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(共15张PPT)
第二十三章 一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第1课时　实际问题与一次函数（1）
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基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
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1. （2025·烟台芝罘期中）某网约车的计费标准如图所示，张老师乘坐该网约车从家到学校共8千米，则应付的车费为（　B　）
A. 16元 B. 17元 C. 19.6元 D. 23.2元
B
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2. （2025·太原晋源期末）在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让大家了解葡萄的相关知识.葡萄园推出的方案如下：购买的质量超过2kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买质量x（kg）与所付金额y（元）存在如图所示的函数关系.王师傅用100元购买葡萄，他所购买的质量是 　19　kg.
19　
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3. 新考向·传统文化 （2025·北京东城期中改编）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是我国古代人民对函数思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的函数，下表是小明记录的部分数据.
t/min … 1 2 3 5 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 4 …
（1） 用描点、连线的方法画出函数图象.
解：（1） 如图所示.
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（2） 判断该函数是不是一次函数.若是，求其解析式.
解：（2） 由（1），可得该函数是一次函数.设h＝kt＋b（k，b是常数，k≠0）.把（1，2.4），（2，2.8）代入，得 解得 ∴ h＝0.4t＋2.
（3） 求当t＝10时，h的值.
解：（3） 当t＝10时，h＝0.4×10＋2＝6.
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4. （2025·威海模拟）某种藤类植物四个阶段的平均长度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系如图所示.当藤蔓长度在115cm时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长时间是（　B　）
A. 90天 B. 95天 C. 140天 D. 143天
B
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5. 某只智能灯泡的耗电量（kW·h）与使用时间（h）成一次函数关系，使用2h耗电0.5kW·h，使用7h耗电1kW·h，则使用10h的耗电量为（　C　）
A. 1.1kW·h B. 1.2kW·h
C. 1.3kW·h D. 1.4kW·h
C
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6. （2025·济宁任城期末）甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示.有下列说法：① a＝450；② b＝150；③ 甲的速度为8米/秒；④ 当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒.其中，不正确的有（　D　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
D
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7. 一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，那么在弹性限度内，弹簧总长y（cm）关于所挂重物的质量x（kg）之间的函数解析式为 　y＝3x＋10　.
8. （2025·沈阳模拟）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元.该商店计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
y＝3x＋10　
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（1） 求y关于x的函数解析式.
解：（1） ∵ 购进A型电脑x台，∴ 购进B型电脑（100－x）台.∴ y＝400x＋500（100－x）＝－100x＋50000.
（2） 该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
解：（2） ∵ 100－x≤2x，∴ x≥ .∵ y＝－100x＋50000，且－100＜0，∴ y随x的增大而减小.∵ x为正整数，∴ 当x＝34时，y取得最大值，最大值为－100×34＋50000＝46600.∴ 该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元.
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（3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该商店保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该商店如何进货，这100台电脑的销售利润不变，求a的值.
解：（3） 根据题意，得y＝（400＋a）x＋500（100－x），即y＝（a－100）x＋50000.∵ 无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润不变，∴ a＝100.
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9. （2025·泰安新泰期末）如图①是某公共汽车线路收支差额（票价总收入减去运营成本）y（万元）与乘客量x（万人）之间的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会.乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以实现扭亏.公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏.根据这两种意见，把图①分别改画成图②③.
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（1） 说明图①中的点A和点B的实际意义.
（2） 你认为图②③两个图象中，反映乘客的意见的是 　③　，反映公司的意见的是 　②　（填序号）.
解：（1） 点A表示这条线路的运营成本为1万元.点B表示乘客量达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡.
（3） 若两种解决方法的具体措施如下：方法1，票价不变，将运营成本降低到0.5万元；方法2，运营成本不变，只提高票价，此时一次函数图象的k值恰为0.75.这两种解决方法的收支差额相等时，乘客数量为多少万人？
③　
②　
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解：（3） 设题图①中射线AB对应的函数解析式为y＝ax＋b（x≥0，a≠0，a，b为常数）.把（0，－1），（1.5，0）代入，得 解得 ∴ y＝ x－1（x≥0）.∴ 易得方法1对应的函数解析式为y1＝ x－0.5；方法2对应的函数解析式为y2＝0.75x－1.令y1＝y2，可得 x－0.5＝0.75x－1，解得x＝6.∴ 这两种解决方法的收支差额相等时，乘客数量为6万人.
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9(共9张PPT)
第二十三章 一次函数
专题特训十一　一次函数与几何图形
类型一　一次函数与三角形
1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－ x＋m的图象l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线l2与l1交于点C（2，4）.
（1） 求m的值及直线l2对应的函数解析式.
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解：（1） ∵ 一次函数y＝－ x＋m的图象l1与直线l2交于点C（2，4），∴ 将C（2，4）代入y＝－ x＋m，得4＝－ ×2＋m，解得m＝5.设直线l2对应的函数解析式为y＝nx.将C（2，4）代入，得4＝2n，解得n＝2.
∴ 直线l2对应的函数解析式为y＝2x.
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解：（2） 由（1）可知，直线l1对应的函数解析式为y＝－ x＋5.∴ 易得A（10，0），B（0，5）.∵ 点C的坐标为（2，4），
∴ S△BOC＝ ×5×2＝5.由题意，设M .∵ S△AOM＝2S△BOC＝10，∴ S△AOM＝ ×10× ＝10，解得a＝6或14.∴ 点M的坐标为（6，2）或（14，－2）.
（2） 若M是直线y＝－ x＋m上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标.
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（3） 若一次函数y＝kx＋2的图象为直线l3，且l1，l2，l3 不能围成三角形，求k的值.
解：（3） 当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即k＝－ 或k＝2.当l3过点C（2，4）时，l1，l2，l3不能围成三角形，将C（2，4）代入y＝kx＋2，得4＝2k＋2，解得k＝1.∴ k的值为－ 或2或1.
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类型二　一次函数与四边形
2. （2024·日照岚山期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上，其中A（0，2），D（4，0），对角线AC，BD相交于原点O，若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象将菱形ABCD分成面积之比为1∶3的两个平行四边形，则该一次函数的解析式为 　y＝ x＋1或y＝ x－1或y＝－ x＋1或y＝－ x－1　.
y＝ x＋1或y＝ x－1或y＝－ x＋1或y＝
－ x－1　
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3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1个单位长度的正方形ABCD的边BC平行于x轴，点A，C分别在直线OM，ON上，点A的坐标为（3，3），矩形EFGH的顶点E，G也分别在射线OM，ON上，且FG平行于x轴，EF∶FG＝3∶5.
（1） 点B的坐标为 　（3，2）　，直线ON对应的函数解析式为 　y＝ x　.
（3，2）　
y＝ x　
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（2） 当EF＝3时，求点H的坐标.
解：（2） ∵ EF＝3，EF∶FG＝3∶5，∴ FG＝5.∵ 点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），∴ F（e，e－3），G（e＋5，e－3），H（e＋5，e）.∵ 点G在直线ON上，
∴ e－3＝ （e＋5），解得e＝11.∴ H（16，11）.
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解：（3） S1∶S2的值是一个常数.如图，延长EF交x轴于点J，延长HG交x轴于点K. 设E（a，a），EF＝3m，则FG＝5m，G（a＋5m，a－3m）.∵ 点G在直线y＝ x上，∴ a－3m＝ （a＋5m）.∴ a＝11m.∴ E（11m，11m），H（16m，11m）， F（11m，8m），G（16m，8m），J（11m，0），K（16m，0）.∴ S△OEG＝S△OEJ＋S梯形EJKG－S△OKG＝ ×11m×11m＋ （8m＋11m）·5m－ ×16m×8m＝44m2，S矩形EFGH＝EF·FG＝15m2.∴ ＝ ＝ .
