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专题特训十二　不等式（组）的应用
第十一章　不等式与不等式组
类型一　体积问题
1. 如图，一个容量为400cm3的杯子中装有200cm3的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯子中，总体积变为320cm3，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出.若每颗小玻璃球的体积是acm3，每个小铁块的体积是bcm3，则下列说法中，正确的是（　D　）
A. 320＋4b＜400
B. a＋b＜40
C. 杯子中仅放入6个小铁块，水一定会溢出
D. 杯子中仅放入8个小玻璃球，水一定不会溢出
D
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类型二　流程图问题
2. 某学校的编程课上，一名同学设计了一个如图所示的运算程序.按程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于25”为一次运行.若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 　8.5＜x≤14　.
8.5＜x≤14　
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类型三　行程问题
3. 小明家距离学校2千米.一天中午，小明从家出发时，离规定到校时间只剩15分钟，为了准时到校，他必须加快速度.已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，为了不迟到，小明至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为 　210x＋90（15－x）≥2000　.
210x＋90（15－x）≥2000　
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4. 科学考察队的一辆越野车需要穿越一片沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能行驶600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点P，越野车装满汽油从起点A出发，到储油点P时从车中取出部分汽油放进储油桶，然后返回起点A，加满汽油后再开往点P，到储油点P时取出储存的所有汽油放在车上，再继续行驶.用队长想出的方法，这辆越野车穿越这片沙漠的最大距离是 　800　千米.
800　
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类型四　盈不足问题
5. 某校为组织七年级的234名同学去看电影，租用了某公交公司的几辆公交车.如果每辆车坐30人，那么最后一辆车不空也不满.他们共租了 　8　辆公交车.
6. （2024·雅安期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满.求该班住宿生的人数.
解：设宿舍有x间，则住宿生有（4x＋10）人.根据题意，得 解得5.5≤x≤7.5.∵ x为正整数，∴ x＝6或x＝7.当x＝6时，4x＋10＝34；当x＝7时，4x＋10＝38.∴ 该班住宿生的人数为34或38.
8　
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类型五　方案问题
7. （2025·成都模拟）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比购买1本B种图书多花5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的花费相同.
（1） 求这两种图书的单价.
解：（1） 设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是（x＋5）元.根据题意，得6（x＋5）＝7x，解得x＝30.∴ x＋5＝30＋5＝35.∴ A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元.
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（2） 现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元.请问：有哪几种购买方案？
解：（2） 设购买y本A种图书，则购买（70－y）本B种图书.根据题意，得 解得 ≤y≤25.又∵ y为正整数，∴ y可以为24，25.∴ 共有2种购买方案，方案1：购买24本A种图书、46本B种图书；方案2：购买25本A种图书、45本B种图书.
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8. 某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品40个、乙种纪念品25个，需要1350元；若购进甲种纪念品20个、乙种纪念品30个，需要1200元.
（1） 购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
解：（1） 设购进甲种纪念品每个需要a元，购进乙种纪念品每个需要b元.由题意，得 ∴ ∴ 购进甲种纪念品每个需要15元，购进乙种纪念品每个需要30元.
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（2） 若该商店刚好用了3000元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的3倍，且乙种纪念品的数量大于38个，则该商店有几种进货方案？
解：（2） 设购进甲种纪念品x个，则购进乙种纪念品 个.根据题意，得 解得120≤x＜124.∵ x为正整数，∴ x＝120，121，122，123.当x＝120时， ＝40；当x＝121时， ＝39.5，不是整数，不符合题意，舍去；当x＝122时， ＝39；当x＝123时， ＝38.5，不是整数，不符合题意，舍去.∴ 该商店有2种进货方案.
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（3） 若该商店销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，在（2）的条件下，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
解：（3） ∵ 销售每个甲种纪念品可获利润5元，销售每个乙种纪念品可获利润6元，由（2），可知方案一：购进甲种纪念品120个，购进乙种纪念品40个，则利润为120×5＋40×6＝840（元）；方案二：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，则利润为122×5＋39×6＝844（元）.∵ 840＜844，∴ 方案二：购进甲种纪念品122个，购进乙种纪念品39个，获利最大，最大利润是844元.
