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(共19张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第6课时　正方形的判定
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（　C　）
A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B. AD∥BC，∠A＝∠C
C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
C
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2. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 有下列四种说法：① 四边形AEDF是平行四边形；② 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③ 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④ 如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形.其中，正确的有 　①②③④　（填序号）.
（第2题）
①②③④　
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3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1） 试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形BPCO为平行四边形.理由：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD. 由题意，得BP＝OC，OB＝CP. ∴ 四边形BPCO为平行四边形.
（第3题）
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（2） 当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？请证明.
解：（2） 当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形.
∵ AC⊥BD，∴ ∠BOC＝90°.∴ 四边形BPCO为矩形.∵ AC＝BD，OC＝ AC，OB＝ BD，∴ OC＝OB. ∴ 四边形BPCO为正方形.
（第3题）
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4. （2025·合肥一模）在矩形ABCD中，E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上（不与顶点重合），顺次连接得到四边形EFGH. 对于任意矩形ABCD，有下列结论：① 存在无数个四边形EFGH是平行四边形；② 存在无数个四边形EFGH是矩形；③ 存在无数个四边形EFGH是菱形；④ 至少存在一个四边形EFGH是正方形.其中，一定正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
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5. （2024·深圳宝安三模）图①是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶.如图②，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点A，C之间的距离）.已知AB＝40cm，∠ADC＝60°，当千斤顶升高 　（40 －40）　cm时，四边形ABCD为正方形.
（40 －40）　
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6. （2024·福建模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB≤2BC，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作 CEFG. 有下列结论：① ∠AEF＝∠DCG；② 矩形ABCD的面积等于 CEFG的面积；③ DE＝AB；④ 四边形CEFG是正方形.其中，一定正确的是 　①④　（填序号）.
①④　
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7. （2025·南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE∥CD，交AC于点E，连接DE.
（1） 求证：四边形BCDE是菱形.
解：（1） ∵ AB＝AD，CB＝CD，∴ AC为BD的垂直平分线，即AC⊥BD，OB＝OD. ∵ BE∥CD，∴ ∠EBO＝∠CDO. 在△EOB和△COD中， ∴ △EOB≌△COD. ∴ EO＝CO.
∴ 四边形BCDE为平行四边形.∵ CB＝CD，∴ 四边形BCDE是菱形.
（第7题）
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（2） 若AB＝ ，E为AC的中点，当BC的长为多少时，四边形BCDE是正方形？请说明理由.
解：（2） 设OB＝x.∵ 四边形BCDE是菱形，∴ 易知当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC＝ x.∵ E为AC的中点，
∴ AE＝CE＝2x.∴ OA＝3x.在Rt△AOB中，∵ OB2＋OA2＝AB2，
∴ x2＋（3x）2＝10，解得x1＝1，x2＝－1（不合题意，舍去）.∴ BC＝ ×1＝ .
（第7题）
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8. （2024·河北期末）如图①，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE.
（1） 求证：BE＝DE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD. 在△ABE和△ADE中， ∴ △ABE≌△ADE. ∴ BE＝DE.
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② 若正方形ABCD的边长为9，CG＝3 ，求正方形DEFG的边长.
（2） 如图②，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
① 求证：四边形DEFG是正方形.
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解：（2） ① 如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则易得四边形EMCN为矩形.
∴ ∠MEN＝90°.∵ E是正方形ABCD对角线AC上的点，∴ EM＝EN. ∵ EF⊥DE，∴ ∠DEF＝90°.
∴ ∠DEN＝∠FEM＝90°－∠FEN. ∵ ∠DNE＝∠FME＝90°.在△DEN和△FEM中， ∴ △DEN≌△FEM.
∴ DE＝FE. ∵ 四边形DEFG是矩形，∴ 四边形DEFG是正方形.② ∵ 四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴ DE＝DG，AD＝DC. ∵ 易知∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴ ∠CDG＝∠ADE.
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在△ADE和△CDG中， ∴ △ADE≌△CDG. ∴ AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°.∵ ∠ACD＝45°，
∴ ∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝90°.∴ CE⊥CG. ∴ 易得CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝ ＝9 .∵ CG＝3 ，∴ CE＝6 .如图，连接EG.
∴ EG＝ ＝ ＝3 .∴ 易得DE＝3 .∴ 正方形DEFG的边长为3 .
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9. 如图①，四边形ABCD是矩形，E是边CD上的一点，F是CB延长线上的一点，且BF＝DE，AF⊥AE.
（1） 求证：四边形ABCD是正方形.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°.∴ ∠ABF＝90°.∵ AF⊥AE，∴ ∠FAE＝90°.∴ ∠FAE＝∠BAD. ∴ ∠FAE－∠BAE＝∠BAD－∠BAE，即∠FAB＝∠EAD. 在△ABF和△ADE中，
∴ △ABF≌△ADE. ∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是正方形.
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（2） 如图②，若CD＝3DE＝6，G是边AD上的一点，连接CG交AE于点H，∠AHG＝45°，求CG的长.
解：（2） 如图，过点A作AM∥CG，交BC于点M，连接ME. ∴ ∠MAE＝∠AHG＝45°.∵ ∠FAE＝90°，∴ ∠MAF＝90°－45°＝45°.
∴ ∠MAF＝∠MAE. 由（1），知△ABF≌△ADE，∴ AF＝AE.
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在△MAF和△MAE中，
∴ △MAF≌△MAE. ∴ FM＝EM. 设BM＝x.∵ CD＝3DE＝6，四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD＝6，BF＝DE＝2，AD∥BC. ∴ EM＝FM＝2＋x，CM＝6－x，CE＝4.∵ ∠BCD＝90°，
∴ 在Rt△MCE中，CM2＋CE2＝EM2，即（6－x）2＋42＝（2＋x）2，解得x＝3.∴ BM＝3.
∵ AB＝CD＝6，∴ 在Rt△ABM中，根据勾股定理，得AM＝ ＝ ＝3 .∵ AM∥CG，AG∥CM，∴ 四边形AMCG是平行四边形.∴ CG＝AM＝3 .
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9(共18张PPT)
第二十一章 四 边 形
专题特训六　正方形中的基本模型
类型一　正方形中的“手拉手”模型
1. （2025·烟台招远期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一条直线l上，且EF＝ ，AB＝4.给出下列结论：① ∠AOD＝135°；② AE＝4＋ ；③ CF＝AD＝ ；④ S△COF＋S△EOF＝3.其中，正确的有（　C　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
（第1题）
C
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2. 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AD⊥CD，AG＝CF，BC＝CD.
（1） 试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
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解：（1） 四边形ABCD是正方形.理由：∵ GD⊥DF，AD⊥CD，∴ ∠FDG＝90°，∠ADC＝90°.∴ ∠ADG＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°.∴ ∠ADG＝∠CDF.
∵ AG⊥DG，DF⊥CE，∴ ∠G＝∠DFC＝90°.∵ AG＝CF，∴ △ADG≌△CDF.
∴ AD＝CD. ∵ BC＝CD，∴ BC＝AD.
∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD＝CD，∠ADC＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形.
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（2） 如图②，在正方形ABCD中，E是边AB上的一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE交CE的延长线于点H，GD⊥DF交HA的延长线于点G，试判断线段HF，AH，CF之间的数量关系，并说明理由.
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解：（2） HF＝AH＋CF. 理由：
∵ DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF，∴ ∠DFH＝∠FHG＝∠FDG＝90°.∴ 四边形HFDG是矩形.∴ ∠G＝90°.∴ 易得∠G＝∠DFC. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD，∠ADC＝90°.∴ 易得∠ADG＝∠CDF.
∴ △ADG≌△CDF. ∴ AG＝CF，DG＝DF.
∴ 四边形HFDG为正方形.∴ HG＝HF. ∵ HG＝AH＋AG＝AH＋CF，∴ HF＝AH＋CF.
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类型二　正方形中的对角互补模型
3. 如图①，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥OF分别交DC，BC于点E，F，连接EF，∠FEC的平分线EP交直线AC于点P.
（1） ① 求证：OF＝OE.
② 写出线段EF，PC，BC之间的等量关系式，并证明你的结论.
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解：（1） ① ∵ OE⊥OF，且在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴ ∠EOF＝90°，∠BOC＝90°，OB＝OC，∠OBF＝∠OCE＝45°.∴ ∠BOC－∠COF＝∠EOF－∠COF，即∠BOF＝∠COE. 在△BOF和△COE中，
∴ △BOF≌△COE. ∴ OF＝OE. ② EF＋ PC＝BC.
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由①，知OE＝OF，∴ ∠OEF＝∠OFE＝45°.∴ 在Rt△OEF中，易得EF＝ OE.
∵ ∠FEC的平分线EP交直线AC于点P，∴ ∠FEP＝∠CEP. ∵ ∠OPE是△CPE的外角，∴ ∠OPE＝∠PCE＋∠CEP＝45°＋∠CEP. ∵ ∠OEP＝∠OEF＋∠FEP＝45°＋∠FEP，∴ ∠OEP＝∠OPE. ∴ OE＝OP. ∴ EF＝ OE＝ OP.
∵ 易知BC＝ OC＝ （OP＋PC），∴ EF＋ PC＝BC.
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（2） 将∠EOF绕点O按逆时针方向旋转一个角度，使点E，F分别在CD，BC的延长线上，请在图②中完成图形，并判断（1）中的结论①②是否分别成立.若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）.
解：（2） 完成图形如图所示.结论①成立；结论②不成立，应为EF－ PC＝BC.
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类型三　正方形中的半角模型
4. 如图，E，F分别是正方形ABCD中BC，CD边上的点，∠EAF＝45°，则三条线段BE，EF，FD的数量关系是 　EF＝BE＋DF　.
EF＝BE＋DF　
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5. 如图①，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的邻补角的平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，垂足分别为B，D.
（1） ∠EAF＝ 　45°　.
45°　
（2） ① 求证：四边形ABCD是正方形.
② 若BE＝EC＝3，求DF的长.
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解：（2） ① 如图①，过点A作AG⊥EF于点G，则∠AGE＝∠AGF＝90°.
∵ AB⊥CE，AD⊥CF，∴ ∠B＝∠D＝90°＝∠C. ∴ 四边形ABCD是矩形.∵ ∠BEF，∠DFE的平分线交于点A，∴ AB＝AG，AD＝AG. ∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是正方形.② 设DF＝x.∵ BE＝EC＝3，∴ BC＝6.由①，得四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD＝6.∴ CF＝CD－DF＝6－x.在Rt△ABE和Rt△AGE中， ∴ Rt△ABE≌Rt△AGE. ∴ BE＝GE＝3.同理，可得GF＝DF＝x.∴ EF＝GF＋GE＝x＋3.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即32＋（6－x）2＝（x＋3）2，解得x＝2.∴ DF的长为2.
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（3） 如图②，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR＝ 　 　.
　
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类型四　正方形中的十字模型
6. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　C　）
A. B. 1 C. D. 2
C
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7. 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF.
（1） 试探索线段AF，DE之间的数量关系，写出你的结论并证明.
解：（1） AF＝DE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ DA＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°.∵ AE＝BF，∴ △DAE≌△ABF.
∴ DE＝AF.
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解：（2） 四边形HIJK是正方形.补全图形如图所示.设AF与DE交于点O.
∵ H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点，∴ 易得HI＝KJ＝ AF，HK＝IJ＝ ED，HI∥AF，KH∥ED. ∵ AF＝DE，∴ HI＝KJ＝HK＝IJ. ∴ 四边形HIJK是菱形.由（1），知△DAE≌△ABF，∴ ∠ADE＝∠BAF.