（第3题答案）
（3） 连接EG，若△OEG的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，则S1∶S2的值是一个常数吗？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
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3(共13张PPT)
第二十三章 一次函数
23.1　一次函数的概念
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基础进阶
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素能攀升
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思维拓展
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1. 下列说法中，正确的是（　C　）
A. y＝2x是正比例函数，但不是一次函数
B. y＝ 不是一次函数
C. y＝－ x＋1是一次函数
D. y＝10（x＋3）是正比例函数
C
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2. 有下列函数：① y＝－x＋1；② y＝ ；③ y＝ ＋1；④ y＝x（x－3）.其中，是一次函数的个数为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数解析式为 　Q＝50－ 　.
B
Q＝50－ 　
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（1） 当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
解：（1） 当函数y＝（5m－3）x2－n＋（m＋n）是正比例函数时， 解得
4. 已知函数y＝（5m－3）x2－n＋（m＋n）.
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（2） 当m，n为何值时，此函数是一次函数？
解：（2） 当函数y＝（5m－3）x2－n＋（m＋n）是一次函数时， 解得
（3） 在（1）的条件下，求x为何值时，y＝4？
解：（3） 由（1）得，y＝－8x.令y＝4，得－8x＝4，解得x＝－ .
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5. （2025·上海闵行期中）有下列说法：① y＝kx是正比例函数；② 如果y＝（a＋3）x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③ 如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④ 如果y＝ x2，那么y与x2成正比例.其中，正确的有（　D　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
D
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6. 如图所示为一支温度计的部分示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，这两个温度值之间的部分对应关系如下表：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
根据以上信息，可以得到y与x之间的函数解析式为（　A　）
A
A. y＝ x＋32 B. y＝x＋32
C. y＝x＋40 D. y＝ x＋32
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7. 如果一次函数y＝kx＋3的自变量的取值增加4，函数值就相应地改变1，那么k的值为（　C　）
A. －4 B. C. ± D. 4
8. （2024·武汉期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.例如：max{4，3}＝4，max{－6，2}＝2.若关于x的函数为y＝max{x＋7，－x＋3}，则该函数的最小值是 　5　.
9. ★用长60cm的铁丝围成等腰三角形框架（连接处忽略不计），底边长为ycm，一腰长为xcm，则y与x之间的函数解析式为 　y＝－2x＋60　，自变量x的取值范围是 　15＜x＜30　.
C
5　
y＝－2x＋60　
15＜x＜30　
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（第10题）
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 9 11 13 15 17 19 …
10. 如图，当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组研究了一个弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表所示：
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（1） 当弹簧不悬挂物体时，长度为 　9　cm，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加 　2　cm.
（2） 直接写出y与x之间的函数解析式： 　y＝2x＋9　.
（3） 当所挂物体的质量为6.5kg时，弹簧的长度为 　22　cm.
（4） 这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为25cm，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？
解：由题意，得2x＋9≤25，解得x≤8.∴ 在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂8kg的物体.
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y＝2x＋9　
22　
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11. 某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、第二次的进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元.
（1） 设第一、第二次购进草莓的箱数分别为a，b，求a，b的值.
解：（1） 由题意，得 解得 即a，b的值分别是10，30.
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① 求该商店售出全部草莓所获利润y（元）与x（箱）之间的函数解析式.
② 当x的值至少为多少时，该商店才不会亏本？
解：（2） ① 由题意，得y＝60x＋35（40－x）－10×50－30×40＝25x－300，即y与x之间的函数解析式为y＝25x－300.② 若该商店要不亏本，则y≥0，即25x－300≥0，解得x≥12.∴ 当x的值至少为12时，该商店才不会亏本.
（2） 若该商店对这40箱草莓先按每箱60元的价格销售了x箱，其余的按每箱35元的价格销售，全部售出（注：按整箱销售，利润＝销售总收入－进货总成本）.
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11(共20张PPT)
第二十三章 一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第3课时　一次函数解析式的求法
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基础进阶
02
素能攀升
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思维拓展
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1. 已知y－3与x成正比例，且函数图象经过点（2，7），则y与x之间的函数解析式为（　B　）
A. y＝2x－3 B. y＝2x＋3
C. y＝x＋5 D. y＝3x＋1
B
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2. 易错题 （2025·兰州城关期末）小磊在画某个一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（　B　）
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 9 5 1 －4 －7 －11 …
A. 1 B. －4 C. －7 D. －11
B
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3. （2025·山东莱州期中）如图，将13个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l对应的函数解析式为 　y＝ x＋1　.
（第3题）
y＝
x＋1　
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4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A（1，0），B.
（1） 求一次函数的解析式和点B的坐标.
解：（1） ∵ 一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴交于点A（1，0），∴ 0＝－2×1＋b，解得b＝2.∴ 一次函数的解析式为y＝－2x＋2.在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴ 点B的坐标为（0，2）.
（第4题）
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（2） 点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，请直接写出点C的横坐标.
解：（2） 由点A，B的坐标，得OA＝1，OB＝2，∴ AB＝ ＝ ＝ .∵ △ABC是等腰三角形，且AB＝BC＝ ，此时点A，C关于y轴对称，∴ 点C的横坐标为－1.
（第4题）
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5. 如图，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为 ，点P在直线y＝－x上运动.当｜PA－PB｜的值最大
时，点P的坐标为（　B　）
B
A. （2，－2） B. （4，－4）
C. D. （5，－5）
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6. （2024·福州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B. 若点B的坐标为（0，1），∠OAB＝15°，则直线AB对应的函数解析式为（　A　）
A. y＝（ －2）x＋1 B. y＝（1－ ）x＋1
C. y＝－ x＋1 D. y＝（ － ）x＋1
A
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7. 已知直线l：y＝2x＋1与直线l'关于x轴对称，则直线l'对应的函数解析式为 　y＝－2x－1　.
8. 如图，一次函数y＝ x＋6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，过点B的直线l平分△ABO的面积且与x轴交于点C，则直线l对应的函数解析式为 　y＝ x＋6　.
y
＝－2x－1　
y＝ x＋
6　
（第8题）
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9. （2025·合肥包河期末）已知直线y1＝－ x＋2和y2＝ x＋m都经过点A（－2，n），且与y轴分别交于B，C两点.
（1） 求m，n的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象.
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解：（1） ∵ 点A（－2，n）在直线y1＝－ x＋2上，∴ n＝3.∴ A（－2，3）.∵ 点A（－2，3）在直线y2＝ x＋m上，∴ 3＝ ×（－2）＋m，解得m＝6.∴ y2＝ x＋6.对于y1＝－ x＋2，令x＝0，则y1＝2.∴ B（0，2）.对于y2＝ x＋6，令x＝0，则y2＝6.∴ C（0，6）.画出两个函数图象如图所示.
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（2） 连接BC，计算△ABC的面积.
解：（2） 如图.S△ABC＝ ×（6－2）×2＝4.
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（3） 结合图象，直接写出当0≤y1＜y2时，自变量x的取值范围.
解：（3） 当0≤y1＜y2时，自变量x的取值范围是－2＜x≤4.
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10. 易错题 在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y＝x＋4－c（c为常数）的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B.
（1） 当c＝2时，OA＝ 　2　.
（2） 若△OAB的面积为8.
