资源简介 (共26张PPT)第七章整合拔尖第七章 相交线与平行线01知识体系构建02高频考点突破03综合素能提升目录考点一 运用对顶角和邻补角解决问题典例1 （2024·南充期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE. 若∠AOC＝46°，则∠COF的度数为（ C ）（典例1图）CA. 67°B. 92°C. 113°D. 134°[变式]★如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在∠BOD内部.（1） 若∠AOC＝56°，求∠BOE的度数.解：（1） ∵ 直线AB，CD相交于点O，∴ ∠BOD＝∠AOC＝56°.∴ ∠AOD＝180°－∠BOD＝124°.∵ OE平分∠AOD，∴ ∠DOE＝∠AOE＝ ∠AOD＝62°.∴ ∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝56°＋62°＝118°.（2） 若∠DOE∶∠FOD∶∠FOB＝7∶3∶1，求∠COE的度数.解：（2） ∵ OE平分∠AOD，∴ ∠AOE＝∠DOE.∵ ∠DOE∶∠FOD∶∠FOB＝7∶3∶1，∴ ∠AOE∶∠DOE∶∠FOD∶∠FOB＝7∶7∶3∶1.∴ ∠AOE＝ ×180°＝70°，∠BOD＝ ×180°＝40°.∴ ∠AOC＝∠BOD＝40°.∴ ∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝40°＋70°＝110°.考点二 平行线中的折线问题典例2 （2024·海口期末）有下列结论：① 如图①，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；② 如图②，AB∥CD，则∠P＝∠A－∠C；③ 如图③，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠1；④ 如图④，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α－∠β＋∠γ＝180°.其中，正确的个数为（ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B[变式]（2024·怀化期末）如图，AB∥CD，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠CGH，则∠EFG与∠EHG之间的数量关系是 ∠EFG＝3∠EHG－180° .∠EFG＝3∠EHG－180° 考点三 角度之间的比值问题典例3 如图，AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.（1） ∠CBD＝ 60° .（2） 当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，则此时∠ABC＝ 30° .60° 30° （3） 在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律.（典例3图）解：不变.∵ AM∥BN，∴ ∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN. 又∵ BD平分∠PBN，∴ ∠ADB＝∠DBN＝ ∠PBN＝ ∠APB. ∴ ∠APB∶∠ADB＝2∶1，即在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值为2，是不变的.[变式]已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E，F分别在射线AD，BC上运动，满足∠AEF＝∠B，连接EG.（1） 如图①，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF.（2） 如图②，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝α，∠GEF＝β，请直接用含α，β的式子表示∠AGE的度数： α＋β .α＋β （3） 在射线BC下方有一点H，连接AH，EH，满足∠BAH＝2∠HAG，EH平分∠FEG. 若∠FEG＝20°，∠BAG＝60°，则∠AGE＋∠H的度数为 70°或130° . 解：（1） ∵ AG平分∠BAD，∴ ∠BAG＝∠DAG. ∵ ∠BAG＝∠BGA，∴ ∠BGA＝∠DAG. ∴ AD∥BC. ∴ ∠B＋∠BAD＝180°.∵ ∠AEF＝∠B，∴ ∠AEF＋∠BAD＝180°.∴ AB∥EF.70°或130° 1. 如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠EOF＝90°.若∠AOF＝α，∠COF＝β，则下列等式中，一定成立的是（ A ）A. 2α＋β＝90° B. α＋2β＝90°C. α＋β＝45° D. 2α＋β＝180° A123456782. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一个拐角处的∠A的度数为72°，第二个拐角处的角为∠B，第三个拐角处的∠C的度数为153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠B的度数为（ B ）A. 81° B. 99° C. 108° D. 120°B123456783. （2024·南阳西峡期末）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝54°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A'B'C'（平移后点A，B，C的对应点分别是A'，B'，C'），连接CA'.若在整个平移过程中，∠ACA'和∠CA'B'的度数之间存在2倍关系，则∠ACA'的度数不可能为（ C ）A. 18° B. 36° C. 72° D. 108°C123456784. 如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于点E，连接AE. 若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为 30° .30° 123456785. 如图，直线AB∥CD，F为直线AB上一点，G为射线BD上一点.若∠CDH＝ ∠HDG，∠EBF＝ ∠GBE，HD交BE于点E，则∠E的度数为 45° .45° 123456786. 如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C，D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC. 若∠1＝32°，则∠2的度数是 13° .13° 123456787. 已知直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝α.（1） 如图①，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°，α＝30°，求∠BOF的度数.解：（1） ∵ ∠AOC＝α＝30°，∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝150°.又∵ OE平分∠AOD，∴ ∠AOE＝ ∠AOD＝75°.又∵ ∠EOF＝90°，∴ ∠BOF＝180°－∠AOE－∠EOF＝180°－75°－90°＝15°.12345678（2） 如图②，∠DOE＝ ∠AOD，∠EOF＝60°，α＝30°，求∠BOF的度数.解：（2） ∵ ∠AOC＝α＝30°，∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝150°.又∵ ∠DOE＝ ∠AOD，∴ ∠AOE＝ ∠AOD＝100°.又∵ ∠EOF＝60°，∴ ∠BOF＝180°－∠AOE－∠EOF＝180°－100°－60°＝20°.12345678（3） 如图③，∠DOE＝ ∠AOD，∠EOF＝45°，求 的值. 解：（3） ∵ ∠AOC＝α，∴ ∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－α.又∵ ∠DOE＝ ∠AOD，∴ ∠AOE＝ ∠AOD＝ （180°－α）＝135°－ α.又∵ ∠EOF＝45°，∴ ∠BOF＝180°－∠AOE－∠EOF＝180°－ －45°＝ α.∴ ＝ ＝ .123456788. 为了安全起见，某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图，灯A射出的光束从AM开始按顺时针方向旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束从BP开始按顺时针方向旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.已知灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的，即PQ∥MN.（1） 当灯A射出的光束与灯B射出的光束重合，且∠BAM∶∠BAN＝2∶1时，∠BAN＝ 60° .（2） 若灯B先转动30秒，灯A才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，灯A转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？60° 12345678（3） 若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点E，且∠AEB＝120°，则在灯B射出的光束到达BQ之前，两灯转动的时间为 100或140 秒.（第8题）100或140 12345678解：（2） 记灯A射出的光束交PQ于点C，灯B射出的光束交MN于点D. 设灯A转动t秒时，两灯射出的光束互相平行.∵ 180°－1°×30＝150°，∴ 0＜t＜150.① 当0＜t＜90或t＝90时，如图①，可得∠PBD＝1°·（30＋t）＝（30＋t）°，∠CAM＝2t°.∵ PQ∥MN，∴ ∠PBD＝∠BDA. ∵ AC∥BD，∴ ∠CAM＝∠BDA.