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第二十章 勾股定理
专题特训三　利用勾股定理解决折叠问题
类型一　求线段长
1. （2024·长沙岳麓期末）如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上的点F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ 　6　.
6　
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2. 如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为（15，9），过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，垂足分别为A，C. E为y轴上一点，将△AED沿直线DE折叠，点A落在OC上的点F处.
（1） 直接写出点A的坐标.
解：（1） A（0，9）.
（第2题）
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（2） 求CF，AE的长.
解：（2） ∵ DA⊥y轴，DC⊥x轴，∠AOC＝90°，点D的坐标为（15，9），∴ AD＝OC＝15，OA＝CD＝9，∠OCD＝90°.∵ 将△AED沿直线DE折叠，点A落在OC上的点F处，∴ AE＝EF，DF＝AD＝15.∴ CF＝ ＝ ＝12.∴ OF＝OC－CF＝15－12＝3.设AE＝x，则EF＝x，OE＝9－x.在Rt△OEF中，由勾股定理，得OE2＋OF2＝EF2，即（9－x）2＋32＝x2，解得x＝5.∴ AE＝5.
（第2题）
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类型二　求图形的面积
3. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　C　）
A. 3cm2 B. 4cm2 C. 6cm2 D. 12cm2
C
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4. （2025·北京朝阳期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为 　10　.
10　
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类型三　求图形的周长
5. 如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边BC上，且BE＝EC. 将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，求△BEG的周长.
（第5题答案）
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解：如图，连接GD. 由题意可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴ ∠DFG＝∠A＝90°.又∵ DG＝DG，∴ Rt△ADG≌Rt△FDG. ∴ AG＝FG. ∵ BC＝12，BE＝EC，∴ BE＝EC＝EF＝6.设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x.在Rt△GBE中，由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2，∴ （x＋6）2＝62＋（12－x）2，解得x＝4.∴ AG＝GF＝4，BG＝8，EG＝10.∴ △BEG的周长为BE＋EG＋GB＝6＋10＋8＝24.
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5(共15张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理及其验证
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. （2024·廊坊期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（　C　）
　
C
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2. （2024·临沂期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，4），以点O为圆心、OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的横坐标在（　B　）
A. 5和6之间 B. 7和8之间
C. 10和11之间 D. 8和9之间
B
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3. 若实数m，n满足｜m－3｜＋ ＝0，且m，n恰好是直角三角形的两条边长，则该直角三角形的斜边长为 　5或4　.
5或4　
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（1） 用含a的代数式表示图②中大正方形的边长.
解：（1） ∵ 直角三角形较短的直角边长为 ×2a＝a，较长的直角边长为2a＋3，∴ 大正方形的边长为 ＝ .
4. 如图①，将长为2a＋3、宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，然后拼成如图②所示的“赵爽弦图”，得到大小不同的两个正方形.
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（2） 当a＝3时，该大正方形的面积是多少？
解：（2） 由（1），易知大正方形的面积为5a2＋12a＋9.∴ 当a＝3时，该大正方形的面积是5×32＋12×3＋9＝90.
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5. 如图，点E在线段AB上，AE＝a，AD＝b（b＞a），∠A＝∠B＝90°，△ADE≌△BEC，连接DC，设DC＝c.有下列结论：① a2＋b2＝ c2；② 2b＞c；③ c＞2 .其中，正确的是（　D　）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
D
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6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作正方形ADEC，正方形CHIB，正方形ABGF，点G落在HI上，EC与AF交于点N. 若AC＋BC＝7，空白部分的面积为13，则AB的长为（　A　）
A. 5 B. C. D.
A
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7. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”，现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，AC与BD交于点E. 若AD＝3，BC＝5，则AB2＋CD2＝ 　34　.
34　
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8. ★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD的长为 　 　.
　
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9. 新考法·操作题 （1） 如图①所示为由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边长的和是5，求中间小正方形的面积.
解：（1） 设直角三角形的两直角边长分别为a，b（a＞b）.依题意，得 ∴ ab＝ ＝6.∴ 中间小正方形的面积为（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝1.
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（2） 现有一张长为6.5cm、宽为2cm的长方形纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）.
解：（2） 如图所示.
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h.