① 求出满足条件的函数解析式.
② 若点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且点C在线段AB上，当S△OAC＝7S△OBC时，请求出点C的坐标.
2　
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解：① 对于y＝x＋4－c（c为常数），当x＝0时，y＝4－c；当y＝0时，x＝c－4.∴ A（0，4－c），B（c－4，0）.∴ OA＝｜4－c｜，OB＝｜c－4｜.∵ △OAB的面积为8，∴ ×｜4－c｜×｜c－4｜＝8.∴ （c－4）2＝16，解得c＝8或c＝0.
∴ 满足条件的函数解析式为y＝x－4或y＝x＋4.② ∵ 点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，∴ y＝x＋4.∴ A（0，4），B（－4，0）.∴ OA＝OB＝4.∴ 易得AB＝ ＝4 ，∠ABO＝45°.设点O到直线AB的距离为h.∵ S△OAC＝7S△OBC，∴ AC·h＝7× BC·h.∴ AC＝7BC.
∵ AC＋BC＝AB＝4 ，∴ 8BC＝4 .∴ BC＝ .设点C的坐标为（xC，yC）.∵ ∠ABO＝45°，∴ 易得yC＝ ，xC－xB＝ .∴ xC＝－4＋ ＝－ .∴ 点C的坐标为 .
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11. （2025·宿迁沭阳期末）如图，等腰直角三角形ABC的顶点B，C分别在x轴、y轴上，∠ABC＝90°，点B的坐标是（－1，0），点C的坐标是（0，3），则直线AC对应的函数解析式为 　y＝ x＋3　.
y＝ x＋3　
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12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝4.
（1） 求点B，C的坐标.
解：（1） ∵ 四边形OABC为正方形，OA＝4，∴ OC＝4，A（4，0）.∴ B（4，4），C（0，4）.
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（2） 求直线AC对应的函数解析式.
解：（2） 设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b.将A（4，0），C（0，4）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴ 直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋4.
（3） 已知点E的坐标为（6，3），在直线AC上是否存在一点P，使得PB＋PE的值最小？若存在，求出点P的坐标与PB＋PE的最小值；若不存在，请说明理由.
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解：（3） 存在.如图，连接OP，OE，OB，过点E作EF⊥x轴于点F. ∵ 四边形OABC为正方形，∴ AC⊥OB且AC平分OB，即AC为OB的垂直平分线.∴ PB＝PO. ∴ PB＋PE＝PO＋PE. ∴ 当点O，P，E在同一条直线上时，PB＋PE的值最小，最小值为线段OE的长.∵ 点E的坐标为（6，3），∴ OF＝6，EF＝3.在Rt△OEF中，由勾股定理，得OE＝ ＝3 ，∴ PB＋PE的最小值为3 .设直线OE对应的函数解析式为y＝mx.将E（6，3）代入y＝mx，得3＝6m，解得m＝ .∴ 直线OE对应的函数解析式为y＝ x.联立 解得 ∴ 点P的坐标为 .
（第12题答案）
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12(共18张PPT)
第二十三章 一次函数
专题特训十二　函数中的思想方法
类型一　分类讨论
1. 当－3≤x≤2时，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的最大值比最小值大5，则下列说法中，正确的是（　A　）
A. k的值为1或－1
B. y随x的增大而减小
C. 该函数的图象不可能经过第一、二、四象限
D. 满足题意的函数解析式只有2个
A
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2. （2024·连云港模拟）现有A，B两种品牌的共享电动车，如图所示为收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌的收费为y1元，B品牌的收费为y2元.
（1） 写出图中函数y1，y2的图象的交点P表示的实际意义.
解：（1） 交点P表示的实际意义是当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车的收费都为8元.　
（第2题）
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（2） 求y1，y2关于x的函数解析式.
解：（2） 设y1＝k1x（x＞0），将（20，8）代入，得20k1＝8，解得k1＝0.4.∴ y1＝0.4x（x＞0）.由题图可知，当0＜x≤10时，y2＝6.设当x＞10时，y2＝k2x＋b，将（10，6），（20，8）代入，得 解得 ∴ 当x＞10时，y2＝0.2x＋4.∴ y2＝ 　
（第2题）
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（3） ① 如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
② 当x为何值时，两种品牌的共享电动车的收费相差3元？
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解：（3） ① 小明从家骑行到工厂所需时间为 ＝30（min），A品牌的共享电动车所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌的共享电动车所需费用为0.2×30＋4＝10（元）.∵ 12＞10，∴ 选择B品牌的共享电动车更省钱.② 当0＜x≤10时，令y2－y1＝3，∴ 6－0.4x＝3，解得x＝7.5.当x＞10时，令y2－y1＝3或y1－y2＝3，∴ 0.2x＋4－0.4x＝3或0.4x－（0.2x＋4）＝3，解得x＝5（不合题意，舍去）或x＝35.综上所述，当x的值为7.5或35时，两种品牌的共享电动车的收费相差3元.
（第2题）
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3. （2024·临汾期末）如图，直线l1：y＝ x＋ 与直线l2：y＝－2x＋16相交于点C，l1，l2分别交x轴于A，B两点.
（1） 求△ABC的面积.
解：（1） 令 x＋ ＝0，则x＝－4.∴ 点A的坐标为（－4，0）.令－2x＋16＝0，则x＝8.∴ 点B的坐标为（8，0）.∴ AB＝8－（－4）＝12.联立 解得 ∴ 点C的坐标为（5，6）.∴ S△ABC＝ AB·yC＝ ×12×6＝36.　
（第3题）
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② G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标.
（2） 过点B作x轴的垂线，交直线l1于点D，过点D作x轴的平行线，交直线l2于点E，过点E作x轴的垂线，交x轴于点F.
① 求线段EF的长.
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解：（2） ① ∵ BD⊥x轴，点B的坐标为（8，0），
∴ 点D的横坐标为8.把x＝8代入y＝ x＋ ，得y＝ ×8＋ ＝8，∴ 点D的坐标为（8，8）.∵ EF⊥x轴，
∴ EF∥BD.
（第3题）
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∵ ED∥BF，∴ 易得四边形BDEF是矩形.∴ EF＝BD＝8.② ∵ B（8，0），D（8，8），∴ 设E（a，8）.∵ 点E（a，8）在直线l2：y＝－2x＋16上，∴ 8＝－2a＋16，解得a＝4.∴ 点E的坐标为（4，8）.设点G的坐标为（m，n）.（ⅰ） 当CD，EG为对角线时，CD，EG的中点重合，即对角线的交点，∴ 易得CD的中点坐标为 ，即 .∴ 易得 ＝ ， ＝7，解得m＝9，n＝6.∴ 点G的坐标为（9，6）.（ⅱ） 当CE，GD为对角线时，易得CE的中点坐标为 ，即 ，∴ 易得 ＝ ， ＝7，解得m＝1，n＝6.∴ 点G的坐标为（1，6）.（ⅲ） 当ED，CG为对角线时，易得ED的中点坐标为 ，即（6，8），∴ 易得 ＝6， ＝8，解得m＝7，n＝10.∴ 点G的坐标为（7，10）.综上所述，点G的坐标为（9，6）或（1，6）或（7，10）.
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类型二　方程思想
4. （2024·扬州期末）【模型探究】 如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，点C在直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E. 若AD＝3，BE＝4，求DE的长.
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解：【模型探究】 ∵ AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，∴ ∠ADC＝∠CEB＝90°.
∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＋∠BCE＝90°.∵ ∠ACD＋∠CAD＝90°，∴ ∠CAD＝∠BCE. ∵ AC＝CB，∴ △ADC≌△CEB. ∴ AD＝CE＝3，CD＝BE＝4.∴ DE＝CE＋CD＝3＋4＝7.
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【迁移应用】 如图②，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点.
（1） OA的长为 　2　，OB的长为 　4　.
（2） 将直线l1绕点B按顺时针方向旋转45°得到直线l2，求直线l2对应的函数解析式.
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【迁移应用】 （2） 如图①，在直线l2上取点C，使AC＝BC. 过点B作BD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴于点N，延长NC交BD于点D，则易得BD⊥DN. ∵ AC＝BC，∠ABC＝45°，∴ ∠CAB＝∠ABC＝45°.∴ ∠ACB＝90°.同【模型探究】，得△BCD≌△CAN. ∴ CD＝AN，BD＝CN. 设CD＝AN＝x，则易得BD＝CN＝OA＋AN＝2＋x.易得OB＝DN＝CN＋CD. ∴ 2＋x＋x＝4，解得x＝1.∴ C（－3，3）.设直线l2对应的函数解析式为y＝kx＋b.将B（0，4），C（－3，3）代入，得 解得 ∴ 直线l2对应的函数解析式为y＝ x＋4.
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【拓展延伸】 如图③，直线AB：y＝2x＋8与x轴、y轴分别交于A，B两点，若C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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【拓展延伸】 存在.由题意，易得A（－4，0），B（0，8）.① 当四边形ADCB为正方形时，如图②，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO. ∴ DN＝AO＝4，AN＝BO＝8.∴ ON＝AO＋AN＝12.∴ D（－12，4）.② 当四边形ACDB为正方形时，如图③，过点D作DN⊥y轴于点N，易证△BDN≌△ABO. ∴ BN＝AO＝4，DN＝BO＝8.∴ ON＝BO＋BN＝12.∴ D（－8，12）.③ 当以AB为对角线，四边形ACBD为正方形时，如图④，过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，交ND的延长线于点M，易证△ADN≌△DBM. ∴ DN＝BM，AN＝DM. 设ON＝m，则BM＝m，DM＝AN＝AO＋ON＝4＋m，DN＝BM＝m，易得MN＝OB＝DM＋DN，∴ 4＋m＋m＝8.∴ m＝2.∴ D（2，2）.综上所述，点D的坐标为（－12，4）或（－8，12）或（2，2）.
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类型三　数形结合
5. （2024·南通通州期中）已知函数y＝kx＋b的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（0，2）.
（1） 求k，b的值.
解：（1） ∵ 函数y＝kx＋b的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴ k＝1.将（0，2）代入y＝x＋b，得b＝2.∴ k的值为1，b的值为2.
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（2） 过点（1，0）作x轴的垂线，交函数y＝kx＋b的图象于点P，交函数y＝x的图象于点M，过点P作x轴的平行线，交函数y＝x的图象于点N. 请判断线段PM，PN的数量关系，并说明理由.
解：（2） PM＝PN. 理由：如图，将x＝1代入y＝x＋2，得y＝3.∴ 点P的坐标为（1，3）.将x＝1代入y＝x，得y＝1.∴ 点M的坐标为（1，1）.∴ PM＝3－1＝2.将y＝3代入y＝x，得x＝3.∴ 点N的坐标为（3，3）.∴ PN＝3－1＝2.∴ PM＝PN.
（第5题答案）
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5(共17张PPT)
第二十三章 一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第3课时　实际问题与一次函数（3）
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·锦州凌河期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：
超　市 甲 乙
销售方案 每盒优惠价 420元 每盒标价480元，若
购买数量超过3盒，
则超出部分打八折
已知购买礼盒所需费用y（元）与数量x（盒）之间的关系为一次函数关系，小明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了（　C　）
A. 7盒 B. 8盒 C. 9盒 D. 10盒
C
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2. 为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗共21棵（两种树苗均购买）.已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元.设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需的费用为y元.
（1） y与x之间的函数解析式为 　y＝－20x＋1890　.
（2） 如果购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，那么费用最省的方案所需费用为 　1690　元.
y＝－20x＋1890　
1690　
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3. （2025·烟台招远期中）某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品.老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品3个需用去88元；如果购买甲奖品3个和乙奖品5个需用去140元.
（1） 甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
解：（1） 设甲奖品的单价是a元，乙奖品的单价是b元.由题意，得 解得 ∴ 甲奖品的单价是20元，乙奖品的单价是16元.
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（2） 由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好A，B两个商场对甲奖品搞促销活动，其中A商场按原价九折销售；B商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的六折销售，现学校需要购买x个甲奖品（x＞6），设在A商场购买x个甲奖品需要y1元，在B商场购买x个甲奖品需要y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数解析式.
解：（2） y1＝20x×0.9＝18x.y2＝20×6＋20（x－6）×0.6＝12x＋48.
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（3） 在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出“去哪个商场购买甲奖品更省钱”的方案.
解：（3） 当x＞6时，令18x＝12x＋48，解得x＝8；令18x＞12x＋48，解得x＞8；令18x＜12x＋48，解得x＜8，则6＜x＜8.∵ x为整数，∴ 当购买甲奖品的数量为7个时，到A商场购买更省钱；当购买甲奖品的数量为8个时，到两个商场购买价格相同；当购买甲奖品的数量超过8个时，到B商场购买更省钱.
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4. （2025·宁德古田期中）李叔叔近期在做橘子生意，10月6日这天选用如图①所示方案中的一种进行销售，已知当天橘子全部售完，销售成本为350元.如图②所示为10月6日的销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系，有下列说法：① 当天李叔叔选用了方案二销售；② 当天的销售量为150千克；③ 当天销售量为120千克时，获利150元；④ 从获利角度看，当天选用方案三不如方案一.其中，正确的是（　D　）
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A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
答案：D
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5. （2025·无锡锡山四模）甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有20s，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为30s，甲、乙两车与甲车出发点间的距离y（m）与行驶时间x（s）的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 　30　s可与乙车相遇.
30　
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6. （2025·合肥庐阳期中）为解决山区复杂地形中的旅游垃圾问题，某无人机设计改造团队用15万元购进A，B两种原型无人机进行升级改造为“擒龙手”新型无人机捡拾垃圾，已知A，B两种原型无人机的进价分别为0.6万元/台和0.8万元/台，且A种原型无人机比B种原型无人机少3台.
（1） 求该团队分别购进A，B两种原型无人机的台数.
解：（1） 设该团队购进A种原型无人机a台，购进B种原型无人机b台.根据题意，得 解得 ∴ 该团队购进A种原型无人机9台，购进B种原型无人机12台.
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（2） 该团队的每台原型无人机经升级改造后均在其原价的基础上提价50％进行销售.某景区物业管理公司准备从该团队购进A，B两种型号的新型无人机共10台（每种型号至少1台），为景区卫生“保驾护航”.该团队给出了以下两种优惠方案，并规定购买时只能选择其中一种：方案一，全部打八折；方案二，按标价购买，赠送每种型号的新型无人机各1台.
① 设方案一、方案二的最终花费分别为y1元、y2元，需要A种新型无人机x台，求y1，y2与x之间的函数解析式.