∴ ∠CAM＝∠PBD. ∴ 2t＝30＋t，解得t＝30.② 当90＜t＜150时，如图②，可得∠PBD＝（30＋t）°，∠CAN＝（2t－180）°.∵ PQ∥MN，∴ ∠PBD＋∠BDA＝180°.∵ AC∥BD，∴ ∠CAN＝∠BDA. ∴ ∠PBD＋∠CAN＝180°.∴ 30＋t＋（2t－180）＝180，解得t＝110.综上所述，灯A转动30秒或110秒时，两灯射出的光束互相平行.12345678(共16张PPT)7.2 平 行 线第4课时 平行线的判定与性质的综合应用第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. （2025·南京建邺期末）如图，∠A与∠B互补，DE平分∠ADC. 如果∠1＝40°，那么∠2的度数为（ D ）A. 80° B. 85° C. 95° D. 100° D12345678910112. 新情境·现实生活 如图所示为某品牌共享单车的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝53°.若AM∥CB，则∠MAC的度数为（ B ）A. 62° B. 65° C. 75° D. 115°B12345678910113. 如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD的延长线上一点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F. 有下列结论：① AB∥CD；② ∠AEB＋∠ADC＝180°；③ DE平分∠ADC；④∠F的度数为135°.其中，正确的结论是 ①③④ （填序号）.①③④ 12345678910114. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，∠D＝30°，∠OAB＝45°.若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A的位置始终不变），则当∠BAD＝ 15°或165° 时，CD∥OB.15°或165° 12345678910115. 如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，是否可以推得AB∥CD？请说明理由.（第5题答案）解：可以.理由：如图，∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴ ∠2＝∠3.∴ CE∥BF. ∴ ∠C＝∠BFD. ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝∠BFD. ∴ AB∥CD.12345678910116. （2025·绥化北林期末）如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD. 有下列结论：① BC平分∠ABE；② AC∥BE；③ ∠DEB＝2∠ABC. 其中，正确的有（ D ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D12345678910117. 如图，AB∥CD，EF交AB于点G，GE平分∠BGC，∠C＝α，H是CD上一定点，P是直线EF上一动点，则在点P的运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（ D ）A. ∠GPH－∠PHC＝ αB. ∠GPH＋∠PHC＝ αC. ∠GPH＋∠PHC＋ α＝180°D. ∠PHC＋∠GPH＋ α＝360°D12345678910118. （2025·成都双流期末）一副三角尺按如图所示的方式放置，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，∠CBA＝45°，∠BAD＝30°，过点A的直线EF与过点B的直线MN互相平行，设∠CAE＝α，∠DBN＝β，则α，β满足的等量关系式为 α－β＝45° .α－β＝45° 12345678910119. （2025·南京鼓楼期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，此时AB⊥OC，三角尺OAB绕点O以15°/s的速度顺时针旋转，同时三角尺OCD绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，时间为ts，当AB与CD第三次平行时，t＝ 15.6 .15.6 123456789101110. 如图，EF⊥BC于点F，AD⊥BC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C. 试说明：AB∥MN.（第10题）解：∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ ∠EFC＝∠DMC＝90°.∴ EF∥AD. ∴ ∠2＝∠CDM.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠CDM. ∴ CD∥MN. ∵ ∠3＝∠C，∴ AB∥CD. ∴ AB∥MN.123456789101111. （2025·泉州南安期末）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于180°”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确.如图①，延长BC到点D，过点C作CE∥AB. ∵ CE∥AB，∴ ∠① A ＝∠ACE，∠② B ＝∠DCE. ∵ ∠ACB＋∠ACE＋∠DCE＝③ 180° ，∴ ∠ACB＋∠A＋∠B＝180°.A B 180° （1） 补全小安的过程中①②③所缺的内容.1234567891011（2） 如图②，直线l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上，C是l1上点A右侧的动点，点G在射线BA上，连接CG，CF平分∠ACG，BE平分∠ABD，交FC的延长线于点E.① 若∠G＝20°，求∠E的度数.② 如图③，GM平分∠AGC交l2于点M，且∠ABD＝70°.在点C运动的过程中，∠GMB－∠E是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.1234567891011解：① 如图，过点E作EN∥l1.∵ l1∥l2，∴ EN∥l2.设∠NEC＝x，∠NEB＝y，则∠ACF＝x，∠EBD＝y.∵ CF平分∠ACG，BE平分∠ABD，∴ ∠ACG＝2∠ACF＝2x，∠ABD＝2∠EBD＝2y.∵ l1∥l2，∴ ∠GAC＝∠ABD＝2y.∵ ∠G＝20°，∴ ∠ACG＋∠GAC＝2x＋2y＝160°.∴ ∠BEC＝x＋y＝80°.1234567891011② ∠GMB－∠E为定值.由①可得∠E＝ （∠ACG＋∠GAC），∴ ∠E＝ （180°－∠AGC）＝90°－ ∠AGC. ∵ GM平分∠AGC，∴ ∠BGM＝ ∠AGC. ∴ ∠GMB＝180°－∠GBM－∠BGM＝180°－70°－ ∠AGC＝110°－ ∠AGC. ∴ ∠GMB－∠E＝110°－ ∠AGC－ ＝20°.∴ ∠GMB－∠E为定值，为20°.1234567891011(共14张PPT)7.2 平 行 线第2课时 平行线的判定第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1.（2025·宿迁泗洪期末）如图，能判断AB∥EF的条件是（ B ）A. ∠ADE＝∠C B. ∠ADE＝∠DEFC. ∠ADE＝∠B D. ∠ADE＝∠EFCB123456789102. （2025·周口项城期末）下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（ A ）A123456789103. 新考法·开放题 （2025·海口期末）如图，若要得到AB∥CD，则需要的条件是 ∠EAD＝∠ADC（答案不唯一） （写出一个即可）.∠EAD＝∠ADC（答案不唯一） 123456789104. （2025·周口项城期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.试说明：AB∥CD.（第4题）解：∵ GH⊥CD，∴ ∠CHG＝90°.又∵ ∠2＝30°，∴ ∠3＝60°.∴ ∠4＝60°.又∵ ∠1＝60°，∴ ∠1＝∠4.∴ AB∥CD.123456789105. 易错题 （2024·德州期末）如图，有下列条件：① ∠3＝∠4；② ∠3＋∠5＝180°；③ ∠1＝∠2；④ ∠4＋∠BCD＝180°，且∠D＝∠4.其中，能推出AD∥BC的条件为（ C ）A. ①② B. ①②③C. ①②④ D. ②③④C123456789106. （2024·天津期中）如图，∠F＋∠FGD＝80°（∠F＞∠FGD）.有下列条件：① ∠FEB＋2∠FGD＝80°；② ∠F＋∠FGC＝180°；③ ∠F＋∠FEA＝180°；④ ∠FGC－∠F＝100°.其中，添加后能使AB∥CD的个数是（ B ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3B123456789107. 如图，EF⊥MN，垂足为F，且∠1＝140°.若增加一个条件使得AB∥CD，试写出一个符合要求的条件： 答案不唯一，如∠2＝50° .答案不唯一，如∠2＝50° 123456789108. （2024·常州期中）如图，直线EF上有两点A，C，过点A，C分别引两条射线AB，CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，将射线AB，CD分别绕点A，C以每秒1°和每秒4°的速度同时按顺时针方向转动，设转动时间为ts，在射线CD转动一周的时间内，当CD与AB平行时，t的值为 或 .或 123456789109. （2025·甘孜丹巴期末）如图，点F在AB上，EF交BD于点G，交CD于点E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC＋∠C＝180°.试说明：AD∥EF.（第9题）解：∵ ∠1＝∠2，∴ ∠ABE＝∠DBC. 又∵ ∠3＝∠ABE，∴ ∠3＝∠DBC. ∴ EF∥BC.∵ ∠ADC＋∠C＝180°，∴ AD∥BC. ∴ AD∥EF.1234567891010. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∠ACD＝∠ECB＝90°）.（1） 若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数.解：（1） ∵ ∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴ ∠DCB＝90°－35°＝55°.∴ ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋55°＝145°.（第10题）12345678910（2） 猜想∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由.解：（2） ∠ACB＋∠DCE＝180°.理由：∵ ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，∠ECB＝∠DCE＋∠DCB＝90°，∴ ∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°.（第10题）12345678910（3） 现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的边CE与边CA重合，然后将三角尺BCE绕点C按顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两把三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由.解：（3） 存在.如图①，当∠ACE＝30°时，AD∥BC；如图②，当∠ACE＝45°时，AC∥BE；如图③，当∠ACE＝120°时，AD∥CE；如图④，当∠ACE＝135°时，BE∥CD；如图⑤，当∠ACE＝165°时，BE∥AD.（第10题）12345678910(共15张PPT)7.2 平 行 线第1课时 平行线的概念第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. 下列说法中，正确的是（ D ）A. 如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在直线互相平行B. 不相交的两条直线一定是平行线C. 同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行D. 同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线2. 同一平面内有三条直线，如果其中只有两条平行，那么这三条直线（ C ）A. 没有交点 B. 有一个交点C. 有两个交点 D. 有三个交点DC1234567891011123. 如图，取一张长方形（对边平行）硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折，使得CD与AB重合，折痕为EF. 把长方形硬纸板ABEF平放在桌面上，无论怎么改变另一个面CDFE的位置（即绕EF任意转动），总有CD∥AB，理由是 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 1234567891011124. （2024·平顶山郏县期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ..过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 1234567891011125. （2025·宿迁宿城期末）在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（ C ）A. 1条 B. 2条C. 3条 D. 4条6. （2024·襄阳枣阳期末）下列说法正确的是（ A ）A. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD. 在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥cCA1234567891011127. 设a，b，c是同一平面内任意三条直线，则它们的交点可以有（ B ）A. 1个或2个或3个B. 0个或1个或2个或3个C. 1个或2个D. 都不对B1234567891011128. 如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有 3 条.3 1234567891011129. 如图，在6×4的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上.连接点A，B得到线段AB.（1） 连接C，D，E，F中的任意两点，共可得到 6 条线段，在图中画出来.（2） 在（1）中通过连接得到的线段中，与AB平行的线段是 FD .解：（1） 画出线段如图所示.6 FD 12345678910111210. （2024·银川期末）如图，∠AOB内有一点P.（1） 过点P画l1∥OA.解：（1） 如图所示.（2） 过点P画l2∥OB.解：（2） 如图所示.（3） 用量角器量一量，l1与l2相交形成的角与∠O之间有怎样的关系？123456789101112解：（3） 如图，l1与l2相交形成∠1，∠2，∠3，∠4.由量角器量得∠1＝∠3＝∠O，∠2＋∠O＝180°，∠4＋∠O＝180°，所以l1与l2相交形成的角与∠O相等或互补.12345678910111211. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放，并把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：（1） 找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来.（1） DE∥CB.（第11题）解：答案不唯一，如：123456789101112（2） 找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来.（2） ED⊥AC.（第11题）（3） 找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并写出它们的度数（不包括三角尺自身所含的角）.（3） 钝角：∠GFD＝135°.直角：∠ADE＝90°.锐角：∠GCB＝30°.12345678910111212. 如图，AB∥CD，E为AC的中点.（1） 尺规作图：过点E作线段EF，使EF∥AB，EF与BD相交于点F.解：（1） 如图所示.123456789101112（2） EF与CD平行吗？为什么？解：（2） EF∥CD. 因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.123456789101112(共16张PPT)7.4 平 移第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. 新考向·传统文化 （2025·宿迁宿豫期末）窗棂是我国传统木构建筑的框架结构设计.下列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ A ）A12345678910112. （2025·上海嘉定期末）如图，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回蚁洞向蚁王汇报成绩，它们同时经过点A处向洞口O处爬，甲爬行的路线为过点A，B，C，D，E，F，G，H，O的折线，乙爬行的路线为折线A-M-O，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，那么 甲、乙同时 回到洞中（填“甲先”“乙先”或“甲、乙同时”）.甲、乙同时 12345678910113. （2025·重庆沙坪坝期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移4cm得到三角形DEF，连接AD. 若BF＝7CE，则BC的长为 3 cm.3 12345678910114. 如图，∠3＝75°，将直线m平移后得到直线n.若∠1＝25°，求∠2的度数.（第4题答案）解：如图，延长AB交直线n于点O. ∵ 将直线m平移后得到直线n，∴ m∥n.∴ ∠3＋∠5＝180°，即∠5＝180°－∠3＝105°.∵ ∠4＝∠1＝25°，∴ 易得∠2＝∠4＋∠5＝130°.12345678910115. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到三角形DEF，连接AD，则下列结论中，不正确的是（ B ）A. AC∥DFB. AC＝CEC. ED⊥ACD. 四边形ABFD的周长为30B12345678910116. （2024·娄底期末）如图，某公园形如长方形 ABCD，长为 a，宽为 b.该公园中有3条宽均为 c的小路，其余部分均种上小草，则该公园种草部分的面积为（ D ）A. ab－bc－acB. ab－2bc－acC. ab－ac－2bc＋c2D. ab－ac－2bc＋2c2D12345678910117. 把边长为1的正方形按如图所示的方式拼成各种图形.如果这个图形有5层，那么它的周长是（ B ）A. 10 B. 20 C. 24 D. 30 B12345678910118. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿BC方向平移到三角形DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积为 48 .48 12345678910119. 如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到三角形DEF，连接AD，则涂色部分的周长为 11 cm.11 123456789101110. （2025·济宁期末）如图，三角形ABC的面积为16，BC＝8.现将三角形ABC沿直线BC向右平移a个单位长度到三角形DEF的位置，连接AE，AD.（1） 当三角形ABC所扫过的面积为32时，求a的值.