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(共17张PPT)
7.4　解一元一次不等式组
第7章 一元一次不等式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 一本故事书共98页,小张读了一周(7天)还没读完,而小李不到一周就已读完.小李平均每天比小张多读3页.设小张平均每天读x页,则由题意列出的不等式组为(　B　)
A. B.
C. D.
B
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2. (2024·河南)下列不等式中,与-x>1组成的不等式组无解的是(　A　)
A. x>2 B. x<0
C. x<-2 D. x>-3
3. (2024·大庆)不等式组 的整数解有 　4　个.
A
4　
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4. ★解下列不等式组,并将不等式组的解集在数轴上表示出来.
(1)
解:记 解不等式①,得x>-4.解不等式②,得x≥-1.∴ 不等式组的解集为x≥-1.解集在数轴上表示如图①所示.
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(2)
解:记 解不等式①,得x< .解不等式②,得x≥1.∴ 不等式组的解集为1≤x< .解集在数轴上表示如图②所示.
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5. 解不等式组 时,不等式①②的解集在同一条数轴上的表示正确的为　(　A　)
A
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6. (易错题)(2024·南充)如果关于x的不等式组 的解集为x<3,那么m的取值范围是(　B　)
A. m>2 B. m≥2
C. m<2 D. m≤2
7. (2024·包头)若2m-1、m、4-m这三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,则m的取值范围是(　B　)
A. m<2 B. m<1
C. 1B
B
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8. 已知不等式组 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示,则ba的值为 　3　.
9. (易错题)(2024·龙东地区)若关于x的不等式组 恰有3个整数解,则a的取值范围是 .
3　
- ≤a<0　
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10. (核心素养·创新意识)按如图所示的程序进行操作.若输入的值为2k-1,并且操作进行四次才停止,则k的最大值是 　10　.
10　
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11. 已知不等式组 的最小整数解是关于x的方程mx+6=x-2m的解,求m的值.
解:记 解不等式①,得x<3.解不等式②,得x≥-1.∴ 原不等式组的解集为-1≤x<3.∴ 原不等式组的最小整数解为x=-1.由题意,把x=-1代入方程mx+6=x-2m,得-m+6=-1-2m,解得m=-7.
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12. 已知关于x、y的方程组 的解满足x大于1且y不大于5.
(1) 求m的取值范围.
解:(1) 解方程组 得 ∵ 方程组的解满足x大于1且y不大于5,∴ 解得41
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(2) 是否存在满足题目条件的整数m 若存在,写出m的值;若不存在,请说明理由.
解:(2) 存在.由(1),知41
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13. (易错题)已知关于x的不等式组 则有下列说法:① 如果a=-2,那么不等式组的解集是-2≤x<1;② 如果不等式组的解集是-3≤x<1,那么a=-3;③ 如果不等式组的整数解只有-2、-1、0,那么a=-2;④ 如果不等式组无解,那么a≥1.其中,正确的是 　①②④　(填序号).
①②④　
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14. (核心素养·应用意识)(2024·龙东地区)为了增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元;购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元.
(1) 购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元
解:(1) 设购买1个甲种品牌毽子需要x元,1个乙种品牌毽子需要y元.根据题意,得 解得 ∴ 购买1个甲种品牌毽子需要15元,1个乙种品牌毽子需要10元.　
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(2) 若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元,甲种品牌毽子的数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍,则有几种购买方案
≥5(100 ),
≤16(100 ),
解:(2) 设购买m个甲种品牌毽子,则购买 = 个乙种品牌毽子.根据题意,得 解得 ≤m≤64.又∵ m、100- m均为非负整
数,∴ m的值可以为60、62、64.∴ 学校共有3种购买方案.方案1:购买60个甲种品牌毽子,100- ×60=10(个)乙种品牌毽子;方案2:购买62个甲种品牌毽子,100- ×62=7(个)乙种品牌毽子;方案3:购买64个甲种品牌毽子,100- ×64=4(个)乙种品牌毽子.　
≥5(100
),
≤16(100
),
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(3) 在(2)的条件下,若商家每售出1个甲种品牌毽子的利润是5元,每售出1个乙种品牌毽子的利润是4元,则学校如何购买毽子商家获得的利润最大 最大利润是多少元
解:(3) 方案1商家获得的总利润为5×60+4×10=340(元);方案2商家获得的总利润为5×62+4×7=338(元);方案3商家获得的总利润为5×64+4×4=336(元).
∵ 340>338>336,∴ 当学校购买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子时,商家获得的利润最大,最大利润是340元.
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14(共16张PPT)
7.3 解一元一次不等式
第1课时　解一元一次不等式
第7章 一元一次不等式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 下列各式中,属于一元一次不等式的为(　A　)
A. 2(1+y)+y>4y B. x2-2≥3x
C. +x>3 D. x+10=2
2. 不等式 x-1≤7- x的解集在数轴上表示正确的为(　C　)
A
C
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3. 解一元一次不等式- < ,有下列步骤:① 去分母,得-5(x+2)<3(2x-1);② 去括号,得-5x-10<6x-3;③ 移项,得-5x-6x<-3+10,合并同类项,得-11x<7;④ 未知数的系数化为1,得x<- .其中,有错的一步是(　D　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
D
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4. 已知M=-x+4,N=3x-4.若M≥N,则x的取值范围是 　x≤2　.