（1） 求证： ＋ ＝ .
解：（1） ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，∴ a2＋b2＝c2，S△ABC＝ ab＝ ch.∴ ab＝ch.∴ ＋ ＝ ＝ ＝ .
（第10题）
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（2） 若正实数x满足 ＋ ＝13，求x的值.
解：（2） 如图，构造Rt△ABC，使得∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD⊥AB于点D. 设CD＝x.由勾股定理，得AD＝ ＝ ，BD＝ ＝ ，AB＝ ＝13.∴ AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝13.∵ 在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴ S△ABC＝ AB·CD＝ AC·BC. ∴ ×13x＝ ×5×12，解得x＝ .∴ ＋ ＝13中的正实数x＝ .
（第10题）
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10(共17张PPT)
第二十章 勾股定理
专题特训四　利用勾股定理求最短路径
类型一　与平面内的点有关的最短路径
1. （2024·青岛期中）如图所示为由边长为1m的方砖铺设的地板示意图.若小球在地板上从点A滚动到点B，则小球滚动的最短路程是（　C　）
A. 2m B. 4m C. 2 m D. 5m
（第1题）
C
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类型二　与圆柱有关的最短路径
2. ★如图，圆柱的高BC＝12πcm，其底面圆周长是16πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A处沿圆柱的外壁爬到点P处，则蚂蚁爬行的最短路程是（　C　）
A. 12πcm B. 11πcm
C. 10πcm D. 9πcm
（第2题）
C
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3. 【阅读材料】 如图①，圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长是多少？
　　
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【方法探究】 对于立体图形中求最短路程的问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图②所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路线（线段AB）的长.
【方法应用】 （1） 如图③，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇.试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所经过的最短路线的长.
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解：（1） 如图①所示为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，连接SF，则线段SF就是蜘蛛走的最短路线.过点S作SN⊥CD于点N. ∵ ∠SNF＝90°，FN＝18－1×2＝16（cm），SN＝ ×60＝30（cm），∴ SF＝ ＝ ＝34（cm）.∴ 蜘蛛所经过的最短路线的长为34cm.
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（2） 如图④，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm.假设昆虫甲从盒内顶点C1处开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A处以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
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解：（2） 如图②所示为长方体的部分侧面展开图，设昆虫甲从顶点C1处沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A处按路径A→E→F爬行.设昆虫乙捕捉到昆虫甲需要xs.∵ 昆虫甲、昆虫乙的爬行速度都是1cm/s，∴ AF＝xcm，C1F＝xcm.由题意，易得AC＝12cm，AA1＝CC1＝14cm，∠C＝90°，∴ CF＝CC1－C1F＝（14－x）cm.∴ 在Rt△ACF中，AF2＝AC2＋CF2，即x2＝122＋（14－x）2，解得x＝ .∴ 昆虫乙至少需要 s才能捕捉到昆虫甲.
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类型三　与长方体有关的最短路径
4. 如图，正方体的棱长为3，蚂蚁在正方体表面爬行，它从点A爬到点B的最短路程是 　3 　.
3 　
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5. 如图，一只蚂蚁在一个长、宽、高分别为2，1，4的长方体的顶点A处.求它沿长方体表面从顶点A爬到顶点B的最短路程.
（第5题）
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解：根据题意，分三种情况讨论：① 如图①，将长方体的正面与右面展开在同一平面内，则BC＝4，AC＝2＋1＝3.∴ AB2＝AC2＋CB2＝32＋42＝25.∴ AB＝5.② 如图②，将长方体的正面与上面展开在同一平面内，则AC＝2，BC＝1＋4＝5.∴ AB2＝AC2＋BC2＝22＋52＝29.∴ AB＝ .③ 如图③，将长方体的左面与上面展开在同一平面内，则AC＝1，BC＝2＋4＝6.∴ AB2＝AC2＋BC2＝12＋62＝37.∴ AB＝ .∵ 5＜ ＜ ，∴ 最短路程为5.
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类型四　与其他图形有关的最短路径
6. 如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点.有一只壁虎从点A处出发，沿着台阶面爬向点B处去吃可口的食物，则这只壁虎至少需要爬 　130　cm.
