－60°＝30°.∵ 易得BE＝AB，OB＝AB，∴ OB＝BE. ∴ ∠BOE＝ ×（180°－30°）＝75°.
（第10题）
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11. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连结AE、DE、DF，∠BAE＝∠CDF.
（1） 求证：四边形AEFD是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠DCB＝90°，AD∥BC. ∴ ∠DCF＝180°－∠DCB＝90°，EF∥AD. ∴ ∠B＝∠DCF＝90°.在△ABE和△DCF中， ∴ △ABE≌△DCF. ∴ BE＝CF. ∴ BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. ∴ EF＝AD. 又∵ EF∥AD，
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
（第11题）
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（2） 若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长.
（第11题）
解：（2） 由（1）知，EF＝AD＝5.在△EFD中，∵ DF＝3，DE＝4，EF＝5，∴ DF2＋DE2＝EF2.∴ △EDF是直角三角形，且∠EDF＝90°.∴ S△EDF＝ DE DF＝ EF CD. ∴ CD＝ .
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12. 新考法 探究题　 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，对角线AC、BD相交于点O.
（1） 若P是边CD上的任意一点，如图①，分别过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE和PF之间有怎样的数量关系？请说明理由.
解：（1） PE＋PF＝ .　理由：连结OP. 设点C到BD的距离为h.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ CD＝AB＝4，OC＝OD. 在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝5.∵ S△BCD＝ BD h＝ BC CD，∴ 5h＝3×4，解得h＝ .∵ S△COD＝S△DOP＋
S△COP，∴ OD h＝ OD PE＋ OC PF.
∵ OC＝OD，∴ PE＋PF＝h＝ .
（第12题）
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（2） 若将（1）中的“P是边CD上的任意一点”改为“P是边AD上的任意一点”，如图②，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，请直接写出结果.
解：（2） PE＋PF＝ .

（第12题）
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（3） 若将（1）中的“P是边CD上的任意一点”改为“P是DC的延长线上的任意一点”，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，并说明理由.
解：（3） PE－PF＝ .　理由：连结OP、BP. 设点C到BD的距离为h.由（1）知，h＝ .∵ S△BPD＝S△COD＋S△COP＋S△BOP，∴ BD PE＝ OD h＋ OC PF＋ OB PE. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OB＝OC＝OD，BD＝2OB. ∴ 2PE＝h＋PF＋PE. ∴ PE－PF＝h＝ .
（第12题）
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12(共18张PPT)
18.3　正 方 形
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（　B　）
A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B
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2. （2025 安阳滑县期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，连结AE、BE，则∠AEB的度数是（　B　）
A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 15°
（第2题）
B
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3. 如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为 　 －1　.
（第3题）
－1　
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4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形.
（第4题）
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵ BE＝DF，∴ OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. ∴ 易得四边形AECF是菱形.∵ OE＝OA，∴ OE＝OF＝OA＝OC. ∴ EF＝AC.
∴ 菱形AECF是正方形.
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5. （2025 南阳新野期末）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，过点B作BG⊥CE于点G，若BG＝3，DF＝9，则FG的长为（　C　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 11
（第5题）
C
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6. 如图，在矩形ABCD内有一点F，BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD，E为矩形ABCD外的一点，连结BE、CE. 有下列条件：① EB∥CF，CE∥BF；② BE＝CE，BE＝BF；③ BE∥CF，CE⊥BE；④ BE＝CE，CE∥BF. 其中，能判定四边形BECF是正方形的共有（　D　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
D
（第6题）
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7. （2025 淮安期末）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，F是边AB上一点，连结DE、EF、BE，若DE＝EF，∠CDE＝20°，则∠BEF的度数为 　40　°.
（第7题）
40　
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8. 如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为边在正方形内部作等边三角形ABE，过点B作BF⊥BE交DE的延长线于点F，则EF的长为 　 　.
（第8题）
　
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9. 如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC，E为BC边上一点，∠EAF＝45°且AE＝AF，FM⊥AC.
（1） 求证：BE＝FM.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，∴ ∠ABE＝90°，∠CAB＝45°.∵ ∠CAB＝∠CAE＋∠EAB＝45°，∠EAF＝∠CAE＋∠FAM＝45°，∴ ∠EAB＝∠FAM. ∵ FM⊥AC，
∴ ∠AMF＝90°＝∠ABE. 在△ABE和△AMF中， ∴ △ABE≌△AMF. ∴ BE＝FM.
（第9题）
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（2） 求BE的长度.
（第9题）
解：（2） ∵ 正方形ABCD的边长为1，∴ AC＝ ＝ ＝ ，∠DCA＝45°.∵ FM⊥AC，∴ ∠MFC＝180°－90°－45°＝45°＝∠DCA. ∴ FM＝CM. 又∵ △ABE≌△AMF，∴ AM＝AB＝1，BE＝FM＝CM. ∴ CM＝AC－AM＝ －1.∴ BE＝ －1.