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9. 某校为丰富学生大课间活动，计划购买一些篮球、毽子、沙包.体育用品采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据不清楚（如图）.
（1） 请根据发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购买毽子、沙包的数量及对应的金额.
解：（1） 设购买毽子的数量为x个，购买沙包的数量为y个.由题意，得 解得 ∴ 5x＝150，3y＝60.∴ 购买毽子的数量为30个，购买沙包的数量为20个，毽子对应的金额为150.00元，沙包对应的金额为60.00元.
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（2） 若学校要对表现突出的学生给予奖励，打算再次购买毽子、沙包共100个，购买毽子的数量多于43个，且购买两种体育用品的总价不超过390元，请问：有几种购买方案？最低费用为多少元？
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解：（2） 设购买毽子m个，则购买沙包（100－m）个.∵ 购买毽子的数量多于43个，∴ m＞43.由题意，得5m＋3（100－m）≤390，解得m≤45.∴ 43＜m≤45.又∵ m为整数，∴ m＝44，45.∴ 100－m＝56，55.∴ 有2种购买方案：① 购买44个毽子、56个沙包，共花费5×44＋3×56＝388（元）；② 购买45个毽子、55个沙包，共花费5×45＋3×55＝390（元）.∵ 388＜390，∴ 最低费用为388元.
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9(共14张PPT)
11.2　一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式及其解法
第十一章　不等式与不等式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列各式：① x＜5；② x（x－5）＜5；③ ＜5；④ 2x＋1＜5；⑤ a－2＜5；⑥ x≤ .其中，是一元一次不等式的有（　B　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
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2. （2025·福建）不等式 x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　C　）
C
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3. （2024·威海期末）下面是两名同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：“在求解的过程中要改变不等号的方向.”
小强：“求得不等式的最小整数解为x＝－9.”
根据上述对话信息，他们讨论的不等式可能为（　D　）
A. ≥x＋1 B. ≤x＋1
C. ＞x＋1 D. ＜x＋1
D
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4. （2024·芜湖期末）已知关于x的一元一次方程3x－m＝2x＋3的解为负数，则m的取值范围是 　m＜－3　.
5. 已知关于x的一元一次不等式m－ ≤1－x有正数解，则m的值可以是 　答案不唯一，如0　（写出一个即可）.
m＜－3　
答案不
唯一，如0　
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6. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1） 3（x＋2）－9≥－2（x－1）.
解：x≥1.不等式的解集在数轴上的表示如图①所示.
（2） － ≤1.
解：x≥－1.不等式的解集在数轴上的表示如图②所示.
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7. 已知a，b是整数，M＞a＋b－1，M的最小整数值为7，且a－b＞0，则b的正整数解有（　B　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
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8. （2025·泸州）对于任意实数a，b，定义新运算：a※b＝ 给出下列结论：① 8※2＝8；② 若x※3＝6，则x＝6；③ a※b＝（－a）※（－b）；④ 若（2x－4）※2＜5x，则x的取值范围是x＞ .其中，正确结论的个数是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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9. （2025·宁波余姚期末）若定义max{a，b}是a与b中的较大者，例如max{1，3}＝3，max{5，5}＝5.若有y＝max{x＋3，－x＋8}，则y的最小值是 　 　.
10. （2025·宁波镇海期末）若关于x的不等式mx－n＞0的解集是x＜ ，则关于x的不等式（m＋n）x＜n－m的解集为 　x＞－ 　.
11. 若关于x，y的方程组 的解满足x＞2，求m的最大整数值.
解：记 由②－2×①，得4x＝3－5m，即x＝ .∵ x＞2，∴ ＞2.∴ m＜－1.∴ m的最大整数值为－2.
　
x＞－ 　
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12. 已知关于x的两个不等式x＋1＜7－2x与－1＋x＜a.