（2） 连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J，K，并依次连接，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并证明.
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∵ ∠ADE＋∠AED＝90°，∴ ∠BAF＋∠AED＝90°.∴ ∠AOE＝90°.
∵ HI∥AF，KH∥ED，∴ 易得∠KHI＝90°.∴ 四边形HIJK是正方形.
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7(共19张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.2　平行四边形
第1课时　平行四边形及其性质
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·洛阳西工期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点E，连接AE，AB＝2，∠D＝60°，则BE的长为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
B
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2. 平行四边形的两条对角线的长分别为a和b，一边长为12，则a和b的值可能是（　C　）
A. 8和7 B. 9和15
C. 13和14 D. 10和38
C
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3. （2024·邯郸期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若 ABCD的周长为18，则△ABE的周长为 　9　.
9　
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4. 如图，在 ABCD中，E为边BC上的一点，且AB＝AE，连接AC，DE.
（1） 求证：△ABC≌△EAD.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠EAD＝∠AEB. 又∵ AB＝AE，∴ ∠B＝∠AEB. ∴ ∠B＝∠EAD. ∴ △ABC≌△EAD.
（第4题）
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（2） 若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数.
解：（2） 由（1）知，∠B＝∠AEB. ∵ ∠B＝65°，∴ ∠BAE＝180°－65°－65°＝50°.∴ ∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝50°＋25°＝75°.∵ △ABC≌△EAD，∴ ∠BAC＝∠AED＝75°.
（第4题）
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5. （2025·哈尔滨巴彦期中）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，AE与DF交于点O，连接AF，DE. 有下列结论：① BF＝CE；② AE⊥DF；③ S△AOF＝S△DOE；④ EF＝4.其中，正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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6. （2024·渭南华阴期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝2，∠ACB＝30°，则BD的长是（　B　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
B
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7. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E，F. 若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　B　）
A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
B
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8. 易错题 （2025·周口郸城期中）在 ABCD中，边BC上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，则 ABCD的周长为 　12或20　.
9. 如图，在 ABCD中，AB＝15，AD＝14，AC＝13，则 ABCD的面积为 　168　.
12或20　
168　
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10. （2025·上海期中）如图，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC，CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF. 延长AB交边EC于点H，点H在E，C两点之间，连接AE，AF.
（1） 求证：△ABE≌△FDA.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∵ BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，
∴ AB＝FD，EB＝AD，∠ABE＝∠FDA. 在△ABE和△FDA中， ∴ △ABE≌△FDA.
（第10题）
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（2） 当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.
解：（2） ∵ △ABE≌△FDA，∴ ∠AEB＝∠FAD. ∵ AE⊥AF，∠BAD＝32°，∴ ∠EAB＋∠FAD＝90°－∠BAD＝58°.∴ ∠EBH＝∠EAB＋∠AEB＝∠EAB＋∠FAD＝58°.
（第10题）
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11. 如图①，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E，F在 ABCD的对角线AC上.
（1） 求证：∠ABE＝∠CDF.
解：（1） 如图①，连接BD交AC于点O. ∵ 四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，OE＝OF. ∴ ∠BAE＝∠DCF，AE＝CF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE＝∠CDF.
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（2） 如图②，若点E，F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，则∠ABE＝∠CDF是否还成立？请说明理由.
解：（2） 成立.理由：如图②，连接BD交AC于点O. ∵ 四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，∴ BE∥DF，BE＝DF，OA＝OC，OE＝OF. ∴ ∠BEA＝∠DFC，AE＝CF. ∴ △ABE≌△CDF.
∴ ∠ABE＝∠CDF.
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12. 如图，在 ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E是边DC延长线上的一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC长的最小值是（　D　）
A. B. 2 C. D. 2
D
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13. ★如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边AD，BC于点E，F，易证OE＝OF（不需要证明）.
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（1） 如图②，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边BA，DC的延长线于点E，F，求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴ AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD. ∴ ∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F. ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF.
（2） 如图③，连接图②中的DE，BF，其他条件不变.若AB＝2AE，△AOE的面积为1，求四边形BEDF的面积.
解：（2） ∵ AB＝2AE，∴ S△AOB＝2S△AOE＝2.∴ S△BOE＝3.∵ OB＝OD，∴ S△DOE＝S△BOE＝3.∴ S△DEB＝6.∵ △AOE≌△COF，∴ S△AOE＝S△COF＝1.同理，易得S△DFB＝6.∴ S四边形BEDF＝S△DEB＋S△DFB＝12.
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13(共16张PPT)
第二十一章 四 边 形
专题特训五　构造中位线解题
类型一　直接利用中点构造中位线
1. 如图，在四边形ABCD中.AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8.若E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（　A　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
（第1题）
A
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2. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.
（1） 求证：四边形EFGH是平行四边形.
解：（1） 连接BD. ∵ E，H分别为边AB，DA的中点，
∴ EH∥BD，EH＝ BD. ∵ F，G分别为边BC，CD的中点，
∴ FG∥BD，FG＝ BD. ∴ EH∥FG，EH＝FG. ∴ 四边形EFGH是平行四边形.
（第2题）
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（2） 若四边形ABCD的对角线互相垂直，且它们长度的乘积为48，求四边形EFGH的面积.
解：（2） 连接AC. 由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，EH∥BD，EH＝ BD. ∵ G，H分别为边CD，DA的中点，∴ HG∥AC，HG＝ AC. 又∵ AC⊥BD，∴ EH⊥HG. ∴ S四边形EFGH＝EH·HG＝ BD× AC＝ BD·AC＝ ×48＝12.
∴ 四边形EFGH的面积是12.
（第2题）
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3. 如图，B为线段AC上任意一点，F为线段AC的中点，分别以AB，BC为边向AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，M，N分别为AD，CE的中点，连接FM，FN.
（1） 当点B在AC上运动时.
① 求证：FM＝FN.
② 求∠MFN的度数.
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（第3题答案）
解：（1） ① 如图，连接DC，AE交于点P，DC交FN于点Q. ∵ △ABD与△BCE 均为等边三角形，∴ AB＝AD＝DB，BE＝CE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.∴ ∠ABE＝∠DBC.
∴ △ABE≌△DBC. ∴ AE＝DC. ∵ M，N，F分别是AD，CE，AC 的中点，∴ FM∥DC，且 FM＝ DC，FN∥AE，且FN＝ AE. ∴ FM＝FN. ② 由①知，△ABE≌△DBC，∴ ∠AEB＝∠DCB. ∴ 易得∠EPC＝∠EBC＝60°.∵ 易知∠MFN＋∠DQF＝180°，∠EPC＝∠DQF＝60°，∴ ∠MFN＝120°.
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（2） 若AB＝4，BC＝6，求FM的长.
解：（2） 如图，过点M作MK⊥CA于点K. ∵ 易知∠DAC＝60°，AM＝ AD＝2，∴ 易得AK＝1，MK＝ .∴ KF＝ ×（4＋6）－1＝4.∴ MF＝ ＝ ＝ .
（第3题答案）
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类型二　倍长图形的边构造中位线
4. 如图，正方形ABCD、正方形AEFG的边长分别为4，1，将正方形AEFG绕点A旋转，连接DF，M是DF的中点，连接CM，则线段CM长的最大值为 　 ＋2 　.
＋
2 　
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类型三　与角平分线结合构造中位线
5. 如图，在△ABC中，CF，BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF，交CF的延长线于点D，作AG⊥BE，交BE的延长线于点G，连接DG. 若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则DG的长为（　B　）
A. 5.5 B. 5 C. 6 D. 6.5
B
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ADC＝∠BEC＝90°，连接DE，求DE的长.
（第6题答案）
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解：如图，分别延长CE，CD，交AB于点G，H. ∵ ∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，∴ 在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝12.∵ AD平分∠BAC，∠ADC＝90°，∴ AC＝AH＝12，CD＝HD. 同理，可得BC＝BG＝5，CE＝GE. 又∵ AH＋BG－AB＝GH，∴ GH＝12＋5－13＝4.∵ CE＝GE，CD＝HD，∴ DE＝ GH＝ ×4＝2.
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类型四　巧取中点构造中位线
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，且PC＝2，取AP的中点M，连接BM，则BM长的最小值为（　C　）
A.
B.
C. －1
D. 2
（第7题）
C
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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上的点，且CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点.若AE＝1，求MN的长.
（第8题答案）
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解：如图，取AB的中点D，连接MD，ND. ∵ AE＝1，CA＝CB，CE＝CF，
∴ 易得BF＝AE＝1.∵ M，N分别为AF，BE的中点，∴ DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线.∴ DM＝ BF＝ ，DM∥BF，DN＝ AE＝ ，DN∥AE.
∵ AE⊥BF，∴ DM⊥DN. ∴ △DMN为等腰直角三角形.∴ 易得MN＝ ＝ .
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9. （2025·南京期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF. 若∠A＋∠B＝90°，AD＝3，BC＝4，求EF的长.
（第9题答案）
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解：如图，连接AC，取AC的中点G，连接FG，EG. ∵ E，F分别是AB，CD的中点，∴ FG是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线.∴ FG∥AD，EG∥BC，FG＝ AD＝1.5，GE＝ BC＝2.∴ ∠FGC＝∠DAC，∠AEG＝∠B. ∵ ∠CGE＝∠GAE＋∠AEG，∴ ∠FGC＋∠CGE＝∠DAC＋∠GAE＋∠AEG. ∴ ∠FGE＝∠BAD＋∠B＝90°.∴ EF＝ ＝2.5.
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9(共18张PPT)
第二十一章 四 边 形
专题特训七　利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
类型一　平行四边形的折叠问题
1. 如图，在 ABCD中，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处.若△FDE的周长为 16，△FCB的周长为44，则FC的长为 　14　.
14　
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2. 如图，在 ABCD中，点E在边AB上，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE，连接BD，CE. 若AB＝14，AD＝13，BD＝15，设BE＝x，则当点A'落在△CDE内部（含边上）时，x的取值范围是 　1≤x≤2 －5　.
1≤x≤2 －5　
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类型二　矩形的折叠问题
3. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片沿直线EF折叠，使点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH. 有下列结论：① 四边形CFHE是菱形；② EC平分∠DCH；③ 线段CF长的取值范围是3≤CF≤4；④ 当点H与点A重合时，EF＝2 .其中，正确的个数是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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4. （2025·苏州模拟）如图，把一张矩形纸片按如图所示的方法对折两次，然后剪下一张三角形纸片并展开，得到的图形一定是 　菱形　（填“矩形”“菱形”或“正方形”）.
菱形　
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5. （2024·泰州姜堰期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝16，点E在射线BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使得点B的对应点落在点B'处.
（1） 若E为BC的中点，连接CB'，判断AE与CB'的位置关系，并说明理由.
（第5题）
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解：（1） AE∥CB'.理由：如图①，∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ BC＝AD＝16，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，AD∥BC. ∵ E为BC的中点，∴ BE＝CE＝ BC＝8.根据折叠的性质，可知∠AEB＝∠AEB'，BE＝B'E＝8.∴ B'E＝EC. ∴ ∠EB'C＝∠ECB'.∵ ∠BEB'＝∠EB'C＋∠ECB'，∴ ∠AEB＝∠AEB'＝∠EB'C＝∠ECB'.∴ AE∥CB'.　
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（2） 若点B'在矩形ABCD内，且在矩形的对称轴上，求BE的长.
