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(共15张PPT)
第十九章 二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 易错题 （2025·福州仓山期末）计算 ×2 的结果为（　D　）
A. 2 B. C. 6 D. 2
2. 设 ＝a， ＝b，用含a，b的式子表示 ，则下列选项中，表示正确的是（　A　）
A. 0.3ab B. 3ab
C. 0.1ab2 D. 0.1a2b
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3. （2024·天津）计算（ ＋1）（ －1）的结果为 　10　.
4. 若直角三角形的两条直角边的长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为 　 　cm2.
5. 已知 ＝ · ，则使等式成立的x的取值范围是 　－2≤x≤3　.
10　
　
－2≤x≤3　
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（1） × × .
解：原式＝20 .
（2） －5 × ×3.
解：原式＝－ .
6. 计算：
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7. 已知k，m，n都是整数，若 ＝k· ， ＝20 ， ＝6 ，则下列关于k，m，n大小关系的结论，正确的是（　A　）
A. m＜k＜n B. m＝n＜k
C. m＜n＜k D. k＜m＝n
A
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8. （2025·眉山东坡期末）估计4 × ＋1的值在（　D　）
A. 14到14.5之间
B. 14.5到15之间
C. 15到15.5之间
D. 15.5到16之间
9. （2024·嘉兴期末）化简二次根式 （y＜0）的结果为（　D　）
A. x B. －x
C. x D. －x
D
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10. ★比较大小：－3 　＞　－2 （填“＞”“＜”或“＝”）.
11. 化简： × ＝ 　4 ab3　.
＞　
4 ab3　
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， ，3，2 ， ，
3 ， ，2 ，3 ， ，
…
，9，2 ， ，3 .
按这样的方式排列下去，将2 所在的位置记为（1，4）， 所在的位置记为（2，5），则位置（4，1）上的数是 　4 　.
4 　
12. 将一组数 ， ，3，2 ， ，3 ， ，2 ，3 ， ，…， ，9，2 ， ，3 按如下方式进行排列：
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13. 王老师在进行课堂小结时说了这样一句话：“对于任意两个正整数a，b，如果a＞b，那么 ＞ .”然后他讲解了如下例题：
比较 与2 的大小.
方法一： ＝ ＝ ，2 ＝ ＝ .
∵ 8＜12，
∴ ＜ ，即 ＜2 .
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方法二： ＝ ×200＝8，（2 ）2＝4×3＝12.
∵ 8＜12，
∴ ＜2 .
请参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1） 比较－5 与－6 的大小.
解：（1） －5 ＝－ ＝－ ，－6 ＝－ ＝－ .∵ 150＜180，∴ ＜ .∴ － ＞－ ，即－5 ＞－6 .
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（2） 比较3 ＋1与4 ＋1的大小.
解：（2） （3 ）2＝63，（4 ）2＝80.∵ 63＜80，∴ 3 ＜4 .∴ 3 ＋1＜4 ＋1.
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14. 先来看一个有趣的现象： ＝ ＝ ＝2 .这里根号里的数“2”经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如 ＝3 ， ＝4 等.
（1） 猜想： ＝ 　5 　.
5 　
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（2） 你能用含n（n为整数，且n≥2）的等式来表示上述规律吗？
解：（2） ＝n （n为整数，且n≥2）.
（3） 请证明你找到的规律.
解：（3） ∵ n≥2，∴ ＝ ＝ ＝n .
（4） 请你另外写出1个具有“穿墙”性质的数.
解：（4） 答案不唯一，如 ＝6 .
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15. 已知A＝ ，B＝ ，试比较A与B的大小.
解：∵ 数较大，且有相同的部分，∴ 设x＝987654321.∴ A＝ ＝ ，B＝ ＝ .∵ x2＋3x＜x2＋3x＋2，
∴ ＜ .∴ A＜B.
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15(共13张PPT)
第十九章 二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第3课时　最简二次根式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 下列式子为最简二次根式的是（　A　）
A. B. C. D.
2. 二次根式 ， ， 的大小关系是（　C　）
A. ＜ ＜ B. ＜ ＜
C. ＜ ＜ D. ＜ ＜
A
C
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3. 有下列式子：① ；② ；③ ；④ .其中，是最简二次根式的为 　③　（填序号）.
4. 化简：（1） ＝ 　 　.
（2） ＝ 　 　.
③　
　
　
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5. 化简：
（1） .
（2） .
解：原式＝1－ .
解：原式＝ .
（3） .
解：原式＝ .
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（4） （x＞0，y＞0）.
解：原式＝ .