② 若采用方案一购买时花费较少，则最多购买A种新型无人机多少台？
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解：（2） ① 每台A种新型无人机的销售标价为0.6×（1＋50％）＝0.9（万元），每台B种新型无人机的销售标价为0.8×（1＋50％）＝1.2（万元），∴ y1＝0.8×0.9x＋0.8×1.2（10－x）＝－0.24x＋9.6，y2＝0.9×（x－1）＋1.2×（10－x－1）＝－0.3x＋9.9.② 当－0.24x＋9.6＜－0.3x＋9.9时，解得x＜5.∵ x为正整数，∴ 最多购买A种新型无人机4台.
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7. （2025·南通海门期中）某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满.根据下表所示的信息，解答以下问题.
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/元 1200 1600 1000
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（1） 设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数解析式.
解：（1） ∵ 装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，∴ 装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y）.∴ 6x＋5y＋4（20－x－y）＝100，整理，得y＝－2x＋20（1≤x≤9，且x为整数）.
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（2） 如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
解：（2） 由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x，－2x＋20，x.由题意，得 解得4≤x≤8.∵ x为整数，∴ x的值可以取4，5，6，7，8.∴ 安排方案共有5种.方案一：装运A种脐橙4辆，B种脐橙12辆，C种脐橙4辆；方案二：装运A种脐橙5辆，B种脐橙10辆，C种脐橙5辆；方案三：装运A种脐橙6辆，B种脐橙8辆，C种脐橙6辆；方案四：装运A种脐橙7辆，B种脐橙6辆，C种脐橙7辆；方案五：装运A种脐橙8辆，B种脐橙4辆，C种脐橙8辆.
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（3） 在（2）的条件下，若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？请求出最大利润.
解：（3） 设利润为W元.∴ W＝6x×1200＋5×（－2x＋20）×1600＋4x×1000＝－4800x＋160000.∵ －4800＜0，∴ W随x的增大而减小.∴ 要使利润W最大，则x＝4.∴ 选（2）中的方案一，W最大＝－4800×4＋160000＝140800.∴ 当装运A种脐橙4辆，B种脐橙12辆，C种脐橙4辆时，获利最大，最大利润为140800元.
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7(共17张PPT)
第二十三章 一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第1课时　正比例函数的图象和性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 对于正比例函数y＝－3x的图象，下列判断中，不正确的是（　A　）
A. 点（0，－3）在该图象上
B. 图象是一条直线
C. y随x的增大而减小
D. 图象与y轴交于原点
2. 已知函数y＝（m＋1）· 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　B　）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
A
B
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3. 若点（x1，y1），（x2，y2）都在函数y＝ x的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的关系为（　C　）
A. y1＞y2 B. y1＝y2
C. y1＜y2 D. y1·y2＝0
C
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4. 正比例函数y＝（1－k）x的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是 　k＞1　.
5. 已知变量y与x成正比例，且当x＝4时，y＝2.
（1） 写出y关于x的函数解析式.
解：（1） 设y关于x的函数解析式为y＝kx（k≠0）.
∵ 当x＝4时，y＝2，∴ 4k＝2，解得k＝0.5.∴ y关于x的函数解析式为y＝0.5x.　
k＞1　
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（2） 当x＝5时，求y的值.
解：（2） 把x＝5代入y＝0.5x，可得y＝2.5.　
（3） 当y＝10时，求x的值.
解：（3） 把y＝10代入y＝0.5x，可得x＝20.　
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（4） 当－2＜x≤6时，画出函数图象，并求y的取值范围.
解：（4） 把x＝－2代入y＝0.5x，可得y＝－1；把x＝6代入y＝0.5x，可得y＝3.∴ 画出函数图象如图所示.由图象，可得y的取值范围是－1＜y≤3.
（第5题答案）
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6. （2025·揭阳惠来期末）如图，三个正比例函数的图象对应的函数解析式分别如下：① y＝ax；② y＝bx；③ y＝cx.下列用“＜”表示a，b，c的大小关系正确的是（　B　）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b
C. c＜b＜a D. a＜c＜b
B
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7. 如果正比例函数y＝（3k－2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 　k＜ 　.
8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4……依次进行下去，则点A2026的坐标为 　（－21013，21013）　.
k＜ 　
（－21013，21013）　
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9. 已知y－2与3x－4成正比例，且当x＝2时，y＝3.
（1） 写出y与x之间的函数解析式.
解：（1） 由题意，设y－2＝k（3x－4）（k≠0）.将x＝2，y＝3代入，得2k＝1，解得k＝ .∴ y－2＝ （3x－4），即y＝ x.　
（2） 若点P（a，－3）在这个函数的图象上，求a的值.
解：（2） 将P（a，－3）代入y＝ x，得 a＝－3，解得a＝－2.　
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（3） 若y的取值范围是－1≤y≤1，求x的取值范围.
解：（3） 当y＝－1时， x＝－1，解得x＝－ ；当y＝1时， x＝1，解得x＝ .∴ x的取值范围是－ ≤x≤ .
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10. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫作“整点坐标”.已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线x＝3及x轴围成三角形.
（1） 若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1），则：
① k的值为 　1　.
② 该三角形内（不含边界）的“整点坐标”有 　1　个.
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（2） 若在x轴上方由已知形成的三角形内（不含边界）有3个“整点坐标”，求k的取值范围.
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解：如图，当直线y＝kx过点C（2，3）时，其对应的函数解析式为y＝ x；当直线y＝kx过点A（3，3）时，其对应的函数解析式为y＝x.∴ 由图，可知当三角形内（不含边界）有3个“整点坐标”时，k的取值范围是1＜k≤ .
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11. 如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于点H，且△AOH的面积为3.
（1） 求正比例函数的解析式.
解：（1） ∵ 点A（3，a）在第四象限，∴ OH＝3，AH＝－a.∵ △AOH的面积为3，∴ OH·AH＝3，即 ×3×（－a）＝3，解得a＝－2.∵ 正比例函数y＝kx的图象经过点A（3，－2），　∴ －2＝3k，解得k＝－ .∴ y＝－ x.
（第11题）
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（2） 若点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是5时，求点C的坐标.
解：（2） ∵ △ABC的面积是5，AH＝2，∴ BC·AH＝5.
∴ BC＝5.∵ 点B的坐标为（1，0），∴ 易得点C的坐标为（6，0）或（－4，0）.
（第11题）
（3） 若M为y轴上的一个动点，N为平面内任意一点，则是否存在点N，使得以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
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解：（3） 存在.在Rt△AOH中，AO＝ ＝ ＝ .① 当AO，OM为边时，∵ 四边形OANM是菱形，∴ AN∥OM，AN＝OM＝AO＝ .∴ 点N的坐标为（3，－2＋ ）或（3，－2－ ）.② 当AO为对角线，OM为边时，设点M的坐标为（0，m）.∵ 四边形OMAN是菱形，∴ AN∥OM，AN＝OM，OM＝AM. ∴ OM2＝AM2.∴ 易得（－m）2＝32＋（－2－m）2，解得m＝－ .∴ M . ∴ AN＝OM＝ .∴ 易得点N的坐标为 .③ 当OM为对角线，AO为边时，∵ 四边形ONMA为菱形，∴ 点A和点N关于y轴对称.∴ N（－3，－2）.综上所述，符合条件的点N的坐标为（3，－2＋ ）或（3，－2－ ）或 或（－3，－2）.
（第11题）
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第二十三章 一次函数
23.3　一次函数与方程（组）、不等式
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1. （2025·大连沙河口模拟）如图所示为一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象，则关于x的方程kx＋b＝0的解是（　A　）
A. x＝3 B. x＝－2 C. x＝0 D. x＝－
A
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2. 函数y＝kx＋b的图象如图所示，点P的坐标为（1，3），则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为 　x＜1　.
x＜1　
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3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（－2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
（第3题）
（1） 求k，b的值.
