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(共13张PPT)
8.1　平 方 根
第1课时　平 方 根
第八章　实　数
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列关于平方根的说法：① 1是1的平方根；② 4的平方根是2；③ －4的平方根是－2；④ 2是22的平方根；⑤ （－2）2 的平方根是－2.其中，正确的是（　A　）
A. ①④ B. ② C. ④ D. ③⑤
2. （2025·洛阳洛宁期末）若一个数x的平方等于9，则x的值是（　C　）
A. －3 B. 3 C. 3或－3 D.
3. 下列各数中，一定没有平方根的是（　D　）
A. －a B. －a2＋1
C. －a2 D. －a2－1
A
C
D
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4. （2025·乐山市中期末）如果某数的一个平方根是－5，那么这个数是 　25　.
5. 若2a－1的平方根为± ，则a＝ 　3　.
6. 已知x，y满足｜x－4｜＋ ＝0，则y－x的平方根是 　±2　.
7. 已知x＝1－a，y＝2a－5.
（1） 若x的一个平方根为3，求a的值.
解：（1） ∵ x的一个平方根是3，∴ x＝1－a＝9，解得a＝－8.
（2） 如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数.
解：（2） ∵ x，y都是同一个数的平方根，∴ 1－a＝2a－5或1－a＋（2a－5）＝0，解得a＝2或a＝4.∴ （1－a）2＝（1－2）2＝1或（1－a）2＝（1－4）2＝9.
∴ 这个数是1或9.
25　
3　
±2　
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8. 若一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（　D　）
A. ± B. a＋1
C. a2＋1 D. ±
9. 若x2＝16，则5－x的平方根是（　C　）
A. ±1 B. ±3
C. ±1或±3 D. 1或3
D
C
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10. 若a是（－5）2的平方根，b的一个平方根是3，则代数式a－b的值为（　A　）
A. －14或－4 B. －14
C. －4 D. 4或－14
A
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11. 若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则x－y－z的值是 　－2　.
12. 若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为 　±5　.
13. 若一个正数的两个平方根分别为x2－x与x－1，则这个数是 　4　.
14. （2025·益阳沅江期末）已知一个正数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，则a的值为 　4　.
15. 已知9，16和a三个数，若这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，则所有符合条件的数a的值为 　±12， ， 　.
－2　
±5　
4　
4　
±12， ， 　
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x 16 16.1 16.2 16.3
x2 256 259.21 262.44 265.69
16. 根据下表中的数据回答：259.21的平方根是 　±16.1　.
±16.1　
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17. 求下列式子中x的值：
（1） 4（x－1）2＝36.
解：∵ 4（x－1）2＝36，∴ （x－1）2＝9.∴ x－1＝±3.∴ x＝4或x＝－2.
（2） （2x－2）2－8＝0.
解：∵ （2x－2）2－8＝0，∴ （2x－2）2＝8.∴ （2x－2）2＝16.∴ 2x－2＝±4.
∴ x＝3或x＝－1.
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18. （2024·南京鼓楼期中）一个正数b的两个平方根分别是a－2与1－2a.求：
（1） ab的值.
解：（1） ∵ 一个正数b的两个平方根分别是a－2与1－2a，∴ a－2＋1－2a＝0，解得a＝－1.当a＝－1时，a－2＝－3，∴ b＝9.∴ ab＝－9.
（2） 关于x的方程2ax2＋5＝－3的解.
解：（2） 当a＝－1时，原方程可变为－2x2＋5＝－3，即x2＝4，∴ x＝± ＝±2.∴ 关于x的方程2ax2＋5＝－3的解为x＝±2.
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19. （2025·武汉武昌期中改编）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为900m2的正方形空地，现打算将该正方形空地改建成面积为480m2的长方形场地，且其长、宽的比为6∶5.
（1） 求建成的长方形场地的长和宽.
解：（1） 设建成的长方形场地的长为6xm，宽为5xm.由题意，得6x·5x＝480，即x2＝16，∴ x＝4（负值舍去）.∴ 6x＝24，5x＝20.∴ 建成的长方形场地的长为24m，宽为20m.