（1） 若两个不等式的解集相同，求a的值.
解：（1） 解x＋1＜7－2x，得x＜2；解－1＋x＜a，得x＜a＋1.∵ 两个不等式的解集相同，∴ a＋1＝2，解得a＝1.
（2） 若不等式x＋1＜7－2x的解都是－1＋x＜a的解，求a的取值范围.
解：（2） ∵ 不等式x＋1＜7－2x的解都是－1＋x＜a的解，∴ a＋1≥2，解得a≥1.
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13. （2024·资阳雁江期末）（1） 【阅读理解】 “｜a｜”的几何意义：数a在数轴上对应的点到原点的距离.由此可见“｜a｜≥2”可理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“｜a｜＜2”可理解为： 　数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2　；我们定义：形如“｜x｜≤m，｜x｜≥m，｜x｜＜m，｜x｜＞m”（m为非负数）的不等式叫作绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.
数a在数轴上对应的点到
原点的距离小于2　
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【理解应用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.
例如：3｜x｜－1≤｜x｜＋5.
我们将｜x｜作为一个整体，整理得：3｜x｜－｜x｜≤1＋5，｜x｜≤3.
再根据绝对值的几何意义，可得解集为－3≤x≤3.
（2） 仿照上述方法，解下列绝对值不等式：
① 2－｜x｜＜5｜x｜－4.
② ｜3x－1｜＋2＜｜3x－1｜.
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解：① 移项，得－｜x｜－5｜x｜＜－4－2.整理，得｜x｜＞1，根据绝对值的几何意义，得x＞1或x＜－1.∴ 不等式2－｜x｜＜5｜x｜－4的解集为x＞1或x＜－1.② 去分母，得｜3x－1｜＋6＜3｜3x－1｜.移项，得｜3x－1｜－3｜3x－1｜＜－6.整理，得｜3x－1｜＞3.根据绝对值的几何意义，得3x－1＞3或3x－1＜－3，由3x－1＞3，解得x＞ ，由3x－1＜－3，解得x＜－ ，∴ 不等式 ｜3x－1｜＋2＜｜3x－1｜的解集为x＞ 或x＜－ .
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13(共18张PPT)
11.3　一元一次不等式组
第十一章　不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列选项中，属于一元一次不等式组的是（　D　）
A. B.
C. D.
D
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2. （2025·茂名高州期末）不等式组 的解集在数轴上表示为（　B　）
　
3. 若关于x的不等式组 的解集是x＞3，则a的取值范围是（　D　）
A. a≤3 B. a≥3 C. a＞2 D. a≤2
B
D
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4. ★（2025·上海）不等式组 的解集是 　x＞2　.
5. 关于x的不等式组 的解集在数轴上表示如图所示，写出一个满足条件的a的值： 　答案不唯一，如－2　.
x＞2　
答案不唯一，如－2　
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6. （2025·扬州）解不等式组 并写出它的所有负整数解.
解：记 由①，得x≤1，由②，得x＞－3，∴ 不等式组的解集为－3＜x≤1.∴ 所有负整数解有－2，－1.
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7. （2024·绵阳涪城模拟）若关于x的不等式组 的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　B　）
A. 3＜m＜4 B. 3＜m≤4
C. 3≤m＜4 D. 3≤m≤4
B
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8. （2025·宁波余姚期末）若关于x的方程3－2x＝3（k－2）的解为自然数，且关于x的不等式组 无解，则符合条件的整数k的值的和为（　C　）
A. 5 B. 2 C. 4 D. 6
C
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9. 已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 　a≤1　.
10. （2025·浙江期末）[x]表示不大于x的最大整数.如：[3.14]＝3，[－7.59]＝－8，则满足等式 ＝4的x的整数值有 　3　个.
11. 已知关于x的不等式组 的解集是－1＜x＜1，则（a＋b）2023＝ 　－1　.