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10. 如图，P是矩形ABCD内的一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，PB＝EC.
（1） 四边形ABCD是否为正方形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.
解：（1） 四边形ABCD为正方形.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°，即∠ABP＋∠CBE＝90°.∵ AP⊥BP，∴ ∠APB＝90°.
∴ ∠ABP＋∠BAP＝90°.∴ ∠BAP＝∠CBE. ∵ CE⊥BP，∴ ∠BEC＝90°＝∠APB. 在△ABP和△BCE中，
∴ △ABP≌△BCE. ∴ AB＝BC.
∴ 四边形ABCD为正方形.
（第10题）
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（2） 延长EC到点F，使CF＝BE，连结PF，交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数.
（第10题）
（第10题答案）
解：（2） 如图，连结AC. 由（1），得△ABP≌△BCE. ∴ AP＝BE. ∵ CF＝BE，∴ AP＝CF. ∵ AP⊥BP，CE⊥BP，∴ AP∥CE，即AP∥CF. ∴ 四边形ACFP
是平行四边形.∴ AC∥PF. ∴ ∠ACB＝∠BGP. ∵ 四边
形ABCD为正方形，∴ ∠ACB＝45°.∴ ∠BGP＝45°.
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11. 新考法 探究题　 如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且CE＝BF，连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG、FC.
（1） FG与CE的数量关系是 　FG＝CE　，位置关系是 　FG∥CE　.
FG＝CE　
FG∥CE　
（第11题）
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（2） 如图②，若E、F分别是CB、BA的延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明.
解：（2） （1）中的结论仍然成立.如图②，过点G作GH⊥CB，交CB的延长线于点H，则∠H＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD＝∠ABC＝90°.∴ ∠H＝∠ABC. ∴ GH∥BF. ∵ EG⊥DE，∴ ∠GEH＋∠CED＝90°.∵ ∠GEH＋∠HGE＝90°，∴ ∠HGE＝∠CED. 在△HGE和△CED中
∴ △HGE≌△CED.
（第11题）
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∴ HG＝CE，HE＝CD. ∵ CE＝BF，∴ HG＝BF. 又∵ GH∥BF，∴ 四边形GHBF是平行四边形.∴ FG＝BH，FG∥BH. ∴ FG∥CE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ CD＝BC.
∴ HE＝BC. ∴ HE＋EB＝BC＋EB，即BH＝CE. ∴ FG＝CE.
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（3） 如图③，若E、F分别是BC、AB的延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.
　 　
（第11题）
解：（3） （1）中的结论仍然成立.
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11(共16张PPT)
18.2　菱　形
第2课时　菱形的判定
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（　C　）
A. AC⊥BD B. AB＝AD
C. AC＝BD D. ∠ABD＝∠CBD
（第1题）
C
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2. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 　AB＝CD　（写出一个即可）.（答案不唯一）
（第2题）
AB＝CD　
（答案不唯一）
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3. 如图，在由小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上.若每个小正方形的边长均为1，则AB＝ 　 　，BC＝ ，
CD＝ 　 　，AD＝ 　 　.根据 　四条边都相等的四边形是菱形　，可以判定四边形ABCD 的形状是 　菱形　.
（第3题）
　
　
　
　
四条边都相等的四边形是菱
形　
菱形　
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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F在射线AD上，且DE＝DF. 求证：四边形BECF是菱形.
（第4题）
解：∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC，BD＝CD. ∵ DE＝DF，∴ 四边形BECF是平行四边形.∵ AD⊥BC，即EF⊥BC，∴ 四边形BECF是菱形.
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5. 如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是AC、BD的中点.若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　A　）
A. AB＝CD B. AB⊥CD
C. AC＝BD D. AC⊥BD
（第5题）
A
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6. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点.若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　B　）
A. 40 B. 24
C. 20 D. 15
（第6题）
B
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7. （2025 邹城期中）如图，过 ABCD的顶点B作边AD和CD的高，垂足分别为M、N，连结AC、BD、MN，若BM＝BN，则下列说法错误的是（　D　）
A. ∠MBN＝∠BAD
B. MN∥AC
C. 四边形ABCD为菱形
D. △ABD是等边三角形
D
（第7题）
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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上的一点，连结CD，以CD、CB为边作 CDEB. 当AD＝ 　 　时， CDEB为菱形.
（第8题）
　
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9. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连结AE、CF.
（1） 求证：△ADE≌△CBF.
（第9题）
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AD∥CB.
∴ ∠ADB＝∠CBD. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF.
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（2） 连结AF、CE，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.
（第9题）
解：（2） 当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形.　理由：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC. ∴ ∠ADB＝∠CBD. ∴ ∠ABD＝∠ADB. ∴ AB＝AD. ∴ ABCD是菱形.∴ AC⊥BD，即AC⊥EF.
∵ DE＝BF，∴ DE＋OD＝BF＋OB. ∴ OE＝OF.
又∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形.
又∵ AC⊥EF，∴ 四边形AFCE是菱形.
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10. ★如图，在 ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连结AP、BQ、PQ.
（1） 求证：△APD≌△BQC.
（第10题）
解：（1） 如图.∵ CQ∥BD，∴ ∠2＝∠3.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠1＝∠2.∴ ∠1＝∠3.在△APD和△BQC中， ∴ △APD≌△BQC.
（第10题答案）
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（2） 若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形.
（第10题）
解：（2） ∵ △APD≌△BQC，∴ AP＝BQ，∠APD＝∠BQC.
又∵ ∠ABP＋∠BQC＝180°，∴ ∠ABP＋∠APD＝180°.∵ ∠APB＋∠APD＝180°，∴ ∠ABP＝∠APB. ∴ AB＝AP. ∵ CQ∥DB，CQ＝DP，∴ 四边形CDPQ是平行四边形.∴ CD＝PQ. 在 ABCD中，AB＝CD，∴ AB＝AP＝PQ＝BQ.
∴ 四边形ABQP为菱形.
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11. 如图①，在△ABC和△DEC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED分别与AB、BC交于点M、H.
（1） 求证：CF＝CH.
（第11题）
解：（1） ∵ ∠ACB＝∠DCE＝90°，∴ ∠ACB－∠BCE＝∠DCE－∠BCE，即∠1＝∠2.∵ AC＝CB，∠ACB＝90°，∴ ∠A＝45°.同理，可得∠D＝45°.∴ ∠A＝∠D. 在△ACF和△DCH中， ∴ △ACF≌△DCH. ∴ CF＝CH.
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（2） 如图②，△ABC不动，将△DEC绕点C旋转，使∠BCE＝45°，试判断四边形ACDM是什么特殊四边形，并说明理由.
（第11题）
解：（2） 四边形ACDM是菱形.　理由：∵ ∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，∴ ∠1＝∠2＝45°.∴ ∠ACD＝∠ACB＋∠2＝135°.∵ ∠E＝180°－∠D－∠DCE＝45°，∴ ∠1＝∠E.
∴ AC∥DE. 由（1），得∠A＝45°.∵ ∠A＋
∠ACD＝45°＋135°＝180°，∴ AM∥DC.
∴ 四边形ACDM是平行四边形.又∵ AC＝CD，
∴ 四边形ACDM是菱形.
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专题特训十一　利用特殊四边形的性质解动点问题
第18章　矩形、菱形与正方形
类型一　矩形与动点
1. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，则EF＋EG＝ 　 　.
　
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（第1题）
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发以每秒1 cm的速度向点D运动，点Q以每秒4 cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，当运动时间为 　2.4或4或7.2　s时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是矩形.
（第2题）
2.4或4或7.2　
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类型二　菱形与动点
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，∠ADC＝120°，点E、F分别同时从A、C两点出发，沿AB、CB方向向点B匀速运动（当任一点到达点B时，两点均停止运动），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，则经过 　 　s，△DEF是等边三角形.
（第3题）
　
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类型三　正方形与动点
4. 新考法 探究题　 在正方形ABCD中，AB＝6，E、F分别是边BC、AB上的动点，以DF、EF为边作 EFDG.
（1） 如图①，连结AE，若AF＝BE，试写出AE与EG之间的关系，并说明理由.
（第4题）
解：（1） AE＝EG且AE⊥EG. 　理由：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°.在△ADF和△BAE中， ∴ △ADF≌△BAE. ∴ DF＝AE，∠ADF＝∠BAE. ∵ ∠ADF＋∠AFD＝90°，∴ ∠BAE＋∠AFD＝
90°.∴ AE⊥DF. ∵ 四边形EFDG是平行四边形，
∴ DF＝EG，DF∥EG. ∴ AE＝EG，AE⊥EG.
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（2） 如图②，若E为BC的中点，点F在边AB上是否存在某个位置，使得四边形EFDG为菱形？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝6.∵ E为BC的中点，∴ BE＝ BC＝3.若四边形EFDG为菱形，则EF＝DF. ∴ EF2＝DF2.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋BF2；在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＝AF2＋AD2.∴ BE2＋BF2＝AF2＋AD2，即32＋（6－AF）2＝AF2＋62.∴ AF＝ .∴ 当AF＝ 时，四边形EFDG为菱形.
（第4题）
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4(共9张PPT)
专题特训十　利用特殊四边形的性质解折叠问题
第18章　矩形、菱形与正方形
类型一　矩形的折叠问题
1. ★如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
（1） 求证：△PDE≌△CDF.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD. 由折叠的性质，得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°.∴ PD＝CD，∠PDF＝∠ADC，∠P＝∠C.
∴ ∠PDF－∠EDF＝∠ADC－∠EDF，即∠PDE＝∠CDF. 在△PDE和△CDF中，
∴ △PDE≌△CDF.
（第2题）
（2） 若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长.