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（2） 若将正方形空地的铁栅栏围墙用来围成新长方形场地的围墙，还剩余多少米铁栅栏？
解：（2） ∵ 正方形空地的面积为900m2，∴ 正方形空地的边长为 ＝30（m）.∴ 正方形空地的周长为4×30＝120（m）.由（1）可知长方形场地的长为24m，宽为20m，∴ 长方形场地的周长为2×（24＋20）＝88（m）.∴ 120－88＝32（m）.∴ 还剩余32m铁栅栏.
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20. （2024·北京海淀期中）已知正数x的两个平方根分别为a和a＋b.
（1） 当b＝6时，求x的值.
解：（1） ∵ 正数x的两个平方根分别为a和a＋b，∴ a＋a＋b＝0.∵ b＝6，∴ 2a＋6＝0.∴ a＝－3.∴ x＝9.
（2） 若a2x＋（a＋b）2x＝8，求x的值.
解：（2） ∵ 正数x的两个平方根分别为a和a＋b，∴ （a＋b）2＝x，a2＝x.∵ a2x＋（a＋b）2x＝8，∴ x2＋x2＝8.∴ x2＝4.∵ x＞0，∴ x＝2.
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20(共7张PPT)
专题特训四　实数的估算与规律探究
第八章　实　数
类型一　估算范围
1. （2024·池州期末）如图，数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数－1，0，1，2，3，则表示数5－ 的点P落在（　B　）
A. 线段AO上 B. 线段CD上
C. 线段BC上 D. 线段OB上
2. （1） 大于－ 而小于 的所有整数之和为 　－4　.
（2） 小于 的所有正整数之和为 　6　.
B
－4　
6　
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7
类型二　比较大小
3. （2024·自贡期中）用“＞”“＜”或“＝”填空：
（1） 　＞　1.
（2） 　＞　2 .
4. 比较大小： 　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）.
＞　
＞　
＜　
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7
类型三　小数点移动的规律
5. 已知 ≈2.236， ≈7.071， ≈1.8308， ≈18.308，则 ≈ 　0.7071　；若 ≈－0.18308，则x≈ 　－0.006137　.
0.7071　
－0.006137　
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类型四　运算中的规律
6. 新考法·新定义题 （2024·保定期末）对于任意的实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72 []＝8 []＝2 []＝1，这样对72只需进行3次操作就能变为1.
（1） 对85只需进行 　3　次操作就能变为1.
（2） 只需进行3次操作就能变为1的所有正整数中，最大的是 　255　.
3　
255　
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7
7. 观察算式并探索：
＝ ＝ ＝2 ，即 ＝2 ；
＝ ＝ ＝3 ，即 ＝3 ……
（1） 等于多少？
解：（1） 根据题意，得 ＝5 .
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（2） 再举一个例子并通过计算验证，写出一般性规律.
解：（2） 举例不唯一，如 ＝ ＝ ＝6 .得到一般性规律为 ＝n （n为正整数）.
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7(共22张PPT)
第八章整合拔尖
第八章　实　数
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 运用算术平方根的非负性求值
典例1　（2024·肇庆期末）若 和 互为相反数，则 的平方根是 　± 　.
± 　
[变式]（1） 如果实数x，y满足y＝ ＋ ＋2，求2x＋y的立方根.
解：（1） 由题意，得x－3大于或等于0，3－x大于或等于0，∴ x－3＝0，解得x＝3，则y＝2.∴ 2x＋y＝8.∵ 8的立方根是2，∴ 2x＋y的立方根为2.
（2） 已知某正数的两个平方根分别是a－3和2a＋15，b的立方根是－2.求 的平方根.
解：（2） 由题意，得a－3＋2a＋15＝0，解得a＝－4.∵ b的立方根是－2，∴ b＝－8.∴ ＝ ＝4.∵ 4的平方根是±2，∴ 的平方根是±2.
（3） 已知 ＋｜x2－9｜＝0，求 的值.
解：（3） ∵ ＋｜x2－9｜＝0，∴ x－3y＝0，x2－9＝0.∴ x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.∴ ＝ 或0.
考点二 利用平方根或立方根的定义计算
典例2　（2025·宁波余姚期末）一个正数m的两个平方根分别是2a－1和－a＋3.求：
（1） m，a的值.