5. 当x 　≥- 　时,式子 -2x的值是非正数.
x≤2　
≥- 　
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6. 解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1) 10-4(x-4)<2(x-1).
解:去括号,得10-4x+16<2x-2.移项,得-4x-2x<-2-10-16.合并同类项,得-6x<-28.系数化为1,得x> .解集表示在数轴上如图①所示.
(2) (2024·眉山) -1≤ .
解:去分母,得2(x+1)-6≤3(2-x).去括号,得2x+2-6≤6-3x.移项,得2x+3x≤6+6-2.合并同类项,得5x≤10.系数化为1,得x≤2.解集在数轴上表示如图②所示.
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7. (新定义)(2024·周口期末)定义新运算☉:a☉b=b(aA. x>-10 B. x>-11
C. x<-10 D. x<11
8. 不等式 (2x-m)>2-m的解集为x>2,则m的值为(　A　)
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
9. (易错题)已知不等式(m-1) +2>6为关于x的一元一次不等式,则m= 　-1　.
A
A
-1　
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10. (2024·烟台)若关于x的不等式m- ≤1-x有正数解,则m的值可以是 　答案不唯一,如0　(写出一个即可).
11. 已知关于x的不等式ax≤b的解集为x≥2,则关于x的不等式2ax+a>b+3bx的解集为> - 　.
答案不唯一,
如0　
x> - 　
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12. 上课时,老师在黑板上写了一道题: ≥ +■.下课后,这道题中的一个数被一名学生擦去了.已知该不等式的解集为x≤2,则被擦去的数是 　- 　.
- 　
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13. ★(核心素养·运算能力)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1) (2024·连云港) 解:去分母,得x-1<2(x+1).去括号,得x-1<2x+2.移项,得x-2x<2+1.合并同类项,得-x<3.系数化为1,得x>-3.解集在数轴上表示如图①所示.
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(2) 1- ≤2+ .
解:去分母,得6-2(2x+1)≤12+3(x-1).去括号,得6-4x-2≤12+3x-3.移项,得-4x-3x≤12-3+2-6.合并同类项,得-7x≤5.系数化为1,得x≥- .解集在数轴上表示如图②所示.
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(3) ≤3(x-1)+4.
解:去分母,得x+7≤6(x-1)+8.去括号,得x+7≤6x-6+8.移项,得x-6x≤-6+8-7.合并同类项,得-5x≤-5.系数化为1,得x≥1.解集在数轴上表示如图③所示.
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14. 已知x=3是关于x的不等式3x- > 的一个解,求a的取值范围.
解:∵ x=3是关于x的不等式3x- > 的一个解,∴ 9- >2,解得a<4.∴ a的取值范围是a<4.
15. 已知关于x的方程4x-(3a+2)=6x+(2a+5)的解是非负数,求a的取值范围.
解:解方程4x-(3a+2)=6x+(2a+5),得x=- .∵ 方程4x-(3a+2)=6x+(2a+5)的解是非负数,∴ - ≥0,解得a≤- .
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16. (2024·呼和浩特)关于x的不等式 -1> 的解集是 　x>8　,这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x-1≤x+m的解大,则m的取值范围是 　m≤7　.
x>8　
m≤7　
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17. 如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式①为一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如:∵ 不等式x<-3的解都是不等式x<-1的解,∴ x<-3为x<-1的“蕴含不等式”.
(1) 在不等式x>1,x>3,x<4中,属于x>2的“蕴含不等式”的为 　x>3　.
(2) 若x>-6为3(x-1)>2x-m的“蕴含不等式”,求m的取值范围.
解:(2) 解不等式3(x-1)>2x-m,得x>3-m.由题意,得-6≥3-m,解得m≥9.∴ m的取值范围是m≥9.
x>3　
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(3) 若x<-2n+4为x<2的“蕴含不等式”,试判断x<-n+3是否为x<2的“蕴含不等式”,并说明理由.
解:(3) x<-n+3为x<2的“蕴含不等式”.理由:∵ x<-2n+4为x<2的“蕴含不等式”,
∴ -2n+4≤2,解得n≥1. ∴ -n+3≤-1+3,即-n+3≤2.∴ x<-n+3的解都是x<2的解.∴ x<-n+3为x<2的“蕴含不等式”.
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7.2　不等式的基本性质
第7章 一元一次不等式
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思维拓展
目
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1. (2023·德阳)如果a>b,那么下列结论正确的是(　D　)
A. a-3C. 3a<3b D. <
2. (2024·湖北)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是(　A　)
D
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3. 下列不等式变形正确的是(　D　)
A. 由4x-1>2,得4x>1
B. 由5x>3,得x>
C. 由 >0,得y>2
D. 由-2x<4,得x>-2
D
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4. 若M=4x2-5x-10,N=3x2-5x-11,则M和N的大小关系是 　M>N　.