（第1题答案）
解：（2） 如图，过点E作EG⊥BC于点G. ∴ ∠EGF＝90°.∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD∥BC. ∴ 易得EG＝CD＝4 cm，AE＝BG. 在Rt△EGF中，FG＝ ＝ ＝3（cm）.设CF＝x cm.由折叠的性质知，PE＝AE. ∴ PE＝BG. ∵ △PDE≌△CDF，∴ PE＝CF＝x cm.∴ BG＝x cm.由折叠的性质，得DF＝BF＝BG＋FG＝（x＋3）cm.∵ 在Rt△CDF中，DF2＝
CD2＋CF2，∴ （x＋3）2＝42＋x2，解得
x＝ .∴ x＋3＋x＝ .
∴ BC＝ cm.
（第2题）
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2. 如图所示为一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，使点B落在对角线AC上，记为点F.
（1） 若AB＝4，BC＝3，求AE的长.
（第2题）
解：（1） 在矩形纸片ABCD中，∠B＝90°.∵ AB＝4，BC＝3，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝5.由折叠，知FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE. ∴ ∠AFE＝90°，AF＝AC－FC＝5－3＝2.设AE＝x，则FE＝BE＝4－x.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AF2＋FE2＝AE2，即22＋（4－x）2＝x2，解得x＝ .∴ AE的长为 .
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（2） 连结DF，若点D、F、E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长.
（第2题）
解：（2） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD＝BC，DC∥AB. ∴ ∠DCE＝∠BEC. 由折叠，知FC＝BC，∠BEC＝∠FEC，∴ FC＝AD，∠DCE＝∠FEC. 又∵ 点D、F、E在同一条直线上，∴ CD＝DE.
∵ ∠EFC＝∠B＝90°，∴ ∠DFC＝90°.∴ ∠DFC＝∠DAE＝90°.在Rt△CDF和Rt△DEA中， ∴ Rt△CDF≌Rt△DEA. ∴ FD＝AE. ∵ DF＝2，∴ AE＝2.
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类型二　菱形的折叠问题
3. 如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE. 若∠D＝70°，则∠AEF的度数为（　C　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
（第3题）
C
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4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，沿过点O的直线折叠菱形，使点B落在点H处，点C落在点G处，EF是折痕.若HE＝1.5，则CF的长为 　3.5　.
（第4题）
3.5　
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类型三　正方形的折叠问题
5. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝2，CE＝4，将正方形沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连结AG、FC.
（1） 求∠EAG的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，
∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°.由折叠，可知AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠EAF. ∴ ∠AFG
＝∠ADG＝90°，AF＝AD. 在Rt△AGF和Rt△AGD中， ∴ Rt△AGF≌Rt△AGD. ∴ ∠GAF＝∠GAD. ∴ ∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝ （∠BAF＋∠DAF）＝ ∠BAD＝45°.
（第5题）
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（2） 判断CF与AG之间的位置关系，并说明理由.
（第5题）
解：（2） CF∥AG. 理由：连结DF. 设GD＝x.由（1），知Rt△AGF≌Rt△AGD，∴ GF＝GD＝x.由折叠，知EF＝BE＝2，∴ EG＝x＋2.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ CD＝BC＝BE＋CE＝2＋4＝6.∴ CG＝CD－GD＝6－x.在Rt△ECG中，由勾股定理，得EG2＝EC2＋CG2，∴ （2＋x）2＝42＋（6－x）2，解得x＝3.∴ GF＝GD＝3.∴ CG＝3.∴ GF＝GD＝CG. ∴ ∠DFC＝90°，即CF⊥DF. 由（1），知AD＝AF. 又∵ GD＝GF，∴ AG垂直平分DF. ∴ AG⊥DF. ∴ CF∥AG.
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5(共17张PPT)
18.1　矩　形
第2课时　矩形的判定
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 南阳西峡期末）如图，下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　D　）
A. AB＝BC B. AB＝AC
C. AC⊥BD D. AC＝BD
（第1题）
D
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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是BC的中点，连结DE. 当DB＝DC时，四边形ABED的形状是 　矩形　.
（第2题）
矩形　
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3. 如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，M、N是BD上的两点，BM＝DN，连结AM、MC、CN、NA，请再添加一个条件： 　OM＝ AC　，使四边形AMCN是矩形.（答案不唯一）
（第3题）
OM＝ AC　
（答案不唯一）
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，将该四边形沿AE折叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，且∠BFA＝∠CEF. 求证：四边形ABCD是矩形.
（第4题）
解：∵ ∠C＝90°，∴ ∠CFE＋∠CEF＝90°.又∵ ∠BFA＝∠CEF，∴ ∠CFE＋∠BFA＝90°.∴ ∠AFE＝180°－90°＝90°.由折叠可知，∠D＝∠AFE＝90°.∴ ∠B＝∠C＝
∠D＝90°.∴ 四边形ABCD是矩形.