130　
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7. （2024·临沂期末）如图所示为某公园内云顶滑雪场U型池的示意图，该场地可以看成是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在CD上，CE＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短路线长为 　4 　m.
4 　
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8. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2 ，AA1＝2，M为AC的中点，一只小虫从点B1处沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到点M处，求这只小虫爬行的最短路程.
（第8题）
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解：如图①，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1.∵ M为AC的中点，△ABC和△A1B1C1为等边三角形，
∴ CM＝ AC＝ ×2 ＝ .∴ BM＝CM＋BC＝3 .在Rt△MBB1中，由勾股定理，得B1M＝ ＝ .如图②，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则易得ME⊥AB，EF＝AA1，AE＝A1F.
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∵ △ABC是等边三角形，∴ 在Rt△AME中，∠MAE＝60°.∴ 易得ME＝ ，AE＝ .∴ MF＝ME＋EF＝ME＋AA1＝ ，B1F＝A1B1－A1F＝A1B1－AE＝ .在Rt△MFB1中，由勾股定理，得B1M＝ ＝ .如图③，把底面A1B1C1和侧面AA1C1C沿A1C1展开在同一平面内，连接B1M，交A1C1于点N，则易得B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，MN＝AA1＝2.∵ △A1B1C1是等边三角形，∴ 在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°.∴ 易得NB1＝3.∴ B1M＝NB1＋MN＝5.∵ ＜5＜ ，∴ 这只小虫爬行的最短路程为 .
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8(共13张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第2课时　勾股定理及其逆定理的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·宣城宁国期中）如图，将一根长18cm的木棒置于底面直径为12cm，高为9cm的圆柱水杯中.若木棒露在水杯外部的长度为hcm，则h的取值范围是（　B　）
A. h≤9 B. 3≤h≤9
C. 4≤h≤9 D. 5≤h≤9
B
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2. （2025·西安期中）如图，某茅屋的屋顶剖面呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝10米，横梁BC＝16 米，那么从梁BC上的任意一点D（不与点B，C重合）支一根木头顶住屋顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　C　）
A. 5米 B. 12米 C. 8米 D. 16米
C
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3. 现有两根铁棒，它们的长分别为2m和3m.如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为 　 或 　m.
4. 小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机的垂直尾翼，小明测量后发现AB＝13cm，AD＝5cm，∠DBC＝90°，BC＝16cm，CD＝20cm.根据设计要求需保证AD∥BC. 请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由.
（第4题）
或 　
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解：该尾翼符合设计要求.理由：∵ ∠DBC＝90°，BC＝16cm，CD＝20cm，
∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝12（cm）.∵ 在△ABD中，AB＝13cm，AD＝5cm，∴ AD2＋BD2＝AB2.∴ △ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ AD∥BC. ∴ 该尾翼符合设计要求.
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5. （2025·邵阳新邵期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的方向航行，已知它们离开港口1.5小时后相距30海里（即BA＝30海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（　C　）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
C
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6. 如图，有A，B，C，D四个城镇（A，D，C三个城镇在同一条直线上），它们之间（除B，C两个城镇外）都有笔直的公路连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇之间的公共汽车票价为A-B：10元；A-C：12.5元；A-D：8元；B-D：6元；C-D：4.5元.为了使B，C两个城镇之间的交通更为便捷，有关部门打算在它们之间建设笔直的公路，则按上述标准，B，C两个城镇之间的公共汽车票价为 　7.5　元.
7.5　
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7. （2025·开封祥符期末）如图，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种修筑水渠的方案.
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H处分别向A，B两块试验田进行修筑.
（1） 请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）.
解：（1） △ABC是直角三角形.∵ AC＝160m，BC＝120m，AB＝200m，1602＋1202＝40000＝2002，∴ AC2＋BC2＝AB2.
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
（第7题）
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（2） 两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.
解：（2） 甲方案所修的水渠较短.∵ △ABC是直角三角形，CH⊥AB，∴ △ABC的面积＝ AB·CH＝ AC·BC. ∴ CH＝ ＝ ＝96（m）.∵ AC＋BC＝160＋120＝280（m），CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296（m），280＜296，∴ AC＋BC＜CH＋AH＋BH. ∴ 甲方案所修的水渠较短.