解：（1） 如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵ S三角形ABC＝16，BC＝8，∴ BC·AH＝16.∴ AH＝4.由题意，得三角形ABC所扫过的面积即梯形ABFD的面积，∴ S四边形ABFD＝ ×（AD＋BF）×AH＝ （a＋a＋8）×4＝32，解得a＝4.1234567891011（2） 当AB＝5，a＝5时，试判断三角形ADE的形状，并说明理由.（第10题答案）解：（2） 三角形ADE为等腰三角形.理由：根据平移的性质，可知DE＝AB＝5，又∵ AD＝a＝5，∴ AD＝DE. ∴ 三角形ADE为等腰三角形.123456789101111. （1） 如图①所示的阴影部分是由线段AB向右平移1个单位长度得到的，如图②所示的阴影部分是由折线A-C-B向右平移1个单位长度得到的，请在如图③所示的长方形中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度得到的图形（涂阴影）.1234567891011解：（1） 答案不唯一，如图所示.（2） 若图①②③中长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积.解：（2） 设三个图中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1＝ab－b，S2＝ab－b，S3＝ab－b.1234567891011（3）新情境·现实生活 如图④，一块长40m、宽10m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为1m，求这块菜地的面积.解：（3） 由（2），可知这块菜地的面积为40×10－10×1＝390（m2）.1234567891011(共15张PPT)专题特训二 “相交线与平行线”中的数学思想第七章 相交线与平行线类型一 分类讨论思想1. 易错题 已知∠A与∠B（∠A，∠B都是大于0°且小于180°的角）的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且2∠A－∠B＝18°，则∠A的度数为（ D ）A. 18°或66° B. 66°或96°C. 18°或36° D. 36°或96°D1234562. （2024·茂名期中）有一副三角尺，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°. （1） 若将这副三角尺按如图①所示的方式摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数.解：（1） 由题意，得∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，∵ EF∥CD，∴ ∠CDE＝∠E＝45°.∴ ∠ABE＝∠ABC－∠CDE＝60°－45°＝15°.∴ ∠ABF＝∠EBF－∠ABE＝90°－15°＝75°.123456（2） 将这副三角尺按如图②所示的方式摆放，直线GH∥MN，保持三角尺ABC不动，现将三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，且0＜t＜180或t＝0或t＝180，当边BC与三角尺DEF的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值.解：（2） 如图①，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：① 当DE在MN上方时，∵ DE∥BC，∠EDF＝∠ACB＝90°，∴ DE⊥DF，AC⊥BC. ∴ 易得AP∥DF. ∴ ∠FDM＝∠MPA. ∵ GH∥MN，∴ ∠MPA＝∠HAC. ∴ ∠FDM＝∠HAC. 由题意，得∠FDM＝（2t）°，∠HAC＝30°，∴ （2t）°＝30°.∴ t＝15.② 当DE'在MN下方时，由题意，得∠F'DP＝（2t）°－180°，∵ DE'∥BC，DE'⊥DF'，AC⊥BC，∴ 易得AP∥DF'.∴ ∠F'DP＝∠MPA. ∵ GH∥MN，∴ ∠MPA＝∠HAC.123456∴ ∠F'DP＝∠HAC，即（2t）°－180°＝30°.∴ t＝105.如图②，当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：① 当DF在MN上方时，根据题意，得∠FDN＝180°－（2t）°，∵ BC∥DF，∴ ∠FDN＝∠BTN. ∵ GH∥MN，∴ ∠BTN＝∠ABC＝60°.∴ ∠FDN＝60°，即180°－（2t）°＝60°.∴ t＝60.② 当DF'在MN下方时，根据题意，得∠F'DN＝（2t）°－180°，∵ DF'∥BC，∴ ∠F'DN＝∠BTM. ∵ GH∥MN，∴ ∠BTM＝180°－∠ABC＝120°.∴ ∠F'DN＝120°，即（2t）°－180°＝120°.∴ t＝150.综上所述，所有满足条件的t的值为15或60或105或150.123456（3） 将这副三角尺按如图②所示的方式摆放，直线GH∥MN，现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度按顺时针方向旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度按顺时针方向旋转.设旋转时间为a秒，如图③，∠BAH＝a°，∠FDM＝2a°，且0＜a＜150或a＝0或a＝150，当边BC与三角尺DEF的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的a的值.解：（3） 所有满足条件的a的值为30或120.123456类型二 方程（设参）思想3. （2024·武汉武昌期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE. 若∠E＋54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（ B ）A. 32°B. 36°C. 40°D. 44°（第3题）B1234564. （2024·宜春期末）（1） 如图①，AB∥CD，点M在AB，CD之间，连接AM，CM. 求证：∠AMC＝∠A＋∠C.解：（1） 过点M向左作MQ∥AB.∵ AB∥CD，∴ AB∥MQ∥CD. ∴ ∠AMQ＝∠A，∠CMQ＝∠C. ∴ ∠AMC＝∠AMQ＋∠CMQ＝∠A＋∠C，即∠AMC＝∠A＋∠C.123456（2） 如图②，E，F分别是射线AB，CD上一点，G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点M，连接AC，EG. 若∠MAC＋∠MEG＝∠AGE，求证：AC∥EF.解：（2） 在三角形MGE中，∠EGM＋∠MEG＋∠GME＝180°，∵ ∠EGM＋∠AGE＝180°，∴ ∠GME＋∠MEG＝∠AGE.∵ ∠MAC＋∠MEG＝∠AGE，∴ ∠GME＝∠MAC. ∴ AC∥EF.123456（3） 在（2）的条件下，AB∥CD，AN平分∠MAC，FN平分∠MFC，AN与FN交于点N. 若∠CAN＝25°，∠ANF＝∠AEG，∠MGE＝2∠CAN＋3∠MEG，求∠MFC的度数.解：（3） ∵ AN平分∠MAC，∠CAN＝25°，∴ ∠MAC＝2∠CAN＝50°.设∠MEG＝x.∴ ∠MGE＝2∠CAN＋3∠MEG＝50°＋3x.∴ ∠AGE＝180°－∠MGE＝180°－（50°＋3x）＝130°－3x.∵ 在（2）的条件下，∠AGE＝∠MAC＋∠MEG＝50°＋x，∴ 50°＋x＝130°－3x，解得x＝20°.∴ ∠MEG＝20°.设∠MFN＝y.∵ FN平分∠MFC，123456∴ ∠MFC＝2∠MFN＝2y.∵ AB∥CD，∴ ∠AEF＝∠MFC＝2y.∴ ∠AEG＝∠AEF－∠MEG＝2y－20°.∴ ∠ANF＝∠AEG＝2y－20°.∵ AC∥EF，∴ 易得∠ANF＝∠CAN＋∠MFN＝25°＋y，即2y－20°＝25°＋y，解得y＝45°.∴ ∠MFC＝2y＝90°.123456类型三 整体思想5. 如图，AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点E，F，且满足∠BEP＝ ∠BEF，∠DFP＝ ∠DFE，则∠P的度数为（ B ）A. B. C. D.（第5题）B1234566. （2025·哈尔滨香坊期末）【问题情境】 数学课上，老师组织同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动.已知直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是AB与CD之间任意一点，连接EF，GF. 直线l∥FG，分别交AB，CD于M，N两点.【探索发现】（1） 如图①，求证：∠BMN＝∠FGC.123456【深入探究】解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠BMN＝∠CNM. ∵ 直线l∥FG，∴ ∠FGC＝∠CNM.∴ ∠BMN＝∠FGC.（2） 如图①，求证：∠EFG＝∠BMN＋∠MEF.【拓广探索】解：（2） 如图①，过点F作FH∥AB. ∵ AB∥CD，∴ AB∥CD∥FH. ∴ ∠MEF＝∠EFH，∠FGC＝∠GFH. 由（1），知∠BMN＝∠FGC，∴ ∠BMN＝∠GFH.∴ ∠EFG＝∠GFH＋∠EFH＝∠BMN＋∠MEF.123456（3） 如图②，ER平分∠FEB，GR平分∠FGD，过点F作FG的垂线交CD于点H，连接MH，若∠HMN＝ ∠ERG，∠FHD－∠AEF＝30°，求∠HMN的度数.解：（3） ∵ ER平分∠FEB，GR平分∠FGD，∴ 设∠BER＝∠FER＝x，∠FGR＝∠DGR＝y.如图②，过点F作FT∥AB，过点R作RS∥AB. ∵ AB∥CD，∴ AB∥CD∥FT∥RS. ∴ ∠ERS＝∠BER＝x，∠GRS＝∠DGR＝y.∴ ∠ERG＝x＋y，∠1＝∠FGH＝180°－2y，∠AEF＝180°－2x.由题意，得∠HFG＝90°，∴ ∠2＝90°－∠1＝90°－（180°－2y）＝2y－90°.∴ ∠FHD＝∠2＝2y－90°.∵ ∠FHD－∠AEF＝30°，∴ 2y－90°－（180°－2x）＝30°.∴ 2x＋2y＝300°.∴ x＋y＝150°.∴ ∠ERG＝x＋y＝150°.