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，有下列条件：① ∠1＋∠3＝90°；② BC2＋CD2＝AC2；③ ∠1＝∠2；④ AC⊥BD. 其中，一定能判定四边形ABCD是矩形的个数为（　C　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
（第5题）
C
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11
6. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上的一动点（不与点B、C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为 （　B　）
A. B.
C. D. 5
（第6题）
B
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11
7. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转180°得到△FEC，连结AE、BF. 当∠ACB＝ 　60°　时，四边形ABFE为矩形.
（第7题）
60°　
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8. 如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF、BF，AF平分∠DAB，则线段BF、CF、DF之间的数量关系为 　BF2＋CF2＝DF2　.
（第8题）
BF2＋CF2＝DF2　
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9. 如图，在 ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF＝CE，连结AF、DF.
（1） 求证：四边形ADEF是矩形.
（第9题）
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC.
∵ BF＝CE，∴ BF＋BE＝CE＋BE，即EF＝BC. ∴ EF＝AD.
又∵ EF∥AD，∴ 四边形ADEF是平行四边形.∵ DE⊥BC，∴ ∠DEF＝90°.∴ 四边形ADEF是矩形.
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（2） 若AB＝3，DF＝4，CF＝5，求AF的长.
（第9题）
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝3.∵ CF＝5，DF＝4，∴ CD2＋DF2＝CF2.∴ △CDF是直角三角形，且∠CDF＝90°.∴ △CDF的面积＝ DF CD＝ CF DE，即 ×4×3＝ ×5DE，解得DE＝ .∵ 四边形ADEF是矩形，∴ AF＝DE＝ .
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10. 如图，在 ABCD中，F是边DC的中点，过点F作FE∥AD，交AB于点E. 连结ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连结DG.
（1） 求证：四边形DECG是平行四边形.
（第10题）
解：（1） ∵ F是边DC的中点，∴ DF＝CF. ∵ CG∥DE，∴ ∠DEF＝∠CGF. 又∵ ∠DFE＝∠CFG，∴ △DEF≌△CGF.
∴ DE＝CG. ∵ CG∥DE，∴ 四边形DECG是平行四
边形.
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（2） 当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形.
（第10题）
解：（2） ∵ ED平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠FDE. ∵ EF∥AD，
∴ ∠ADE＝∠DEF. ∴ ∠DEF＝∠EDF. ∴ EF＝DF. ∵ 四边形DECG是平行四边形，∴ EG＝2EF，CD＝2DF. ∴ CD＝EG. ∴ 四边形DECG是矩形.
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11. 如图，△ABC为等边三角形，CF∥AB，P为线段AB上任意一点（点P不与点A、B重合），过点P作PE∥BC，分别交AC、CF于点G、E.
（1） 四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？
解：（1） 四边形PBCE是平行四边形.∵ CF∥AB（即CE∥BP），PE∥BC，∴ 四边形PBCE是平行四边形.
（第11题）
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11
（2） 求证：CP＝AE.
解：（2） 如图.∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠B＝∠1＝60°，BC＝CA. ∵ CF∥AB，∴ ∠2＝∠1.∴ ∠B＝∠2.又由（1）知四边形PBCE为平行四边形，∴ PB＝EC. 在△BPC和△CEA中，
∴ △BPC≌△CEA. ∴ CP＝AE.
（第11题）
（第11题答案）
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（3） 当点P在AB的什么位置时，四边形APCE是矩形？并说明理由.
（第11题）
（第11题答案）
解：（3） 当点P在AB的中点处时，四边形APCE是矩形.　理由：当点P在AB的中点处时，AP＝BP. 又由（2），得BP＝CE，∴ AP＝CE. ∵ CF∥AB，即EC∥AP，∴ 四边形APCE是平行四边形.
又∵ △ABC是等边三角形，P为AB的中点，∴ CP⊥AB. ∴ ∠APC＝90°.∴ 四边形APCE是矩形.
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11(共17张PPT)
18.2　菱　形
第1课时　菱形的性质
第18章　矩形、菱形与正方形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　C　）
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠DAC＝∠BAC
（第1题）
C
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2. （2025 临海期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，且CD＝CE，若∠ABC＝100°，则∠CDE的度数是（　B　）
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
（第2题）
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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 　52　.
（第3题）
52　
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4. （2024 广安）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE.
（第4题）
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.
∵ BE＝BF，∴ AB－BE＝BC－BF，即AE＝CF. 在△DAE和△DCF 中， ∴ △DAE≌△DCF. ∴ DE＝DF. ∴ ∠DEF＝∠DFE.
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5. （2025 河南模拟）如图，在菱形ABCD中，CE⊥BD于点E，F为AD边的中点，连结EF，若菱形ABCD的周长为20，则线段EF的长为（　C　）
A. 5 B. 4 C. D. 2
（第5题）
C
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6. ★（2025 洛阳洛宁期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　B　）
A. B. C. 4 D. 5
（第6题）
B
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7. 如图，菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为 　25°　.