解：（2） 如图②，当点B'在矩形的对称轴MN上时，M，N是对称轴与AD，BC的交点，则AM＝DM＝BN＝CN＝ ×16＝8.∵ AM∥BN，∴ 四边形ABNM为平行四边形.∵ ∠ABN＝90°，∴ 四边形ABNM为矩形.∴ MN＝AB＝10，∠AMN＝∠BNM＝90°.根据折叠的性质，可知AB'＝AB＝10，BE＝B'E.
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∴ MB'＝ ＝ ＝6.∴ B'N＝10－6＝4.设BE＝B'E＝x，则EN＝8－x.∵ B'E2＝EN2＋B'N2，∴ x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5.∴ BE＝5.如图③，当点B'在矩形的对称轴PQ上时，P，Q是对称轴与AB，CD的交点，过点B'作B'H⊥BC于点H，延长HB'交AD于点G，则AP＝PB＝ ×10＝5.∵ ∠ABH＝∠BAG＝∠BHG＝90°，∴ 四边形ABHG为矩形.∴ AG＝BH，GH＝AB＝10，∠AGH＝90°.易得四边形APB'G为矩形，四边形PBHB'为矩形.∴ GB'＝AP＝5，B'H＝PB＝5.根据勾股定理，得AG＝ ＝ ＝5 .∴ BH＝AG＝5 .设BE＝B'E＝y，则EH＝5 －y.根据勾股定理，得B'E2＝EH2＋B'H2.∴ y2＝（5 －y）2＋52，解得y＝ .∴ BE＝ .综上所述，BE的长为5或 .　
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（3） 连接DB'，若以A，B'，D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出BE的长.
解：（3） 16－2 或16＋2 .
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类型三　菱形的折叠问题
6. 如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使AM经过点C. 若CM＝CN，则∠D的度数为（　D　）
A. 30° B. 54° C. 45° D. 36°
D
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7. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，E是边CD的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H. 有下列结论：① ∠CFH＝30°；② DE＝ AE；③ CH＝GH；④ S△ABF∶S四边形AFCD＝3∶5.其中，正确的是（　B　）
A. ①②④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②③④
B
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类型四　正方形的折叠问题
8. （2024·襄阳枣阳模拟）如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，折痕为AE，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接DF并延长，交BC于点G. 若BG＝CG，AD＝2 ，则EG的长为 　 　.
　
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9. （2025·南通模拟）如图，有一个边长为2的正方形ABCD，先将正方形ABCD对折后展开，设折痕为EF，再沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点H处，折痕DG交AE于点G.
（1） 求EH的长.
解：（1） ∵ 四边形 ABCD是正方形，∴ AD＝DC＝2.由折叠的性质，可知EF＝AD＝2，DF＝ CD＝1，HD＝AD＝2，∠HFD＝90°.在Rt△HDF中，由勾股定理，得HF＝ ＝ .
∴ EH＝EF－HF＝2－ .
（第9题）
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（2） 你能求出△HGD的面积吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由.
解：（2） 能.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A＝90°，AD＝AB＝2.由折叠的性质，可知AG＝HG，∠HEG＝∠GHD＝∠A＝90°，AE＝ AB＝1.设HG＝AG＝x，则EG＝1－x.在Rt△EHG中，由勾股定理，得HG2 ＝EG2＋EH2，即x2＝（1－x）2＋（2－ ）2，解得x＝4－2 .∴ HG＝4－2 .∴ △HGD的面积为 HG·HD＝4－2 .
（第9题）
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10. 如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的点E处，点A的对应点为F，压平后得到折痕MN， ＝ .
（1） 求NE的长.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是边长为4的正方形，∴ ∠C＝90°，BC＝CD＝4.∵ ＝ ，∴ CE＝DE＝2.由折叠的性质，可知NE＝BN. 设NE＝x，则BN＝x.∴ CN＝BC－BN＝4－x.在Rt△CEN中，由勾股定理，得NE2＝CN2＋CE2，即x2＝（4－x）2＋22，解得x＝2.5.∴ NE的长为2.5.
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（2） 连接AN，AE，过点N作NG⊥AE，垂足为G，求NG的长.
解：（2） 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝2 .由（1），可得NE＝2.5，∴ BN＝2.5.∴ CN＝BC－BN＝1.5.∵ S正方形ABCD＝BC2＝16，S△ABN＝ AB·BN＝ ×4×2.5＝5，S△CEN＝ CN·CE＝ ×1.5×2＝1.5，S△ADE＝ AD·DE＝ ×4×2＝4，∴ S△AEN＝S正方形ABCD－S△ABN－S△CEN－S△ADE＝16－5－1.5－4＝5.5.∵ NG⊥AE，∴ S△AEN＝ AE·NG.
∴ NG＝ ＝ ＝ .
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（3） 求AM的长.
解：（3） 如图，连接BM，EM. 由折叠的性质，可知AM＝FM，AB＝FE，∠BAM＝∠EFM，∴ △ABM≌△FEM. ∴ BM＝EM. 设AM＝y，则DM＝4－y.在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM2＝AB2＋AM2，即BM2＝42＋y2.在Rt△DEM中，由勾股定理，得EM2＝DM2＋DE2，即EM2＝（4－y）2＋22.∵ BM＝EM，∴ BM2＝EM2.∴ 42＋y2＝（4－y）2＋22，解得y＝0.5.∴ AM的长为0.5.
（第10题答案）
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10(共18张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第2课时　矩形的判定
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·惠州惠东期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　D　）
A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD D. AC⊥BD
D
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2. 如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，连接AC，BD，还要添加条件： 　答案不唯一，如AC⊥BD　，才能保证四边形EFGH是矩形（写出一个条件即可）.
答案不唯一，如AC⊥BD　
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3. （2024·西安期末）如图，在 ABCD中，AC⊥BC，MN经过AC的中点O，分别交AB，CD于点M，N，连接AN，CM，BN，且CM⊥AB.
（1） 求证：四边形AMCN为矩形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AO＝CO. ∴ ∠OAM＝∠OCN，∠AMO＝∠CNO. ∴ △OAM≌△OCN. ∴ AM＝CN.
又∵ AB∥CD，∴ 四边形AMCN是平行四边形.
∵ CM⊥AB，∴ ∠AMC＝90°.∴ 四边形AMCN为矩形.　
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（2） 若∠ABC＝30°，AB＝8，求BN的长.
解：（2） ∵ AC⊥BC，∴ ∠ACB＝90°.∵ ∠ABC＝30°，∴ AC＝ AB＝ ×8＝4.在Rt△ACB中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝4 .
∵ CM⊥AB，∠ABC＝30°，∴ CM＝ BC＝ ×4 ＝2 .由（1），得四边形AMCN为矩形，∴ AN＝CM＝2 ，∠BAN＝90°.在Rt△BAN中，由勾股定理，得BN＝ ＝ ＝2 .
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4. 依据所标数据，下列四边形中，不一定为矩形的是（　D　）
　
D
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5. （2025·北京期中）如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　D　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
D
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6. （2024·南通通州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，P是边AB上的一个动点，过点P分别作边BC，AC的垂线，垂足为D，E，连接DE. 若BC＝4，则DE长的最小值为 　2 　.
2 　
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7. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝2∠CAD，点E在边BC上，∠DEC＝45°.若BC＝5CE＝15，则AC的长为 　17　.
17　
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8. （2024·盐城期末）如图，AB＝AC，设△ABE的面积为S1，△ACF的面积为S2，矩形BCFE的面积为S3，则S1，S2，S3之间的等量关系为 　S1＋S2＝ S3　.
S1＋S2＝ S3　
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9. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，过点P分别作PG⊥BC于点G，PH⊥CD于点H，连接GH. 若AB＝8，AD＝6，EF＝4，则GH长的最小值是 　8　.
8　
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10. 如图，在 ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝AD，连接BF，CF.
（1） 求证：EF平行且等于BC.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵ EF＝AD，∴ EF＝BC，EF∥BC，即EF平行且等于BC.
（第10题）
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（2） 求证：四边形BCEF是矩形.
解：（2） 由（1），知EF＝BC，EF∥BC. ∴ 四边形BCEF是平行四边形.∵ CE⊥AD，∴ ∠CEF＝90°.∴ 四边形BCEF是矩形.
（第10题）
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（3） 若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长.
解：（3） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝3.∵ CF＝4，DF＝5，∴ 易得CD2＋CF2＝DF2.∴ △CDF是直角三角形，且∠DCF＝90°.∴ △CDF的面积＝ DF·CE＝ CF·CD. ∴ CE＝ ＝ ＝ .在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF＝ ＝ ＝ .
（第10题）
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11. （2025·上海奉贤期中）如图，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，交CM的延长线于点E，CE与AB相交于点F，连接BE.
（1） 求证：四边形AEBD是平行四边形.
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解：（1） ∵ M是AD的中点，∴ AM＝DM. ∵ AE∥BC，∴ ∠AEM＝∠DCM. 又∵ ∠AME＝∠DMC，∴ △AEM≌△DCM. ∴ AE＝DC. ∵ AD是△ABC的中线，∴ BD＝CD. ∴ AE＝BD. 又∵ AE∥BD，∴ 四边形AEBD是平行四边形.
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（2） 如果∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEBD是矩形.
解：（2） 如图，延长AD至点G，使GD＝AD，连接CG. ∵ ∠CDG＝∠BDA，CD＝BD，∴ △CDG≌△BDA. ∴ GC＝AB，∠G＝∠BAD.
∵ ∠BAD＝∠CAD，∴ ∠G＝∠CAD. ∴ GC＝AC. ∴ AB＝AC. ∵ AD是△ABC的中线，∴ AD⊥BC. ∴ ∠ADB＝90°.由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，∴ 四边形AEBD是矩形.
（第11题答案）
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11(共20张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.1　四边形及多边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·商丘睢阳期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　C　）
A. 三角形 B. 五边形 C. 四边形 D. 六边形
C
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2. （2025·泉州鲤城期中）如图，从三角形纸片ABC中剪去△CDE，得到四边形ABDE. 如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C的度数为（　B　）
A. 40° B. 60° C. 50° D. 55°
B
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3. 如图，BC∥DE，∠3＝85°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是 　265°　.
265°　
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4. （2025·安阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠ACD与∠CDB的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数.
（第4题）
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解：∵ ∠ACD与∠CDB的平分线相交于点P，∴ ∠PCD＝ ∠ACD，∠PDC＝ ∠CDB. ∴ ∠P＝180°－∠PCD－∠PDC＝180°－ ∠ACD－ ∠CDB＝180°－ （∠ACD＋∠CDB）＝180°－ （360°－∠A－∠B）＝180°－ ×（360°－70°－80°）＝75°.
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5. 要使八边形木架不变形，至少要钉上木条（　B　）
A. 4根 B. 5根 C. 6根 D. 7根
6. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O. 若∠1，∠2，∠3，∠4的邻补角的和等于215°，则∠BOD的度数为（　B　）
A. 20° B. 35°
C. 40° D. 45°
B
B
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7. （2025·淄博张店段考）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　C　）
A. 14或15 B. 13或14
C. 13或14或15 D. 14或15或16
C
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8. 把正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3的度数为 　32°　.
32°　
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9. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为 　225°　.
225°　
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10. 新考法·规律探究 如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条.
（1） 十边形的对角线有多少条？
解：（1） ∵ ＝35（条）.
∴ 十边形的对角线有35条.
（2） n边形（n为不小于3的整数）的对角线有多少条（用含n的代数式表示）？
解：（2） n边形的对角线有 条.
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11. 小明对几何推理问题的证明很感兴趣，他从五个角均相等的五角星开始探究.