∴ ∠HMN＝ ∠ERG＝25°.123456(共16张PPT)7.3 定义、命题、定理第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. （2025·佛山禅城期末）下列命题中，是真命题的为（ A ）A. 同位角相等，两直线平行B. 相等的角是对顶角C. 若a2＝1，则a＝1D. 正数与负数的和一定等于零A123456789102. 下列命题中，是假命题的为（ A ）A. 邻补角相等B. 若a＝－b，则a2＝b2C. 两点之间，线段最短D. 等角的余角相等3. （2025·合肥蜀山期末）为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，下列所举反例有效的是（ A ）A. m＝－2，n＝1 B. m＝2，n＝1C. m＝－1，n＝2 D. m＝－1，n＝－2AA123456789104. 新考法·开放题 （2025·嘉兴期末）要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是 －1（答案不唯一） （写出一个即可）.5. 如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程.小丽添加的条件为∠B＋∠BDG＝180°.请你帮小丽将下面的证明过程补充完整.（第5题）－1（答案不唯一） 12345678910证明：∵ EF∥CD（已知），∴ ∠BEF＝ ∠BCD （ 两直线平行，同位角相等 ）.∵ ∠B＋∠BDG＝180°（已知），∴ BC∥ DG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）.∴ ∠CDG＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）.∴ ∠BEF＝∠CDG（等式的基本事实）.∠BCD 两直线平行，同位角相等DG 同旁内角互补，两直线平行∠BCD 两直线平行，内错角相等（第5题）123456789106. ★有下列命题：① 在同一平面内，已知a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；② 已知a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；③ 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角一定相等.其中，正确的个数为（ A ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3A123456789107. 如图，有下列论断：① AB∥CD；② ∠B＝∠C；③ ∠E＝∠F. 如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构造 3 个真命题.（第7题）3 123456789108. 如图，AB，CD被AE所截，AM，EN被MN所截.有下列条件：① AB∥CD；② AM∥EN；③ ∠BAM＝∠CEN. 请你从其中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题.（1） 请按照“∵ ， ，∴ ”的形式，写出所有正确的命题.解：（1） 命题1：∵ AB∥CD，AM∥EN，∴ ∠BAM＝∠CEN. 命题2：∵ AB∥CD，∠BAM＝∠CEN，∴ AM∥EN. 命题3：∵ AM∥EN，∠BAM＝∠CEN，∴ AB∥CD.（第8题）12345678910（2） 在（1）中所写的命题里选择一个加以证明.解：（2） 选择不唯一，如选择命题1.∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠CEA. ∵ AM∥EN，∴ ∠1＝∠2.∴ ∠BAE－∠1＝∠CEA－∠2，即∠BAM＝∠CEN.（第8题）123456789109. 阅读材料：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），该例子符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角.判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例.（1） 两个负数之差为负数.解：（1） “两个负数之差为负数”是假命题.举例不唯一，如－2－（－3）＝1，1不是负数，∴ “两个负数之差为负数”是假命题.（第9题）12345678910（2） 如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等.解：（2） “如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等”是真命题.（第9题）12345678910（3） 互补的角是同旁内角（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述）.解：（3） “互补的角是同旁内角”是假命题.举例不唯一，如图，∠AOC与∠BOC互补，但它们不是同旁内角.∴ “互补的角是同旁内角”是假命题.（第9题）1234567891010. 新考法·类比探究题 【教材回顾】 如图①所示为人教版数学七年级下册教材第7页，关于同旁内角的定义.12345678910【类比探究】 （1） 如图②，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫作同旁外角.请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来.（2） 如图③，直线a∥b，当∠1＝145°时，∠2＝ 35° .解：（1） 如图①，∠3与∠4互为同旁外角.35° 12345678910（3） 如图④，∠1＋∠2＝180°，求证：a∥b，并归纳出一个真命题（用文字叙述）.解：（3） ∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，∴ ∠2＝∠3.∴ a∥b.归纳出一个真命题为同旁外角互补，两直线平行.12345678910(共16张PPT)7.1 相 交 线第1课时 两条直线相交第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. （2025·三明永安期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，∠2＝110°，则∠AOC的度数是（ A ）A. 85° B. 95° C. 105° D. 110°A12345678910111213142. （2025·绥化期末）下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（ C ）3. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则图中对顶角共有（ D ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对CD12345678910111213144. （2024·重庆期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，则∠AOE的度数为 138° .5. 已知∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4.若∠4＝55°，则∠1的度数为 145° .138° 145° 12345678910111213146. （2025·保山腾冲期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分.（1） 图中∠AOC的对顶角为 ∠BOD ，∠BOE的邻补角为 ∠AOE .（2） 若∠AOC＝80°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数.（第6题）∠BOD ∠AOE 解：因为∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝80°，所以∠BOD＝80°，∠AOD＝180°－∠AOC＝100°.因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，所以设∠BOE＝2x，∠EOD＝3x.所以∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝2x＋3x＝80°，解得x＝16°.所以∠EOD＝48°.所以∠AOE＝∠AOD＋∠EOD＝148°.12345678910111213147. 平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为m，最多为n，则m＋n的值为（ C ）A. 16 B. 18 C. 29 D. 28C12345678910111213148. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG. 有下列结论：① 当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；② OD为∠EOG的平分线；③ 与∠BOD相等的角有3个（不含∠BOD）；④ ∠COG＝∠AOB－2∠EOF. 其中，正确的结论有（ B ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个B12345678910111213149. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是（2x－10）°和（110－x）°，则x的值为 40或80 .10. （2025·资阳雁江期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，若∠1＝94.3°，∠2＝31°24'，则∠BOE的余角的度数为 35.7 °.（第10题）40或80 35.7 123456789101112131411. 如图，直线AB和CD相交于点O，如果∠COE＝90°，OE平分∠BOF，∠EOF＝25°，那么∠AOC的度数是 65° .65° 123456789101112131412. 