M>N　
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5. (1) 3x>4,两边都除以3,得 　x> 　,依据是 　不等式的基本性质2　.
(2) x+6≤5两边都减去6,得 　x≤-1　,依据是 　不等式的基本性质1　.
(3) -4y≥1两边都除以-4,得 　y≤- 　,依据是 　不等式的基本性质3　.
x> 　
不等式的基本性质2　
x≤-1　
不等式的基本性质1　
y≤- 　
不等式的基本性质3　
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6. 利用不等式的基本性质解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1) 3x<2x+8.
解:(1) 不等式两边都减去2x,得3x-2x<2x+8-2x.∴ x<8.解集在数轴上表示如图①所示.
(2) -0.3x≤1.5.
解:(2) 不等式两边都除以-0.3,得x≥-5.解集在数轴上表示如图②所示.
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7. ★下列不等式变形不一定正确的是(　C　)
A. 若a1-b
B. 若a>b,则ax2≥bx2
C. 若acD. 若m>n,则 >
8. 若x+5>0,则下列各式正确的是(　D　)
A. x+1<0 B. x-1<0
C. <-1 D. -2x<12
C
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9. (核心素养·推理能力)有以下说法:① 不等式a>2a一定不成立,因为不等式两边同时除以a,会出现1>2的错误结论;② 如果a>b,c>d,那么一定会得到a-c>b-d.下列判断正确的是(　B　)
A. ① 正确,② 错误 B. ① 错误,② 错误
C. ① 正确,② 正确 D. ① 错误,② 正确
B
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10. 已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为x< ,则化简|a-1|+|a+2|的结果为 　2a+1　.
11. 已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足x>y,则k的取值范围是 　k<5　.
12. 关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示,则a的值是 　0　.
(第12题)
2a+1　
k<5　
0　
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13. 用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集.
(1) x的3倍大于或等于1.
解:3x≥1,解得x≥ .在数轴上表示如图①所示.
(2) x与3的和不小于6.
解:x+3≥6,解得x≥3.在数轴上表示如图②所示.
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(3) y与1的差不大于0.
解:y-1≤0,解得y≤1.在数轴上表示如图③所示.
(4) y的 小于或等于-2.
解: y≤-2,解得y≤-8.在数轴上表示如图④所示.
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14. (1) 当a>1时,a 　>　 (填“>”“<”或“=”).
(2) 说明(1)的正确性.
解:∵ a>1,∴ a+a>a+1.∴ 2a>a+1.∴ a> .
>
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15. 阅读材料,解决问题:
已知a>b,试比较-2025a+1与-2025b+1的大小.
解:∵ a>b①,
∴ -2 025a>-2 025b②.
∴ -2 025a+1>-2 025b+1③.
(1) 上述解题过程中,从第 　②　步开始出现错误(填序号).
(2) 错误的原因是什么
解:(2) 不等式的两边都乘以同一个负数,不等号的方向没有改变.
(3) 请写出正确的解题过程.
解:(3) ∵ a>b,∴ -2025a<-2025b.∴ -2025a+1<-2025b+1.
②　
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16. (核心素养·推理能力)已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式中,一定成立的是(　C　)
A. xy>yz B. xz>yz
C. xy>xz D. xy2>zy2
C
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17. (核心素养·推理能力)阅读材料,解决问题:
已知x、y满足x>y>0,请说明:x2>y2.
解:∵ x>y>0,
∴ x2> 　xy　,xy> 　y2　(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变).
∴ x2>y2(不等式的传递性).
(1) 请将上面的证明过程填写完整.
(2) 请说明:若a解:∵ axy　
y2　
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专题特训(六)　与不等式(组)有关的参数问题
第7章 一元一次不等式
类型一　已知不等式(组)的解集确定参数的值或范围
1. 若不等式组 的解集为xA. a≤-6 B. a≤-5
C. a≤-4 D. a<-4
2. 已知关于x的不等式(3-a)x>2的解集为x< ,则a的取值范围是 　a>3　.
C
a>3　
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3. 规定新运算“△”,其规则如下:a△b=2a-b.若不等式x△k≥1的解集在数轴上的表示如图所示,则k的值是 　-3　.
-3　
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4. 若不等式组 的解集中每一个x的值均不在2≤x≤5的范围内,求m的取值范围.
解:解x-m>0,得x>m.解x-m<1,得x1
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5. 关于x的不等式组 的解集为3解:∵ 不等式组 的解集为3∵ 31
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类型二　已知不等式组无(有)解,确定参数的值或范围
6. 已知关于x的不等式组 无解,则m的取值范围是(　D　)
A. m<5 B. m>5
C. m≤5 D. m≥5
D
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解:记 解不等式①,得x-1.∵ 关于x的不等式组 有解,∴ 该不等式组的解集为-1-1.