（1） 他画出了如图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出每个角的度数，此度数为 　36°　.
36°　
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（2） 如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明.
解：（2） ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.如图，∵ ∠1＝∠A＋∠C，∠2＝∠B＋∠D，∠1＋∠2＋∠E＝180°，∴ ∠A＋∠C＋∠B＋∠D＋∠E＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
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（3） 如图③，小明将点A落在BE上，点C落在BD上，则∠CAD，∠B，∠ACE，∠D，∠E之间存在怎样的数量关系？请直接写出结果.
解：（3） ∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°.
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12. （2025·抚顺新宾期末）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝120°，E，F分别是边AD，BC上的点，P是一动点，连接PE，PF，记∠PED＝∠1，∠PFC＝∠2，∠EPF＝∠α.
初探：
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（1） 如图①，若点P在线段CD上运动，试探究∠1＋∠2与∠α之间的关系，并说明理由.
　　　
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解：（1） ∠1＋∠2＝40°＋∠α.理由：由题意知，∠A＋∠B＋（180°－∠2）＋∠α＋（180°－∠1）＝540°.∵ ∠A＝100°，∠B＝120°，∴ ∠1＋∠2＝40°＋∠α.
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（2） 如图②，若点P在线段DC的延长线上运动，试探究∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由.
解：（2） ∠1－∠2＝∠α＋40°.理由：如图①，记PE与BC的交点为H. 由题意知，∠BHE＝∠2＋∠α.∵ ∠A＋∠B＋∠BHE＋（180°－∠1）＝360°，∴ 100°＋120°＋∠2＋∠α＋（180°－∠1）＝360°，即∠1－∠2＝∠α＋40°.
再探：
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（3） 若点P运动到四边形ABCD的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系： 　∠1＋∠2＝40°＋∠α　.
解：（3） 如图②所示.
∠1＋∠2＝40°＋∠α　
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12(共17张PPT)
第二十一章 四 边 形
专题特训九　四边形的综合探究
类型一　探究中点四边形
1. ★如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.
（1） 求证：四边形EFGH是菱形.
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解：（1） 如图，连接AC，BD. ∵ 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD，∴ 易得梯形ABCD是等腰梯形.∴ AB＝CD. 在△ABC和△DCB中， ∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC＝DB. ∵ E，F分别是AB，BC的中点，∴ EF是△BAC的中位线.∴ EF＝ AC. 同理，可得FG＝ BD，GH＝ AC，EH＝ BD. ∴ EF＝FG＝GH＝EH. ∴ 四边形EFGH是菱形.
（第1题答案）
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（2） 若AD＝3，BC＝5，且EF⊥FG，求四边形EFGH的面积.
解：（2） 如图，取AC的中点M，连接EM，GM. ∵ E，G分别是AB，CD的中点，∴ EM是△ABC的中位线，GM是△ADC的中位线.∴ EM∥BC，EM＝ BC，GM∥AD，GM＝ AD.
∵ AD∥BC，∴ GM∥BC. ∴ E，M，G三点在同一条直线上.∴ EG＝GM＋EM＝ （AD＋BC）＝ ×（3＋5）＝4.∵ EF⊥FG，
∴ ∠EFG＝90°.由（1），知四边形EFGH是菱形，∴ 四边形EFGH是正方形.∴ EF＝FG，EF2＋FG2＝EG2.∵ EG2＝42＝16，∴ EF2＝8.∴ 四边形EFGH的面积＝EF2＝8.
（第1题答案）
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类型二　探究四边形中的动点问题
2. （2025·盐城阜宁期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝5，BC＝14，AD∥BC，G是BC的中点.点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿GB向点B运动.当点M停止运动时，点N也随之停止运动.连接DG，MN. 设运动时间为t秒，当四边形MDGN是平行四边形时，t的值为（　B　）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
B
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3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A出发向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以4cm/s的速度在B，C两点之间进行往返运动，点P，Q同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动.在这段时间内，当运动时间为 　2.4s或4s或7.2s　时，P，Q，C，D四点能组成矩形.
2.4s或4s或7.2s　
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4. （2025·中山期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C时即停止.点P，Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为ts.
（1） 当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
解：（1） 由题意，得BQ＝tcm，DP＝tcm.∵ 四边形ABCD是矩形，BC＝8cm，∴ AD＝BC＝8cm.∴ AP＝（8－t）cm.当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，∴ t＝8－t，解得t＝4.∴ 当t＝4时，四边形ABQP是矩形.
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（2） 当t为何值时，四边形AQCP是菱形？此时菱形的面积是多少？
解：（2） ∵ AB＝4cm，BQ＝tcm，且易知∠B＝90°，
∴ AQ＝ ＝ cm.当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，∴ ＝8－t，解得t＝3.∴ BQ＝3cm，∴ CQ＝BC－BQ＝5cm.∴ 菱形AQCP的面积为CQ·AB＝5×4＝20（cm2）.∴ 当t＝3时，四边形AQCP是菱形，此时菱形的面积为20cm2.
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（3） 当t为何值时，△AQP是以AQ为一条腰的等腰三角形？
解：（3） 当AQ＝AP时，四边形AQCP为菱形，此时△AQP是以AQ为一条腰的等腰三角形.由（2）知，t＝3.当AQ＝PQ时，如图，过点Q作QH⊥AD于点H，则易得AH＝BQ＝tcm.∵ AQ＝PQ，∴ AP＝2AH＝2BQ. ∴ 8－t＝2t.∴ t＝ .综上所述，当t＝3或 时，△AQP是以AQ为一条腰的等腰三角形.
（第4题答案）
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类型三　探究四边形中的新定义题型
5. 如果P是正方形ABCD内的一点，且满足∠APB＋∠DPC＝180°，那么称P是正方形ABCD的“对补点”.
（1） 如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，求证：M是正方形ABCD的“对补点”.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD. ∴ ∠AMB＝∠DMC＝90°.
∴ ∠AMB＋∠DMC＝180°.∴ M是正方形ABCD的“对补点”.
（2） 如图②，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（1，1），（3，3）.除对角线的交点外，请再写出一个该正方形的“对补点”的坐标，并证明.
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解：（2） 答案不唯一，如P 是正方形ABCD的“对补点”.如图，延长CD交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，则易得四边形CEOF是正方形.连接OC，EF交于点P，连接PD，PB. ∵ C（3，3），
∴ 点C在第一象限的角平分线上.∵ A（1，1），∴ 点A也在第一象限的角平分线上.
∴ 点A在OC上.∵ AC是正方形ABCD的对角线，∴ ∠DAP＝∠BAP＝45°，AD＝AB.
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在△APD和△APB中， ∴ △APD≌△APB.
∴ ∠APD＝∠APB. ∵ 易知在正方形CEOF中，∠APE＝∠APF＝90°，∴ ∠APD－∠APE＝∠APB－∠APF，即∠DPE＝∠BPF. ∵ 易知在正方形CEOF中，∠EPC＝∠OPF＝90°，∴ ∠EPC＋∠OPF＝180°.∴ ∠EPC－∠DPE＋∠APF＋∠BPF＝180°，即∠DPC＋∠APB＝180°.∴ P是正方形ABCD的“对补点”，且易得点P的坐标为 .
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类型四　探究四边形中的阅读题型
6. （2025·重庆开州期中）爱学习的小月在学行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，那么可证明该平行四边形是菱形.根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1） 如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）.
解：（1） 如图所示.
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（2） 在（1）的条件下，若AF＝AE，求证： ABCD是菱形.
证明：∵ AF⊥BC，AE⊥DC，
∴ ∠AFB＝90°，∠AED＝90°.
∴ 　∠AFB＝∠AED　.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 　∠B＝∠D　.
在△ABF和△ADE中，
∠AFB＝∠AED　
∠B＝∠D　
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∴ △ABF≌△ADE.
∴ 　AB＝AD　.
又∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形.
AB＝AD　
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小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立.因此，小月得出结论：过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点 　到这两边的距离相等，那么该平行四边形是菱形　.
到这两边的
距离相等，那么该平行四边形是菱形　
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6(共19张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第1课时　矩形的性质
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基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·永州冷水滩模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若∠AOB＝60°，则 的值为（　D　）
A. B. C. D.
D
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2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 　2 　.
2 　
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3. （2025·惠州惠城期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位长度；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位长度.
（1） 请写出点A，C的坐标.
解：（1） A（8，0），C（0，4）.
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（2） 几秒后，P，Q两点与原点的距离相等？
解：（2） 设t秒后，P，Q两点与原点的距离相等.∴ CP＝t，OQ＝2t.∵ OC＝4，∴ OP＝4－t.由题意，得OP＝OQ，∴ 4－t＝2t.∴ t＝ .∴ 秒后，P，Q两点与原点的距离相等.
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（3） 在点P，Q移动的过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？请说明理由.
解：（3） 不发生变化.理由：如图，连接OB. ∵ S四边形OPBQ＝S△OPB＋S△OQB＝ ·（4－t）·8＋ ·2t·4＝16－4t＋4t＝16，
∴ 四边形OPBQ的面积不发生变化.
（第3题答案）
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4. 如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上的一点，F为CE的中点，以点B为圆心、BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG. 若AB＝4，CE＝10，则AG的长为（　C　）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
C
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5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为邻边作矩形OABC. 动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（　D　）
A. B. 9
C. 15 D. 30
D
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6. （2025·内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH，则GH长的最大值是 　5　.
5　
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7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作Rt△BEC，F是CD的中点，则EF长的最大值为 　9　.
9　
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8. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC的延长线上运动，连接AE，DE，则 的最小值为 　 －1　.
－1　
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9. （2025·西安二模）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，连接DE，BE＝DE＝13，过点E作EF平分∠DEB交CD于点F，M是EF上的动点，过点M分别作MN⊥DC于点N，MP⊥DE于点P，过点P作PQ∥MN，且PQ＝MN，连接NQ，若CF＝5，则四边形MNQP的周长为 　24　.
24　
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10. ★如图①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是边AB，AC上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点，连接DM，ME，MN.
（1） 求证：MN⊥DE.
解：（1） ∵ CD，BE分别是边AB，AC上的高，M是BC的中点，∴ DM＝ BC，ME＝ BC. ∴ DM＝ME. 又∵ N为DE的中点，∴ MN⊥DE.
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（2） 猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想.
解：（2） ∠DME＝180°－2∠A. 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
∵ 易得DM＝ME＝BM＝MC＝ BC，
∴ ∠MDB＝∠MBD，∠MEC＝∠MCE.
∴ ∠BMD＋∠CME＝（180°－2∠ABC）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A. ∴ ∠DME＝180°－（∠BMD＋∠CME）＝180°－2∠A.
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（3） 如图②，当∠BAC变为钝角时，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，请直接回答，无须证明；若不成立，请说明理由.
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解：（3） （1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC. 易得DM＝ME＝BM＝MC＝ BC，∴ ∠MDB＝∠MBD，∠MEC＝∠MCE. ∴ ∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（∠ACB＋∠ABC）＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC.
∴ ∠DME＝180°－（∠BME＋∠CMD）＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.
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11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD交于点O，E为BC上一点.
（第11题）
（1） △BOC与△DOC的周长之差为 　2　.
（2） 连接AE，若AE平分∠BAD，则△ACE的面积为 　6　.
（3） 连接EO，当EO⊥OC时.
① 如果∠BCA＝α，那么∠BOE的度数为 　90°－2α　（用含α的式子表示）.
2　
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90°－2α　
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② 求BE的长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴ AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OA＝OC，∠ABC＝90°.∵ OE⊥AC，∴ OE垂直平分AC. ∴ AE＝CE. 设BE＝x，则AE＝CE＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋x2＝（8－x）2，解得x＝ .∴ BE的长为 .