解：（1） 把x＝1代入y＝3x，得y＝3.∴ 点C的坐标为（1，3）.把C（1，3），A（－2，6）代入y＝kx＋b，得 解得
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（2） 关于x的方程组 的解是 　 　.
（3） 关于x的不等式组 的解集是 　0＜x＜4　.
　
0＜x＜4　
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4. 如图，函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象，可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是（　B　）
A. x＞－5 B. x＞－2
C. x＞－3 D. x＜－2
B
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5. 如图，直线y＝x＋3分别与x轴、y轴交于点A，C，直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点B，C. 若P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
B
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6. （2024·常州期末）如图，直线y＝ax－2与直线y＝mx＋b的交点的横坐标为－5，根据图象，下列结论中，错误的是（　D　）
A. a＜0
B. 方程ax－2＝mx＋b的解是x＝－5
C. b＞0
D. 关于x的不等式mx＋b≥ax－2的解集是x≤－5
D
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7. ★如图，直线y＝kx＋b和y＝mx＋n交于点P（1，1），直线y＝mx＋n交x轴于点（2，0），则关于x的不等式组0＜mx＋n＜kx＋b的解集是 　1＜x＜2　.
1＜x＜2　
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8. 小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶的加热速度比乙壶快.在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画出函数图象如图所示.
（第8题）
（1） 加热前水温是 　20　℃.
20　
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（3） 当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 　65　℃.
解：（2） 设乙壶中水温y（℃）关于加热时间x（s）的函数解析式为y＝kx＋b.将（0，20），（160，80）代入y＝kx＋b，得 解得
∴ y＝ x＋20（0≤x≤160）.
65　
（2） 求乙壶中水温y（℃）关于加热时间x（s）的函数解析式.
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9. （2025·宿迁沭阳期末）如图，直线y＝－ x＋3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ.
（1） 求点C的坐标.
（2） 若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 　2或4　.
解：（1） 联立 解得 ∴ C（2，2）.
（第9题）
2或4　
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（3） 若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数解析式.
解：（3） 令－ x＋3＝0，得x＝6.∴ A（6，0）.∵ CQ平分△OAC的面积，∴ 易得Q为OA的中点.∴ Q（3，0）.设直线CQ对应的函数解析式为y＝kx＋b，把C（2，2），Q（3，0）代入，得 解得 ∴ 直线CQ对应的函数解析式为y＝－2x＋6.
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10. 如图，直线AB：y＝kx＋b经过点B（1，4），且与直线y＝－x－11平行，与直线y＝2x－4交于点C.
（1） 求直线AB对应的函数解析式及点C的坐标.
解：（1） ∵ 直线y＝kx＋b与直线y＝－x－11平行，∴ k＝－1.
∵ 直线y＝－x＋b经过点B（1，4），∴ －1＋b＝4，解得b＝5.
∴ 直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋5.∵ 直线y＝2x－4与直线AB交于点C，∴ 联立 解得 ∴ 点C的坐标为（3，2）.
（第10题）
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（2） 根据图象，直接写出关于x的不等式组0＜2x－4＜kx＋b的解集.
解：（2） 2＜x＜3.
（第10题）
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（3） 现有一点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴，交直线y＝2x－4于点Q. 若点C到线段PQ的距离为1，求点P的坐标，并写出线段PQ的长.
解：（3） ∵ 点C（3，2）到线段PQ的距离为1，PQ∥y轴，∴ 点P的横坐标为2或4.∵ 点P在直线AB：y＝－x＋5上，∴ 当x＝2时，y＝－2＋5＝3；当x＝4时，y＝－4＋5＝1.∴ 点P的坐标为（2，3）或（4，1）.∵ PQ∥y轴，PQ交直线y＝2x－4于点Q，
∴ 当x＝2时，y＝2×2－4＝0；当x＝4时，y＝2×4－4＝4.∴ 当点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（2，0）；当点P的坐标为（4，1）时，点Q的坐标为（4，4）.∴ PQ＝3－0＝3或PQ＝4－1＝3，即线段PQ的长为3.
（第10题）
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第二十三章 一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第2课时　一次函数的图象和性质
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1. （2025·唐山路北期中）对于一次函数y＝2x－1，下列结论中，正确的是（　D　）
A. 图象与y轴交于点（0，2）
B. y随x的增大而减小
C. 图象经过第一、二、三象限
D. 图象与y轴交于原点的下方
D
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2. （2025·宝鸡陈仓一模）若点P（a，b）在平面直角坐标系中的第三象限，则一次函数y＝ax＋b的大致图象是（　D　）
3. （2024·徐州期末）在一次函数y＝（m＋1）·x｜m｜－1＋2中，若y随x的增大而减小，则m的值为 　－2　.
D
－2　
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（1） 若这个函数的图象经过原点，求m的值.
解：（1） ∵ 这个函数的图象经过原点，∴ m－3＝0，解得m＝3.
（2） 若这个函数是一次函数，且y随x的增大而减小，求m的取值范围.
解：（2） ∵ 这个函数是一次函数，且y随x的增大而减小，∴ 2m＋1＜0，解得m＜－ .
（3） 若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围.
解：（3） ∵ 这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，
∴ 解得m＞3.
4. 已知函数y＝（2m＋1）x＋m－3.
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5. （2025·扬州）已知m2025＋2025m＝2025，则一次函数y＝（1－m）x＋m的图象不经过（　D　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
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6. 分类讨论思想 （2024·株洲期末）已知一次函数y＝kx＋b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是－2≤y≤4，则kb的值为 　－6或－12　.
7. 如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B，C的坐标分别为（6，2），（4，0）.若直线y＝4x＋1以每秒2个单位长度的速度向下平移，则经过 　4或8　秒该直线可将 OABC分成面积之比为1∶3的两部分.
－6或－12　
4或8　
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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y＝ x（x≥0）上.若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则点B2026的纵坐标为 　 ×22025　.
×22025　
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9. （2024·南通）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别为（3，0），（0，3）.直线y＝kx＋b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中包含原点部分的面积为 ，则k的值为 　 　.
　
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（1） 若点 在一次函数y＝ax－a＋1的图象上，求a的值.
解：（1） 把 代入y＝ax－a＋1，得－ a－a＋1＝3，解得a＝－ .
（2） 当－1≤x≤2时，函数有最大值2，请求出a的值.
解：（2） ① 当a＞0时，y随x的增大而增大，则当x＝2时，y有最大值2.把x＝2，y＝2代入函数解析式，得2＝2a－a＋1，解得a＝1.② 当a＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝－1时，y有最大值2.把x＝－1，y＝2代入函数解析式，得 2＝－a－a＋1，解得a＝－ .∴ a的值为－ 或1.
10. 易错题 已知一次函数y＝ax－a＋1（a为常数，且a≠0）.
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11. 新考向·探究性学习 （2025·烟台蓬莱期末）
请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2｜x＋1｜－3的图象和性质.
（1） 列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 3 m －1 －3 －1 n 3 …
表格中，m＝ 　1　，n＝ 　1　.
（2） 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
1　
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解：（2） 如图所示.
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② 对称性： 　函数y＝2｜x＋1｜－3的图象关于直线x＝－1对称　.
函数y＝2｜x＋1｜－3的图象关于直线x＝－1对称　
（3） 观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质.
① 最值性： 　函数y＝2｜x＋1｜－3有最小值，最小值为－3　.