（第7题）
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8. （2025·惠州惠阳期中）在△ABC中，BC＝m－n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m＋n.
（1） 求证：△ABC是直角三角形.
解：（1） ∵ BC＝m－n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m＋n，∴ BC2＋AC2＝（m－n）2＋4mn＝m2＋n2－2mn＋4mn＝m2＋n2＋2mn＝（m＋n）2＝AB2.
∴ △ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
（2） 当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式.
解：（2） ∵ △ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°，∴ ＝ ＝ .∴ m＝3n.
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9. 设a，b，c是一个三角形三条边的长，且a是最长边的长，我们可以利用a，b，c之间的关系来判断这个三角形的形状：① 若a2＝b2＋c2，则该三角形是直角三角形；② 若a2＞b2＋c2，则该三角形是钝角三角形；③ 若a2＜b2＋c2，则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边的长是6，由于62＝36＜42＋52，故由上面③可知，该三角形是锐角三角形.请根据上述内容，解答下列问题.
（1） 若一个三角形的三边长分别是6，7，8，则该三角形是 　锐角　三角形.
（2） 若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 　13或 　.
锐角　
13或 　
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（3） 若一个三角形的三边长分别是m2－n2，2mn，m2＋n2，请判断这个三角形的形状，并说明理由.
解：这个三角形是直角三角形.理由：∵ （m2－n2）2＋（2mn）2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝ ，∴ 这个三角形是直角三角形.
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9(共16张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第1课时　勾股定理的逆定理
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·重庆渝北期中）下列各组数中，属于勾股数的是（　C　）
A. 1，2，3 B. 4，5，6
C. 6，8，10 D. 8，15，16
2. （2025·东方期末）五根木棒的长度（单位：cm）分别为5，9，12，15，17.从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　D　）
A. 5，9，12 B. 5，15，17
C. 12，15，17 D. 9，12，15
C
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3. （2024·北京西城期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，AB与CD相交于点P，则∠BPD的度数为 　135°　.
135°　
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4. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.
（1） 求CD的长.
解：（1） 在△BCD中，∵ CD⊥AB，∴ BD2＋CD2＝BC2.
∴ CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144.∴ CD＝12.
（第4题）
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（2） 求AB的长.
解：（2） 在△ACD中，∵ CD⊥AB，∴ CD2＋AD2＝AC2.
∴ AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256.∴ AD＝16.∴ AB＝AD＋BD＝16＋9＝25.
（第4题）
（3） 判断△ABC的形状.
解：（3） ∵ BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，∴ AB2＝BC2＋AC2.
∴ △ABC是直角三角形.
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5. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AB的垂线，垂足为H，则IH的长为（　A　）
A. 1
B.
C. 2
D.
（第5题）
A
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6. ★（2025·南阳内乡期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，下列说法错误的是（　B　）
A. 如果a∶b∶c＝7∶24∶25，那么∠C＝90°
B. 如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，那么△ABC是直角三角形
C. 如果a，b，c分别为6，8，10，那么a，b，c是一组勾股数
D. 如果∠A－∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B
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7. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　D　）
A. C1 B. C2 C. C3 D. C4
D
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8. （2025·扬州）清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了我国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：① 3，4，5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 　11，60，61　.
9. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝5 ，则BD的长为 　 　.
11，60，61　
　
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10. 发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形.
验证：如12＋13＝25＝52，请判断以12，13，5为边长的三角形是直角三角形.
探究：设两个连续的正整数m和m＋1的和可以表示成正整数n的平方，请证明“发现”中的结论.
应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中的结论的数.
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解：验证：∵ 52＋122＝169，132＝169，∴ 52＋122＝132.∴ 以12，13，5为边长的三角形是直角三角形.探究：由题意，得m＋m＋1＝n2，即n2＝2m＋1.∴ m2＋n2＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2.∴ 以n，m，m＋1为边长的三角形是直角三角形.
∴ “发现”中的结论正确.应用：∵ 40＋41＝92，∴ 92＋402＝1681，412＝1681.∴ 92＋402＝412.∴ 以9，40，41为边长的三角形是直角三角形.
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11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，DE＝ ，BC＝2，CD＝4.求：
（1） ∠ABC的度数.