解：（1） 由题意，得2a－1＋（－a＋3）＝0，解得a＝－2，∴ 2a－1＝2×（－2）－1＝－5.∴ （－5）2＝25.∴ m＝25.
（2） m－a的立方根.
解：（2） ∵ m－a＝25－（－2）＝27，27的立方根为3，∴ m－a的立方根为3.
[变式]（2025·揭阳揭西期末）已知a是64的立方根，2b－3是a的平方根，求 a－4b的算术平方根.
解：∵ a是64的立方根，∴ a＝4.∵ 2b－3是a的平方根，∴ 2b－3＝±2.∴ b＝ 或b＝ .当a＝4，b＝ 时， a－4b＝ ×4－4× ＝11－10＝1；当a＝4，b＝ 时， a－4b＝ ×4－4× ＝11－2＝9.∴ a－4b的算术平方根为1或3.
考点三 利用实数的性质计算或化简
典例3　已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为 ，f的算术平方根是8，求 ab＋ ＋e2＋ 的值.
解：由题意，可知ab＝1，c＋d＝0，e＝± ，f＝64，∴ e2＝（± ）2＝2， ＝ ＝4.∴ ab＋ ＋e2＋ ＝ ＋0＋2＋4＝6 .
[变式]阅读材料：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以 的小数部分不可能全部写出来.由于 的整数部分是1，将 减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此 的小数部分可用 －1表示.由此我们得到一个真命题：如果 ＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝ －1.
请解答下列问题：
（1） 如果 ＝a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝ 　2　，b＝ 　 －.
2　
－
2　
（2） 如果－ ＝c＋d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝ 　－3　，d＝
　3－ 　.
（3） 已知2－ ＝m＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，求｜m－n｜的值.
解：∵ －3＜－ ＜－2，∴ －1＜2－ ＜0.∵ 2－ ＝m＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴ m＝－1，n＝3－ .∴ ｜m－n｜＝｜－1－3＋ ｜＝｜－4＋ ｜＝4－ .
－3　
3
－ 　
1. 有下列说法：① 0.027的立方根是0.3；② （－5）2的算术平方根是－5；③ 是一个负数；④ 0的相反数和倒数都是0；⑤ 如果a是b的立方根，那么ab大于或等于0；⑥ 已知a是实数，则 ＝｜a｜；⑦ 全体实数和数轴上的点一一对应.其中，正确的个数是（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. （2024·铜陵期中）已知x，y为实数，且满足 －（y－1）· ＝0，则x2023－y2023的值为（　B　）
A. 2 B. －2 C. 1 D. 1或2
B
B
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3. 新考法·新定义题 对于实数a，b定义min{a，b}：当a小于或等于b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b.例如min{1，－2}＝－2.已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续的正整数，则3a－2b的值为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在 ， ， ，…， ， 中，无理数的个数为（　B　）
A. 380 B. 381
C. 382 D. 383
5. 已知 为整数，且x是三位数，则满足题意的x的值有 　8　个.
6. 新考法·新定义题 已知min{ ，x2，x}表示取三个数中最小的数.例如当x＝9时，min{ ，x2，x}＝min{ ，92，9}＝3.当min{ ，x2，x}＝ 时，x的值为 　 　.
C
B
8　
　
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7. 已知 和｜8b－2｜互为相反数.求：
（1） a，b的值.
解：（1） ∵ 和｜8b－2｜互为相反数，∴ ＋｜8b－2｜＝0.∴ 1－2a＝0，8b－2＝0.∴ a＝ ，b＝ .
（2） 18－ 的平方根.
解：（2） 当a＝ ，b＝ 时，18－ ＝18－ ＝18－2＝16.∴ 18－ 的平方根是± ＝±4.
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8. 观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ＝0.01， ＝0.1， ＝1， ＝10， ＝100，….
（1） 已知 ≈4.47，求 的值.
解：（1） 根据题中规律，∵ ≈4.47，∴ ≈4.47×10＝44.7.
（2） 已知 ≈1.918， ≈191.8，求a的值.
解：（2） 根据题中规律，∵ 191.8＝1.918×100，∴ ≈ ＝ .∴ a＝36800.
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（3） 根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 ≈1.26， ≈12.6，用含n的式子表示m.