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第二十一章 四 边 形
专题特训八　利用特殊四边形的性质巧解动态问题
类型一　与平行四边形相关的动点问题
1. 如图，在 ABCD中，点E在AD的延长线上，点F在线段AB上，依次连接EB，EC，FC，FC与EB交于点H，当点F从点B出发向点A运动时（点F不与点B，A重合），△CHE的面积与△BFH的面积之差的变化情况是（　C　）
A. 先变小，再变大
B. 一直不变
C. 一直变小
D. 一直变大
（第1题）
C
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2. （2024·成都锦江期末）如图，在 ABCD中，AD⊥AC，AD＝AC，E为射线BA上一点，直线DE与直线AC交于点G，CH⊥DE于点H，CH的延长线与直线AB交于点F，连接FG.
（1） 当点E在线段AB上时.
① 若∠CDE＝30°，CG＝2，求 ABCD的面积.
② 求证：DG＝CF＋FG.
（第2题）
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解：（1） ① 如图①，过点G作GP⊥CD，垂足为P. ∵ 在 ABCD中，AD⊥AC，AD＝AC，∴ △ACD是等腰直角三角形.∴ ∠ADC＝∠ACD＝45°.∵ ∠CPG＝90°，∴ △GCP是等腰直角三角形.∴ CP＝PG. ∵ CG＝2，∴ 易得PG＝CP＝ .∵ ∠CDE＝30°，∴ DG＝2PG＝2 .∴ DP＝ ＝ .∴ CD＝DP＋CP＝ ＋ .∵ 易得 ＝ AD＝CD＝ ＋ ，∴ AC＝AD＝1＋ .∴ ABCD的面积为AC·AD＝（1＋ ）2＝4＋2 .② 如图②，延长CF交DA的延长线于点T. ∵ CH⊥DE，∴ ∠CHD＝90°.∵ ∠DAG＝∠CHG＝90°，∠AGD＝∠CGH，
∴ ∠GDA＝∠GCH. ∵ ∠DAG＝∠CAT＝90°，AD＝AC，
∴ △DAG≌△CAT. ∴ DG＝CT，AG＝AT. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠ACB＝∠CAD＝90°.
∵ AD＝AC，∴ AC＝BC.
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∴ ∠B＝∠CAB＝45°.∵ ∠CAT＝90°，∴ ∠GAF＝∠TAF＝45°.∵ AF＝AF，
∴ △GAF≌△TAF. ∴ GF＝TF. ∴ DG＝CT＝CF＋TF＝CF＋FG.
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（2） 若HG＝HF，FG＝ ，求DG的长.
解：（2） 当点E在线段AB上时，如图③，延长CF交DA的延长线于点T. ∵ HG＝HF，FG＝ ，CH⊥DE，∴ 易得GH＝HF＝1.∵ AD⊥AC，AD＝AC，∴ ∠CFG＝∠EGF＝∠DCA＝45°.∴ ∠DCA＋∠ACF＝∠CFG＋∠ACF，即∠DCT＝∠AGF. 同理（1）②， 得∠ATC＝∠AGF，FG＝FT＝ ，DG＝CF＋GF＝CF＋FT. ∴ ∠ATC＝∠DCT. ∴ △CDT是等腰三角形.∴ CH＝HT＝1＋ .∴ DG＝CT＝2＋2 .当点E在射线BA上时，如图④，设AD与CF交于点T，连接ET，易得△ACT≌△ADG. ∴ ∠ATC＝∠AGE，AT＝AG. ∵ ∠CAB＝180°－∠ADC－∠DAC＝45°，∴ ∠GAF＝45°.∴ ∠TAF＝∠GAF＝45°.∵ AF＝AF，∴ △ATF≌△AGF. ∴ ∠AFT＝∠AFG. ∵ ∠AED＝∠GEF，∠DAE＝∠HGF＝45°，∴ ∠AFG＝∠ADE＝∠AFT. ∵ CD∥BF，∴ ∠AFT＝∠DCT.
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∴ ∠ADE＝∠DCT. ∴ ∠AGE＝∠ATC＝∠ADC＋∠DCT＝∠ADC＋∠ADE＝∠CDG. ∴ △CDG是等腰三角形.∵ CF⊥DG，∴ DH＝HG＝1.∴ DG＝DH＋HG＝2.综上所述，DG的长为2＋2 或2.
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类型二　与矩形相关的动点问题
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为（　D　）
A. 2 ＋6
B. 4
C. 4 ＋2
D. 2 ＋10
（第3题）
D
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4. （2025·镇江期中）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F，连接AE，AF.
（1） 求证：OE＝OF.
解：（1） 如图，∵ MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACG的平分线于点F，∴ ∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠GCF.
∵ MN∥BC，∴ ∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. ∴ ∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF. ∴ EO＝CO，FO＝CO. ∴ OE＝OF.
（第4题答案）
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（2） 当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
解：（2） 当点O在边AC上运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形.理由：当O为AC的中点时，AO＝CO. 由（1）可知，EO＝FO＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ OA＋OC＝OE＋OF，即AC＝EF，∴ 四边形AECF是矩形.
（第4题答案）
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类型三　与菱形相关的动点问题
5. （2025·泸州泸县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E，F分别在线段AB，BC上，且BE＝CF，则EF长的最小值为 　2 　.
2 　
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6. （2024·商丘期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是边AD的中点，P是边AB上的一个动点（不与点A重合），连接PE并延长，交CD的延长线于点Q，连接PD，AQ.
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（1） 求证：四边形APDQ是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB∥CQ. ∴ ∠QDA＝∠PAD，即∠PAE＝∠QDE. ∵ E是边AD的中点，∴ AE＝DE. 又∵ ∠PEA＝∠QED，∴ △APE≌△DQE. ∴ AP＝DQ. ∴ 四边形APDQ是平行四边形.
（2） ① 当点P运动到 　AB的中点　处时，四边形APDQ是矩形.
② 当点P运动到何处时，四边形APDQ是菱形？请说明理由.
AB的中点　
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解：（2） ② 当点P与点B重合时，四边形APDQ是菱形.理由：如图，∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴ AD＝AB，∠DAB＝60°.∴ △ABD为等边三角形.∴ AB＝BD，即AP＝DP. 由（1），得四边形APDQ是平行四边形，∴ 四边形APDQ是菱形.
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类型四　与正方形相关的动点问题
7. （2025·成都期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于点F，PG⊥BC于点G，则PG＋PF的值为（　D　）
A. B. C. D.
D
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8. （2024·黄石期末）如图，在正方形ABCD中，动点P从点B运动到点C（点P不与点B，C重合），连接DP，作点A关于直线DP的对称点E，连接AE分别交DP，DC于点G，H. 过点C作CF⊥AE于点F，连接DE.
（1） 依题意补全图形.
解：（1） 补全图形如图①所示.
（第8题）
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（2） 求证：CF＝EF.
解：（2） 如图②，连接AC，CE，设∠CDE＝α.∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA＝DC，∠ADC＝90°.∵ 点A，E关于DP对称，∴ DA＝DE. ∴ DA＝DC＝DE. ∴ ∠DEC＝∠ECD＝ （180°－α）＝90°－ α，∠DAE＝∠DEA＝ （180°－90°－α）＝45°－ α.∴ ∠CEF＝∠DEC－∠DEA＝90°－ α－ ＝45°.∵ CF⊥AE，∴ ∠CFE＝90°.∴ ∠FCE＝∠CEF＝45°.∴ FC＝FE.
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（3） 连接FB，FD，用等式表示线段FA，FB，FD之间的数量关系，并证明.
　
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解：（3） FB＋FD＝ FA. 如图③，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，AN⊥BF于点N，过点B作BJ⊥AE于点J，BK⊥FC交FC的延长线于点K. ∵ DC＝DE，DF＝DF，FC＝FE，∴ △DFC≌△DFE. ∴ ∠DFC＝∠DFE＝ ×（360°－90°）＝135°.∴ ∠DFG＝180°－∠DFE＝45°.∵ ∠BJF＝∠JFK＝∠K＝90°，
∴ ∠JBK＝∠ABC＝90°.∴ 易得∠ABJ＝∠CBK. ∵ BA＝BC，∠BJA＝∠K＝90°，
∴ △BJA≌△BKC. ∴ BJ＝BK. ∵ BJ⊥FA，BK⊥FK，∴ ∠BFJ＝∠BFK＝45°.
∴ ∠AFM＝∠AFN＝45°.∵ ∠M＝∠ANF＝90°，FA＝FA，∴ △FAM≌△FAN.
∴ AM＝AN. ∵ AD＝AB，∠M＝∠ANB＝90°.∴ Rt△AMD≌Rt△ANB. ∴ DM＝BN. ∵ ∠M＝∠MFN＝∠ANF＝90°，∴ 四边形AMFN是矩形.∵ AM＝AN，∴ 四边形AMFN是正方形.∴ FM＝FN，且易得AF＝ FM.
∴ FB＋FD＝FN＋BN＋FM－DM＝2FM＝ AF.
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第二十一章 四 边 形
21.2　平行四边形
第2课时　平行四边形性质的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·晋城沁水期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. 若∠EAF＝55°，则∠D的度数为（　C　）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
C
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2. （2024·泰州靖江期末）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的三个顶点A，C，D的坐标分别为（－1，－2），（5，2），（1，1），则顶点B的坐标为 　（3，－1）　.
（3，－1）　
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
（1） 若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数.
解：（1） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEO＝90°.∵ ∠AOE＝50°，∴ 在△AEO中，∠EAO＝180°－∠AEO－∠AOE＝40°.∵ AC平分∠DAE，
∴ ∠OAD＝∠EAO＝40°.∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB＝∠OAD＝40°.
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（2） 求证：AE＝CF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴ AO＝CO.
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEO＝∠CFO＝90°.在△AEO和△CFO中，
∴ △AEO≌△CFO. ∴ AE＝CF.
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4. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　D　）
A. B. C. D.
D
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，点E在AD上，点F在BC上，EF经过点O，连接BE，△ABE的周长等于 ABCD周长的一半.有下列说法：① AO＝ ；② EF⊥BD；③ ∠ABE＝∠EBO；④ S△ABE∶S△BOE＝5∶7.其中，正确的是（　A　）
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ③④
A
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6. （2025·济宁期末）如图，在 ABCD中，AB＝22cm，BC＝8 cm，∠A＝45°，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止运动.当EF的长为10cm时，点E的运动时间是（　C　）
A. 6s B. 6s或10s
C. 8s D. 8s或12s
C
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7. 如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 　8 　.
8 　
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8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，M是边AC上任意一点，连接MB，以MB，MC为邻边作 MCNB，连接MN，则MN长的最小值为 　 　.
　
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9. （2024·杭州期末）如图，在等腰三角形BDE中，BE＝DE＝5 ，四边形ABCD是平行四边形，连接AE，CE，AE⊥CE，CE＝10 ，BD＝3AE，则△BDE的面积为 　60　.
60　
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10. 如图，在 ABCD中，BC＝20 cm，CD＝20cm，∠A＝45°，动点P从点B出发，沿BC向点C运动，动点Q从点D出发，沿DB向点B运动，点P和点Q的运动速度分别为3 cm/s和2cm/s，其中一点停止运动时，另一点也随之停止，当△BPQ是直角三角形时，求点P运动的时间.