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6. （2024·宣城期末）已知a＝ ，b＝ ，则a与b之间的数量关系是（　C　）
A. a－b＝0 B. a＋b＝0
C. ab＝1 D. a2＝b2
C
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7. （2024·重庆九龙坡期末）若a，b为正有理数，则有 · ＝a，（ ＋ ）（ － ）＝a－b.令F（x）＝ ，有下列结论：① ＝ ；② 若 － ＝4 ＋4（其中b，c为有理数），则b＝3c；③ 若F（43－m）－F（11－m）＝4，则F（43－m）＋F（11－m）＝8.其中，正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
C
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8. 已知 ＋ ＝0，则 ＋ ＝ 　 　.
9. 若最简二次根式 与 可以合并，则2a－b＝ 　9　.
10. 已知 ＝ ，且x是偶数，求代数式（x＋2） 的值.
解：由 ＝ ，得 解得6＜x≤9.又∵ x是偶数，∴ x＝8.∴ （x＋2） ＝（8＋2）× ＝10× ＝2 .
　
9　
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11. 阅读下列材料，然后解答问题：
化简： .
解： ＝ ＝ ＝ ＋1.
对于形如 ， 的分母中含有二次根式的式子，我们可以通过以上步骤把分母中的根号化去，这种方法叫作分母有理化.
请仿照上面的方法化简： ＋ ＋ ＋…＋ .
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解：原式＝10× ＋ ＋ ＋…＋ ＝10× ＋ ＋ ＋…＋ ＝10×（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝10× ＝5 －5.
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12. 我们规定用（a，b）表示一组数对，给出如下定义：记m＝ ，n＝ （a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一组“对称数对”.
例如：数对（4，1）的一组“对称数对”为 与 .
（1） 求数对（25，4）的一组“对称数对”.
解：（1） 由题意，得m＝ ＝ ，n＝ ＝2，∴ 数对（25，4）的一组“对称数对”为 与 .
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（2） 若数对（3，y）的一组“对称数对”的两个数对相同，求y的值.
解：（2） 由题意，得m＝ ＝ ，n＝ .∵ 数对（3，y）的一组“对称数对”的两个数对相同，∴ m＝n.∴ ＝ .∴ y＝ .
（3） 若数对（a，b）的一组“对称数对”的一个数对是（ ，3 ），求ab的值.
解：（3） 由题意，得 ＝ ， ＝3 或 ＝3 ， ＝ ，∴ a＝ ，b＝27或a＝ ，b＝3.∴ ab＝9或ab＝ .
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12(共12张PPT)
第十九章 二次根式
专题特训二　利用二次根式的概念和性质求值
类型一　利用二次根式有意义的条件求字母或代数式的值或取值范围
1. （2024·眉山期末）在代数式 中，x的取值范围是（　C　）
A. x≥－1 B. x≠2
C. x≥－1且x≠2 D. －1≤x＜2
2. 若代数式 ＋ 的值为常数2，则a满足的条件是（　C　）
A. a≥3 B. a≤1
C. 1≤a≤3 D. a＝1或a＝3
C
C
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3. 已知△ABC的三边长分别为2，5，m，则化简 － 的结果为（　A　）
A. 2m－10 B. 10－2m
C. 10 D. 4
A
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4. 化简二次根式 的结果是 　－ 　.
5. 已知关于x的代数式 ＋ 有意义，且满足条件的所有整数x的值之和是9，则a的取值范围是 　－1＜a≤0或－4＜a≤－3　.
6. 已知a，b满足 ＋ ＝0，求2a 的值.
解：由 ＋ ＝0，得 解得 ∴ 原式＝－2× ＝－2×3＝－6.
－ 　
－1＜a≤0或－4＜a≤－3　
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类型二　利用二次根式合并的条件求字母或代数式的值
7. 已知最简二次根式 与二次根式 可以合并，则整数m，n的值分别为（　A　）
A. 1，0 B. －1，0
C. 1，2 D. －1，2
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8. 先阅读材料，再解答问题.
设a，b是有理数，且满足a＋ b＝3－2 ，求ba的值.
解：由题意，得（a－3）＋（b＋2） ＝0.
∵ a，b都是有理数，
∴ a－3，b＋2也是有理数.
∵ 是无理数，
∴ a－3＝0，b＋2＝0.
∴ a＝3，b＝－2.
∴ ba＝（－2）3＝－8.
问题：设x，y都是有理数，且满足x2－2y＋ y＝8＋4 ，求x＋y的值.
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解：∵ x2－2y＋ y＝8＋4 ，∴ （x2－2y－8）＋（y－4） ＝0.∵ x，y都是有理数，∴ x2－2y－8，y－4也是有理数.∵ 是无理数，∴ x2－2y－8＝0，y－4＝0.∴ x＝±4，y＝4.∴ 当x＝4，y＝4时，x＋y＝4＋4＝8；当x＝－4，y＝4时，x＋y＝（－4）＋4＝0.∴ x＋y的值是8或0.