解：（3） 根据题中规律，∵ 1.26×10＝12.6，∴ ＝ .∴ 1000n＝m，即m＝1000n.
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9. 将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出27个半径相同的小铁球（不计损耗），小铁球的半径是多少厘米（提示：球的体积公式为V＝ πR3，其中R表示球的半径，V表示球的体积）？
解：设小铁球的半径是xcm，则27× πx3＝ π×123，解得x＝4.∴ 小铁球的半径是4cm.
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10. 新考向·传统文化 （2025·宿迁宿城期末）《清秘藏》是明代工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在我国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类.现有一块长方形绣布，长、宽之比为4∶3，面积为588cm2.
（1） 求绣布的周长.
解：（1） 设绣布的长为4xcm，宽为3xcm.根据题意，得4x·3x＝588，即12x2＝588，∴ x2＝49.∵ x＞0，∴ x＝7.∴ 绣布的长为28cm，宽为21cm，其周长为2×（28＋21）＝98（cm）.
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（2） 刺绣师傅想在这块绣布上裁出一块面积为375cm2的完整的圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）.
解：（2） 不能够裁出来.理由：设完整的圆形绣布的半径为rcm.根据题意，得πr2＝375，∴ r2＝125.∵ r＞0，∴ r＝ .∵ ＞ ＝11，∴ 2r＞21.∴ 不能够裁出来.
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11. 我们规定：[a]表示不大于a的最大整数，＜a＞表示不小于a的最小整数.
例如：[]＝2，＜ ＞＝2；[]＝2，＜ ＞＝3.
（1） 计算：[]＝ 　3　，＜ ＞＝ 　4　.
解：
（2） 若[]＝1，求满足条件的所有整数a的和.
解：（2） 由题意，可知1＜a＜4或a＝1，且a为整数，∴ a＝1或a＝2或a＝3.∵ 1＋2＋3＝6，∴ 满足条件的所有整数a的和为6.
（3） 若m＝[]，n＝＜ ＞，求m－2n－1的平方根.
解：（3） ∵ 14＜ ＜15，5＜ ＜6，∴ m＝14，n＝6.∴ m－2n－1＝1.
∵ ± ＝±1，∴ m－2n－1的平方根为±1.
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11(共13张PPT)
8.1　平 方 根
第2课时　算术平方根
第八章　实　数
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·常德期末）下列说法中，正确的是（　C　）
A. 的平方根是±5
B. 2的算术平方根是4
C. （－3）2的算术平方根是3
D. ＝±8
2. 下列计算正确的是（　D　）
A. ＝±3 B. ＝－3
C. ＝－3 D. ＝3
C
D
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3. 如图，将长为2、宽为1的长方形剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　C　）
A. B. C. D. 2
C
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4. （2025·鹤壁期末）若正方形的面积是64cm2，则正方形的边长为 　8cm　.
5. 已知 ＝x， ＝2，z是9的算术平方根，则2x－y＋z的算术平方根是 　3　.
8cm　
3　
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6. 比较下列各组数的大小：
（1） －4与－ .
解：∵ －4＝－ ＜－ ，∴ －4＜－ .
（2） 与 .
解：∵ ＜ ， ＝3，∴ ＋1＜4.又∵ ＝ ，∴ ＜ .
（3） －3与 .
解：∵ ＜ ＜ ，∴ 2＜ ＜3.∴ －3＜0， －2＞0.∴ ＞0.∴ －3＜ .
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7. （2025·兰州城关期末）若x是 的算术平方根，则x的值为（　C　）
A. 9 B. －9 C. 3 D. －3
8. 如果 ≈2.45， ≈7.75，那么 约等于（　D　）
A. 3000 B. 30
C. 24.5 D. 77.5
C
D
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9. 如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱的瓶子的容积为400π立方厘米，瓶内装有一定量的水.当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面圆半径为（　B　）
A. 厘米 B. 厘米
C. 厘米 D. 厘米
B
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10. （2024·武汉期中）一张边长为a厘米的正方形纸片，若沿着边的方向裁出一张面积为120平方厘米的长方形纸片，使它的长、宽之比为4∶3，在尽可能节约材料的前提下，a的值可能是（　B　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
B
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11. 请你观察下列计算过程：∵ 112＝121，∴ ＝11.同样，∵ 1112＝12321，∴ ＝111……由此猜想 ＝ 　111111　.