∴ k的最小整数值为0.
7. 若关于x的不等式组 有解,求k的最小整数值.
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类型三　已知不等式(组)整数解的情况,确定参数的范围
8. (易错题)关于x的不等式组 有且只有2个偶数解,则符合条件的所有整数a值的和为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. (新定义)(2024·兴安盟)对于a、b,定义新运算“※”:a※b=a+3b,例如:5※2=5+3×2=11.当关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时,m的取值范围是 　0≤m< 　.
B
0≤m< 　
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10. 若关于x的不等式组 的所有整数解的和是-9,求m的取值范围.
解:记 由①,得x>-5.∴ 不等式组的解集为-5-4、-3、-2时,-2-21
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类型四　已知方程(组)解的情况,确定参数的范围
11. 若关于x的方程 x-3k=5(x-k)+1的解为负数,求k的取值范围.
解:解 x-3k=5(x-k)+1,得x= .由题意,得 <0,解得k< .
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12. ★已知方程组 中的x、y满足x>y且2x<3y,求m的取值范围.
解:记 ②×2-①,得x=m-3③.将③代入②,得y=-m+5.∵ x>y且2x<3y,∴ 解得41
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13. 已知关于x、y的方程组 的解满足不等式组 求满足条件的m的整数值.
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解:记 ①×2,得2x-4y=2m③.②-③,得7y=4,解得y= .把y= 代入①,得x- =m,即x=m+ . ∴ 将 代入 得 解得-41
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第7章复习
第7章 一元一次不等式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 不等式的性质
典例1　(2024·广西三模)若a>b,则下列不等式一定成立的是(　D　)
A. ac>bc B. -2a>-2b
C. a-2跟踪训练
1. 若x+a>y+a,axA. x>y,a>0 B. x>y,a<0
C. x0 D. xD
B
考点二 一元一次不等式(组)的解法
典例2　(核心素养·运算能力)解不等式(组),并在数轴上表示它的解集.
(1) + ≤ .
解:去分母,得10(2x-5)+5(1-2x)≤6(4x+7).去括号,得20x-50+5-10x≤24x+42.移项、合并同类项,得-14x≤87.系数化为1,得x≥- .解集在数轴上表示如图①所示.
(2)
解:记 解不等式①,得x≥- .解不等式②,得x<4.∴ 不等式组的解集为- ≤x<4.解集在数轴上表示如图②所示.
跟踪训练
2. 解一元一次不等式(组):
(1) 4- ≤ +1.
解:去分母,得32-2(3x-1)≤5(x+3)+8.去括号,得32-6x+2≤5x+15+8.移项、合并同类项,得-11x≤-11.系数化为1,得x≥1.
(2)
解:解不等式3x+2≤7-(1-x),得x≤2.解不等式1- > -x,得x>-5.∴ 不等式组的解集为-5考点三 一元一次不等式(组)的特殊解
典例3　已知|3a+5|+ =0,求关于x的不等式3ax- (x+1)<-4b(x-2)的最小非负整数解.
解:由题意,得 解得 把 代入3ax- (x+1)<-4b(x-2),得-5x- (x+1)<- (x-2),解得x>-1.∴ 该不等式的最小非负整数解为0.
跟踪训练
3. 若x=-3是关于x的方程x=m+1的解,则关于x的不等式2(1-2x)≤1+m的最小整数解为 　2　.
2　
典例4　解关于x的一元一次不等式组 并求它的所有整数解的和.
解:记 解不等式①,得x≥-3.解不等式②,得x<2.∴ 原不等式组的解集为-3≤x<2.∴ 它的整数解为-3、-2、-1、0、1.∴ 所有整数解的和为-3-2-1+0+1=-5.
跟踪训练
4. 若不等式5x+2>3(x-1)与不等式 ≤ 同时成立,则正整数x的值是 　1或2　.
1或2　
考点四 不等式(组)与一次方程(组)的综合
典例5　已知关于x、y的方程组 的解都是正数.
(1) 求a的取值范围.
解:(1) ∵ ∴ ∵ 该方程组的解都是正数,∴ 解得a>1.
(2) 已知a+b=4,且b>0,z=2a-3b,求z的取值范围.
解:(2) ∵ a+b=4,∴ a=4-b.∴ 解得05. (核心素养·推理能力)已知关于x、y的方程组 的解满足
-1(1) 求a的取值范围.
解:(1) 记 ①+②,得3x+3y=3+3a.∴ x+y=1+a.∵ -1∴ -1<1+a≤3,解得-2(2) 当a为何整数时,不等式ax1
解:(2) ∵ ax1,∴ a<0.∵ -2跟踪训练
考点五 求不等式(组)中的参数的值或取值范围
典例6　★已知关于x的一元一次不等式 ≤-2的解集为x≥4,则m的值为(　D　)
A. 14 B. 7 C. -2 D. 2
跟踪训练
6. 若不等式x-1- ≤1的解都能使关于x的不等式4x<2x+a+1成立,则a的取值范围是 　a>5　.