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类型三　二次根式的化简求值
9. 设x，y，z是互不相等的三个实数，且满足等式： ＋ ＝ － ，则x3＋y3＋z3－3xyz的值是（　A　）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
10. 已知a＝ ，b＝ ，则a－b的值为 　 　.
11. 已知 ＋ ＝2，则 － 的值为 　 － 　.
A
　
－ 　
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12. （1） 解方程： － x＝2 － x.
解：方程可化为 － x＝2 －2 x.移项、合并同类项，得 x＝2 － .系数化为1，得x＝2 － .
（2） （2024·周口期末）已知x＝2 －2，y＝2 ＋2.求 x2－xy＋y2 的值.
解：由题意，得x＋y＝4 ，xy＝（2 －2）（2 ＋2）＝8.∴ x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝（4 ）2－3×8＝48－24＝24.
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13. 先化简，再求值： －6 ＋2x ，其中x＝4.
解：原式＝5 － ＋2 ＝6 .当x＝4时，原式＝6× ＝12 .
14. 已知 ＝ － ，求 的值.
解： ＝ ＝ ＝
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＝ ＝ .　∵ ＝ － ，∴ x＝ －2＋a.∴ x＋2＝ ＋a.
∴ x2＋4x＋2＝（x＋2）2－2＝a2＋ ，x2＋4x＝（x＋2）2－4＝a2＋ －2.∵ ≥0，∴ － ≥0，即 ≥ .∴ ≥a.∴ 原式＝ ＝
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＝ ＝ ＝ ＝ .
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14(共7张PPT)
第十九章 二次根式
专题特训一　二次根式的非负性
类型一　利用被开方数的非负性求解
1. （2024·潍坊期末）若 有意义，则m的取值范围是（　A　）
A. m≤2 B. m≠2
C. m≥2 D. m＞2
2. （2024·聊城期末）若y＝ ＋ ＋3，则xy的值为（　D　）
A. －15 B. －9 C. 9 D. 15
A
D
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3. （2024·南充期末）若a，b满足｜2025－a｜－（b－2026） ＝ ＋ ，则 的值为（　A　）
A. 4 B. 8
C. 2024 D. 4048
A
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4. 若a，b为实数，且b＝ ， ＝a＋3，求ab＋c的值.
解：由题意，得 解得a＝1.∴ b＝ ， ＝4.∴ c＝±4.当c＝4时，ab＋c＝ ；当c＝－4时，ab＋c＝－ .综上所述，ab＋c的值为 或－ .
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类型二　根据二次根式的值的非负性求解
5. （2024·宜春期末）如果｜a＋b＋1｜＋ ＝0，那么（a＋b）2024的值为 　1　.
6. 若实数a，b，c满足（a－ ）2＋ ＋｜c－ ｜＝0，则abc的值为 　25　.
7. 如果实数a，b满足a2＋ －2a＋1＝0，那么b－a的值为 　－3　.
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25　
－3　
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类型三　在代数式求值中的应用
8. 已知－1＜a＜4，则化简 － 的结果是（　C　）
A. －3 B. 3 C. 2a－3 D. 3－2a
9. ★已知 ＋ ＝ ＋ ，求（z－y）2的值.
C
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解：由题意，得 ∴ x＋y＝2026.∴ ＋ ＝0.又∵ ≥0， ≥0，∴ 解得 ∴ （z－y）2＝（2026－2022）2＝16.
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9(共14张PPT)
第十九章 二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·福州连江期中）下列计算正确的是（　D　）
A. ＋ ＝5 B. 2＋ ＝2
C. 2 － ＝2 D. × ＝5
2. （2025·河北）计算（ ＋ ）（ － ）的结果为（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 设x，y都是负数，则x－2 ＋y可表示为（　D　）
A. （ － ）2 B. （ － ）2
C. －（ ＋ ）2 D. －（ ＋ ）2
D
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4. 有一个密码系统，其数学原理如图所示.当输出y的值为 时，输入x的值为 　2 　.
2 　
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5. ★计算：
（1） （2025·甘肃） － × .
解：原式＝ .
（2） （ ＋ ）－3 ÷ .
解：原式＝3.
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6. 若x为实数，在（ ＋1）□x的“□”中添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　D　）
A. ＋1 B. －1 C. 1－ D. 2
7. （2025·合肥蜀山期中）估计 ×（ ＋ ）的值在（　B　）
A. 3到4之间 B. 4到5之间
C. 5到6之间 D. 6到7之间
D
B
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8. （2025·杭州期中）若a＝1＋ ，b＝1－ ，则代数式a2＋b2－3ab的值为（　C　）
A. ±3 B. 3 C. 9 D. ±9
9. 不等式2x－ ＜ x的解集是 　x＜2 ＋ 　.