111111　
12. 已知 ＝2a－b＋3，求b－2a的值.
解：∵ ＝2a－b＋3，∴ 2a－b＋3＝0或2a－b＋3＝1.∴ b－2a＝3或b－2a＝2.∴ b－2a的值为3或2.
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13. （2024·仙桃期中）设S1＝1＋ ＋ ，S2＝1＋ ＋ ，S3＝1＋ ＋ ，…，Sn＝1＋ ＋ ，则 ＋ ＋ ＋…＋ 的值为（　C　）
A. B.
C. 24 D. 23
C
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14. 新考法·操作实践题 （2025·淄博博山期末）如图①②，把两张面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一张大的正方形纸片.
（1） 大正方形纸片的边长为 　6　cm.
（2） 若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一张长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长、宽之比为4∶3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.
6　
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解：沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片.∵ 长方形纸片的长、宽之比为4∶3，∴ 设长方形纸片的长和宽分别是4xcm，3xcm.∴ 3x·4x＝24.∴ x2＝2.∵ x＞0，∴ x＝ .∴ 长方形纸片的长是4 cm.∵ 2＜ ， ＝ ，
∴ 4× ＜4× ，即4 ＜6.∴ 沿此大正方形纸片边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片，剪出的长方形纸片的长为4 cm，宽为3 cm.
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14(共6张PPT)
专题特训三　实数的非负性
第八章　实　数
类型一　绝对值与偶次幂的非负性
1. 已知｜b－4｜＋（a－1）2＝0，则 的平方根是（　A　）
A. ± B. C. D. ±
2. 已知（2a－1）2＋（b＋4）2＝0，求 的值.
解：∵ （2a－1）2＋（b＋4）2＝0，∴ 2a－1＝0，b＋4＝0，解得a＝ ，b＝－4.∴ ＝ ＝ ＝2.
A
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类型二　算术平方根的非负性
3. 若a，b满足 ＋ ＝0，则（a＋b）2025的值为（　B　）
A. 1 B. －1 C. －2025 D. 2025
4. 已知 （a－ ）＜0，则a的取值范围是（　C　）
A. a＜ B. a＞0
C. 0＜a＜ D. a＞
B
C
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5. 若x，y为有理数，且满足 ＋ ＝0，求 的值.
解：∵ ＋ ＝0，∴ x－3＝0，y＋3＝0.∴ x＝3，y＝－3.∴ ＝ ＝1.
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类型三　绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性的综合应用
6. 已知｜a－1｜＋（b＋3）2＋ ＝0，则a＋b－c＝ 　－6　.
7. ★若｜x－1｜＋（y＋3）2＋ ＝0，求4x－2y＋3z的平方根.
解：由题意，得x－1＝0，y＋3＝0，x＋y＋z＝0，解得x＝1，y＝－3，z＝2.
∴ 4x－2y＋3z＝4×1－2×（－3）＋3×2＝4＋6＋6＝16.∴ 4x－2y＋3z的平方根是±4.
－6　
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类型四　 中被开方数a的非负性
8. 已知a为有理数，求 ＋ ＋ 的值.
解：由题意，得－a2大于或等于0.又∵ a2大于或等于0，∴ a＝0.∴ ＋ ＋ ＝2＋3＋0＝5.
9. 如果y＝ ＋ ＋3，试求2x＋y的值.
解：由题意，得x2－4大于或等于0且4－x2大于或等于0，∴ x2＝4.∴ x＝±2.∴ y＝3.∴ 2x＋y＝7或－1.
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9(共12张PPT)
8.2　立 方 根
第八章　实　数
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（　D　）
A. （－1）2的立方根是－1
B. －3是27的负的立方根
C. 的立方根是±
D. 的立方根是2
2. 若x2＝（－5）2，y3＝（－5）3，则x－y的值为（　C　）
A. 0 B. ±1 C. 0或10 D. －5
3. 若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（　C　）
A. a－1 B. C. D. a3－1
D
C
C
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4. 已知半径为R的球的体积是 πR3，现要生产一种容积为36πdm3的球形容器（厚度忽略不计），则该球形容器的半径是 　3　dm.