（第7题）
25°　
8. 新情境 现实生活　 如图所示的活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节点A、E之间的距离.若点A、E之间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数为 　120°　.
（第8题）
120°　
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9. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为边BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PB＋PE的最小值为 　 　.
（第9题）
　
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10. 如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，连结BF，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角.
（1） 求证：AD⊥BF.
（第10题）
解：（1） ∵ 四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，∴ AB＝AD，AD＝AF. ∴ AB＝AF. ∵ ∠BAD＝∠FAD，∴ AD⊥BF.
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（2） 若BF＝BC，求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，AB∥CD. ∴ ∠BAD＋∠ADC＝180°.∵ BF＝BC，∴ BF＝AB. 由（1），得AB＝AF，
∴ BF＝AB＝AF. ∴ △ABF是等边三角形.∴ ∠BAF＝60°.∵ ∠BAD＝∠FAD，∴ ∠BAD＝ ∠BAF＝ ×60°＝30°.
∴ ∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.
（第10题）
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11. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连结AE，作∠AEF＝120°，且边EF交DC的延长线于点F.
（1） 求菱形ABCD的面积.
（第11题）
解：（1） 过点A作AG⊥BC于点G. ∵ 四边形ABCD是
菱形，边长为2，∠ABC＝60°，∴ AB＝BC＝2.∴ △ABC
为等边三角形.∵ AG⊥BC，∴ BG＝ BC＝1.在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝ ＝ .∴ 菱形ABCD的面积是BC AG＝2× ＝2 .
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（2） 求证：AE＝EF.
（第11题）
解：（2） 连结EC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC
＝60°，∴ 易得EO垂直平分AC，∠BCD＝120°.
∴ AE＝EC，∠DCA＝60°.∴ ∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.∵ ∠AEF＝120°，∴ ∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°
－120°＝120°.∵ ∠ECA＋∠ECF＝120°，
∴ ∠EFC＝∠ECF. ∴ EC＝EF. ∴ AE＝EF.
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12. ★在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC的延长线上一点，且CF＝AE，连结BE、EF.
（1） 如图①，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ ∠ABC＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠BCA＝60°.∵ E是线段AC的中点，
∴ ∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE.
∵ CF＝AE，∴ CE＝CF. ∴ ∠F＝
∠CEF＝ ∠BCA＝30°.∴ ∠CBE＝
∠F＝30°.∴ BE＝EF.
（第12题）
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（2） 如图②，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立，并说明理由.
解：（2） （1）中的结论成立.　理由：过点E作EG∥BC，交AB于点G. ∵ 四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴ 易得AB∥CD，∠ACD＝∠ACB. ∴ ∠BCD＝180°－∠ABC＝120°，∠DCF＝∠ABC＝60°.∴ ∠ACD＝ ∠BCD＝60°.∴ ∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝120°.由（1）知，△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.又∵ EG∥BC，∴ ∠AGE＝∠ABC＝60°.∴ 易得△AGE是等边三角形.∴ AG＝AE＝GE. ∴ 易得BG＝EC，∠BGE＝∠ECF＝120°.又∵ CF＝AE，∴ GE＝CF. 在△BGE和△ECF中， ∴ △BGE≌△ECF. ∴ BE＝EF.
（第12题）
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（3） 如图③，当E是线段AC的延长线上的任意一点，其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（第12题）
解：（3） （1）中的结论成立.过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G. 由（1）知，△ABC是等边三角形.∴ AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴ ∠ECF＝60°.又∵ EG∥BC，∠ABC＝60°，∴ ∠AGE＝∠ABC＝60°.∴ 易得△AGE是等边三角形.∴ AG＝AE＝GE. ∴ AG－AB＝AE－AC，即BG＝EC. 又∵ CF＝AE，∴ GE＝CF. 在△BGE和△ECF中，
∴ △BGE≌△ECF. ∴ BE＝EF.
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第18章整合拔尖
第18章　矩形、菱形与正方形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一　矩形的性质
典例1　（2025 南阳新野期末）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，∠AEO＝ 　30°　.
（典例1图）
30°　
［变式］ （2025 长春期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为 　10　.
10　
考点二　矩形的判定
典例2　（2025 北京）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形.
解：（1） ∵ D、E分别为AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝90°.∴ 四边形DFCG是矩形.
（典例2图）
（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
（典例2图）
解：（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝45°，∴ △BDF是等腰直角三角形.∴ BF＝DF＝3.∵ DG＝FC＝5，∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ CE＝ ＝ ＝ .∵ E
为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2 .
［变式］ 如图，将边长为2个单位长度的等边三角形ABC沿边BC向右平移1个单位长度后得到△DEF，连结AE、CD，则四边形AECD为 　矩形　.
矩形　
考点三　菱形的性质
典例3　如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BF⊥AD于点F，连结OF，若CD＝5，AC＝8，则OF的长为 　3　.