函数y＝2｜x＋1｜－3有最小值，最小值为－3　
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12. （2025·广州越秀期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知直线AD的函数解析式为y＝ x＋4，P是直线BD上一动点，则AP＋OP的最小值为（　A　）
A. B. 4 C. 5 D. 5
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13. 在平面直角坐标系中，直线y＝2x－8与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1） 求点A，B的坐标.
解：（1） 在y＝2x－8中，令y＝0，即2x－8＝0，解得x＝4；令x＝0，得y＝－8.∴ 点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，－8）.
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（2） 平移线段AB，使得点A，B的对应点M，N分别落在直线l1：y＝3x＋6和直线l2：y＝x＋4上，求点M，N的坐标.
解：（2） 由（1），知A（4，0），B（0，－8）.当点N在直线l2：y＝x＋4上时，设N（t，t＋4）.∵ 线段MN是由线段AB平移得到的，点B（0，－8）平移得到点N（t，t＋4），∴ 易得点A（4，0）相应平移得到点M（t＋4，t＋4＋8），即点M的坐标为（t＋4，t＋12）.∵ 点M在直线l1：y＝3x＋6上，∴ 3（t＋4）＋6＝t＋12.∴ t＝－3.∴ 点M的坐标为（1，9），点N的坐标为（－3，1）.
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解：（3） ∵ 线段AB平移得到线段MN，∴ AB∥MN，AB＝MN. ∴ 四边形ABNM是平行四边形.连接对角线AN，BM相交于点C. ∴ AN，BM互相平分，即C是AN的中点.∵ A（4，0），N（－3，1），∴ 易得点C的坐标为 .∵ y＝kx＋ （1－k）＝kx－ k＋ ＝k ＋ ，∴ 直线y＝kx＋ （1－k）恒过点 .∵ 是四边形ABNM的对角线的交点，∴ 易得直线y＝kx＋ （1－k）（k≠0）恒将四边形ABNM分成面积相等的两部分.
（3） 在（2）的条件下，求证：直线y＝kx＋ （1－k）（k≠0）恒将四边形ABNM分成面积相等的两部分.
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第二十三章 一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第2课时　实际问题与一次函数（2）
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1. 某校计划购买一批跳绳，甲、乙两家体育专卖店的标价均为12元/根，现推出各自的优惠方案.商店甲：若购买超过20根，超过部分按每根跳绳标价的八折出售.商店乙：若购买超过15根，超过部分按每根跳绳标价的九折出售，每根再优惠1元.若购买跳绳的数量为x根，两个商店购买跳绳的价格分别为y甲元、y乙元，则下列判断中，不正确的是（　C　）
A. 若购买60根跳绳，选乙商店合算
B. 当x≤15时，y甲＝y乙
C. 若购买20根跳绳，甲商店比乙商店多用60元
D. 当x＞20时，y甲＝9.6x＋48
C
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2. 小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的原价相同，但各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满a元后，再购买的商品按原价的90％收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95％收费.若累计购物x元，当x＞a时，在甲商场需付钱数为y甲（单位：元），且y甲＝0.9x＋10；当x＞50时，在乙商场需付钱数为y乙（单位：元）.有下列说法：① y乙＝0.95x＋2.5；② 当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③ 当累计购物超过150元时，选择甲商场优惠些；④ a＝100.其中，正确的是 　①③④　（填序号）.
①③④　
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3. （2025·连云港海州期末）春节期间，某批发商欲将一批水果由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表（总费用＝途中损耗总费用＋运费＋装卸费用）：
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运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费/（元/千米） 装卸费用/元
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
（1） 若A地与B地之间的距离为600千米，则火车运输的总费用是 　12200　元；汽车运输的总费用是 　14400　元.
12200　
14400　
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（2） 若A地与B地之间的距离为x千米，请直接写出火车运输的总费用y1（元）、汽车运输的总费用y2（元）分别与x（千米）之间的函数解析式.
解：（2） y1＝200× ＋15x＋2000＝17x＋2000.y2＝200× ＋20x＋900＝22.5x＋900.
（3） 如果选择火车运输方式合算，那么x的取值范围是多少？
解：（3） 令17x＋2000＜22.5x＋900，∴ x＞200.∴ 如果选择火车运输方式合算，那么x＞200.
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4. （2025·合肥庐阳期中）甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售.活动期间，某游客的葡萄采摘量为x千克，若在甲采摘园所需总费用为y甲元，在乙采摘园所需总费用为y乙元，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　D　）
D
A. 甲采摘园的门票费用是60元
B. 优惠前，两个采摘园葡萄的价格是30元/千克
C. 乙采摘园超过10千克后，超过部分的价格是12元/千克
D. 当5＜x＜20时，去乙采摘园更加优惠
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5. （2025·南通如皋期中）甲、乙两家商场平时都以同样价格出售相同的商品.“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品直接打八折销售，乙商场购买商品后的实付金额y（元）与商品的原价x（元）之间的函数关系如图所示.
（1） 求当x≥300时，y关于x的函数解析式.
解：（1） 当x≥300时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）.将（300，300），（500，440）分别代入y＝kx＋b，得 解得
∴ 当x≥300时，y关于x的函数解析式为y＝0.7x＋90（x≥300）.
（第5题）
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（2） 欢欢计划“五一”期间购买原价为320元的商品，去哪家商场购买更合算？
解：（2） 去甲商场购买，实付款为320×0.8＝256（元）；去乙商场购买，实付款为0.7×320＋90＝314（元）.∵ 256＜314，∴ 去甲商场购买更合算.
（第5题）
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（3） 乐乐“五一”期间要在甲、乙两家商场中的某一家购物，如何选择更省钱？
解：（3） 由题图，易得当0≤x＜300时，y关于x的函数解析式为y＝x（0≤x＜300）.甲商场购买商品后实付金额y（元）与商品的原价x（元）之间的函数关系为y＝0.8x.∴ 当0≤x＜300时，在甲商场购物更省钱.当x≥300时，令0.8x＝0.7x＋90，解得x＝900；令0.8x＜0.7x＋900，解得300≤x＜900；令0.8x＞0.7x＋900，解得x＞900.∴ 当商品原价小于900元时，选择在甲商场购物更省钱；当商品原价为900元时，在两家商场购物实付款一样多，任选一家即可；当商品原价大于900元时，选择在乙商场购物更省钱.
（第5题）
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6. ★一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， h后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以每小时80km的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（km）与货车的出发时间x（h）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1） A，B两地之间的距离是 　60　km，a＝ 　1　.
60　
1　
（第6题）
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（2） 求线段FG对应的函数解析式.
解：（2） 由（1），易得F（1，60）.设线段FG对应的函数解析式为y＝kx＋b（1≤x≤2）.将F（1，60），G（2，0）代入，得 解得 ∴ 线段FG对应的函数解析式为y＝－60x＋120（1≤x≤2）.
（第6题）
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（3） 货车出发多少小时后两车相距15km？
解：（3） 巡逻车的速度为60÷ ＝25（km/h），∴ 易得线段CD对应的函数解析式为y＝25x＋25× ＝25x＋10（0≤x≤2）.当货车第一次追上巡逻车后，80x－（25x＋10）＝15，解得x＝ .当货车返回与巡逻车相遇前，（－60x＋120）－（25x＋10）＝15，解得x＝ .当货车返回与巡逻车相遇后，（25x＋10）－（－60x＋120）＝15，解得x＝ .综上所述，货车出发 h或 h或 h后两车相距15km.
