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二次函数的图像与性质 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
3．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图，二次函数的图象的顶点与的点C重合，且经过点A，与交于点D，点B与点C的横坐标相同．若，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7
9．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”．
①点是一次函数的“2倍值点”；
②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则；
③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”；
④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ）
A．① B．①④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
10．抛物线的对称轴为直线________．
11．若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________．
12．抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为是______．（用“”连接）
13．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
14．已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为______；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______．
15．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，，两点均在抛物线上．
(1)若为抛物线的顶点．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）若直线经过，两点，且．求的值；
(2)已知抛物线经过点，若，，且，试比较，的大小，并说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在第一象限内，．现将矩形纸片折叠，使得点的对应点恰好在轴上，折痕为过点作∥轴交于点，抛物线经过点，关于轴对称，与轴的正半轴交于点，与轴交于点．
(1)的长为_____，的长为_____，折痕所在直线的解析式为____；
(2)求抛物线的函数解析式；
(3)设以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，（在的上方)，与抛物线除点外的交点为，请求出四边形的面积．
18．已知二次函数与二次函数交于点．
(1)求，的值；
(2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当点在两点间的曲线上运动时，求线段的最大值；
(3)设，当时．
请从下列两个问题中任选一个作答：
①若的最大值为，求的值；
②求的最大值．
19．已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为．
(1)当时，求的值；
(2)当时，点在该函数图象上，且，求整数的值；
(3)若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围．
20．已知二次函数，其中a，b为常数．
(1)当，时，求该函数的顶点坐标．
(2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为．
①求二次函数解析式；
②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值．
21．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
22．在平面直角坐标系中，把函数（a、b为常数）的图象记为G．
(1)当时，G与x轴只有一个交点，求a的值．
(2)①设，若点在G上，则点必在G上，且G过点，求G的函数表达式．
②点、是①中函数图象上的两点，若，求m的取值范围．
(3)矩形四个顶点的坐标分别为、、、，当时，函数的图象在矩形内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C C A A B C D A
1．A
【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质.
根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，
，，
二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
故选：A
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键．
根据的图象与性质判断即可．
【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线，
故B错误，不符合题意；C正确，符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
当时，，故D错误，不符合题意，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答．
【详解】解：∵抛物线，且，
∴开口方向向上，对称轴为，
∴越靠近对称轴的所对的函数值越小，
则当，，故A、B选项不符合题意；
当，则，故C选项符合题意；
当，则，故D选项不符合题意；
故选：C
4．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，先求出二次函数的顶点坐标，得到，再根据平行四边形的面积求出，代入二次函数解析式即可求出，再求出直线的解析式为，联立，求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象的顶点为，即，
∵点在x轴上，
∴，即，
∵点B与点C的横坐标相同，四边形是平行四边形，且，
∴，，
∴，
∵二次函数的图象的顶点经过点A，
∴，即，
∴，即，
∴，则，
∴，二次函数的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，则，
解得：或（舍去），
∴，则，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可得到，即可解答．