解：（1） 如图，连接BD. ∵ E为AB的中点，DE⊥AB，∴ BD＝AD，AE＝BE. ∵ ∠DAB＝30°，DE＝ ，∴ ∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2 .∴ AE＝BE＝ ＝3.∵ BC2＋BD2＝22＋（2 ）2＝16＝CD2，∴ △BCD是直角三角形，∠CBD＝90°.∴ ∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋90°＝120°.
（第11题答案）
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（2） CE的长.
解：（2） 如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠BFC＝90°.由（1），可得∠CBF＝180°－∠ABC＝60°.∵ ∠BFC＝90°，∴ ∠BCF＝30°.∴ BF＝ BC＝1.∴ EF＝BE＋BF＝4.在Rt△BCF中，由勾股定理，得CF＝ ＝ .在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝ .
（第11题答案）
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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h（a，b，c，h均大于0）.
（1） 求证：a＋b＜c＋h.
解：（1） ∵ S△ABC＝ ab＝ ch，∴ ab＝ch.∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴ a2＋b2＝c2.又∵ c2＜c2＋h2，∴ a2＋b2＜c2＋h2.
∵ ab＝ch，∴ a2＋b2＋2ab＜c2＋h2＋2ch.∴ （a＋b）2＜（c＋h）2.∵ a，b，c，h均大于0，∴ a＋b＜c＋h.
（第12题）
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（2） 判断以a＋b，h，c＋h为边长的三角形的形状，并说明理由.
解：（2） 以a＋b，h，c＋h为边长的三角形是直角三角形.理由：∵ （c＋h）2＝c2＋2ch＋h2，h2＋（a＋b）2＝h2＋a2＋2ab＋b2，a2＋b2＝c2，ab＝ch，∴ c2＋2ch＋h2＝h2＋a2＋2ab＋b2.
∴ （c＋h）2＝h2＋（a＋b）2.∴ 以a＋b，h，c＋h为边长的三角形是直角三角形.
（第12题）
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第二十章 勾股定理
第二十章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 勾股定理
典例1　如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是（　A　）
A. B. C. D.
A
[变式]（2025·银川兴庆期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝9m，OB＝3m.一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
解：∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴ BC＝CA. 设AC＝BC＝xm，则OC＝（9－x）m.在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB2＋OC2＝BC2.∴ 32＋（9－x）2＝x2，解得x＝5.∴ 机器人行走的路程BC是5m.
考点二 勾股定理与作图
典例2　如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点叫作格点.
（1） 在图①中，以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3，4，5.
解：（1） 如图①，△ABC即为所求.
（2） 在图②中，以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为 ， ， .
解：（2） 如图②，△DEF即为所求.
[变式]请利用勾股定理解决下列问题：
（1） 一个直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，那么这个直角三角形的斜边长为 　13　.
（2） 如图①，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AC＝10，DC＝6，求BD的长.
解：（2） ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.∵ AC＝10，CD＝6，∴ AD＝8.∵ AD＝BD，∴ BD＝8.
13　
（3） 如图②，点A在数轴上表示的数为 　－ 　.请用类似的方法在图②的数轴上画出表示数－ 的点B（不写作法，保留作图痕迹）.
　　
解：（3） 如图，点B即为所求.
－ 　
考点三 勾股定理的逆定理
典例3　在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则△ABC是（　A　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定的三角形
A
[变式]如图，O，A，B三点的坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（0，5）.求证：△OAB为直角三角形.
解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H，AP⊥y轴于点P. 由题意，易得OA2＝22＋12＝5，AB2＝22＋（5－1）2＝20，OB2＝52＝25.∴ OB2＝AB2＋OA2.∴ △OAB是直角三角形.
1. 新考向·数学文化 （2025·重庆璧山期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地四尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”大意如下：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问：绳索的长是多少？根据题意求出绳索的长为（　B　）
A. 尺 B. 10尺
C. 16尺 D. 12尺
B
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2. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，A，B是格点.若△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　B　）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
B
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3. （2024·郑州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，记BE与CD的交点为O. 若BE＝3，则CD的长为（　C　）
A. B. 3 C. 2 D. 3
C
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4. 如图，在6×4的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，则∠ABC－∠DCE的度数为 　45°　.