10. 若代数式 的整数部分和小数部分分别为a，b，则 的值为 　7　.
C
x＜2 ＋ 　
7　
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（1） ÷2 .
解：原式＝ .
（2） ÷ － × ＋（ － ）2.
解：原式＝9－3 .
11. 计算：
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12. （2025·天津河西期中）已知a＝ －2，b＝ ＋2，求下列代数式的值：
（1） a2＋2ab＋b2.
解：原式＝（a＋b）2＝（ －2＋ ＋2）2＝（2 ）2＝12.
（2） a2b－ab2.
解：原式＝ab（a－b）＝（ －2）×（ ＋2）（ －2－ －2）＝[（ ）2－22]×（－4）＝－1×（－4）＝4.
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13. 阅读材料，并解答问题.
把形如a＋b 和a－b （a，b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽， 为最简二次根式）的两个实数称为共轭实数.
（1） 请写出一对共轭实数： 　3＋ 　和 　3－ 　.（答案不唯一）
（2） －2 和2 是共轭实数吗？若是，请指出a，b的值.
解：（2） －2 和2 是共轭实数.a＝0，b＝2.
3＋ 　
3－ 　
（答案不唯一）
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（3） 若两个共轭实数的和为10，差的绝对值为4 ，请求出这两个共轭实数.
解：（3） 设这两个共轭实数为a＋b 和a－b .∵ 这两个共轭实数的和为10，差的绝对值为4 ，∴ （a＋b ）＋（a－b ）＝10，｜（a＋b ）－（a－b ）｜＝4 .∴ 2a＝10，｜2b ｜＝4 .∴ a＝5，b＝2或b＝－2（不合题意，舍去），m＝3.∴ 这两个共轭实数是5＋2 和5－2 .
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14. 新考法·新定义题 阅读材料，并运用材料提供的方法解答问题.
我们将 ＋ ， － 称为一对“对偶式”.∵ （ ＋ ）（ － ）＝（ ）2－（ ）2＝a－b，∴ 构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将 ＋ 和 － 中的“ ”去掉.例如： ＝ ＝ ＝ ＝2＋ .像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫作分母有理化.
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（1） 分母有理化 的值为 　3＋2 　.
（2） 如图，数轴上1， 对应的点分别为A，B，点B关于点A对称的点为C，设点C表示的数为x，求x＋ 的值.
3＋2 　
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解：∵ 点B关于点A对称的点为C，∴ x＝1－（ －1）＝2－ .∴ x＋ ＝2－ ＋ ＝2－ ＋ ＝2－ ＋ ＝2－ ＋2＋ ＝4.
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第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列计算中，正确的是（　C　）
A. ＝－3 B. ＝±9
C. － ＝－5 D. ＝－
2. （2025·乌鲁木齐期中）若 是一个整数，则正整数m的最小值是（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
C
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3. （2025·惠州期中） ＝（ ）2成立的条件是（　B　）
A. k＞－8 B. k≥－8
C. k≤－8 D. k＜－8
4. 已知 ＝1，（－ ）2＝b，则 的值为（　C　）
A. 1 B. 3
C. 1或3 D. －1或－3
5. 如果一个三角形的三边长分别为3，a，7，那么 － 化简后的结果为 　2a－15　.
6. 如果 ＝x ，那么x的取值范围是 　x≥0　.
B
C
2a－15　
x≥0　
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7. 有这样一道题：“化简：a＋ ”.甲同学给出如下解答过程：a＋ ＝a＋ ＝a＋a－1＝2a－1.甲同学的解答过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程.
解：不正确.a＋ ＝a＋ ＝a＋｜a－1｜.当a≥1时，原式＝a＋a－1＝2a－1；当a＜1时，原式＝a＋1－a＝1.
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8. 若x，y为实数，且y＜ ＋ ＋3，则化简｜3－y｜－ 的结果是（　D　）
A. －3 B. 1 C. －11 D. －1
9. （2025·宁波北仑期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简（ ）2＋ －｜b－a｜的结果是（　D　）
A. a－2b－c B. c－a
C. －a＋2b＋c D. a－c
D
D
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10. 化简：（ ）2＋ ＝ 　6－2a　.
11. 若（ ）2＝5， ＝ ，则a＋b的值为 　3或7　.
6－2a　
3或7　
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（1） －（－ ）2.
解：原式＝－1.
（2） － ＋3 .
解：原式＝2.
（3） （－1）101＋（π－3）0＋ － .　
解：原式＝3－ .
12. 计算：
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13. ★已知a，b，c是△ABC的三边长，化简： － ＋ .