12. （2025·内江）对于x，y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x＋3y.若关于a的不等式组 恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 　－17≤P＜－7　.
a≤1　
3　
－1　
－17≤P＜－7　
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13. （2025·长沙开福期末）某校每年的3月14日举办数学节“π日”活动，某班为下学期的“π日”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，如图所示为小颖与小星的对话.
（1） 求A，B两种魔方的单价.
解：（1） 设A，B两种魔方的单价分别为x元和y元.根据题意，得 解得 ∴ A，B两种魔方的单价分别为16元和22元.
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（2） 若购买A，B两种魔方共30个，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案？请写出具体的购买方案.
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解：（2） 设购进m个A种魔方，则购进（30－m）个B种魔方.根据题意，得 解得13≤m≤15.∴ 有3种购买方案：第一种：购进13个A种魔方，则购进30－13＝17（个）B种魔方，购买总费用为13×16＋17×22＝582（元）；第二种：购进14个A种魔方，则购进30－14＝16（个）B种魔方，购买总费用为14×16＋16×22＝576（元）；第三种：购进15个A种魔方，则购进30－15＝15（个）B种魔方，购买总费用为15×16＋15×22＝570（元）.
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14. （2025·眉山东坡期末）已知关于x，y的方程组
（1） 若5x＋3y＝－6，求m的值.
解：（1） 记 ①＋②，得5x＋3y＝2m，∵ 5x＋3y＝－6，∴ 2m＝－6，解得m＝－3.
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（2） 若x，y均为非负数，求m的取值范围.
解：（2） 解方程组 得 ∵ x，y均为非负数，∴ x≥0，y≥0，即 解得3≤m≤5.
（3） 在（2）的条件下，求S＝2x－3y＋m的最大值和最小值.
解：（3） ∵ ∴ S＝2x－3y＋m＝2（m－3）－3（－m＋5）＋m＝6m－21.∵ 3≤m≤5，∴ 18≤6m≤30.∴ －3≤6m－21≤9，即－3≤S≤9.∴ S＝2x－3y＋m的最大值为9，最小值为－3.
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15. 若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称 为A的解集中点值.若A的解集中点值是不等式（组）B的解[即解集中点值满足不等式（组）]，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含.
（1） 已知不等式组A： 和不等式组B：－1＜x≤5，请判断不等式组B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程.
解：（1） 不等式组B对于不等式组A中点包含.解不等式组A： 得4＜x＜6，∴ A的解集中点值为x＝5.∵ x＝5满足－1＜x≤5，∴ 不等式组B对于不等式组A中点包含.
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（2） 已知关于x的不等式组C： 和D： 若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围.
解：（2） ∵ 不等式组D对于不等式组C中点包含，∴ 不等式组C和不等式组D有解.解不等式组C： 得
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解不等式组D： 得 ∴ 解得m＞－4.∴ 当m＞－4时，不等式组C的解集为m－3＜x＜3m＋5，不等式组D的解集为m－4＜x＜ .∴ C的解集中点值为 ＝2m＋1.∵ 不等式组D对于不等式组C中点包含，∴ m－4＜2m＋1＜ ，解得－5＜m＜10.又∵ m＞－4，∴ －4＜m＜10.
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（3） 已知关于x的不等式组E： （n＜m）和F： 若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m的值之和为14，求n的取值范围.
解：（3） 解不等式组E，得2n＜x＜2m，解不等式组F，得 ＜x＜6＋n，∴ E的解集中点值为n＋m.∵ 不等式组F对于不等式组E中点包含，∴ ＜n＋m＜6＋n，解得n＜m＜6.∵ 所有符合要求的整数m的值之和为14，∴ 整数m可取2，3，4，5或－1，0，1，2，3，4，5.∴ 1≤n＜2或－2≤n＜－1.