45°　
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5. （2025·济宁一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC. 若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 　 　.
　
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6. 如图①，折叠正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平后连接AF，将△ADF沿AF折叠，使点D落在正方形内的一点M处，连接FM并延长，交BC于点P，连接AP.
（1） 若正方形的边长是4，求BP的长.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，AD＝AM，CF＝DF＝MF＝ CD＝2，∠D＝∠AMF＝90°，∠DAF＝∠MAF，∴ AB＝AM，∠AMP＝90°.又∵ AP＝AP，∴ Rt△ABP≌Rt△AMP.
∴ ∠BAP＝∠MAP，BP＝MP.
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∴ ∠PAF＝∠MAP＋∠MAF＝ ∠BAM＋ ∠DAM＝ ∠BAD＝45°.设BP＝x，则PC＝4－x，PF＝PM＋MF＝x＋2.∴ 在Rt△PCF中，CF2＋PC2＝PF2，即22＋（4－x）2＝（x＋2）2，解得x＝ .
∴ BP的长为 .
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（2） 如图②，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8.P为边BC上的一点（不与点B重合），将△ABP沿着AP折叠，点B的对应点M落在长方形的内部，连接MD，当△MAD为等腰三角形时，求BP的长.
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解：（2） 由折叠的性质可知，AM＝AB＝6，6≠8，∴ AM≠AD. 如图①，若AM＝DM，则易得点M在AD的垂直平分线上.过点M作EF⊥AD于点E，交BC于点F，则易得EF⊥BC.
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∴ 易得AE＝ AD＝4.∴ 在Rt△EMA中，由勾股定理，得EM＝ ＝2 .易知EF＝AB＝6，AE＝BF＝4.∴ MF＝EF－EM＝6－2 .设BP＝a，则PM＝a，PF＝4－a.在Rt△PMF中，由勾股定理，得PM2＝PF2＋MF2，即a2＝（4－a）2＋（6－2 ）2，解得a＝9－3 .∴ BP的长为9－3 .如图②，若AD＝DM，过点M作EF⊥AD于点E，交BC于点F，则易得EF⊥BC.
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在Rt△AME和Rt△MDE中，由勾股定理，得EM2＝AM2－AE2，EM2＝DM2－DE2，∴ AM2－AE2＝DM2－（AD－AE）2.∴ 62－AE2＝82－（8－AE）2，解得AE＝ .∴ EM＝ ＝ .易知EF＝AB＝6，AE＝BF＝ ，
∴ MF＝EF－EM＝6－ .设BP＝y，
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则PM＝y，PF＝ －y.在Rt△PMF中，由勾股定理，得PM2＝PF2＋MF2，即y2＝ ＋ ，解得y＝16－2 .∴ BP的长为16－2 .综上所述，BP的长为9－3 或16－2 .
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6(共17张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，将长为8cm的橡皮筋的两端点A，B固定，然后从中点C处将橡皮筋垂直向上拉升3cm到点D，则橡皮筋被拉长了（　A　）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 1cm
A
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2. （2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在垂直于地面的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度为 　2.4　m.
2.4　
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3. （2025·孝感应城期中）如图所示的正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点.
（1） 以格点为顶点画三角形，使其满足以下要求：三角形的三边长分别为3，2 ， ，且面积为3.
解：（1） 如图，△ABC即为所求.
（第3题答案）
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（2） 试说明所画图形的正确性.
解：（2） 由图，知AC＝3，AB＝ ＝ ，BC＝ ＝2 ，S△ABC＝ ×3×2＝3.∴ 所画图形是正确的.
（第3题答案）
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4. 如图，一只小鸟从树尖C处径直飞向塔尖A处.已知树高CD为6米，塔高AB为12米，树与塔的水平距离BD为8米，则小鸟飞行的最短距离为（　B　）
A. 8米 B. 10米 C. 11米 D. 12米
B
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5. （2024·防城港防城期中）《九章算术》记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意如下：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝2寸，点C，D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），则AB的长为 　101　寸.
101　
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6. （2024·深圳福田二模）一种笔记本电脑支架有1～6共6个挡位调节角度，相邻两个挡位之间的距离为2cm.如图，托架OK的长为24cm，M是支点，且OM＝2MK. 当支架调至1挡时，AM⊥OK，当支架调至5挡时，托架OK绕着点O旋转到OK'，此时M'E＝OE，则支点M'到OA的距离为 　 　cm.