如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：① ∠AOC与∠COE互为余角；② ∠AOC＝∠BOD；③ ∠AOC＝∠COE；④ ∠COE与∠DOE互为补角；⑤ ∠AOC与∠DOE互为补角；⑥ ∠BOD与∠COE互为余角.其中，错误的有 ③⑤ （填序号）.③⑤ 123456789101112131413. （2025·驻马店上蔡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE.（1） 写出∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由.解：（1） ∠AOC＝∠BOD. 理由：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以根据对顶角相等，可得∠AOC＝∠BOD.（第13题）1234567891011121314（2） 若∠COF＝34°26'，求∠BOD的度数.解：（2） 因为∠COE＝90°，∠COF＝34°26'，所以∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－34°26'＝55°34'.因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF＝55°34'.所以∠AOC＝∠AOF－∠COF＝55°34'－34°26'＝21°8'.所以∠BOD＝∠AOC＝21°8'.（第13题）123456789101112131414. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能有多少个交点，最多能把平面分成几个部分，我们从最简单的情形入手（如图），列表如下：直线的条数 最多交点的个数 把平面最多分成的部分个数1 0 22 1 43 3 7… … …1234567891011121314（1） 当直线的条数为5时，最多交点的个数为 10 ，可写成和的形式为 1＋2＋3＋4 ；把平面最多分成的部分个数为 16 ，可写成和的形式为 1＋1＋2＋3＋4＋5 .（2） 当直线的条数为10时，最多有 45 个交点，最多把平面分成 56 个部分.10 1＋2＋3＋4 16 1＋1＋2＋3＋4＋5 45 56 1234567891011121314（3） 当直线的条数为n时，最多有多少个交点？最多把平面分成多少个部分？解：当直线的条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋（n－1）＝ 个交点，最多把平面分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝ 个部分.1234567891011121314(共17张PPT)专题特训一 平行线中的“拐点”问题第七章 相交线与平行线类型一 “铅笔头”模型1.（2024·南充期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点M在两条平行线之间，∠AEM与∠CFM的平分线交于点N. 若∠EMF＝n°，则∠ENF的度数为（ A ）A. ° B. （2n）°C. ° D. （180－2n）° A1234567892. （2024·杭州萧山期中）如图，AB∥CD，PG平分∠FPE，∠CFP＋∠FPH＝180°.有下列结论：① CD∥PH；② ∠BEP＋∠DFP＝2∠EPG；③ ∠FPH＝∠GPH；④ ∠A＋∠AGP＋∠DFP－∠FPG＝180°；⑤ 若∠BEP＞∠DFP，则 ＝2.其中，正确的结论是 ①②④⑤ （填序号）.①②④⑤ 1234567893. （2025·平顶山汝州期末）（1） 如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度数.解：（1） 如图①，过点P作PH∥AB.∴ ∠BAP＋∠APH＝180°.∴ ∠APH＝180°－∠BAP＝180°－130°＝50°.∵ AB∥CD，PH∥AB，∴ CD∥PH. ∴ ∠PCD＋∠HPC＝180°.∴ ∠HPC＝180°－∠PCD＝180°－120°＝60°.∴ ∠APC＝∠HPC＋∠APH＝60°＋50°＝110°.123456789（2） 如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.解：（2） ∠CDP＝∠α＋∠β.理由：如图②，过点P作EF∥AD. ∴ ∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF. ∵ EF∥AD，AD∥BC，∴ EF∥BC. ∴ ∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β.∴ ∠CPD＝∠DPF＋∠CPF＝∠α＋∠β.123456789解：（3） ① 当点P在点A的左侧时，如图③.过点P作PE∥AD交ON于点E，则PE∥AD∥BC. ∴ ∠EPC＝∠BCP＝∠β，∠EPD＝∠ADP＝∠α.∴ ∠CPD＝∠EPC－∠EPD＝∠β－∠α.② 当点P在点B的右侧时，如图④.过点P作PE∥AD交ON于点E，则PE∥BC∥AD. ∴ ∠DPE＝∠ADP＝∠α，∠CPE＝∠BCP＝∠β.∴ ∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系是∠CPD＝∠β－∠α或∠CPD＝∠α－∠β.（3） 在（2）的条件下，当点P在A，B两点外侧运动时（点P与A，B，O三点不重合），请你写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系.123456789类型二 “锯齿拐点”模型4. ★如图，若AB∥CD，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（ D ）A. ∠1＋∠2＋∠3B. ∠2＋∠3－∠1C. 180°＋∠1＋∠2－∠3D. 180°＋∠2－∠1－∠3 D1234567895. （2024·宁波慈溪期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M. 若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为 32° .32° 123456789类型三 “脚掌”模型6. 小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，AB∥CD，∠A＝80°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是 40° .（第6题）40° 123456789类型四 “飞鹤”模型7. 如图，AB∥CD∥EF，则下列等式中，正确的是（ D ）A. ∠1＋∠2＋∠3＝180°B. ∠1＋∠2＝180°＋∠3C. ∠1＋∠3＝180°＋∠2D. ∠2＋∠3＝180°＋∠1（第7题）D123456789类型五 “蛇”模型8. （2024·武汉期末）【猜想】 如图①，AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接BE，ED，若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BED的度数为 65° .65° 123456789【探究】 如图②，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠B，∠BEC，∠C（均为小于180°的角）之间的数量关系，并说明理由.解：【探究】 ∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由：如图②，过点E作EN∥AB.∵ AB∥CD，∴ AB∥EN∥CD. ∴ ∠B＋∠BEN＝180°，∠CEN＝∠C. ∴ ∠B＋∠BEN＋∠CEN＝180°＋∠C. ∵ ∠BEC＝∠BEN＋∠CEN，∴ ∠B＋∠BEC＝180°＋∠C，即∠B＋∠BEC－∠C＝180°.123456789【拓展】 如图③，AB∥CD∥EK，∠ABE的平分线BF与∠ECD的平分线CG的反向延长线交于点F，且∠BFC－2∠BEC＝57°，求∠BEC的度数.123456789【拓展】 如图③，过点F作FH∥AB，则易得AB∥FH∥CD∥EK. 同（2），可得∠BFC＋∠FCD－∠ABF＝180°，∵ AB∥FH∥CD∥EK，∴ ∠ABE＝∠BEK＝∠BEC＋∠KEC，∠KEC＋∠ECD＝180°.∴ ∠ECD＝180°－∠KEC. ∵ BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，∴ ∠ABF＝ ∠ABE＝ （∠BEC＋∠KEC），∠DCG＝ ∠ECD. ∴ ∠FCD＝180°－∠DCG＝180°－ ∠ECD＝180°－ （180°－∠KEC）＝180°－90°＋ ∠KEC＝90°＋ ∠KEC. ∴ ∠BFC＋∠FCD－∠ABF＝∠BFC＋90°＋ ∠KEC－ （∠BEC＋∠KEC）＝180°，即∠BFC－ ∠BEC＝90°.又∵ ∠BFC－2∠BEC＝57°，∴ ∠BFC＝2∠BEC＋57°.∴ 2∠BEC＋57°－ ∠BEC＝90°.∴ ∠BEC＝22°.1234567899. 已知AB∥CD.（1） 如图①，求证：∠ABE＋∠DCE－∠BEC＝180°.解：（1） 如图①，过点E作EF∥AB. ∵ AB∥CD，∴ CD∥EF. ∴ ∠ABE＝∠BEF，∠DCE＋∠CEF＝180°.∵ ∠CEF＝∠BEF－∠BEC＝∠ABE－∠BEC，∴ ∠DCE＋∠ABE－∠BEC＝180°，即∠ABE＋∠DCE－∠BEC＝180°.123456789（2） 如图②，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于点F.解：（2） ① ∵ BF∥CE，∴ ∠FBE＝∠BEC＝26°.∵ BF平分∠ABE，∴ ∠ABF＝∠FBE＝26°，∠ABE＝2∠FBE＝52°.由（1），得∠DCE＝180°－∠ABE＋∠BEC＝180°－52°＋26°＝154°.∵ CG平分∠DCE，∴ ∠DCG＝ ∠DCE＝77°.如图②，过点F作FN∥AB. ∵ AB∥CD，∴ FN∥CD. ∴ ∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°.