【详解】解：在正方形中，，点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设（），，则，
∴，
∴，
∵，且，
∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为的抛物线，故选项A符合题意，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键．
选项A∶ 二次函数最小值为 1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立．
【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误；
选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：，
若，则，
将代入一次函数方程，
，故选项B正确；
选项C：条件即，
由一次函数方程，解得：，
当时，，即与符号相反：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项C错误；
选项D：条件即，
同理，由，得，即与符号相同：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项D错误；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解．
【详解】解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上，
点，到对称轴的距离分别为，，
，
，
解得：，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点，
∴，
∴，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴为直线
∴，
∴，
则二次函数，且
∴开口向上，对称轴为直线，
∴在时，最小值，
把代入，
得，
∴该二次函数有最小值7，
故选：D
9．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解．
【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”，
．
又，
点是一次函数的“2倍值点”，故①正确．
对于②，由题意， “2倍值点”的，
．
联立方程组，
．
二次函数存在唯一的“2倍值点”，
．
或，②错误．
对于③，联立方程组，
．
．
为正整数，
．
反比例函数总存在二个的“倍值点”．
设其中一点为，另一个点为，
．
这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误．
对于④，联立方程组，
．
函数的“倍点”为．
点与点的距离为．
又当时，
．即，
又为正整数，
不合题意，故④错误．
故选：A．
10．1
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线．
11．
【分析】根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可．
【详解】解：对函数解析式配方得．
∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆，
∴礼炮引爆的时间为．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据，，得出，对称轴直线在和之间，然后通过开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，对称轴在和之间，
∵，，
∴点到对称轴的距离为：，在和之间；
点到对称轴的距离为：，在和之间；
点到对称轴的距离为：，在和之间；
∵，
∴开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∴，
∴，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时,
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或
14． 1
【分析】（1）根据题意是方程的两个根，且，，得到，结合，得到，因式分解即可；
（2）根据题意，得，一定是抛物线的顶点，得到，，，故，得，从而得到，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点坐标应用，抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，因式分解，完全平方公式应用，熟练掌握抛物线性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】（1）∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
∴是方程的两个根，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
∵函数的图象与轴仅有一个交点，
∴一定是抛物线的顶点，
∴，，
∴，，
∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
∴是方程的两个根，且，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：1．
15．4
【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．
【详解】解：如图：
设点，，
则：直线的表达式为：，
直线的表达式为：，
直线的表达式为：，
，
过点分别作轴垂线，交轴于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
则直线的表达式为：，
直线必过点，
当与轴平行时，边上的高有最大值，为．
16．(1)（ⅰ）的最大值为，（ⅱ）
(2)，理由见解析
【分析】（1）（ⅰ）将二次函数的解析式化为顶点式即可得出，再结合二次函数的性质即可得出结果；（ⅱ）求出也在抛物线上，代入二次函数求出的值，从而得出点的坐标，即可得出结果；
（2）求出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可得出结果．
【详解】（1）解：（ⅰ），
，
的最大值为；
（ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数图象的顶点为，
∵直线经过，两点，且其表达式过原点，
∴点，，三点共线，
∵，
，关于点对称，
也在抛物线上，
，
解得，
点的坐标为或，
，且直线经过，两点，
；
（2）解：，理由如下：
∵抛物线经过点，
，
，
，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且、的中点，又，
∴离对称轴的距离更远