（第10题）
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解：过点D作DH⊥BC 于点 H. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ ∠C＝∠A＝45°.∴ DH＝CH. ∵ CD＝20cm，∴ 易得DH＝CH＝10 cm.∵ BC＝20 cm，
∴ CH＝ BC. ∴ DH垂直平分BC. ∴ BD＝CD＝20cm.∴ ∠DBC＝∠C＝45°.∴ 易知当BQ＝ BP或PB＝ BQ时，△BPQ是直角三角形.设经过ts，△BPQ为直角三角形.∴ BQ＝（20－2t）cm，BP＝3 tcm.∴ 20－2t＝ ×3 t或3 t＝ （20－2t），解得t＝ 或t＝4.∴ 点P运动的时间为 s或4s.
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11. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，且∠ADC＝60°.
（1） 求证：AB＝AE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ABC＝∠ADC＝60°，AB∥CD. ∴ ∠BAD＋∠ADC＝180°.∴ ∠BAD＝120°.∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝∠EAD＝60°.
∴ △ABE是等边三角形.∴ AB＝AE.
（第11题）
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① 当m＝ 时，求 ABCD的面积.
② 设 ＝k，试求k与m满足的关系.
（2） 若 ＝m（0＜m＜1），AC＝4 .
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解：（2） ① ∵ ＝m＝ ，∴ AB＝ BC. ∵ △ABE是等边三角形，∴ AE＝BE＝AB＝ BC，∠AEB＝60°.∴ AE＝CE. ∴ ∠ACE＝∠CAE＝30°.∴ ∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝90°.∴ AC2＋AB2＝BC2.∵ AC＝4 ，∴ 易得AB＝4.
∴ ABCD的面积＝AB·AC＝4×4 ＝16 .② ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝ S△BCD. ∵ △ABE是等边三角形，∴ BE＝AB＝mBC.
（第11题）
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易知△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半.设△BDC中，BC边上的高为h，BC的长为b，∴ S△BCD＝ ×bh＝ ，S△OBE＝ × ×mb＝ .∴ S四边形OECD＝S△BCD－S△OBE＝ － ＝ bh.∵ S△AOD＝S△BOC＝ S△BCD＝ ，∴ ＝ bh× ＝k.∴ 2－m＝k.∴ m＋k＝2.
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第二十一章 四 边 形
第二十一章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 平行四边形的判定与性质
典例1　（2024·绵阳期末）在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0），C为顶点构造平行四边形，请写出一个满足条件的点C的坐标： 　答案不唯一，如（5，2）　.
答案不唯一，如（5，2）　
[变式]如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，点E在AB上，DE∥BC.
（1） 求证：四边形EBCD是平行四边形.
解：（1） ∵ ∠ABD＝∠BDC＝90°，∴ AB∥CD. ∵ DE∥BC，
∴ 四边形EBCD是平行四边形.
（2） 若∠A＝30°，DE平分∠ADB，CD＝1，求AB的长.
解：（2） 由（1），可知四边形EBCD是平行四边形，∴ BE＝CD＝1.∵ ∠ABD＝90°，∠A＝30°，∴ ∠ADB＝180°－90°－30°＝60°.∵ DE平分∠ADB，∴ ∠ADE＝∠BDE＝ ∠ADB＝30°.∴ ∠A＝∠ADE. ∴ AE＝DE. ∵ 在△BDE中，∠EBD＝90°，∠BDE＝30°，∴ DE＝2BE＝2.∴ AE＝2.∴ AB＝AE＋BE＝2＋1＝3，即AB的长为3.
考点二 矩形的判定与性质
典例2　已知矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的三等分点，连接DE，P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC＋PE的值为 　13或 　.
13或
　
[变式]如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O，连接BD.
（1） 求证：四边形BECD是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. 又∵ AB＝BE，∴ BE＝DC. 又∵ AE∥CD，∴ 四边形BECD为平行四边形.
（2） 若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
解：（2） 由（1）知，四边形BECD为平行四边形.∴ OD＝OE，OC＝OB. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ ∠A＝∠BCD. 又∵ ∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴ ∠OCD＝∠ODC. ∴ OC＝OD. ∴ OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED. ∴ 四边形BECD为矩形.
考点三 菱形的判定与性质
典例3　如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中，不能证明四边形ABCD是菱形的为（　D　）
（典例3图）
D
A. ∠BAC＝∠BCA
B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OB2＝AD2
D. AD2＋OA2＝OD2
[变式]（2025·天津南开期中）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，AE，AF分别交BD于点G，H，延长AF，BC相交于点P.
（1） 求证：AG＝AH.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD，AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠ABD＝∠ADB. ∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ AE⊥AD，AF⊥AB. ∴ ∠DAG＝∠BAH＝90°.∴ ∠AHB＝90°－∠ABD＝90°－∠ADB＝∠AGD.
∴ AG＝AH.
（2） 当BG＝GH时，求证：PF＝ DF.
解：（2） ∵ BG＝GH，∴ G是Rt△ABH的斜边BH的中点.∴ AG＝BG＝GH. 由（1），知AH＝AG，∴ AG＝AH＝GH. ∴ △AGH是等边三角形.∴ ∠AHG＝60°.∴ ∠ABH＝30°.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠ADC＝∠ABC＝2∠ABH＝60°.∴ ∠P＝30°.∵ AF⊥CD，∴ ∠PFC＝90°.
∴ 易得PF＝ CF. 如图，连接AC. ∵ 在菱形ABCD中，AD＝CD，∴ △ADC是等边三角形.∴ CF＝DF. ∴ PF＝ DF.
考点四 正方形的判定与性质
典例4　如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M. 若BE＝DF＝1，则DM的长为（　D　）
（典例4图）
D
A. 2
B.
C.
D.
[变式]如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥FD.
（1） 求证：四边形ABDF是平行四边形.
解：（1） ∵ AB平分∠CAE，∴ ∠CAB＝∠BAE. ∵ AB∥DF，
∴ ∠BAE＝∠DFE. ∴ ∠CAB＝∠EFD. ∵ ∠ACB＝∠FED＝90°，AC＝FE，∴ △CAB≌△EFD. ∴ AB＝FD. 又∵ AB∥FD，∴ 四边形ABDF是平行四边形.
（2） 过点B作BG⊥AE于点G. 若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状.
解：（2） 由（1），可知四边形ABDF是平行四边形，∴ BD＝AF. ∵ AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，∴ BC＝BG，∠BGE＝90°.∵ BC＝AF，∠GED＝90°，∴ BD＝BG，∠BGE＋∠GED＝180°.∴ BG∥DE. 由（1），得△CAB≌△EFD，∴ BC＝DE. ∴ BG＝DE. ∴ 四边形BGED是平行四边形.∵ BD＝BG，∴ 四边形BGED是菱形.∵ ∠GED＝90°，∴ 四边形BGED是正方形.
1. （2024·蚌埠期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形.下列说法中，错误的是（　D　）
A. AB⊥AC
B. EF＝6
C. 四边形AEFD是平行四边形
D. S四边形AEFD＝24
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2. （2025·西安期中）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF. 若∠ABC＝70°，则∠CDF＝ 　35　°.
35　
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3. （2025·徐州沛县期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME. 若∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，则∠FME＝ 　48　°.
48　
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4. 如图所示为一种正方形地砖，它的图案是由四个全等的三角形和一个四边形构成的，经测量，中间四边形较小的锐角为60°.设中间四边形的面积为S1，正方形的面积为S2，则 的值为 　 　.
　
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5. 已知正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上.有下列结论：① 存在无数个四边形PMQN是平行四边形；② 存在无数个四边形PMQN是菱形；③ 存在无数个四边形PMQN是矩形；④ 至少存在一个四边形PMQN是正方形.其中，正确的是 　①②④　（填序号）.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC于点F. 若BC＝4，CE＝3，则EF的长为 　 　.
①②④　
　
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7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝60°.E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，点G位于直线AB的上方，且∠EAG＝60°，P是AD的中点，连接PG，则线段PG长的最小值是 　 　.
　
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8. （2025·上海普陀期中）如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC.
（1） 求证：E为CD的中点.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB∥CD. ∴ ∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE.
∵ AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC，∴ ∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE. ∴ ∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB.
∴ DE＝AD，CE＝BC. 又∵ AD＝BC，∴ DE＝CE. ∴ E为CD的中点.　
（2） F为AE的中点，连接CF交BE于点G. 写出BG与EG应满足的数量关系，并说明理由.
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解：（2） BG＝3EG. 理由：如图，设BE的中点为H，连接FH. ∴ BH＝EH. ∵ F为AE的中点，∴ FH是△EAB的中位线.∴ FH∥AB，FH＝ AB. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD.
∴ FH∥CD，FH＝ CD. 由（1），可知E为CD的中点，∴ EC＝ CD. ∴ FH＝EC. ∵ FH∥CD，∴ ∠GFH＝∠GCE，∠GHF＝∠GEC.
（第8题答案）
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在△GFH和△GCE中， ∴ △GFH≌△GCE. ∴ HG＝EG.
∴ EH＝2EG. ∴ BH＝EH＝2EG. ∴ BG＝BH＋HG＝2EG＋EG＝3EG.
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9. 如图，在矩形ABCD中，延长BC至点E，使得BE＝BD，连接DE，F为DE的中点，连接AF，CF. 若AB＝3，AD＝4.
（1） 求CF的长.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝DC＝3.∴ ∠DCE＝90°.∵ 在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4，∴ BD＝ ＝5.
∴ BE＝BD＝5.∴ CE＝BE－BC＝1.在Rt△DCE中，DE＝ ＝ ＝ ，∵ F为DE的中点，∴ CF＝ DE＝ .　
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（2） 求证：CF⊥AF.
解：（2） 如图，连接BF，AC. ∵ BE＝BD，F为DE的中点，∴ BF⊥DE. ∵ ∠DCE＝90°，F为DE的中点，∴ CF＝EF＝DF＝ .在Rt△BFE中，BF＝ ＝ ＝ .∵ CF＝DF，∴ ∠FCD＝∠FDC. ∵ ∠ADC＝∠BCD＝90°，∴ ∠ADC＋∠FDC＝∠BCD＋∠FCD，即∠ADF＝∠BCF. ∵ AD＝BC，DF＝CF，∴ △ADF≌△BCF. ∴ AF＝BF＝ .
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD＝5.在△AFC中，AF2＋CF2＝ ＋ ＝25，AC2＝25，∴ AF2＋CF2＝AC2.∴ CF⊥AF. 　
（第9题答案）
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（3） 若矩形ABCD的边长为任意值，其他条件不变，CF⊥AF还成立吗？请说明理由.
解：（3） 成立.理由：由（2），得AF2＝BF2＝BE2－EF2.
∵ EF＝CF，BE＝BD，∴ AF2＋CF2＝BE2－EF2＋CF2＝BD2－CF2＋CF2＝BD2.∵ BD＝AC，∴ AF2＋CF2＝AC2.∴ △ACF是以∠AFC为直角的直角三角形.∴ 若矩形ABCD的边长为任意值，CF⊥AF仍然成立.
（第9题答案）
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10. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且G为边CB延长线上一点.
（1） △GAB与△FAD全等吗？请说明理由.
解：（1） 全等.理由：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°.在△ABG和△ADF中，
∴ △GAB≌△FAD. 　
（第10题）
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（2） 若DF＝4，BE＝8，求线段EF的长.
解：（2） ∵ ∠EAF＝45°，且易知∠BAD＝90°，∴ ∠DAF＋∠BAE＝45°.∵ ∠GAB＝∠FAD，∴ ∠GAB＋∠BAE＝45°.