D
a>5　
典例7　★已知关于x的不等式组 恰有3个整数解,则a的取值范围是(　A　)
A. 1C. 1≤a<2 D. 1≤a≤2
A
7. 若关于x的不等式组 的最大正整数解是3,则a的取值范围是 　66跟踪训练
典例8　(核心素养·应用意识)某市计划租用大型车、中型车共30辆,调拨不超过190吨的蔬菜和不超过162吨的肉制品补充当地市场.已知1辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨;1辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨.
(1) 符合题意的方案有哪几种
解:(1) 设租用x辆大型车,则租用(30-x)辆中型车.由题意,得 解得18≤x≤20.∵ x为整数,∴ x=18、19、20.∴ 符合题意的方案有三种.方案一:租用18辆大型车、12辆中型车.方案二:租用19辆大型车、11辆中型车.方案三:租用20辆大型车、10辆中型车.
考点六 一元一次不等式(组)的实际应用
(2) 若1辆大型车的运费是900元,1辆中型车的运费为600元,则(1)中哪种方案的费用最低 最低费用是多少元
解:(2) 方案一的费用为900×18+600×12=23400(元).方案二的费用为900×19+600×11=23700(元).方案三的费用为900×20+600×10=24000(元).
∵ 23400<23700<24000,∴ 方案一的费用最低,最低费用是23400元.
跟踪训练
8. 小明问爸爸妈妈区级篮球决赛甲、乙两队的结果,爸爸说:“本场比赛甲队的小强比乙队的小军多得了12分.”妈妈说:“小军得分的两倍与小强得分的差大于10分,小强得分的两倍比小军得分的三倍还多.”爸爸又说:“若小军的得分超过20分,则乙队赢;否则甲队赢.”请你帮小明分析一下,本场比赛获胜的球队是 　乙　队,小军得了 　23　分.
乙　
23　
1. (易错题)已知a>b,则给出下列结论:① a2>ab;② a2>b2;③ a+b<2b;④ 若b>0,则 < .其中,一定正确的个数是(　A　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (新定义)定义新运算:a◎b=ab-a+b-2.例如:2◎5=2×5-2+5-2=11.不等式3◎x≤2的正整数解是(　A　)
A. 1 B. C. 0或1 D. 2
A
A
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3. (易错题)若关于x的不等式组 有解,则a的取值范围是(　C　)
A. a>1 B. a≥1 C. a<1 D. a≤1
4. 已知关于x的方程 - =m的解是非负数,则m的取值范围是 　m≤ 　.
5. 小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树.当时山毛榉高3m,枫树高1.8m.现在枫树已经比山毛榉高了,在此期间,山毛榉的平均生长速度是每年长高0.15m,枫树的平均生长速度是每年长高0.3m.小明现在的年龄应该超过 　12　岁.
C
m≤ 　
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6. 已知关于x的不等式组
(1) 若该不等式组有且只有4个整数解,求a的取值范围.
解:(1) 解 得 ∵ 该不等式组有且只有4个整数解,
∴ a+1≤x<4,该不等式组的整数解为0、1、2、3.∴ -1(2) (易错题)若该不等式组有解,且它的解集中的任何一个x的值均不在x≤2的范围内,求a的取值范围.
解:(2) ∵ 该不等式组有解,∴ a+1≤x<4.∵ 该不等式组的解集中的任何一个x的值均不在x≤2的范围内,∴ a+1>2,且a+1<4,解得11
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7. (核心素养·应用意识)某公司需将一批材料运往工厂,计划租用甲、乙两种型号的货车,在每辆货车都满载的情况下,租用30辆甲型号的货车和50辆乙型号的货车可装载1500箱材料,租用20辆甲型号的货车和60辆乙型号的货车可装载1400箱材料.
(1) 甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料
解:(1) 设甲型号的货车每辆可装载x箱材料,乙型号的货车每辆可装载y箱材料.根据题意,得 解得 ∴ 甲型号的货车每辆可装载25箱材料,乙型号的货车每辆可装载15箱材料.
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(2) 若该公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱,计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆,且乙型号的货车的数量不超过甲型号的货车数量的3倍,则该公司将这批材料一次性运往工厂共有哪几种租车方案
解:(2) 设租用m辆甲型号的货车,则租用(70-m)辆乙型号的货车.由题意,得 解得 ≤m≤ .又∵ m为整数,∴ m=18或19.∴ 该公司将这批材料一次性运往工厂共有两种租车方案.方案一:租用18辆甲型号的货车,52辆乙型号的货车.方案二:租用19辆甲型号的货车,51辆乙型号的货车.