∴ ∠BFC＝∠BFN＋∠NFC＝103°.123456789① 若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC的度数.② 若∠BFC－∠BEC＝74°，则∠BEC＝ 32° .32° 123456789(共16张PPT)7.1 相 交 线第3课时 两条直线被第三条直线所截第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. （2025·扬州高邮期末）下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（ B ） 2. （2025·洛阳伊川期末）如图，下列说法中，不正确的是（ C ）A. ∠1和∠3是同旁内角B. ∠2和∠3是内错角C. ∠2和∠4是同位角D. ∠3和∠5是对顶角BC1234567891011123. ★（2024·德州期中）如图，有下列说法：① 能与∠DEF构成内错角的角有2个；② 能与∠BFE构成同位角的角有2个；③ 能与∠C构成同旁内角的角有4个.其中，正确的是 ① （填序号）.① 1234567891011124. 如图，在三角形ACB中，E是边AC上的点，F，D是边AB上的点，G是边BC上的点，连接EF，CD，DG. 请写出∠2的内错角，∠AEF的同位角，∠1的同旁内角.（第4题）解：∠2的内错角是∠ACD，∠DGB. ∠AEF的同位角是∠ACB，∠ACD. ∠1的同旁内角是∠EFD，∠ECD，∠ECB.1234567891011125. （2024·徐州邳州期中）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，下列说法中，正确的是（ D ）A. ∠3与∠4是同旁内角B. ∠2与∠5是同位角C. ∠6与∠1是内错角D. ∠2与∠6是同旁内角 D1234567891011126. （2025·泉州洛江期末）如图，与∠C构成同旁内角的角共有 （ D ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个D1234567891011127. 如图，有下列判断：① ∠1与∠2是对顶角；② ∠6与∠4是同位角；③ ∠5与∠6是同旁内角；④ ∠4与∠3是同旁内角.其中，错误的个数为（ A ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A1234567891011128. 如图，在用数字表示的角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则ab－c＝ 9 .9 1234567891011129. 转化思想 我们常会把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简.这是一种常见的数学解题思想.（1） 如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 2 对同旁内角.（2） 如图②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有 6 对同旁内角.（3） 平面内四条直线两两相交，最多可以形成 24 对同旁内角.2 6 24 123456789101112（4） 平面内n条直线两两相交，最多可以形成 n（n－1）（n－2） 对同旁内角.n（n－1）（n－2） 12345678910111210. 两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角.（1） 画出示意图，标出∠1，∠2，∠3.解：（1） 画法不唯一，如图所示.（2） 若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数.解：（2） 因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，所以设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x.因为∠1＋∠3＝180°，所以4x＋x＝180°，解得x＝36°.所以∠3＝36°，∠2＝2x＝72°，∠1＝4x＝144°.（第10题答案）12345678910111211. 如图，在三角形ABC所在平面内画一条直线，使得与∠C成同旁内角的角有3个.若与∠C成同旁内角的角有4个，则该怎样画这条直线？解：如图①，与∠C成同旁内角的角有3个，分别为∠CED，∠B，∠A；如图②，与∠C成同旁内角的角有4个，分别为∠CFG，∠B，∠CGF，∠A.12345678910111212. 如图所示为一个“跳棋棋盘”，其游戏规则如下：一枚棋子从某一个起始位置经过若干步跳动后，到达终点位置.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上（棋子的落点在相应角的顶点处），如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径如下：路径1：∠1 ∠9 ∠3.路径2：∠1 ∠12∠6 ∠10 ∠3.……123456789101112（1） 写出一条从∠1到∠8途经一个角的路径.解：（1） 答案不唯一，如∠1 ∠9 ∠8.（第12题）（2） 从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8？解：（2） 能.∠1 ∠10 ∠5 ∠8.123456789101112（3） 找出一条从起始位置∠1跳到终点位置∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复.解：（3） 答案不唯一，如∠1 ∠9 ∠2 ∠10 ∠3 ∠4 ∠11 ∠5 ∠6 ∠12 ∠7 ∠8.（第12题）123456789101112(共19张PPT)7.2 平 行 线第3课时 平行线的性质第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. （2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（ C ）A. 16° B. 30° C. 38° D. 76°C12345678910112. （2025·扬州）如图，平行于主光轴PQ的光AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G. 若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ C ）A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°C12345678910113. 如图，一束光AB先后经平面镜OM，ON反射后（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角），反射光线CD与AB平行，则当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ A ）A. 55° B. 70° C. 60° D. 35°A12345678910114. 如图，AB∥CD∥EF，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为 ∠1＋∠2＝∠3 .∠1＋∠2＝∠3 12345678910115. 如图，EF∥CD，GD∥CA，∠1＝140°.（1） 求∠2的度数.解：（1） ∵ EF∥CD，∴ ∠1＋∠ACD＝180°.∵ ∠1＝140°，∴ ∠ACD＝40°.∵ GD∥CA，∴ ∠2＝∠ACD＝40°.（第5题）（2） 若DG平分∠CDB，求∠A的度数.解：（2） ∵ DG平分∠CDB，∠2＝40°，∴ ∠BDG＝∠2＝40°.∵ GD∥CA，∴ ∠A＝∠BDG＝40°.12345678910116. （2025·包头青山期末）如图，若AB∥CD，则α，β，γ之间的关系为（ C ）A. α＋β＋γ＝360° B. α－β＋γ＝180°C. α＋β－γ＝180° D. α＋β＋γ＝180° C12345678910117. （2024·汕头模拟）如图所示为一盏可调节台灯的示意图，支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC分别是可绕点A，B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转来调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA. 若∠BAO＝158°，则∠DCE的度数为（ B ）A. 58° B. 68° C. 32° D. 22°B12345678910118. （2024·天津期末）如图，MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD∶∠DBN＝3∶2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE∶∠ECP＝3∶2，设∠A＝α，则∠E的度数为 72°＋ α （用含α的式子表示）.72°＋ α 12345678910119. （2024·武汉期末）如图，AB∥CD，∠ABM的平分线BP交∠HCD的平分线CQ的反向延长线于点P，PC交MH于点E，BP的反向延长线交CD于点N. 若∠HCD－2∠BNC＝24°，则∠P＋∠H＝ 36° .36° 123456789101110. 如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD.（1） 若∠O＝50°，求∠BCD的度数.解：（1） ∵ AB∥ON，∴ ∠O＝∠MCB. ∵ ∠O＝50°，∴ ∠MCB＝50°.∵ ∠ACM＋∠MCB＝180°，∴ ∠ACM＝180°－50°＝130°.又∵ CD平分∠ACM，∴ ∠DCM＝ ∠ACM＝65°.∴ ∠BCD＝∠DCM＋∠MCB＝65°＋50°＝115°.（第10题）1234567891011（2） 试说明：CE平分∠OCA.解：（2） ∵ CE⊥CD，∴ ∠DCE＝90°.∴ ∠ACE＋∠DCA＝90°.又∵ ∠MCO＝180°，∴ ∠ECO＋∠DCM＝90°.∵ CD平分∠ACM，∴ ∠DCA＝∠DCM. ∴ ∠ACE＝∠ECO.