∴ ∠GAE＝45°.∴ ∠GAE＝∠EAF. ∵ △GAB≌△FAD，∴ AG＝AF，GB＝FD. 在△GAE和△FAE中，
∴ △GAE≌△FAE. ∴ EG＝EF. ∵ GB＝DF，∴ EF＝GE＝GB＋BE＝FD＋BE＝4＋8＝12.　
（第10题）
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（3） 若DF＝4，CF＝8，求线段EF的长.
解：（3） 设EF＝x，则易得BE＝x－4.∵ DF＝4，CF＝8，∴ CD＝12.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠C＝90°，CD＝BC＝12.
∴ EC＝BC－BE＝12－（x－4）＝16－x.在Rt△EFC中，依据勾股定理，可知FC2＋EC2＝EF2，即82＋（16－x）2＝x2，解得x＝10.∴ EF＝10.
（第10题）
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10(共19张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.2　平行四边形
第4课时　三角形的中位线
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·深圳期末）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，DE＝5，AC＝3，则AB的长为 （　B　）
A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
B
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2. （2024·宿州期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点.若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　D　）
A. 100° B. 120° C. 128° D. 136°
D
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3. （2025·长沙雨花期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为 　1.5　.
1.5　
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4. ★如图，E为 ABCD的边DC的延长线上的一点，且CE＝CD，连接AE分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：DE＝4OF.
（第4题）
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解：连接BE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD，O为AC的中点.∵ CE＝CD，∴ AB＝CE. 又∵ AB∥CE，∴ 四边形ABEC是平行四边形.∵ F为 ABEC对角线AE，BC的交点，∴ F为BC的中点.又∵ O为AC的中点，∴ OF是△ABC的中位线.∴ AB＝2OF. ∵ AB＝CD＝CE，∴ DE＝CD＋CE＝4OF.
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5. （2025·扬州邗江期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N. 若AB＝3，BC＝5，MN＝0.4，则△ABC的周长是（　B　）
A. 12 B. 11.8
C. 12.4 D. 13
B
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6. （2025·黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　A　）
A. B. C. 2 D.
A
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是边BC上的一点，M为边AB上的动点，D，E分别为CN，MN的中点，则DE长的最小值是 　 　.
　
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8. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E，F分别是AD，BC的中点.若CD＝2AB＝4，∠ABC＝2∠C＝60°，则EF的长为 　 　.
　
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9. （2025·淄博博山期末）如图，等边三角形ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD，EF.
（1） 求证：DE＝CF.
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE为△ABC的中位线.∴ DE＝ BC. ∵ CF＝ BC，∴ DE＝CF.
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（2） 求EF的长.
解：（2） 在等边三角形ABC中，AC＝BC＝AB＝4.∵ D为AB的中点，∴ AD＝BD＝2，CD⊥AB. ∴ CD＝ ＝ ＝2 .∵ DE为△ABC的中位线，∴ DE∥CF.
又∵ DE＝CF，∴ 四边形DEFC是平行四边形.∴ EF＝CD＝2 .
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（3） 求四边形DEFC的面积.
解：（3） 如图，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHC＝90°.
∵ AC＝BC，D为AB的中点，∴ 易得∠DCB＝ ∠ACB＝30°.
∴ DH＝ CD＝ .∵ DE＝CF＝2，∴ S四边形DEFC＝CF·DH＝2× ＝2 .
（第9题答案）
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10. （2024·张家港期末）如图，D，E是Rt△ABC两直角边AB，AC上的点，连接BE，F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，取CD的中点M，连接GM，FG，GH. 若BD＝8，CE＝6，则GM的长为 　5　.
5　
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11. 如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）.
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（1） 如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由.
解：（1） △OMN为等腰三角形.理由：取AC的中点P，连接PF，PE. ∵ E为BC的中点，∴ PE＝ AB，PE∥AB. ∴ ∠PEF＝∠ANF. 同理，可得PF＝ CD，PF∥CD. ∴ ∠PFE＝∠CME. 又∵ AB＝CD，∴ PE＝PF. ∴ ∠PEF＝∠PFE. ∴ ∠ONM＝∠OMN. ∴ △OMN为等腰三角形.
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（2） 如图③，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G. 若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并加以证明.
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解：（2） △AGD是直角三角形.如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE. ∵ F是AD的中点，∴ HF∥AB，HF＝ AB. ∴ ∠HFE＝∠AGF. 同理，可得HE∥CD，HE＝ CD. ∵ AB＝CD，∴ HF＝HE. ∴ ∠HFE＝∠HEF. ∵ ∠EFC＝60°，∴ ∠HEF＝60°.∴ ∠HEF＝∠HFE＝60°.∴ △EHF是等边三角形.∴ ∠AGF＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴ △AGF是等边三角形.∴ AF＝GF，∠AGF＝60°.∵ F为AD的中点，∴ AF＝FD. ∴ GF＝FD. ∴ ∠FGD＝∠FDG. ∴ ∠AFG＝∠FDG＋∠FGD＝2∠FGD. ∴ ∠FGD＝30°.∴ ∠AGD＝∠AGF＋∠FGD＝90°，即△AGD是直角三角形.
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11(共18张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第4课时　菱形的判定
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·南京期中）在 ABCD中，AC，BD相交于点O. 下列条件中，不能判定这个四边形为菱形的是（　D　）
A. AB＝BC B. AC⊥BD
C. BD平分∠ABC D. OA＝OB
D
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2. 新考法·开放题 （2025·常州溧阳段考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 　AD＝BC　.
AD＝BC　
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3. （2024·青岛期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为边AB上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
（1） 求证：四边形ADEC是平行四边形.
解：（1） ∵ DE⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACB＝∠DFB. ∴ AC∥DE. ∵ MN∥AB，即CE∥AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形.
（第3题）
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（2） 当D为AB的中点时，求证：四边形BECD是菱形.
解：（2） 由（1）知，四边形ADEC是平行四边形，
∴ AD＝CE. ∵ D为AB的中点，∴ AD＝BD. ∴ CE＝BD.
∵ BD∥CE，∴ 四边形BECD是平行四边形.∵ ∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴ CD＝BD. ∴ 四边形BECD是菱形.
（第3题）
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4. 下列是4名同学所画的图形，依据所标数据，不一定为菱形的是（　B　）
B
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5. （2025·烟台芝罘期末）如图，在 ABCD中，F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE. 添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件可以是（　D　）
A. ∠BAD＝∠BDA B. AB＝DE
C. DF＝EF D. DE平分∠ADB
D
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6. 如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF. 有下列三个条件：① ∠1＝∠2；② ∠3＝∠4；③ DE＝DF. 添加其中一个能使四边形ABCD是菱形的条件个数为（　C　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
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7. 如图，两张全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形的周长是 　25　.
25　
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8. （2024·南京秦淮期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，连接CE. 若△ADB是边长为3的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，则PM＋PN的最小值为 　 　.
　
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9. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，PN⊥DC于点N，连接PB. 在点P的运动过程中，PM＋PN＋PB的最小值为 　7.8　.
7.8　
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10. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD. 求证：
（1） ∠BOD＝∠BCD.
解：（1） 如图，延长AO，交CD于点E. ∵ OA＝OB，∴ ∠BAO＝∠ABO. 又∵ ∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，∴ ∠BOE＝2∠BAO. 同理，可得∠DOE＝2∠DAO. ∴ ∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2（∠BAO＋∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD.
又∵ ∠BCD＝2∠BAD，∴ ∠BOD＝∠BCD.
（第10题答案）
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（2） 四边形OBCD是菱形.
解：（2） 如图，连接OC. ∵ OB＝OD，BC＝DC，OC＝OC，∴ △OBC≌△ODC. ∴ ∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∴ ∠BOC＝ ∠BOD，∠BCO＝ ∠BCD. 又∵ ∠BOD＝∠BCD，
∴ ∠BOC＝∠BCO. ∴ BO＝BC. 又∵ OB＝OD，BC＝CD，∴ BO＝BC＝CD＝OD. ∴ 四边形OBCD是菱形.
（第10题答案）
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11. （2024·开封期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts.
（1） 用含t的式子表示PB的长.
解：（1） ∵ 点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，∴ AP＝t×1＝t（cm）.∵ AB＝18cm，∴ PB＝AB－AP＝（18－t）cm.
（第11题）
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（2） 当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
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解：（2） ∵ BC＝13cm，∴ 点Q在BC上的运动时间为13÷2＝6.5（s）.∵ BC＋CD＝13＋23＝36（cm），∴ 点Q的运动时间最长为36÷2＝18（s）.∴ 当6.5≤t≤18，即点Q在边CD上时，直线PQ可以把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形.分两种情况讨论：① 四边形PQCB是平行四边形，如图①.∵ AB∥CD，即PB∥CQ，∴ 只需PB＝CQ即可.由（1），知PB＝（18－t）cm.∵ 点Q以2cm/s的速度沿B→C→D向终点D运动，∴ CQ＝（2t－13）cm.∴ 18－t＝2t－13，解得t＝ .② 四边形ADQP是平行四边形，如图②.∵ AP∥DQ，∴ 只需AP＝DQ即可.∵ 易得AP＝tcm，DQ＝（36－2t）cm，∴ t＝36－2t，解得t＝12.综上所述，当t＝ 或12时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形.
（第11题）
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（3） 只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻的四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
解：（3） 设点Q的运动速度为xcm/s，由（2）可知，当点Q在边CD上时，四边形PBCQ可为菱形.∵ PB∥CQ，∴ 只需满足PB＝BC＝CQ即可.由（1），知PB＝（18－t）cm，由（2），可知CQ＝（xt－13）cm，∵ BC＝13cm，∴ 18－t＝13，xt－13＝13，解得t＝5，x＝5.2.∴ 当点Q的运动速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ在某一时刻为菱形.
（第11题）
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11(共18张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.2　平行四边形
第3课时　平行四边形的判定
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03
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目
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1. （2025·上海奉贤期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. 下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　B　）
A. AB＝DC，AD＝BC
B. AB∥DC，AD＝BC
C. AB∥DC，∠BAD＝∠BCD
D. OA＝OC，OB＝OD
B
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2. 新考法·开放题 （2025·东莞期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足（　B　）
A. ∠A＋∠C＝180° B. ∠B＋∠C＝180°
C. ∠A＋∠B＝180° D. ∠B＋∠D＝180°
B
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3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为 　8　.
8　
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4. （2025·广州越秀期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1） 通过计算判断△ABC的形状.
解：（1） 由题意可得，AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝5.∵ （ ）2＋（2 ）2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，∴ △ABC是直角三角形.
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（2） 在图中确定一个格点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出 ABCD的面积.
解：（2） 如图所示. ABCD的面积为AB·AC＝ ×2 ＝10.
（第4题答案）
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5. 根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（　B　）
B
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6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　D　）
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
D
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7. （2025·上饶期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设点P的运动时间为t秒.当以P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　C　）
A. 2或 B.
C. 或 D.
C
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8. 一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是 　平行四边形　.
9. （2024·济南期末）如图所示为由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”形状网格，每个小等边三角形的顶点均为格点.线段AB的端点在格点上.若以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 　4　个平行四边形.
平行四边形　
4　
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10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，则经过 　2或3　s时，线段PQ可从四边形ABCD中截出一个平行四边形.
2或3　
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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD∥AC，E为Rt△ABC的斜边AB上一点，连接DE，DE＝DB，过点E作EF⊥DE，交CA的延长线于点F，且EF＝BC，连接FD. 求证：
（1） ∠BDE＝2∠ABC.