解：∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a＋b＋c＞0，b＋c＞a，b＋a＞c.∴ 原式＝｜a＋b＋c｜－｜b＋c－a｜＋｜c－（b＋a）｜＝a＋b＋c－（b＋c－a）＋（b＋a－c）＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
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14. 阅读材料，解答问题.
化简：（ ）2－｜1－x｜.
解：由隐含条件1－3x≥0，得x≤ ，
∴ 1－x＞0.
∴ 原式＝（1－3x）－（1－x）＝1－3x－1＋x＝－2x.
按照材料中的解法，试化简： －（ ）2.
解：由隐含条件2－x≥0，得x≤2，∴ x－3＜0.∴ 原式＝｜x－3｜－（2－x）＝－（x－3）－2＋x＝－x＋3－2＋x＝1.
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15. 新考法·新定义题 （2025·重庆江津期中）我们知道，整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 的形式，我们将形如 的式子称为根分式，例如： ， 都是根分式.已知两个根分式M＝ 与N＝ ，有下列说法：
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
① 根分式M＝ 中x的取值范围是x≥1且x≠2；
② 存在实数x，使N2－M2＝1；
③ 存在两个无理数x，使得M2＋N2是一个整数.其中，正确的个数是（　B　）
B
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16. 已知x为实数且x2＋3x＋1＝0.求：
（1） x＋ 的值.
解：（1） ∵ x2＋3x＋1＝0，∴ x≠0.∴ x＋3＋ ＝0.∴ x＋ ＝－3.
（2） － 的值.
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解：（2） － ＝ － ＝ － ＝｜x－1＋ ｜－ .由（1），知x＋ ＝－3，∴ x＜0.∴ x－1＜0， ＜0.∴ 原式＝1－x＋ ＋ ＝1－x＋ ＝ ＝ ＝ .∵ x2＋3x＋1＝0，∴ x2＝－3x－1.∴ 原式＝ ＝ ＝5.
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16(共26张PPT)
第十九章 二次根式
第十九章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 二次根式有意义的条件
典例1　如果｜2025－m｜＋ ＝m，那么m－20252＝ 　2026　.
[变式]若实数x，y满足y＝ ＋ ＋2，求 的值.
解：由题意，得x－1≥0且1－x≥0，∴ x≥1且x≤1.∴ x＝1.∴ y＝2.∴ ＝ .
2026　
考点二 二次根式的性质
典例2　实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示.
（1） 化简： ＝ 　－a　； ＝ 　1－b　.
－a　
1－b　
（2） 化简： ＋ － .
解：由题图，可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，∴ a＋1＜0，a＋b＜0.∴ ＋ － ＝｜a＋1｜＋｜b｜－｜a＋b｜＝－a－1＋b＋a＋b＝2b－1.
[变式]若实数x满足｜x－3｜＋ ＝7，化简：2｜x＋4｜－ .
解：∵ ｜x－3｜＋ ＝7，∴ ｜x－3｜＋｜x＋4｜＝7.∴ 易得－4≤x≤3.∴ 2｜x＋4｜－ ＝2（x＋4）－｜2x－6｜＝2（x＋4）－（6－2x）＝4x＋2.
考点三 二次根式的运算
典例3　已知x，y为正数，且 （ ＋ ）＝3 （ ＋5 ），求 的值.
解：∵ （ ＋ ）＝3 ·（ ＋5 ），∴ x－2 －15y＝0.∴ （ ＋3 ）（ －5 ）＝0.∵ x，y为正数，∴ ＋3 ＞0.∴ －5 ＝0.∴ ＝5 ，即x＝25y.∴ ＝ ＝ ＝2.
[变式]（2024·南通崇川段考）如图，用两个边长为10 cm的小正方形拼成一个大正方形.
（1） 大正方形的边长是 　20cm　.
（2） 若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长、宽之比为4∶3，且面积为360cm2？
解：∵ 长方形的长、宽之比为4∶3，∴ 设长方形的长为4xcm，宽为3xcm.∴ 4x·3x＝360，解得x2＝30.∵ x＞0，∴ x＝ .∴ 4x＝4 ，3x＝3 .∵ 大正方形的边长为20cm，202＝400，（4 ）2＝480，400＜480，∴ 20＜4 .∴ 沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形的长、宽之比为4∶3，且面积为360cm2.
20cm　
考点四 最简二次根式
典例4　（2024·六安金安期末）若 是最简二次根式，且m为整数，求m的最小值.
解：由题意，得3m－4≥0，解得m≥ .∵ m为整数，∴ 当m＝2时， ＝ ，此时 是最简二次根式.∴ m的最小值为2.
[变式]（2024·南通崇川期末）若 和 都是最简二次根式，则m＝ 　1　，n＝ 　2　.