（典例3图）
3　
［变式］ 如图，在菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝84°，则∠ACB＝ 　24°　.
24°　
考点四　菱形的判定
典例4　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB于点H，连结FH. 求证：四边形CFHE是菱形.
（典例4图）
解：∵ AE平分∠BAC，∴ ∠CAE＝∠HAE. ∵ EH⊥AB于点H，∠ACB＝90°，∴ ∠AHE＝∠ACE＝90°.又∵ AE＝AE，
∴ △ACE≌△AHE. ∴ EC＝EH，AC＝AH. ∵ AC＝AH，∠CAF＝∠HAF，AF＝AF，∴ △AFC≌△AFH. ∴ FC＝FH. ∵ CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴ ∠DAF＋∠AFD＝∠CAE＋∠AEC＝90°.
又∵ ∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠CFE，∴ ∠CFE＝∠CEF. ∴ CF＝CE. ∴ EC＝EH＝HF＝FC. ∴ 四边形CFHE是菱形.
［变式］ 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的为（　C　）
A. B. C. D.
C
考点五　正方形
典例5　如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG，下列结论不正确的是（　B　）
（典例5图）
B
A. 矩形DEFG是正方形
B. ∠CEF＝∠ADE
C. CG平分∠DCH
D. CE＋CG＝
［变式］ 如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形CDE，连结AE并延长，与对角线BD相交于点F，则∠AFB的度数为 　120°　.
120°　
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为（　C　）
A. B. C. D.
（第1题）
C
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2. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F. 若DF＝6，则BD的长为 　12　.
12　
（第2题）
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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ABC＝∠ADE，连结CE，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，连结BF.
（1） 求证：∠ABC＝∠ECA.
（第3题）
解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. ∴ ∠BAC＝180°－2∠ABC. 同理，可得∠DAE＝180°－2∠ADE. ∵ ∠ABC＝∠ADE，∴ ∠BAC＝∠DAE. ∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. ∵ 以AD、AE为腰作等腰三角形ADE，∴ AD＝AE. 在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE.
∴ ∠ABC＝∠ECA.
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（2） 若AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形.
（第3题）
解：（2） 由（1），得∠ABC＝∠ECA，∠ABC＝
∠ACB，△ABD≌△ACE，∴ ∠ECF＝∠ACB，
BD＝CE. ∵ EF∥BC，∴ ∠EFC＝∠ACB.
∴ ∠EFC＝∠ECF. ∴ EF＝CE. ∴ BD＝EF.
又∵ BD∥EF，∴ 四边形FBDE是平行四边形.∵ AF＝AB，∴ ∠AFB＝∠ABF. ∵ ∠AFB＋∠ABF＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，∴ ∠ABF＋∠ABC＝90°，即∠CBF＝90°.∴ 四边形FBDE是矩形.
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4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M、N，连结MD、BN.
（1） 求证：∠DMN＝∠BNM.
解：（1） 如图，连结BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∵ BM∥DN，∴ ∠MBO＝∠NDO. 又∵ ∠BOM＝∠DON，∴ △BOM ≌△DON. ∴ BM＝DN. ∴ 四边形BMDN为平行四边形.∴ BN∥DM. ∴ ∠DMN＝∠BNM.
（第4题）
（第4题答案）
（第4题答案）
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（2） 若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形.
（第4题）
（第4题答案）
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD. ∴ ∠BCA＝∠DAC. ∵ ∠BAC＝∠DAC，∴ ∠BAC＝∠BCA. ∴ AB＝BC. ∴ 四边形ABCD是菱形.∴ AC⊥BD，即MN⊥BD. ∴ 四边形BMDN是菱形.
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5. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（不与点B、D重合），GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E、F，连结EF、AG，并延长AG交EF于点H.
（1） 求证：∠DAG＝∠EGH.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠ADC＝90°.∵ GE⊥CD，∴ ∠GEC＝90°＝∠ADC. ∴ AD∥GE. ∴ ∠DAG＝∠EGH.
（第5题）
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（2） 判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
（第5题）
（第5题答案）
（第5题答案）
解：（2） AH⊥EF. 　理由：如图，连结GC交EF于点O. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD，∠BCD＝90°.∵ BD为正方形ABCD的对角线，∴ ∠ADG＝∠CDG. 在△ADG和△CDG中，
∴ △ADG≌△CDG. ∴ ∠DAG＝∠DCG.
∵ GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴ 四边形FCEG为矩形.∴ 易得OE＝OC. ∴ ∠OEC＝∠OCE.
∴ ∠DAG＝∠OEC. 由（1），知∠DAG＝∠EGH. ∴ ∠EGH＝∠OEC. ∴ ∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°.∴ ∠GHE＝90°.∴ AH⊥EF.
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5(共11张PPT)
专题特训九　特殊四边形的性质与判定的灵活应用
第18章　矩形、菱形与正方形
类型一　矩形的性质与判定
1. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，BE＝DF，AC＝EF.