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综合与实践　低碳生活
第十一章　不等式与不等式组
1. 每年的6月5日为世界环境日，为了提倡低碳环保，公司决定购买节省能源的新设备.某种新设备为每套3万元，针对购买两套及以上新设备的客户，厂家推出两种优惠方案，第一种：一套设备按原价购买，其余的按原价的七折购买；第二种：全部按原价的八折购买.若该公司在购买相同数量新设备的情况下，按第一种方案购买所获的优惠多，至少需要购买新设备（　B　）
A. 3套 B. 4套 C. 5套 D. 6套
2. 为了响应国家低碳生活的号召，更多的市民放弃开车选择骑自行车出行，市场上的自行车销量增加，某品牌自行车专卖店抓住商机，开展促销活动，对原进价为每辆750元、标价为每辆1000元的某款自行车进行打折销售，若要保持利润率不低于20％，则这辆自行车最多可打 　9　折.
3. （2025·成都双流期中）一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对1道题得4分，答错或不答1道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了 　22　道题.
B
9　
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4. “环保低碳”是现代社会提倡的主题.某咖啡店倡导顾客自备容器，对自备容器的顾客进行优惠活动，每个品种小杯都优惠2元/杯，大杯都优惠5元/杯.咖啡店部分点餐牌如图所示.
（1） 有顾客反映，某种咖啡自备容器后，大杯每毫升的价格比小杯每毫升的价格高，请用你所学的数学知识分析顾客反映的是哪种咖啡.
解：（1） 摩卡：小杯每毫升的价格为 ＝ （元），大杯每毫升的价格为 ＝ （元）；美式：小杯每毫升的价格为 ＝ （元），大杯每毫升的价格为 ＝ （元）；∵ ＜ ，
∴ 顾客反映的是美式咖啡.
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（2） 若想要让所有品种的咖啡在自备容器后大杯每毫升价格都比小杯的便宜，则针对大杯自备容器顾客每杯至少优惠多少元（取整数）？
解：（2） 易知摩卡咖啡在自备容器后大杯每毫升价格都比小杯便宜，设针对大杯自备容器顾客每杯优惠x元.根据题意，得 ＜ ，解得x＞8，∵ x为整数，∴ x最小取9.∴ 针对大杯自备容器顾客每杯至少优惠9元.
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5. “节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式.某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台.三种家电的进价如下表：
品　名 单价/元
电视机 5000
洗衣机 2000
空调 2400
在不超出资金预算的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问：商场有哪几种进货方案？
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解：设购进电视机x台，则购进洗衣机x台、购进空调（40－2x）台.根据题意，得 解得8≤x≤10.∴ 共有3 种进货方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台.
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5(共14张PPT)
11.1　不 等 式
第2课时　不等式的性质
第十一章　不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·温州期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　C　）
A. a＋2＞b＋2 B. 2a＞2b
C. 2－a＞2－b D. ＞
2. 已知实数a，b，c满足a＋2b＝3c，则下列结论中，不正确的是（　D　）
A. a－b＝3（c－b）
B. ＝c－b
C. 若a＞b，则a＞c＞b
D. 若a＞c，则b－a＞
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3. 已知b＜0，d＞0，bcd＜0，abcd＞0，则（　B　）
A. a＞0，c＜0 B. a＜0，c＞0
C. a＞0，c＞0 D. a＜0，c＜0
4. 小明说3a＜a永远不可能成立，因为在不等式两边都除以a，得到3＜1这个错误结论，小明的说法 　不正确　（填“正确”或“不正确”）.
5. 已知x－y＝4.
（1） 当x＞3时，y的取值范围是 　y＞－1　.
（2） 若x＞3，y＜1，S＝x＋y，求S的取值范围.
解：∵ x－y＝4，∴ x＝y＋4.∴ S＝x＋y＝y＋4＋y＝2y＋4.由（1），知y＞－1，又∵ y＜1，∴ －1＜y＜1.∴ －2＜2y＜2.∴ 2＜2y＋4＜6.∴ S的取值范围是2＜S＜6.