5. （2025·漳州期末）已知一个正数的两个平方根分别是3x－1和5－2x，求2x的立方根.
解：由题意，得（3x－1）＋（5－2x）＝0，解得x＝－4.∴ 2x＝－8.∴ 2x的立方根为－2.
3　
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6. （2025·贵港期末）若 ＋（y＋25）2＝0，则 的值为（　A　）
A. －5 B. 5 C. 15 D. 25
7. 若m＜0，则化简 － 的结果为（　D　）
A. m B. 2m
C. 0 D. －2m
8. （2025·开封通许期末）若5x＋19的立方根是4，则2x＋7的平方根是 　±5　.
9. 343x3－ ＝－ 中x的值是 　－ 　.
A
D
±5　
－ 　
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10. 定义运算a*b＝ － ，如4*27＝ － ＝2－3＝－1，则9*（－8）＝ 　5　.
5　
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11. （2025·无锡锡山期末）已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4.求：
（1） a，b的值.
解：（1） ∵ 5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，∴ 5a＋2＝33，3a＋b－1＝42，解得a＝5，b＝2.
（2） 2a＋3b的平方根.
解：（2） 由题意，得2a＋3b＝2×5＋3×2＝16，∵ （±4）2＝16，∴ 2a＋3b的平方根是±4.
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12. 已知2是x的立方根，且（y－2z＋5）2＋ ＝0，求 的值.
解：∵ 2是x的立方根，∴ x＝8.∵ （y－2z＋5）2＋ ＝0，∴ z－3＝0，y－2z＋5＝0，解得z＝3，y＝1.∴ ＝ ＝3.
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13. 我们规定用（a，b）表示一个数对，给出如下定义：记m＝ ，n＝－ （b＞0），将（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对开方对称数对.例如：数对（8，25）的开方对称数对为（2，－5）和（－5，2）.
（1） 数对（27，4）的开方对称数对为 　（3，－2）　和 　（－2，3）　.
（2） 若数对（x，6）的一个开方对称数对是 ，则x＝ 　 　.
（3，－2）　
（－2，3）　
　
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（3） 若数对（a，b）的一个开方对称数对是（－4，－5），求a＋b的值.
解：∵ 数对（a，b）的一个开方对称数对是（－4，－5），∴ 当 ＝－4，－ ＝－5时，解得a＝－64，b＝25.∴ a＋b＝－64＋25＝－39.当 ＝－5，－ ＝－4时，解得a＝－125，b＝16.∴ a＋b＝－125＋16＝－109.综上所述，a＋b的值为－39或－109.
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14. 请认真阅读下面的材料，并解答问题.
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义.例如：若x2＝a（a大于或等于0），则x叫作a的二次方根；若x3＝a，则x叫作a的三次方根；若x4＝a（a大于或等于0），则x叫作a的四次方根.
（1） 依照上面的材料，请你给出五次方根的定义.
（2） 81的四次方根为 　±3　；－32的五次方根为 　－2　.
±3　
－2　
解：（1） 若x5＝a，则x叫作a的五次方根.
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（3） 若 有意义，则a的取值范围是 　a大于或等于1　；若 有意义，则a的取值范围是 　a为任意数　.
（4） 已知 （2x－4）4－8＝0，求x的值.
解：（4） ∵ （2x－4）4－8＝0，∴ （2x－4）4－16＝0.∴ （2x－4）4＝16.∴ 2x－4＝± .∴ 2x－4＝±2.∴ x＝3或x＝1.
a大于或等于1　
a为任意数　
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14(共14张PPT)
8.3　实数及其简单运算
第2课时　相反数、绝对值与实数的运算
第八章　实　数
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（　C　）
A. 绝对值是 的数是
B. － 的相反数是±
C. 1－ 的绝对值是 －1
D. 的相反数是－2
2. （2025·淄博高青期末）若｜a｜＝ ，则－ 的相反数是（　D　）
A. － ＋2 B. －2
C. －2 D. 2
C
D
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3. 规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[0.6]＝0，[3.14]＝3，按此规定，[＋2]的值为 　5　.
4. 计算： － ＋ －｜－6｜＝ 　－1　.