解：由题意，得3m－4≥0，解得m≥ .∵ m为整数，∴ 当m＝2时， ＝
，此时 是最简二次根式.∴ m的最小值为2.
1　
2　
1. （2024·南京雨花二模）下列计算中，结果错误的是（　A　）
A. ＋ ＝ B. 5 －2 ＝3
C. ÷ ＝ D. （－ ）2＝2
2. （2024·潍坊）圆柱的底面圆半径为 ，高为1，关于该圆柱的结论正确的是（　C　）
A. 底面积为 π
B. 体积为π
C. 侧面积为2 π
D. 侧面展开图的周长为2＋8 π
A
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3. 若x＝2＋ ，则代数式x2－4x＋4的值为（　D　）
A. －2024 B. 2024
C. －2026 D. 2026
4. 如图，点P，Q在数轴上对应的数分别为p，q，则下列说法中，正确的是（　C　）
A. 点P向右平移3个单位长度与点Q重合
B. ｜p＋1｜＜q
C. p＋q的相反数的整数部分是2
D. ＝p
D
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5. 填空：3－2 　＞　5－2 （填“＞”“＜”或“＝”）.
6. 若最简二次根式 与 能够合并为一项，则m的值为 　－1　.
＞　
－1　
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小明同学是这样计算的： × ＝ ＝ ＝ × ＝3 ；
小刚同学是这样计算的： × ＝ × ＝ × × ＝3 .
请完成填空：
（1） 关于两位同学的做法，下列说法中，正确的是（　C　）
A. 小明同学正确
B. 小刚同学正确
C. 小明同学和小刚同学都正确
D. 小明同学和小刚同学都不正确
（2） 小明同学在计算时运用了公式：
① × ＝ 　 　（a≥0，b≥0）.
② ＝ 　a　（a≥0）.
小刚同学在计算时运用了公式：
C
　
a　
7. 阅读题目：计算 × .
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③ ＝ 　 × 　（a≥0，b≥0）.
④ （ ）2＝ 　a　（a≥0）.
× 　
a　
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8. 使用手机软件付款时，常常需要用到密码.嘉淇学完二次根式后，决定用“二次根式法”来生成密码.例如：
对于二次根式 ，计算结果为13，中间加一个字母X，就得到一个六位密码“169X13”.按照这种生成密码的方法，利用二次根式 生成的六位密码是 　121X11　.
121X11　
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9. 计算：
（1） ÷（3 ×2 ）.
解：原式＝ ÷（ × ）＝ ÷ ＝ ＝ ＝ .
（2） · ÷3 .
解：原式＝－ · × ＝－ ＝－ ·a2b2 ＝－a2b .
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（3） （2025·潮州饶平期中）（ － ）2＋（ ＋3）（ －3）.
解：原式＝3－2 ＋2＋5－9＝1－2 .
（4） （2025·宝鸡凤翔期末）（3＋ ）（3－ ）－（ －1）2.
解：原式＝9－5－4＋2 ＝2 .
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10. 自习课上，小玉看见同桌小敏在练习本上抄写的题目是：“求二次根式 中实数a的取值范围.”她告诉小敏：“你把题目抄错了，不是 ，而是 .”小敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a－3都在根号内.”试问：小敏说得对吗？
解：小敏说得不对.按 计算，则 或 解得a＞3或a≤0.而按 计算，则a≥0，a－3＞0，解得a＞3.∴ 小敏说得不对.
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11. （2024·聊城期末）阅读下列材料，然后回答问题.
① 进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如 的式子，可以将其进一步化简：
＝ ＝ ＝ ＝ －1.以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
② 学习数学，最重要的是学习数学思想，有一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的计算.
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（1） 计算： ＋ ＋…＋ .
解：（1） 原式＝ ＋ ＋…＋ ＝ － ＝ － ＝22.
（2） 已知m是正整数，a＝ ，b＝ ，a＋b＋2ab＝800，求m的值.
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解：（2） ∵ a＝ ＝
＝2m＋1－2 ，b＝ ＝ ＝2m＋1＋2 ，∴ a＋b＝4m＋2，ab＝1.∵ a＋b＋2ab＝800，∴ 4m＋2＋2×1＝800，解得m＝199.
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（3） 已知 － ＝1，求 ＋ 的值.
解：（3） ∵ － ＝1，∴ （ － ）2＝1.∴ 15＋x2－2 ＋26－x2＝1.∴ ＝20.设 ＋ ＝t（t＞0），∴ t2＝（ ＋ ）2＝15＋x2＋2 ＋26－x2＝41＋2×20＝81.∴ t＝9或t＝－9（不合题意，舍去），即 ＋ 的值为9.