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
17．(1)；；；
(2)；
(3)
【分析】本题考查矩形的折叠性质、勾股定理、一次函数解析式求解、二次函数的图象与性质等知识，关键是利用折叠的性质结合勾股定理求线段长度，利用函数对称性确定参数，再通过距离公式求交点距离计算面积．
（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理求，进而得；再在中设，用勾股定理列方程求解的长，然后根据、两点坐标求的解析式；
（2）根据抛物线关于轴对称确定，再由轴得点横坐标为，代入解析式求点坐标，代入抛物线解析式求，从而得抛物线解析式；
（3）先求的长度得到圆的半径，求出，然后结合四边形的对称性，求出的面积即可得到边形的面积．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，；
由折叠性质知，，
在中，，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，即；
∴点纵坐标为，即，
设所在直线的解析式为，
代入得，解得，
∴的解析式为；
故答案为：；；．
（2）解：∵抛物线关于轴对称，
∴抛物线解析式为；
由，轴，
∴点横坐标为，
将代入的解析式得，即，
将代入抛物线解析式得，解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：∵，
∴，
∴以为圆心，为半径的圆的半径为，
∴．
∵点为圆心，为半径的圆与抛物线的交点分别为，，
∴四边形关于轴对称，
∴．
答：四边形的面积为．
18．(1)，
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．
(1)把点代入中得，求出，再把点代入中，求出，即可解答；
（2）设，，得到，则当时，取最大值，即可解答；
（3）①分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可；②分类讨论：（ⅰ）若时，（ⅱ）若时，逐项分析求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中得：，
解得：
把点代入中得：
解得；
（2）解：由题意可知点M在上，点N在上
设，
∴
，
∵
∴当时，取最大值．
即：线段的最大值为．
（3）解：①（ⅰ）若时，，
∵时，y随x的增大而减小
∴当时，取得最大值
即
解得：（不符合题意，舍去），，
（ⅱ）若时，，
当时，
当时，，
∴
令
当时，的最小值为，
∴
∴时，y随x的增大而减小．当取得最大值，
∴
解得（不符合题意，舍去）
综上所述：
时，t的值为，，t的值
②（ⅰ）若时，，
∵y随x的增大而减小
∴当时，取得最大值，
（ⅱ）若时，，
当
当时，，
∴
令
时，的最小值为
∴
∴最大值在的图象上取得．
∴当时，，
当
∵y随x的增大而减小
取得最大值，
综上所述：的最大值为．
19．(1)
(2)整数的值为，，，
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题．
（1）将，代入解析式，即可求解；
（2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与轴交点坐标为，得出，进而求得的取值范围；
（3）根据题意可得，根据函数图象的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围．
【详解】（1）解：当时，二次函数．
∵函数与y轴交于点，
∴，
（2）解：当时，二次函数，
已知点在该函数图像上，则，
∵，
∴，
解得．
∵，
∴，
即．
∵函数与y轴交点坐标为，
当时，．
∵，
∴，
则，
即，
所以整数的值为，，，；
（3）解：∵函数与y轴交点坐标为，
将代入，得．
当时，，
该函数图象的顶点坐标，
∴，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴，即
20．(1)该函数的顶点坐标为
(2)①；②
【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解；
②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中，
得，
所以该函数的顶点坐标为；
（2）解：①把代入中，
得，
所以对称轴为直线，
把代入中，得，
∵函数的最小值为，且二次项系数，
∴，
解得，
又因为对称轴在之间，
即
则，
故，
∴二次函数解析式为；
②由①知，
∴对称轴为直线，
∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴点B，C的纵坐标均为t，
设B的横坐标为，C的横坐标为，
∵B，C关于直线对称，
∴，
∴，
∵点B为线段的中点，
∴，即，
∴，
∴，
将代入，
得，
∴．
21．(1)对称轴为
(2)①；②，
【分析】（1）把点代入抛物线，得出，即可求解；
（2）①把点和点分别代入和中，得出再比较大小，即可求解；
②根据得出，因为是一个与无关的定值，得出，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，
∴，
∴抛物线的对称轴为．
（2）①当时，则，
把点和点分别代入和中，．
∵，
∴，
∴，．
∴．
②∵，
∴，即，
∴，
∴．即．
∵是一个与无关的定值，
∴，即．
∴
22．(1)或
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）分类讨论及两种情况，其中时，方程满足题意；
（2）①由A，B两点坐标可得对称轴为直线，即可得出a，b的关系，再将点C坐标代入求解；
②图象开口向上，根据抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大求解，再由得，解方程即可；
（3）b从小到大结合图象与图形交点情况画图求解．
【详解】（1）解：当时，，
①当时，一次函数与x轴只有一个交点．
②若，由抛物线与x轴只有一个交点可得：
中，即，
解得．
∴或；
（2）解：①∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
将点代入得：，
解得，
∴；
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大，
若，则，
解得；
（3）解：图象，开口向下，
对称轴为直线，与所在直线交点坐标为，与所在直线交点坐标为，
当时，如图1，抛物线经过点时，
解得；
b增大满足题意，时抛物线顶点落在上，如图2，
∴满足题意；
b增大，抛物线对称轴在右侧，当抛物线过点时，，
解得；
如图3，
b增大，抛物线经过点时，，
解得，
如图4，
∴满足题意．
综上所述，或．
【点睛】注意通过数形结合方法求解．
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