5　
－1　
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5. 计算：
（1） （2025·苏州）｜－5｜＋32－ .
解：10
（2） 2 － －3 ＋2 .
解： －
（3） ｜ －2｜－｜ －1｜＋｜ － ｜.
解：3－2
（4） － －｜π－3｜.
解：－2π
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6. （2024·淮北期末）数轴上表示 ，π的点分别为A，B，A是BC的中点，则点C表示的数是（　C　）
A. －π B. π－
C. 2 －π D. π－2
C
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7. 新情境·游戏活动 嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号，使结果等于4，如图所示为嘉淇所给的方法，如果给出一种正确的方法得25分，那么嘉淇的得分为（　C　）
A. 25分
B. 50分
C. 75分
D. 100分
（第7题）
C
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8. （2024·德州期末）对任意两个实数a，b，定义两种运算：a b＝ a b＝ 并且定义运算顺序仍然是有括号先算括号内的，例如（－2） 3＝3，（－2） 3＝－2，[（－2） 3] 2＝2，那么（ 2） 的值为（　B　）
A. 2 B.
C. 3 D. 3
B
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9. 若数a的相反数等于它本身，则 －5 ＋2 ＝ 　－9　.
10. 若有理数x，y满足x2＋ y＋2y＝－4 ＋17，则x＋y的值为 　1或－9　.
11. 若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数.5－ 关于1的平衡数是 　 －3　.
12. 定义：对于任意的实数a，b，有a*b＝a2＋ ＋1.例如1*（－8）＝12＋ ＋1＝0，则[（－2）*64]*1＝ 　83　.
13. 已知a为无理数，且ab＋ a－b＝ ，则b＝ 　－ 　.
－9　
1或－9　
－3　
83　
－ 　
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14. 已知a＝｜－ － ｜，b＝｜－ ｜－｜－ ｜，c＝－ －｜－ ｜，d＝－｜－ ｜－（－ ），试确定a，b，c，d的大小关系.
解：由题意，得a＝｜－ － ｜＝ ＋ ，b＝｜－ ｜－｜－ ｜＝ － ，c＝－ －｜－ ｜＝－ － ，d＝－｜－ ｜－（－ ）＝ － ，∵ ＋ ＞ － ＞ － ＞－ － ，∴ a＞d＞b＞c.
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15. （2025·湖州长兴期末）如图，A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为－ ，设点B表示的数为m.
（1） 实数m的值是 　－ ＋2　.
（2） 求｜m－2｜－｜1－m｜的值.
解：（2） 由数轴，可知0＜m＜1，∴ m－2＜0，1－m＞0.∴ ｜m－2｜－｜1－m｜＝2－m－（1－m）＝2－m－1＋m＝1.
－ ＋2　
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（3） 数轴上C，D两点分别表示实数c和d，且有｜2c＋4｜与 互为相反数，求2c＋5d的平方根.
解：（3） 由｜2c＋4｜与 互为相反数，可得｜2c＋4｜＋ ＝0，∵ ｜2c＋4｜， 均为非负数，∴ 2c＋4＝0且d－4＝0，即c＝－2，d＝4.∴ 2c＋5d＝2×（－2）＋5×4＝－4＋20＝16.
∵ 16的平方根为±4，∴ 2c＋5d的平方根为±4.
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16. （1） 已知实数a，b，c满足 ＋｜b－2020｜＋（c－1）2＝0，求（a＋b＋c）3的值.
解：（1） ∵ ＋｜b－2020｜＋（c－1）2＝0，∴ a＋2023＝0，b－2020＝0，c－1＝0，解得a＝－2023，b＝2020，c＝1.∴ （a＋b＋c）3＝（－2023＋2020＋1）3＝（－2）3＝－8.
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（2） 已知m是 的整数部分，n是 的小数部分，｜t｜＝ ，求2m－n＋t的值.
解：（2） ∵ 3＜ ＜4，∴ 的整数部分m＝3， 的小数部分n＝ －3.∵ ｜t｜＝ ，∴ t＝ 或t＝－ .当m＝3，n＝ －3，t＝ 时，2m－n＋t＝6－（ －3）＋ ＝9；当m＝3，n＝ －3，t＝－ 时，2m－n＋t＝6－（ －3）－ ＝9－2 .∴ 2m－n＋t的值为9或9－2 .