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12. 新考法·探究题 （2025·惠州惠阳期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后发现一些含根号的式子能写成另一个式子的平方，如3＋2 ＝（1＋ ）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b ＝（m＋n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则a＋b ＝m2＋2n2＋2mn .∴ a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b 的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法进行探索，并解决下列问题：
（1） 当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b ＝（m＋n ）2，用含m，n的式子分别表示a，b，则a＝ 　m2＋3n2　，b＝ 　2mn　.
m2＋3n2　
2mn　
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（2） 试着把7＋4 化成一个完全平方式.
解：（2） 设7＋4 ＝（m＋n ）2.由（1），得 ∵ m，n均为整数，∴ 易得 或 ∴ 7＋4 ＝（2＋ ）2或7＋4 ＝（－2－ ）2.
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（3） 若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算： .
解：（3） ∵ a是216的立方根，b是16的平方根，∴ a＝6，b＝±4.∴ 当a＝6，b＝4时， ＝ ＝2＋ ；当a＝6，b＝－4时， ＝ ＝2－ .
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12(共8张PPT)
第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2025·长沙浏阳期中）下列式子中，是二次根式的为（　B　）
A. B. C. D.
2. （2025·连云港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　D　）
A. x≤1 B. x≥1 C. x≤－1 D. x≥－1
B
D
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3. （2025·定西渭源期中）若 是二次根式，则a，b满足的条件是（　D　）
A. a，b均为非负数 B. a≥0，且b＞0
C. ＞0 D. ab≥0，且b≠0
D
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4. 当x＝1时，二次根式 的值为 　3　.
5. 已知x，y为等腰三角形的两条边长，且x，y满足y＝ ＋ ＋3，则该等腰三角形的周长为 　7或8　.
6. 已知实数m，n满足等式m＝ .
（1） 当m＝6时，求n的值.
解：（1） ∵ m＝ ＝6，∴ 9＋18n＝36，解得n＝1.5.
（2） 若m，n都是正整数，求n的最小值.
解：（2） ∵ 正整数m，n满足等式m＝ ＝ ，∴ 易得当1＋2n＝9时，m，n都是正整数，此时n最小，即n的最小值为4.
3　
7或8　
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7. （2024·淮北期末）已知 ＋ ＋y＝2024，则 的值为（　B　）
A. 2024 B. 2024
C. 2024 D. 2025
B
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8. 若y＝ 的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝ 　2　.
9. （2025·凉山改编）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 　m≥1且m≠2　.
10. （2025·重庆江津期中）若数a使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且关于a的代数式 ＋ 有意义，则符合条件的所有整数a的和为 　1　.
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m≥1且m≠2　
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11. ★已知2x－4与3x－1是a的平方根， 与｜c＋2｜互为相反数，d＝ ＋ －3有意义.求a＋b＋c＋d＋e的平方根.
解：由题意，得2x－4＋3x－1＝0或2x－4＝3x－1， ＋｜c＋2｜＝0.∴ x＝1或x＝－3，b＝3，c＝－2.∴ 3x－1＝2或3x－1＝－10.∴ a＝4或a＝100.∵ d＝ ＋ －3有意义，∴ e－2≥0，2－e≥0.∴ e＝2.∴ d＝－3.∴ a＋b＋c＋d＋e＝4＋3＋（－2）＋（－3）＋2＝4或a＋b＋c＋d＋e＝100＋3＋（－2）＋（－3）＋2＝100.∴ a＋b＋c＋d＋e的平方根是±2或±10.
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第十九章 二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·开封通许期末）计算 ÷ · 的结果为（　B　）
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 下列各式中，计算正确的为（　B　）
A. ÷ ＝9 B. ÷ ＝
C. ÷ ＝4 D. ÷ ＝3
B
B
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3. （2024·广州段考）如果 ＝ ，那么x的取值范围是（　C　）
A. x≥0 B. x＜1
C. 0≤x＜1 D. x≥0且x≠1
C
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4. 已知x＝3，y＝4，z＝5，则 ÷ 的结果是 　 　.
　
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（1） ÷ .
（2） ÷ .
解：原式＝2.
解：原式＝3.
（3） 4 ÷2 （a＞0）.
解：原式＝6 a.
（4） 3 × ÷ .
解：原式＝ .
5. 计算：
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6. 式子 ＝b－a成立的条件是（　C　）
A. a≥b，x＞0 B. a≥b，x≤0
C. a≤b，x＞0 D. a≤b，x≤0
7. 已知△ABC的面积为12cm2，AB的长为2 cm，则AB边上的高为（　B　）
A. 3 cm B. 6 cm
C. cm D. 12 cm
C
B
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8. 若某长方体的长为2 ，宽为 ，体积为24，则该长方体的高为（　C　）
A. B. 2 C. 2 D. 2
9. 化简－9 ÷ · （a＜0）的结果为 　3 a　.