解：（1） ∵ ∠ACB＝90°，BD∥AC，∴ ∠DBC＝180°－∠ACB＝90°.∴ ∠DBE＋∠ABC＝90°.∵ DE＝DB，∴ ∠DEB＝∠DBE.
∴ ∠BDE＝180°－2∠DBE＝180°－2（90°－∠ABC）＝2∠ABC.
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（2） 四边形ABDF为平行四边形.
解：（2） 如图，过点F作FH⊥EF，交BA的延长线于点H.
∵ EF⊥DE，∴ ∠AEF＋∠DEB＝90°.∵ ∠ABC＋∠DBE＝90°，∠DEB＝∠DBE，∴ ∠AEF＝∠ABC，即∠HEF＝∠ABC. ∵ EF＝BC，∠EFH＝∠BCA＝90°，∴ △HEF≌△ABC. ∴ ∠H＝∠BAC＝∠FAH，HE＝AB. ∴ HE－AE＝AB－AE，即AH＝BE.
∵ BD∥AC，∴ ∠DBE＝∠DEB＝∠BAC＝∠FAH＝∠H. 在△FAH和△DBE中， ∴ △FAH≌△DBE. ∴ FA＝DB.
∵ FA∥BD，∴ 四边形ABDF为平行四边形.
（第11题答案）
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12. （2024·南通如皋期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在BC上，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF长的最小值为（　C　）
A.
B. ＋1
C. 4 －
D. ＋3
（第12题）
C
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13. 如图，E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.
（1） 求证：四边形BFDE是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF. 又∵ AE＝CF，∴ △BAE≌△DCF. ∴ BE＝DF，∠AEB＝∠CFD. ∴ 180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠BEF＝∠DFE. ∴ BE∥DF. 又∵ BE＝DF，∴ 四边形BFDE是平行四边形.
（第13题）
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（2） 若把条件“AE＝CF”改为“BE⊥AC，DF⊥AC”，则四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
解：（2） 四边形BFDE还是平行四边形.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF.
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF.
∴ △BAE≌△DCF. ∴ BE＝DF. ∴ 四边形BFDE是平行四边形.
（第13题）
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（3） 若把条件“AE＝CF”改为“BE＝DF”，则四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
解：（3） 四边形BFDE不是平行四边形.∵ 把条件“AE＝CF”改为“BE＝DF”后，不能证明BE∥DF或DE＝BF，∴ 四边形BFDE不是平行四边形.
（第13题）
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13(共16张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第3课时　菱形的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·廊坊期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P，Q分别在边CD，AD上运动（不与点A，C，D重合），满足DP＝AQ，连接AP，CQ交于点E. 有下列结论：① AP＝CQ；② ∠AEC的度数不变；③ ∠APD＋∠CQD＝180°.其中，正确的是（　D　）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
（第1题）
D
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2. 设P为菱形ABCD的边AB的中点，O为菱形ABCD对角线的交点.若菱形的周长为20，则OP＝ 　 　.
3. 若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 　cm.
　
　
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（1） 求证：AE＝AF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD，∠B＝∠D.
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE和△ADF中， ∴ △ABE≌△ADF. ∴ AE＝AF.
（第4题）
4. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
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（2） 若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD∥BC. ∴ ∠B＋∠BAD＝180°.∵ ∠B＝60°，∴ ∠BAD＝120°.∵ ∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴ ∠BAE＝30°.由（1），知△ABE≌△ADF，∴ ∠BAE＝∠DAF＝30°.∴ ∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.∵ AE＝AF，∴ △AEF是等边三角形.∴ ∠AEF＝60°.
（第4题）
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5. （2024·昭通期末）如图，在菱形ABCD中，AE＝ AD，AF＝ AC. 若菱形ABCD的周长为24，则EF的长为（　C　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
C
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13
6. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，且BE＝AF，则EF长的最小值是（　D　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
D
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7. 如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH交于点M，延长AB，GF交于点N. 若AB＝3BN＝3，∠ABC＝120°，则EC的长是（　D　）
A. 3 B. 4 C. D. 2
D
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8. （2025·梅州平远期末）如图，菱形ABCD的边长为6，M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是（　D　）
A. 3 B. 3＋3 C. 6＋ D. 6
D
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9. 在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为对角线BD的中点，F为边AD上一点，且DF＝ .若△DEF为等腰三角形，则菱形ABCD的边长为 　2 或2　.
10. （2025·沧州献县模拟）如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，G，E，F分别是BD，AB，AD上的点.若GE＋GF＝3，则AE＋AF的值是 　 　.
2 或2　
　
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11. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D作DE∥AB，F是AD的中点，连接EF并延长，交AB于点G，连接DG.
（1） 求证：四边形AGDE是平行四边形.
解：（1） ∵ DE∥AB，∴ ∠BAD＝∠ADE，∠AGE＝∠DEG. ∵ F是AD的中点，∴ AF＝DF. ∴ △AFG≌△DFE. ∴ AG＝DE.
又∵ AG∥DE，∴ 四边形AGDE是平行四边形.
（第11题）
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（2） 若四边形AGDE是菱形，D是BC的中点，试判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由.
解：（2） △ABC是等腰三角形.理由：∵ D是BC的中点，且DE∥AB，∴ DE是△ABC 的中位线.∴ DE＝ AB. 同理，可得DG＝ AC. ∵ 四边形AGDE是菱形，∴ DE＝DG. ∴ AB＝AC.
∴ △ABC是等腰三角形.
（第11题）
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12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点H在BC上，AH⊥BC于点H，连接OH. 若∠ADC＝50°，则∠AHO等于（　C　）
A. 40° B. 30° C. 25° D. 20°
C
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13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接OE交CD于点F，连接AF，AE，CE.
（1） 求证：OE＝CD.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OA＝OC＝ AC，AD＝CD. ∵ DE＝ AC，∴ DE＝OA＝OC. ∵ DE∥AC，∴ 四边形OADE是平行四边形.∴ OE＝AD. ∴ OE＝CD.
（第13题）
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（2） 若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求 的值.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，BC＝AB＝CD＝AD＝4.∵ ∠ABC＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ AC＝AB＝4.由（1），知DE＝OC，∵ DE∥OC，∴ 四边形OCED是平行四边形.∵ CO⊥BD，∴ ∠COD＝90°.∴ 四边形OCED是矩形.
∴ CF＝DF＝ CD＝2，∠OCE＝90°，CE＝OD. 又∵ AC＝AD＝4，∴ AF⊥CD. 在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF＝ ＝ ＝2 .由（1），知OA＝ AC＝2，∴ 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝ ＝2 .∴ CE＝OD＝2 .在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝2 .∴ ＝ ＝ .
（第13题）
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13(共19张PPT)
第二十一章 四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
第5课时　正方形的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边BC上的一点，F是BD上的一点，连接DE，EF. 若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　A　）
A. 2 B. 2＋
C. 4－2 D.
A
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2. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN长的最大值为 　 　.
　
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3. （2025·北京海淀期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，－2），D（b，－1），求正方形ABCD的面积.
（第3题答案）
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解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，则OC＝2，OE＝1.∴ CE＝OC－OE＝2－1＝1.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠CED，BC＝CD.
∴ ∠BCO＋∠OCD＝∠CDE＋∠OCD＝90°.∴ ∠BCO＝∠CDE. ∴ △OBC≌△ECD.
∴ OC＝ED＝2.∴ 正方形ABCD的面积是CD2＝CE2＋DE2＝12＋22＝5.
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4. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的点，且EF∥AD，连接AF，DE. 若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　C　）
A. 80° B. 90°
C. 105° D. 115°
C
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5. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，连接OM，FG，则OM＋ FG的最小值是（　B　）
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
B
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6. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. 若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为 　 　.
　
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7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2.点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，E是边BC的中点，连接AE，AF，EF. 当△AEF为直角三角形时，CF的长为 　 或 　.
或
　
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8. 如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧作等腰三角形ADE，EA＝ED＝ .
（1） △ADE的面积为 　3　.
（2） 若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　 　.
3　
　
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9. （2025·淄博周村期末）如图①，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，且点E不与点C，D重合，过点A作AE的垂线，交CB的延长线于点F，连接EF.
（1） 求∠AEF的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°.
∴ ∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°.∵ AE⊥AF，∴ ∠EAF＝90°.∴ ∠BAE＋∠BAF＝90°.∴ ∠DAE＝∠BAF.
∴ △ADE≌△ABF. ∴ AE＝AF. ∴ △AEF是等腰直角三角形.∴ ∠AEF＝45°.
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（2） 如图②，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG. 用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明.
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解：（2） CF＝ DG. 如图，取CE的中点M，连接GM，GC. ∵ △AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，∴ G是EF的中点.∴ AG＝ EF. 同理，可得在Rt△EFC中，CG＝ EF. ∴ AG＝CG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD，∠ADC＝∠DCB＝90°.
∵ DG＝DG，∴ △ADG≌△CDG.
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∴ ∠ADG＝∠CDG. ∵ ∠ADG＋∠CDG＝90°，∴ ∠ADG＝∠GDC＝45°.∵ 易得GM为△EFC的中位线，∴ GM∥CF，GM＝ CF. ∴ ∠DMG＝∠DCB＝90°.∵ ∠GDM＝45°，∴ ∠DGM＝45°.∴ 易知△DMG为等腰直角三角形.
∴ DM＝GM. ∴ DM2＋GM2＝DG2＝2GM2.
∴ DG＝ GM. ∵ GM＝ CF，∴ DG＝ CF. ∴ CF＝ DG.
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10. （2025·云浮罗定期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD，PB. 点Q在BA的延长线上且PQ＝PD.
（1） 如图①，若四边形ABCD是正方形.
① 求∠DPQ的度数.
② 探究AQ与OP之间的数量关系，
并说明理由.
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解：（1） ① 如图①，记AD与PQ交于点M. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°.∴ ∠DAQ＝90°.∵ AP＝AP，
∴ △DAP≌△BAP. ∴ PD＝PB，∠ADP＝∠ABP. ∵ PQ＝PD，∴ PQ＝PB. ∴ ∠PQA＝∠PBA＝∠ADP. ∵ ∠AMQ＝∠DMP，∴ ∠DPQ＝∠DAQ＝90°.② AQ＝ OP. 理由：如图②，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ OD＝OA，∠AOD＝90°.∴ ON＝OP. ∴ △PON是等腰直角三角形.∴ 易得PN＝ OP. ∵ ∠DPQ＝90°，∴ ∠APQ＋∠OPD＝90°.∵ ∠OPD＋∠ODP＝90°，∴ ∠APQ＝∠ODP. ∵ PD＝PQ，∴ △DNP≌△PAQ. ∴ PN＝QA. ∴ AQ＝ OP.
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（2） 如图②，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°，探究AQ与CP之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） AQ＝CP. 理由：如图③，过点D作DE⊥BQ于点E，连接DQ. ∴ ∠AED＝∠DEQ＝90°.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，AD＝AB＝BC，AD∥BC.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝90°，∠DAE＝∠ABC＝60°.∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠ACB＝60°.同理（1），得PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°＝∠BCO. ∴ △PDQ是等边三角形.∴ DQ＝PD＝PB. 在△ADE和△CBO中，∵ ∠DEA＝∠BOC＝90°，∠DAE＝∠BCO，AD＝CB，∴ △ADE≌△CBO. ∴ DE＝BO，AE＝CO. 在Rt△DEQ和Rt△BOP中，∵ DQ＝BP，DE＝BO，∴ Rt△DEQ≌Rt△BOP.
∴ EQ＝OP. ∴ EQ＋AE＝OP＋OC，即AQ＝CP.
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