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16(共14张PPT)
8.3　实数及其简单运算
第1课时　实数的概念与数轴
第八章　实　数
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在（　C　）
A. 3到4之间 B. 4到5之间
C. 5到6之间 D. 6到7之间
2. （2025·连云港期末）如图，在数轴上表示 的点，可能是（　C　）
A. P B. Q C. M D. N
C
C
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3. （2025·邢台信都期末改编）如图，根据尺规作图痕迹，图中点A所表示的数为（　B　）
A. B. 1＋ C. －1 D. 2
4. （2025·铜仁碧江期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 －｜c－a｜＋ 的结果为（　C　）
A. －2a B. －2a－b
C. －b D. －2b－a
B
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5. （2025·重庆）若n为正整数，且满足n＜ ＜n＋1，则n＝ 　5　.
6. 易错题 把下列各数分别填入相应的集合中：15， ， ，0， ，－ ，－3.14， ，－ ， .
正实数集合：{15， ， ， ， ，…}；
负实数集合：{－ ，－3.14，－ ， ，…}；
无理数集合：{ ，－ ，－ ，…}.
5　
15， ， ， ， ，
－ ，－3.14，－ ， ，
，－ ，－ ，
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7. 将下列各数对应的点在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来.
－ ，－3， ，｜－2｜， .
解：各数对应的点在数轴上表示如图所示.
－3＜ ＜－ ＜ ＜｜－2｜.
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8. （2025·保定竞秀期末）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为－1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　A　）
A. －1
B.
C. ＋1
D. ＋2
（第8题）
A
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9. 若a＝3，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（　D　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
D
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10. 如图所示为一个数值转换器的工作流程图.
（1） 当输入x的值为256时，输出y的值是 　 　.
（2） 若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值： 　0，1　.
（3） 若输出y的值是 ，请写出两个满足要求的x的值： 　答案不唯一，如5，25　.
　
0，1　
答案不唯一，如
5，25　
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11. 已知实数x，y满足 ＋（y2－1）2＝0，试判断 是有理数还是无理数.
解：由题意，得x－2＝0，y2－1＝0，∴ x＝2，y＝±1.当x＝2，y＝1时， ＝ ＝2，是有理数；当x＝2，y＝－1时， ＝ ＝ ，是无理数.
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12. （2025·淄博张店期末改编）已知2m＋2的立方根是2，m＋n的算术平方根是3.
（1） 求m，n的值.
解：（1） ∵ 2m＋2的立方根是2，m＋n的算术平方根是3，∴ 2m＋2＝23＝8，m＋n＝32＝9，解得m＝3，n＝6.
（2） 若a＝ m＋ n，请求出a的值，并在数轴上作出表示－ 的点A（保留作图痕迹）.
解：（2） 将m＝3，n＝6代入a＝ m＋ n中，得a＝2，∴ － ＝－ .∴ 数轴上表示－ 的点A如图所示.
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13. （1） 比较大小： 　＜　 　＜　 　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）.
（2） ① ｜1－ ｜＝ 　 －1　.② ｜ － ｜＝ 　 － 　.③ ｜ － ｜＝ 　 － 　.
（3） 计算：｜1－ ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜＋…＋｜ － ｜.
解：｜1－ ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜＋…＋｜ － ｜＝ －1＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ －1＝10－1＝9.
＜　 　＜　 　＜　
－1　
－ 　
－ 　
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14. 已知7＋ 的整数部分是a，15－ 的小数部分是b，则a＋b的值为（　B　）
A. 12－ B. 13－
C. 14－ D. 15－
B
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15. 新考法·新定义题 （2024·郑州期末）如果[x]表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），求[]＋[]＋[]＋…＋[]的值.
解：∵ 1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，5.52＝30.25，6.52＝42.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），∴ []＝[]＝1；[]＝[]＝[]＝[]＝2；[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝3；[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝4；[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝5；[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝[]＝6.∴ []＋[]＋[]＋…＋[]＝1×2＋2×4＋3×6＋4×8＋5×10＋6×11＝2＋8＋18＋32＋50＋66＝176.
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