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待定系数法求二次函数解析式（解答题）
重点考点专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
1．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值．
2．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求直线的函数表达式；
(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标．
3．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标．
4．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）．
(2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式．
(3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围．
6．在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点．
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)已知，若，有最大值9，求的值；
(3)①求点坐标；
②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围．
7．如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
8．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标；
(3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线对称轴为直线．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的值；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
11．已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．

(1)当时，
①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标．
②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标．
(2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值．
12．如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式；
（1）采用待定系数法进行求解即可；
（2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线过，，
∴
解得：，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，，
解得，，
∴点A的坐标为，，
当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，
∴．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可；
（2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于，
∴，
∴，
∴，
令，则，
解得：，，
∴，
令时，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为；
（2）解：如图，过作轴交于，连接，，
设，则，
∴，
∴，
当时，面积最大，而为定值，
∴此时最大，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键．
3．(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程综合.
（1）将代入求出解析式，化为顶点式即可；
（2）先求出，进而求出，，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，设，得到，根据列方程计算即可.
【详解】（1）将代入得
解得
∴
∴该二次函数的顶点坐标为
（2）当时，，
解得，
∴
∴，
∵的面积是面积的一半，
∴
设直线的解析式为，
将代入得
解得
∴直线的解析式为，
作轴交于D，
设，
则
∴
∵
∴
整理得
解得，，
当时，
当时，.
4．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点，
G是的重心，
设交x轴于点H，
是的中线，
点的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
．
是的中线，
D为的中点，
，
设直线的表达式为，
将与代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为，
令，则，解得，
，
．
5．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的重点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与二次函数系数之间的关系．
（1）根据二次函数的性质，可以知道抛物线经过一个定点；
（2）利用对称轴与抛物线系数之间的关系，可以计算出k的值，推导出抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的性质，可以知道m的取值范围．
【详解】（1）解：已知抛物线，
∵当时，，
∴抛物线经过一个定点，
故答案为：；
（2）解：的对称轴为直线，
，解得，
将代入，得抛物线解析式为；
（3）解：点为抛物线上一点，
，
，
，
移项，得，即，
①或②，
解①，得；解②，得，
当时，的取值范围为或．
6．(1)的值分别为
(2)或
(3)①点坐标为；②
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案；
（2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案；
（3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
∴的值分别为；
（2）解：∵，
，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，，
∴当时，为最大值，
即，解得；
②当时，抛物线开口向下，
∴当时，为最大值，
即，解得；
综上所述，或
（3）解：①∵抛物线，
当时，，则点坐标为；
②∵，均在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．(1)；
(2)；或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可；
（）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为，
∵与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，
∴的取值范围；
由抛物线的解析式，
当时，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵点是抛物线上一点，
∴，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
∴的值为或．
8．(1)
(2)见解析；
(3)，的最大值是20
【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；
（3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式可得，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：将直线与抛物线联立可得，
整理得；
∴，
直线与抛物线没有交点；
（3）解：由题意得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线，
，
，．
，即与的函数关系式是
当时，的值最大，的最大值是20．
9．(1)，顶点
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标．
（2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可．
（3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线
∴顶点
（2）解：如图，
∵
∴，
设直线的解析式为，将点D的坐标代入得：
，
∴直线的解析式为
联立，
解得：（舍）或
∴；
②∵
∴当时，
∴
∵
∴直线
如图，设交于点G
∵
∴，
设
解得
解得
设直线的解析式为，
则，
解得：
∴直线的解析式为，
联立
解得：（舍）或
∴；
（3）解：延长到点M，
，，
∴设的解析式为：
把代入，可得出，
∴的解析式为：，
当时，则，
∴，
∴，
根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
10．(1)
(2)；点的坐标为
【分析】（1）先根据抛物线对称轴为直线，求出，再根据点在抛物线上，求出，然后写出抛物线的解析式；
（2）先求出，，再设直线为，代入，，求出直线的解析式，再求出直线的解析式，联立求出，然后利用勾股定理求出，再求出，根据等边对等角，证明，再求出的值；
如图，分别作于，于，作于，作于， 利用三角形面积求出，再设出，用表示出，再证明，列出比例式，用表示出，然后根据，两点求出直线为，再用表示出点的坐标，根据点在直线为上，得到关于的方程求解，然后求出点的坐标．
【详解】（1）解： ∵抛物线对称轴为直线，
∴，解得：，
∵点在抛物线上，
∴，
∴；
（2）①在中，
令，得，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，，
设直线为，
则∴，
∴直线为．
设直线为，
则，，，
∵，
∴，∴，
∴直线为，
由得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，分别作于，于，作于，作于，
则，，，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
设直线为，
∵，，
，解得，
∴直线为，
∴，，
∴，
，
∴，
∵点在直线为上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，相似三角形的判定与性质，解直三角形，利用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题关键是设出函数表达式，将点的坐标代入求解．
11．(1)①，；②或
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，正确根据翻折的性质得到翻折后的抛物线解析式是解题的关键．
（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标；②可求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为的中点，则，即可得到，解方程即可得到答案；
（2）根据题意可得，则， ，同理可得抛物线的解析式为：，则， 再由，联立求解即可．
【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为，
把代入中得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点A的坐标为；
②∵翻折前抛物线顶点坐标为，
∴翻折后的抛物线顶点坐标为，
∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反，
∴翻折后的抛物线解析式为，
设，
∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵在抛物线的图象上，
∴，
解得或，
当时，，当时，，
∴点D的坐标为或；
（2）解：∵点P与点重合，且轴交对称轴于点M，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
同理可得抛物线的解析式为：，
∵点Q在抛物线上，
∴，即，①
又点在抛物线上，
∴，即，②
把②代入①得，
解得：．
12．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数比，平移的性质，函数图象的对称性，求交点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线．
（1）利用对称轴求出，将代入解析式即可求解；
（2）过点作轴，交于点，令，利用三角函数比表示出，证明，继而可得，设点，则点，利用完全平方公式整理代数式即可得到最值；
（3）根据平移的性质得出，作，根据条件得出，进而根据点的坐标得，根据图象的对称性得出直线的表达式为 ，新抛物线解析式和此直线解析式联立即可得出结果．
【详解】（1）解：∵对称轴为，
将代入得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于点，令，
∵，，
∴，，
直线的表达式为：，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
由等角的余角相等可得，
，
设点，则点 ，
而， 则 ，
即的最大值为，此时，点；
（3）解：
新抛物线的表达式为 ，
由点的坐标，可得，
作，
， ，则，
由可求点坐标为
由点的坐标易得，
则直线的表达式为：，
根据图象的对称性，直线的表达式为: ，
联立上式和新抛物线的表达式得：，
解得：(舍去) 或，
即点．
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