10. 已知ab＞0，a＋b＜0，有下列各式：① ＝ · ；② · ＝1；③ ÷ ＝－b；④ · ＝a.其中，正确的是 　②③　（填序号）.
C
3 a　
②③　
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（1） ÷3 ×5 .
解：原式＝ .
（2） × ÷ （x，y均不为0）.
解：原式＝－9x2y .
11. ★计算：
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12. 阅读下列材料：
计算2÷（ －1）时可采用下面的方法：
2÷（ －1）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋1.
试仿照上面的方法解答下列问题：
（1） 计算： .
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（2） 比较大小： 　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）.
解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ － .
＜　
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13. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t＝ （不考虑风速的影响）.
（1） 从50m高空抛物到落地所需的时间为t1s，从100m高空抛物到落地所需的时间为t2s.求t1和t2的值.
解：（1） 当h＝50时，t1＝ ＝ ；当h＝100时，t2＝ ＝ ＝2 .
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（2） 第（1）题中的t2是t1的多少倍？
解：（2） ∵ ＝ ＝ ，∴ t2是t1的 倍.
（3） 若从高空抛出的物体经过2.5s落地，则该物体下落的高度是多少？
解：（3） 当t＝2.5时， ＝2.5，解得h＝31.25.∴ 该物体下落的高度是31.25m.
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13(共14张PPT)
第十九章 二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·昆明盘龙期中）下列二次根式中，可以与 合并的是（　C　）
A. B. C. D.
2. 如果 － ＝a （a，b均为有理数），那么ab的值是（　D　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 27
3. 计算 ＋ － 的结果是（　B　）
A. 2 B. 0 C. －3 D. 3
4. 计算：5 ＋ － ＝ 　－ 　.
C
D
B
－ 　
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5. （2024·烟台期末）若 与最简二次根式 可以合并，则m的值为 　±1　.
±1　
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（1） － ＋ .
解：原式＝3 －2 ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ － .
解：原式＝2＋2＋ － ＝5.
6. 计算：
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7. （2025·安庆潜山期中）已知x＋y＝－9，xy＝9，则x ＋y 值是（　B　）
A. 6 B. －6 C. 3 D. －3
B
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8. （2025·沧州一模）如图，用三张边长不同的正方形纸片“甲”“乙”“丙”和一张面积为2 的长方形纸片“丁”紧密拼接成一个大长方形，已知“丙”纸片的面积为2，则“甲”纸片的边长为（　B　）
A. 2 B. 2＋2
C. 3 D. 4＋2
B
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9. 在△ABC中，已知AB＝ ＋ ，BC＝ － ，则AC的长可以是（　C　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10. 使等式 ＋ ＝ 成立的正整数对（x，y）的个数是（　B　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
11. （2025·东莞期中）若最简二次根式 与 可以合并，则a＝ 　4　.
C
B
4　
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12. （2025·北京海淀期中）已知x＝ ＋1，则代数式x2－2x的值为 　1　.
13. 已知a＜0，则 －a ＝ 　0　.
14. （2025·淄博高青期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则涂色部分的面积之和为 　2 －2　.
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0　
2 －2　
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15. 计算：
（1） － ＋ .
解：原式＝0.45.
（2） ＋ ＋ ＋ .
解：原式＝2.5.
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16. 是否存在正整数a，b（a＞b），使其满足 ＋ ＝ ？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.由题意，得 ＋ ＝ ＝6 .∵ a，b是正整数，a＞b，∴ ＞ .∴ ＝5 ， ＝ 或 ＝4 ， ＝2 .∴ a＝75，b＝3或a＝48，b＝12.
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17. 阅读材料：
已知a为正整数，且 与 能合并，试写出三个满足条件的a的值.
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解：∵ 与 能合并，
∴ ＝m （m为正整数）.
∴ 2a＋1＝7m2，即a＝ .
又∵ a为正整数，
∴ 7m2－1为偶数.
∴ m为奇数.
∴ 当m＝1时，a＝3；当m＝3时，a＝31；当m＝5时，a＝87.
∴ 满足条件的a的值可以为3，31，87（也可取m为其他正奇数，得出不同的答案）.
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请回答问题：
已知a为正整数，且 与 能合并，试写出三个满足条件的a的值.
解：∵ 与 能合并，∴ ＝m （m为正整数）.∴ 2a＋3＝5m2.
∴ a＝ .又∵ a为正整数，∴ 5m2－3为偶数.∴ m为奇数.∴ 当m＝1时，a＝1；当m＝3时，a＝21；当m＝5时，a＝61.∴ 满足条件的a的值可以为1，21，61（也可取m为其他正奇数，得出不同的答案）.
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