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专题特训(七)　一元一次不等式(组)的应用
第7章 一元一次不等式
类型一　确定范围问题
1. 某电梯乘载的重量超过300千克时会响起警示音,且小华、小欧的体重分别为45千克、70千克.小华、小欧依次最后进入电梯,小华走进后,警示音没响,小欧走进后,警示音响起.设两人没进入电梯前已乘载的质量为x千克,则x的取值范围是
(　A　)
A. 185C. 2302. (2024·青岛期中)出租车的收费标准如下:起步价9元(即行驶距离不超过3千米都需付9元车费),超过3千米以后,每增加1千米,加收1.4元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校,付了车费24.4元.设该同学的家到学校的距离为x千米,则x的取值范围是 　13A
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类型二　确定最值问题
3. 某校团员代表在3月“学雷锋”活动中购买点心与水果去敬老院慰问15位孤寡老人,要求给每位老人50元的慰问金,且此次活动的经费不超过990元,则准备给每位老人用于购买点心与水果的费用最多为(　B　)
A. 15元 B. 16元
C. 17元 D. 18元
B
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4. 斑马线前“车让人”,反映了城市的文明程度,但行人一般都会在红灯亮起前通过马路.某人行横道全长24m,小明以1.2m/s的速度通过该人行横道,行至 处时,9s倒计时的灯亮了.若小明要在红灯亮起前通过马路,则他的速度至少要提高到原来的(精确到0.1)(　C　)
A. 1.1倍 B. 1.4倍
C. 1.5倍 D. 1.6倍
C
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5. 某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,由于该商品积压,商店决定打折出售,但要保证利润率不低于20%,则最多可以打 　八　折.
八　
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6. 某水果店购进A、B两种甜橙,A种甜橙的进价为70元/千克,B种甜橙的进价为60元/千克.第一天售出A种甜橙15千克,B种甜橙20千克,销售额为3100元;第二天售出A种甜橙13千克,B种甜橙15千克,第二天的销售额比第一天少600元.
(1) 求A、B两种甜橙的售价.
解:(1) 设A、B两种甜橙的售价分别为x元/千克,y元/千克.由题意,得 解得 ∴ A、B两种甜橙的售价分别为100元/千克,80元/千克.
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(2) 水果店购进A、B两种甜橙共50千克,计划一天内售完,于是将A种甜橙每千克降价10元、B种甜橙打九折销售,且购进的A种甜橙的质量不大于B种甜橙质量的3倍.若要满足这一批甜橙销售完后利润不低于850元,则A种甜橙应至少购进多少千克(甜橙购进的质量为整千克数)
解:(2) 设购进A种甜橙a千克,则购进B种甜橙(50-a)千克.由题意,得a≤3(50-a),解得a≤37.5.由题意,得(100-10-70)a+(80×0.9-60)(50-a)≥850,解得a≥31.25.∵ a为整数,∴ a的最小值为32.∴ A种甜橙应至少购进32千克.　
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类型三　确定方案问题
7. ★(核心素养·应用意识)为庆祝“六一”儿童节,某校七年级学生举行趣味运动会,需要购买适合学生使用的跳绳和毽子,已知2根跳绳和5只毽子共需90元,5根跳绳和8只毽子共需189元.
(1) 求每根跳绳和每只毽子的价格.
解:(1) 设每根跳绳x元,每只毽子y元.根据题意,得 解得
∴ 每根跳绳25元,每只毽子8元.
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(2) 若学校预购买的跳绳根数与毽子只数和为50,其中跳绳不能少于10根,预算经费不能超过600元,请写出所有购买方案.
解:(2) 设学校购买跳绳m根.根据题意,得25m+8(50-m)≤600,解得m≤11 .∵ m≥10且m为整数,∴ m=10或m=11.∴ 有2种购买方案:购买跳绳10根,毽子40只或跳绳11根,毽子39只.
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(3) 商场在“六一”期间开展促销活动,优惠方案如下表:
优惠活动一 (打折促销): 跳绳九折优惠,
毽子八五折优惠
优惠活动二 (买一赠一): 买1根跳绳
赠送1只毽子
根据(2)中的购买方案,选用哪种优惠活动更合适
解:(3) 优惠活动一:25×0.9m+8×0.85(50-m)=(15.7m+340)元.优惠活动二:25m+8(50-m-m)=(9m+400)元.当m=10时,15.7m+340=497,9m+400=490;当m=11时,15.7m+340=512.7,9m+400=499.∵ 497>490,512.7>499,∴ 选择优惠活动二更合适.
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8. (核心素养·应用意识)某校到商场购买A、B两种品牌的足球,购买A品牌的足球20个,B品牌的足球30个,共花费4600元,已知购买4个B品牌的足球与购买5个A品牌的足球费用相同.
(1) 求A、B两种品牌的足球的价格.
解:(1) 设A品牌的足球的价格为x元/个,B品牌的足球的价格为y元/个.由题意,得 解得 ∴ A品牌的足球的价格为80元/个,B品牌的足球的价格为100元/个.
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(2) 该校决定再次购进A、B两种品牌的足球共42个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A品牌的足球售价比第一次购买时提高5元,B品牌的足球按第一次购买时的售价的九折出售.若学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%,且保证这次购买的B品牌足球不少于20个,则这次学校有哪几种购买方案
解:(2) 设第二次购买A品牌的足球m个,则购买B品牌的足球(42-m)个.∴ 第二次购买A品牌的足球的费用为(80+5)m=85m(元),购买B品牌的足球的费用为100×0.9(42-m)=90(42-m)元,总费用不超过4600×80%=3680(元).