（1） 求证：四边形AECF是矩形.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ BE＝DF，∴ AD－DF＝BC－BE. ∴ AF＝EC. ∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AC＝EF，∴ 四边形AECF是矩形.
（第1题）
（2） 若AE＝BE，AB2＝2，AE∶EC＝1∶2，求BC的长.
（第1题）
解：（2） ∵ 四边形AECF是矩形，∴ ∠AEC＝∠AEB＝90°.∵ AE＝BE，AB2＝2，∴ △ABE是等腰直角三角形，AE2＋BE2＝AB2＝2.
∴ 2AE2＝2BE2＝2.∴ AE＝BE＝1.∵ AE∶EC＝1∶2，∴ EC＝2AE＝2.∴ BC＝BE＋EC＝1＋2＝3.
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类型二　菱形的性质与判定
2. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的一点，BE交AC于点F，连结DF.
（1） 求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.
解：（1） 在△ABC和△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC.
∴ ∠BAC＝∠DAC. 在△ABF和△ADF中，
∴ △ABF≌△ADF. ∴ ∠AFB＝∠AFD.
∵ ∠AFB＝∠CFE，∴ ∠AFD＝∠CFE.
（第2题）
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（2） 若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形.
解：（2） ∵ AB∥CD，∴ ∠BAC＝∠ACD. 由（1），得∠BAC＝∠DAC. ∴ ∠DAC＝∠ACD. ∴ AD＝CD. 又∵ AB＝AD，CB＝CD，∴ AB＝CB＝CD＝AD. ∴ 四边形ABCD是菱形.
（第2题）
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（3） 在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠BCD＝∠EFD，并说明理由.
（第2题）
解：（3） 当点E在边CD上，且满足BE⊥CD时，∠BCD＝∠EFD. 　理由：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠BCF＝∠DCF. 在△BCF和△DCF中， ∴ △BCF≌△DCF.
∴ ∠CBF＝∠CDF. ∵ BE⊥CD，∴ ∠BEC＝
∠DEF＝90°.∴ ∠BCD＋∠CBE＝∠CDF＋
∠EFD＝90°.∵ ∠CBE＝∠CDF，∴ ∠BCD＝
∠EFD.
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类型三　正方形的性质与判定
3. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M.
（1） 求证：BE＝CM.
（第3题）
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B＝90°，AB＝BC. ∴ ∠BAE＋∠BEA＝90°.∵ ∠AEF＝90°，∴ ∠BEA＋∠FEM＝90°.∴ ∠BAE＝∠FEM. ∵ FM⊥BC，∴ ∠M＝90°＝∠B. ∵ AE＝EF，∴ △ABE≌△EMF. ∴ AB＝EM. ∴ BC＝EM. ∴ BC－EC＝EM－EC，即BE＝CM.
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（2） 延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形.
（第3题）
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝∠B＝∠ADN＝90°，AB＝AD. ∵ BE＝DN，∴ △ABE≌△ADN.
∴ AE＝AN，∠BAE＝∠DAN. ∴ ∠DAN＋∠EAD＝
∠BAE＋∠EAD，即∠EAN＝∠BAD＝90°.∴ ∠EAN
＋∠AEF＝180°.∴ AN∥EF. ∵ AE＝EF，∴ EF＝
AN. ∴ 四边形AEFN是平行四边形.∵ AE＝EF，
∴ 四边形AEFN是菱形.∵ ∠AEF＝90°，∴ 四边形AEFN是正方形.
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类型四　特殊平行四边形的综合
4. 新考法 探究题　 如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，延长BC至点D，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，连结AE、AF、BE.
（1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由.
解：（1） OE＝OF. 　理由：∵ CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，∴ ∠ACE＝∠ECB，∠OCF＝∠DCF.
∵ MN∥BC，∴ ∠NEC＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF.
∴ ∠NEC＝∠ACE，∠OFC＝∠OCF. ∴ OE＝OC，
OF＝OC. ∴ OE＝OF.
（第4题）
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（2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.
（第4题）
解：（2） 当点O运动到AC的中点处，△ABC是直角三角形，其中∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.理由：当点O运动到AC的中点处时，OA＝OC. 又∵ OE＝OF，∴ 四边形AECF是平行四边形.由（1），得OC＝OF. ∴ OA＝OC＝OE＝OF. ∴ AC＝
EF. ∴ 四边形AECF是矩形.∵ MN∥BC，∠ACB＝90°，
∴ ∠AOE＝90°.∴ AC⊥EF. ∴ 四边形AECF是正方形.
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（3） 当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？请说明理由.
（第4题）
（第4题答案）
（第4题答案）
解：（3） 不可能.　理由：如图，连结BF，交CE于点G. ∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴ ∠ECF＝ ∠ACB＋ ∠ACD＝ （∠ACB＋∠ACD）＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.
∴ ∠FGC＝90°.∵ 在△GFC中，不可能存在两个角为90°，∴ 四边形BCFE不可能是菱形.
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