∴ CE平分∠OCA. （第10题）1234567891011解：（3） 当∠O＝36°或∠O＝90°时，CA将∠OCD分成度数之比为1∶2的两部分.理由：① 当∠O＝36°时，∵ AB∥ON，∴ ∠ACO＝∠O＝36°.∴ ∠ACM＝180°－∠ACO＝144°.又∵ CD平分∠ACM，∴ ∠ACD＝ ∠ACM＝72°.∴ ∠ACO＝ ∠ACD，即CA将∠OCD分成度数之比为1∶2的两部分.② 当∠O＝90°时，∵ AB∥ON，∴ ∠ACO＝∠O＝90°.∴ ∠ACM＝180°－∠ACO＝90°.又∵ CD平分∠ACM，∴ ∠ACD＝ ∠ACM＝45°.∴ ∠ACD＝ ∠ACO，即CA将∠OCD分成度数之比为1∶2的两部分.综上所述，当∠O＝36°或∠O＝90°时，CA将∠OCD分成度数之比为1∶2的两部分.（第10题）（3） 当∠O的度数为多少时，CA将∠OCD分成度数之比为1∶2的两部分？请说明理由.123456789101111. （2025·泉州惠安期末）如图①，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°.（1） 试说明：∠BAG＝∠BGA.解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠GAD＝∠BGA. ∵ AG平分∠BAD，∴ ∠BAG＝∠GAD. ∴ ∠BAG＝∠BGA. 1234567891011（2） 如图②，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG－∠F＝45°，试说明：CF平分∠BCD.解：（2） ∵ ∠BGA＝180°－∠AGC＝180°－（180°－∠F－∠BCF）＝∠F＋∠BCF，∴ ∠BGA－∠F＝∠BCF. ∵ ∠BAG＝∠BGA，∴ ∠BAG－∠F＝∠BCF＝45°.∵ ∠BCD＝90°，∴ ∠BCF＝∠DCF＝45°.∴ CF平分∠BCD. 1234567891011（3） 如图③，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG交AD于点H. 若在直线AG上取一点M，连接BM，使∠PBM＝∠DCH，求 的值. 1234567891011解：（3） 设∠ABC＝4x.∵ AD∥BC，∴ ∠ABC＋∠BAD＝180°.∴ ∠BAD＝180°－4x.∵ AG平分∠BAD，∴ ∠BAG＝∠GAD＝ （180°－4x）＝90°－2x.由（1），得∠BAG＝∠BGA，∴ ∠BGA＝90°－2x.∵ ∠ABP＝3∠PBG，∴ ∠ABP＝3x，∠PBG＝x.∵ AG∥CH，∴ ∠BCH＝∠BGA＝90°－2x.∵ ∠BCD＝90°，∴ ∠DCH＝∠PBM＝90°－（90°－2x）＝2x.分两种情况讨论：① 当点M在BP的下方时，如图①，∠ABM＝∠ABP＋∠PBM＝3x＋2x＝5x，∠GBM＝∠PBM－∠PBG＝2x－x＝x.∴ ＝ ＝5.② 当点M在BP的上方时，如图②，同理，得∠ABM＝∠ABP－∠PBM＝3x－2x＝x，∠GBM＝∠PBM＋∠PBG＝2x＋x＝3x.∴ ＝ ＝ .综上所述， 的值是5或 .12345678910111234567891011(共17张PPT)7.1 相 交 线第2课时 两条直线垂直第七章 相交线与平行线01基础进阶02素能攀升03思维拓展目录1. 易错题 （2025·长春期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和公路AM，BM，AN，BN. 小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ C ）A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短C. 垂线段最短D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C1234567891011122. 如图，OC是∠BOD的平分线，OD⊥OA，∠BOC＝32°，则∠AOC的度数为（ A ）A. 58° B. 64° C. 26° D. 68° A1234567891011123. （2025·绍兴嵊州期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，CD⊥AB，垂足为D，则点A到BC的距离是线段 AC 的长.AC 1234567891011124. （2025·龙岩漳平期末）如图，OB⊥OD，∠COB＝20°，若OD平分∠AOC，求∠AOB的度数.（第4题）解：因为OB⊥OD，所以∠DOB＝90°.因为∠COB＝20°，所以∠DOC＝∠DOB－∠COB＝70°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠DOC＝140°.所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝160°.1234567891011125. （2024·河南期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O. 若∠EOD＝155°，则∠AOC的度数为（ B ）A. 35° B. 65° C. 55° D. 25° B1234567891011126. 有下列条件：① 两直线相交所成的四个角都是直角；② 两直线相交，对顶角互补；③ 两直线相交所成的四个角都相等.其中，可以判断两条直线互相垂直的是（ D ）A. 只有①② B. 只有①③C. 只有②③ D. ①②③D1234567891011127. （2024·郑州期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O. 若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（ A ）A. 112.5° B. 115°C. 117.5° D. 125°A1234567891011128. （2025·宁波镇海期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O. 若∠BOD∶∠BOC＝2∶7，则∠AOE的度数为 130° .130° 1234567891011129. （2024·岳阳期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，∠BOD＝∠FOD，过点O作OG⊥AB. 若∠FOG∶∠AOE＝2∶3，则∠COG的度数为 112.5° .112.5° 12345678910111210. 易错题 如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°.将射线OM绕点O旋转一周，当OM与OC互相垂直时，∠AOM的度数是 135° 或.135°或45° 12345678910111211. （2025·长沙期末）如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB的上方，且OC⊥OD.（1） 若∠BOD＝26°，且OM在∠COD的内部，∠DOM与∠BOD互余，则∠DOM＝ 64° ，∠AOM＝ 90° .（2） 若OE恰好平分∠AOC，且∠COE与∠AOD互补，求∠BOD的度数.（第11题）64° 90° 123456789101112解：如图②，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠COE＝ ∠AOC. 因为∠COE与∠AOD互补，所以∠COE＋∠AOD＝180°.因为∠BOD＋∠AOD＝180°，所以∠COE＝∠BOD. 因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°.所以∠AOC＋∠BOD＝90°.所以∠BOD＝ （∠AOC＋∠BOD）＝ ×90°＝30°.12345678910111212. 新考法·新定义题 （2025·合肥期末）阅读理解：从∠α（90°＜∠α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“分补线”.如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，射线OE是∠BOC的“分补线”.（1） 若∠AOC＝32°，且OE在∠COD的内部，则∠COE＝ 32° ，∠DOE＝ 58° .32° 58° （第12题）123456789101112（2） 若OE平分∠AOD，求∠BOD的度数.解：（2） 如图②，因为OE是∠BOC 的“分补线”，所以∠COE＋∠BOC＝180°.因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠COE＝∠AOC. 所以∠AOE＝2∠COE. 因为OE平分∠AOD，所以∠DOE＝∠AOE＝2∠COE. 因为∠COE＋∠DOE＝90°，所以∠COE＝30°.所以∠AOC＝30°.所以∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝60°.123456789101112（3） 若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，请直接写出∠EOF与∠COG的数量关系： ∠EOF＋∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG .（第12题）∠EOF＋∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG 123456789101112 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.3 定义、命题、定理.pptx 7.4 平 移.pptx 专题特训一 平行线中的“拐点”问题.pptx 专题特训二 “相交线与平行线”中的数学思想.pptx 第七章整合拔尖.pptx 第1课时 两条直线相交.pptx 第2课时 两条直线垂直.pptx 第3课时 两条直线被第三条直线所截.pptx 第1课时 平行线的概念.pptx 第2课时 平行线的判定.pptx 第3课时 平行线的性质.pptx 第4课时 平行线的判定与性质的综合应用.pptx
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