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由题意,得 解得20≤m≤22.∵ m为整数,∴ m=20、21、22.∴ 这次学校有三种方案:① 购买A品牌的足球20个,B品牌的足球22个.② 购买A品牌的足球21个,B品牌的足球21个.③ 购买A品牌的足球22个,B品牌的足球20个.
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(3) 为了节约资金,学校应选择哪种方案 请求出最少需要的总费用.
解:(3) 方案①的总费用为(80+5)×20+100×0.9×22=3680(元);方案②的总费用为(80+5)×21+100×0.9×21=3675(元);方案③的总费用为(80+5)×22+100×0.9×20=
3670(元).∵ 3670<3675<3680,∴ 学校应选择购买22个A品牌的足球,20个B品牌的足球,最少需要的总费用为3670元.
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7.1　认识不等式
第7章 一元一次不等式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 给出下列式子:① 5<7;② 2x>3;③ y≠0;④ x>5;⑤ 2a+1;⑥ ≥1;⑦ a=1.其中,属于不等式的有(　C　)
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. 根据下列数量关系列出了相应的不等式,其中不正确的是(　D　)
A. x的 减去5小于1,即 x-5<1
B. y的3倍与5的差是非负数,即3y-5≥0
C. x与6的差大于x的3倍,即x-6>3x
D. y与2的和的2倍是正数,即2y+2>0
C
D
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3. 不等式x≤1和x>-3在同一数轴上表示正确的是(　A　)
4. 写出一个关于x的不等式,使-5、2都是它的解,这个不等式可以为 　答案不唯一,如2x<6　.
A
答案不唯一,
如2x<6　
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5. ★将下列不等式的解集分别表示在数轴上:
(1) x≤3. (2) x>-2.5.
解:如图①所示.
解:如图②所示.
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6. ★当x=-2时,下列不等式成立的为(　B　)
A. x-5>-7 B. x+2>0
C. 2(x-2)>-2 D. 3x>2x
7. 小华拿26元购买火腿肠和方便面.已知1袋方便面3元,1根火腿肠2元,他买了5袋方便面,x根火腿肠后钱还有剩余,则下列关于x的不等式表示正确的是(　B　)
A. 3×5+2x>26 B. 3×5+2x<26
C. 3x+2×5<26 D. 3x+2×5>26
B
B
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8. 有下列说法:① x= 是不等式4x-5>0的一个解;② x= 是不等式4x-5>0的一个解;③ x> 是不等式4x-5>0的解集;④ x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,故x>2也是它的解集.其中,正确的有(　B　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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9. 写出不等式|2x-1|>4的一个解: 　答案不唯一,如3　.
10. 已知满足x≥5的x的最小值为a,满足y≤-7的y的最大值为b,则ab的值为 　-35　.
11. 燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度为4m/s,则导火线的长x(m)应满足 　 > 　(列式即可,不必解答).
答案不唯一,如3　
-35　
> 　
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12. (新情境)坐在行驶在公路上的汽车里会看到不同的交通标志图形,它们有着不同的意义,如图①②③④所示.如果设汽车的质量为xt,速度为ykm/h,高度为hm,宽度为lm,用不等式表示图中的意义.
图①: 　x≤5.5　. 图②: 　y≤30　.
图③: 　h≤3.5　. 图④: 　l≤2　.
x≤5.5　
y≤30　
h≤3.5　
l≤2　
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13. (核心素养·几何直观)(1) 如图①,此不等式的解集为 　x≤3　,正整数解为 　1、2、3　.
(2) 如图②,此不等式的解集为 　x>-2　,非正整数解为 　-1、0　.
(3) 如图③,此不等式的解集为 　x<0　,最大整数解为 　-1　.
(4) 如图④,此不等式的解集为 　x≥-2.5　,最小的负整数解为 　-2　.
x≤3　
1、
2、3　
x>-2　
-1、0　
x<0　
-1　
x≥-2.5　
-2　
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14. (核心素养·几何直观)已知关于x的不等式x≥ 的解集表示在数轴上如图所示,求a的值.
(第14题)
解:∵ 题中数轴上表示的不等式的解集为x≥-1,∴ =-1,解得a=1.
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15. (易错题)已知关于x的不等式x≤a有3个正整数解,求a的取值范围.
解:∵ 关于x的不等式x≤a有3个正整数解,∴ 这三个正整数解是1、2、3.∴ 3≤a<4.∴ a的取值范围是3≤a<4.
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16. (核心素养·应用意识)一次奥运知识竞赛中,一共有25道题,答对1道题得10分,答错(或不答)1道题扣5分.设小明同学在这次竞赛中答对x道题.