　
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7. （2024·商丘期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所学校，AP＝160米，∠NPQ＝30°.如果拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声影响，那么当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果会受到影响，已知拖拉机行驶的速度是5米/秒，那么学校受到影响的时间为多少秒？
（第7题答案）
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解：会受到影响.理由：如图，过点A作AH⊥MN于点H. ∵ 在Rt△APH中，∠HPA＝30°，∴ AH＝ AP＝ ×160＝80（米）.∵ 80＜100，∴ 当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到影响.以点A为圆心、100米为半径画弧交MN于点B，C，连接AB，AC，则AB＝AC＝100米.又∵ AH⊥BC，∴ BH＝CH. 在Rt△ABH中，BH＝ ＝ ＝60（米）.∴ BC＝2BH＝120米.∴ 学校受到影响的时间为 ＝24（秒）.
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8. （2025·西安期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点M从点A出发沿A→C方向运动，速度为1cm/s，同时，点N从点C出发沿C→B→A方向运动，速度为2cm/s，设运动的时间为ts.
（1） 当形成的△MCN第一次为等腰三角形时，t＝ 　 　.
　
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（2） 当点N运动到BA上时，△BCN是等腰三角形，且BC是其中的一条腰，求出此时t的值.
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解：如图①，当BC＝BN＝6cm时，点N运动的路程是BC＋BN＝6＋6＝12（cm）.∴ 点N运动的时间为12÷2＝6（s），即t＝6.如图②，当BC＝CN时，过点C作CH⊥BN于点H，∴ NB＝2BH. ∵ ∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴ AB＝ ＝10cm.∵ △ABC的面积＝ AB·CH＝ AC·BC，∴ CH＝4.8cm.∴ BH＝ ＝3.6cm.∴ BN＝2×3.6＝7.2（cm）.∴ 点N运动的路程是BC＋BN＝6＋7.2＝13.2（cm）.∴ 点N运动的时间为13.2÷2＝6.6（s），即t＝6.6.综上所述，t的值是6或6.6.
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9. （2025·马鞍山含山期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形.例如：某三角形的三边长分别是2，2 和 ，因为22＋（2 ）2＝12＝2×（ ）2，所以这个三角形是奇异三角形.
（1） 若△ABC的三边长分别是3，5和 ，则此三角形 　是　（填“是”或“不是”）奇异三角形.
（2） 若△ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3，4，则第三边的长为 　 或 或 　.
是　
或 或 　
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10. ★如图，在一款益智小游戏中，小明操控着一个机器人到达一个高为10m的高台AC的顶部A处，利用旗杆OM顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17m，高为3m的矮台BD的顶部B处（绳索一直是直的），则机器人在荡绳索的过程中，最低点离地面的高度MN是多少？
（第10题答案）
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解：如图，过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，易得四边形ACME、四边形FMDB为长方形.∴ AE＝CM，BF＝DM. 由题意，得AO＝OB，∠AOB＝90°，∴ ∠AOE＋∠BOF＝90°.∵ BF⊥OM，∴ ∠BFO＝90°.∴ ∠BOF＋∠OBF＝90°.∴ ∠AOE＝∠OBF. 又∵ AE⊥OM，∴ ∠OEA＝90°＝∠BFO.
∴ △AOE≌△OBF. ∴ OE＝BF，AE＝OF. ∵ CD＝17m，∴ OF＋OE＝AE＋BF＝CM＋DM＝CD＝17m.∵ OF＝OE＋EF，∴ 2OE＋EF＝17m.∵ 四边形ACME、四边形FMDB为长方形，∴ AC＝EM，FM＝BD. ∴ EF＝EM－FM＝AC－BD＝10－3＝7（m）.∴ OE＝5m.∴ OF＝OE＋EF＝12m.∴ AE＝12m，OM＝OF＋FM＝15m.在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA＝ ＝13m.∴ 易得ON＝OA＝13m.∴ MN＝OM－ON＝15－13＝2（m）.∴ 机器人在荡绳索的过程中，最低点离地面的高度MN是2m.
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