（第6题）
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6(共26张PPT)
第二十三章 一次函数
第二十三章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 一次函数的图象与性质
典例1　（2025·杭州期末）一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a（a，b为常数，且a≠b，a，b均不为0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　B　）
B
[变式]★如图，直线l1：y1＝kx＋m经过点A ，且与直线l2：y2＝－3x＋b相交于点B（2，－1）.
（1） 求直线l1对应的函数解析式及b的值.
解：（1） 将A ，B（2，－1）代入y1＝kx＋m，得 解得 ∴ 直线l1对应的函数解析式为y1＝ x－2.将B（2，－1）代入y2＝－3x＋b，得－6＋b＝－1，解得b＝5.
（2） 利用图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围.
解：（2） x＞2.
（3） 当y1≥0时，求x的取值范围.
解：（3） 在y1＝ x－2中，令y1＝0，则x＝4.∴ 直线y1＝ x－2与x轴交点的坐标为（4，0）.∴ 当y1≥0时，x≥4.
考点二 用待定系数法求一次函数解析式
典例2　（2025·上海宝山期中改编）已知一次函数的图象与y轴的交点到原点的距离为5，且过点（－1，0），则该函数的解析式为 　y＝5x＋5或y＝－5x－5　.
[变式]（2025·烟台莱州期末）已知△ABC的顶点坐标分别为A（－5，0），B（3，0），C（0，3），当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所对应的函数解析式为 　y＝3x＋3　.
y＝5x＋5或y＝－5x－5　
y＝3x＋3　
考点三 一次函数的应用
典例3　已知A，B两地相距300km，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地.当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示.有下列说法：① 甲追上乙时，乙骑行了7h；② 点P的纵坐标为240；③ 线段QM所在直线对应的函数解析式为y＝40x－160；④ 当x＝ 或 或 时，甲、乙相距60km.其中，正确的是（　D　）
（典例3图）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
答案：D
[变式]（2025·池州贵池期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素.小明爸爸根据自家新能源汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些.折线A-B-C表示的是蓄电池的剩余电量y（kW·h）和已行驶路程x（km）之间的关系.
（1） 剩余电量为35kW·h时，汽车已行驶的路程为 　150　km.
（2） 该汽车剩余电量为30kW·h时，已行驶的路程是多少？
150　
解：设线段BC对应的函数解析式为y＝kx＋b（150≤x≤200）.将B（150，35）和C（200，10）分别代入，得 解得 ∴ 线段BC对应的函数解析式为y＝－ x＋110（150≤x≤200）.当y＝30时，－ x＋110＝30，解得x＝160.∴ 该汽车剩余电量为30kW·h时，已行驶的路程是160km.
1. （2025·榆林榆阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋m与直线y＝－4x＋7相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（　B　）
A. B.
C. D.
（第1题）
B
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2. 如图，小明画了一幅藏宝图，他在方格纸上标出了四个点A，B，C，D（都在格点上），AC和BD的交点P就是宝藏所在的位置.若每个小正方形的边长表示实际长度10米，则宝藏距离BC的实际长度是（　B　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
（第2题）
B
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3. 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）.若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式为 　y＝－ x＋ 　.
y＝－ x＋ 　
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4. （2024·广州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，6），（3，0），将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，作直线AC.
（1） 求直线AC对应的函数解析式.
（第4题）
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解：（1） 过点C作CH⊥x轴于点H，如图①，则∠AOB＝∠BHC＝90°.∵ A（0，6），B（3，0），∴ OA＝6，OB＝3.根据旋转的性质，得∠ABC＝90°，AB＝BC，∴ ∠ABO＋∠CBH＝∠CBH＋∠BCH＝90°.∴ ∠ABO＝∠BCH.
∴ △ABO≌△BCH. ∴ AO＝BH＝6，BO＝CH＝3.∴ OH＝3＋6＝9.∴ C（9，3）.∴ 易得直线AC对应的函数解析式为y＝－ x＋6.
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（2） 若D（m，n）是平面内一点，且S△ACD＝S△ABC，求n与m之间的关系.
解：（2） 如图②，过点B作BF⊥AC于点F，延长BF到点E，使FE＝BF，过点E作直线l∥AC，过点B作直线l'∥AC，连接AE，CE. ∵ AB＝BC，∠ABC＝90°，∴ △ABC为等腰直角三角形.∵ BF⊥AC，∴ AF＝CF. ∵ A（0，6），C（9，3），∴ 易得F .
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∴ 易得直线BF对应的函数解析式为y＝3x－9.设E（p，3p－9），根据作图，可知F为BE的中点，∴ 3＋p＝2× ，解得p＝6.∴ E（6，9）.∵ l∥AC，∴ 设直线l对应的函数解析式为y＝－ x＋q，把E（6，9）代入，得9＝－ ×6＋q，解得q＝11.∴ 直线l对应的函数解析式为y＝－ x＋11.同理，可得直线l'对应的函数解析式为y＝－ x＋1.∵ BE⊥AC，BF＝EF，∴ 当点D在直线l或l'上时，S△ACD＝S△ABC.
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当点D（m，n）在直线l上时，n＝－ m＋11，即m＋3n＝33；当点D（m，n）在直线上l'时，n＝－ m＋1，即m＋3n＝3.综上所述，n与m之间的关系为m＋3n＝33或m＋3n＝3.
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5. 如图①，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以45千米/时的速度由B地匀速驶往C地.如图②，折线D-E-F和线段GH分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段EF与GH相交于点M.
（1） A，B两地相距 　420　千米.
420　
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（2） 求折线D-E-F对应的y与x之间的函数解析式.
解：（2） 由题图，可知客车的行驶速度为120÷2＝60（千米/时）.∴ 客车从C地到B地行驶的时间为300÷60＝5（小时）.∴ 点F的坐标为（7，300）.当0≤x≤2时，设DE对应的函数解析式为y＝k1x＋b1，将（0，120），（2，0）代入，得 解得 ∴ y＝－60x＋120.当2＜x≤7时，设EF对应的函数解析式为y＝k2x＋b2.将（2，0），（7，300）代入，得 解得 ∴ y＝60x－120.综上所述，y＝
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（3） 求点M的坐标，并写出点M的实际意义.
解：（3） ∵ 货车的行驶速度为45千米/时，∴ 易得线段GH对应的函数解析式为y＝300－45x .联立 解得 ∴ 点M的坐标为（4，120），点M的实际意义为两车行驶4小时时，两车相遇，此时距离C地120千米.
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6. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价贵2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.
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（1） 甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
解：（1） 设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x＋2）元.根据题意，得 ＝ ，解得x＝10.经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，此时x＋2＝12.∴ 每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元.
（2） 该超市计划购进这两种粽子共200个（两种粽子都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子每个的售价分别为12元、15元，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.
① 求W关于m的函数解析式，并求出m的取值范围.
② 超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
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解：（2） ① ∵ 购进甲种粽子m个，∴ 购进乙种粽子（200－m）个.根据题意，得W＝（12－10）m＋（15－12）（200－m）＝－m＋600，∴ W关于m的函数解析式为W＝－m＋600.∵ 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴ m≥2（200－m），解得m≥ .∵ 两种粽子都有，∴ 0＜m＜200，0＜200－m＜200.
∴ ≤m＜200（m为正整数）.② 由①，知W＝－m＋600，∵ －1＜0，m为正整数，∴ 当m＝134时，W取得最大值，为466，此时200－m＝66.∴ 超市应购进甲种粽子134个，乙种粽子66个才能获得最大利润，最大利润是466元.
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