(1) 根据所给条件,完成下表:
答题情况 答对 答错或不答
道　数 x 25-x
每道题分值/分 10 -5
得分/分 10x -5(25-x)
25-x
-5(25-x)
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(2) 若小明同学的竞赛成绩超过100分,则x应满足怎样的不等式 请写出两个不等式的解.
解:根据题意,得10x-5(25-x)>100.答案不唯一,如x=16、x=17.
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7.3 解一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
第7章 一元一次不等式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 不等式2(x-3)≤4x+1的负整数解有(　B　)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. 某商店为了促销一种定价为3元/件的商品,采取以下方式优惠销售:若一次性购买不超过5件,则按原价付款;若一次性购买5件以上,则超过的部分按原价的八折付款.若小明有30元,则最多可以购买该商品(　C　)
A. 9件 B. 10件 C. 11件 D. 12件
B
C
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3. 在一次科技知识竞赛中,共有20道选择题,每道题的四个选项中,有且只有一个答案正确,选对得10分,不选或错选倒扣5分.如果得分不低于90分才能得奖,那么要得奖至少应选对 　13　道题.
4. 油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车.某品牌的油电混动汽车的售价为每台16.48万元,行驶100千米的燃油成本为20元.同一品牌的普通汽车的售价为每台16万元,行驶100千米的燃油成本为50元.当油电混动汽车的总成本不高于普通汽车的总成本时,至少行驶了多少千米
解:设行驶了x千米.根据题意,得164800+ x≤160000+ x,解得x≥16000.∴ 至少行驶了16000千米.
13　
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5. 小军到水果店买水果,他身上带的钱恰好可以买15个苹果或21个橙子.若小军先买了9个苹果,则他身上剩下的钱最多可以买的橙子的个数为(　B　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 某单位为响应政府号召,为“创城工作”贡献力量,需要购买分类垃圾桶8个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶的价格为150元/个,B型分类垃圾桶的价格为225元/个,总费用不超过1500元,则不同的购买方式有(　C　)
A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种
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7. 某商店有一款商品,每件的进价为100元,标价为150元,现准备打折销售.若要保证利润率不低于20%,设打x折销售,则下列结论正确的是(　D　)
A. 150x-100≥20%×100
B. 150× -100≥20%×150
C. 该商品最少打八折
D. 该商品最多打八折
D
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8. 若不等式 < +1的最小整数解为方程2x-ax=4的解,则a= 　3　.　
9. 已知一个两位数,个位上的数字和十位上的数字和为8,将其个位上的数字与十位上的数字对调后组成一个新的两位数.若原两位数与18的和不大于新两位数,则满足条件的两位数可能是 　17、26、35　.
3　
17、26、35　
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10. (2024·山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的价格为540元/个,干粉灭火器的价格为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵ x为非负整数,∴ x的最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
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11. ★(2024·成都)某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17500元从农户处购进A、B两种水果共1500kg进行销售,其中A种水果的收购价格为10元/千克,B种水果的收购价格为15元/千克.
(1) A、B两种水果各购进多少千克
解:(1) 设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克.根据题意,得 解得 ∴ A种水果购进1000千克,B种水果购进500千克.
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(2) 已知A种水果在运输和仓储过程中质量损失4%,合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售价.
解:(2) 设A种水果的销售价为m元/千克.根据题意,得1000×(1-4%)m-10×1000≥10×1000×20%,解得m≥12.5.∴ A种水果的最低销售价为12.5元/千克.
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12. 把一些书分给几名同学(每名同学都分到),如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本.共有 　6　名同学.
6　
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13. (核心素养·应用意识)(2024·齐齐哈尔期末)某公司有A、B两种型号的客车共20辆,它们的载客量、每天的租金如表所示.已知在20辆客车都坐满的情况下,共载客720人.
A型号客车 B型号客车
载客量/(人/辆) 45 30
租金/(元/辆) 600 450
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(1) A、B两种型号的客车各有多少辆
解:(1) 设A型号客车有x辆,B型号客车有y辆.由题意,得 解得 ∴ A型号客车有8辆,B型号客车有12辆.
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解:(2) ① 设租用A型号客车m辆,则租用B型号客车(8-m)辆.由题意,得600m+450(8-m)≤4600,解得m≤ .∵ m为非负整数,∴ 最多能租用6辆A型号客车.
(2) 某中学计划租用A、B两种型号的客车共8辆,同时送七年级师生到沙家浜参加社会实践活动,已知该中学租车的总费用不超过4600元.
① 最多能租用多少辆A型号客车
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② 由题意,得45m+30(8-m)≥305,解得m≥ .由①,知m≤ .∴ ≤m≤ .∵ m为非负整数,∴ m=5、6.∴ 租用5辆A型号客车,8-5=3(辆)B型号客车,租车费用为600×5+450×3=4350(元).租用6辆A型号客车,
8-6=2(辆)B型号客车,租车费用为600×6+450×2=4500(元).∵ 4350<4500,∴ 租用5辆A型号客车,3辆B型号客车最省钱.
② 若七年级的师生人数为305,请写出所有可能的租车方案,并确定最省钱的租车方案.
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