B
不正确　
y＞－1　
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6. （2025·益阳沅江期末）下列不等式变形正确的是（　A　）
A. 若a＜b，则1＋a＜1＋b
B. 若a＜b，则ax2＜bx2
C. 若ac＞bc，则a＞b
D. 若m＞n，则m－1＜n－1
7. （2025·上海嘉定期末）若a＜0，a＋b＞0，则三个数a，b，a＋b中，最大的数是（　B　）
A. a B. b C. a＋b D. 无法确定
A
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8. （2024·广州期末）若a＋b＝3且2a≥b＋3，令y1＝ ＋1，y2＝ ＋1，则下列说法中，正确的是（　B　）
A. y1有最小值，为 B. y1有最大值，为
C. y2有最小值，为3 D. y2有最大值，为3
B
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9. 若－1＜x≤2且3x＋y＝2，则y的取值范围是 　－4≤y＜5　.
10. 已知A＝（2y＋1）x＋3y，B＝（2x＋1）y＋3x，若x－3（x－2）≥4，且2x＋y－3＝0，试比较大小：A 　≥　（填“＝”“＞”“＜”“≥”或“≤”）B.
11. 在实数范围内规定新运算“*”，其基本规则是a*b＝a－2b.关于x的不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为 　－1　.
－4≤y＜5　
≥　
－1　
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12. （2024·黄石期末）若关于x的不等式ax－b＞0的解集为x＜ ，则关于x的不等式（a＋b）x＞b－a的解集为 　x＜－ 　.
x＜－ 　
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13. 阅读材料：
对实数a，b定义T（a，b）：当a＜b时，T（a，b）＝a＋b；当a≥b时，T（a，b）＝a－b.例如：T（1，3）＝1＋3＝4，T（2，－1）＝2－（－1）＝3.
根据以上材料，解答下列问题：
（1） 若T（m2＋1，－1）＝6，则m＝ 　2或－2　.
（2） 已知x＋y＝8，且x＞y，求T（4，x）－T（4，y）的值.
解：∵ x＋y＝8，且x＞y，∴ 易得x＞4，y＜4.∴ T（4，x）－T（4，y）＝4＋x－（4－y）＝x＋y＝8.
2或－2　
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14. （2024·长沙雨花期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”.
（1） 有下列不等式：① 2x－1＜0；② x≤2；③ x－（3x－1）＜－5.其中，与不等式x≥2互为“友好不等式”的是 　②③　（填序号）.
（2） 若关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不互为“友好不等式”，求m的取值范围.
解：（2） 解不等式x＋2m≥0，得x≥－2m，解不等式2x－3＜x＋m，得x＜m＋3.∵ 关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不互为“友好不等式”，∴ －2m≥m＋3，解得m≤－1.∴ m的取值范围是m≤－1.
②③　
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（3） 若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“友好不等式”，求a的取值范围.
解：（3） 解不等式x＋3≥a，得x≥a－3.由ax－1＜a－x，得（a＋1）x＜a＋1.
∵ a≠－1，∴ a＋1≠0.① 当a＋1＞0，即a＞－1时，x＜1，根据题意，得a－3＜1，即a＜4，∴ －1＜a＜4.② 当a＋1＜0，即a＜－1时，x＞1，符合题意，∴ a＜－1.综上所述，a的取值范围是a＜－1或－1＜a＜4.
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15. （2025·金华东阳期末）已知m＝ ＋ ＋ ，且（a－1）（b－1）（c－1）＞0，a＋b＋c＝3，则m的最大值为 　0　，最小值为 　－8　.
0　
－8　
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16. 【阅读】 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1） 若a－b＋2＞0，则a＋1 　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）b－1.
＞　
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（2） 若M＝a2＋3b，N＝2a2＋3b＋1，试比较M，N的大小.
【拓展】 （3） 制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一所用钢板的总面积记为S1，方案二所用钢板的总面积记为S2，试比较S1，S2的大小.
解：（2） ∵ M＝a2＋3b，N＝2a2＋3b＋1，∴ M－N＝（a2＋3b）－（2a2＋3b＋1）＝a2＋3b－2a2－3b－1＝－a2－1.∵ －a2－1＜0，∴ M＜N.
（3） 设1块A型钢板的面积为a，1块B型钢板的面积为b.∴ S1＝5a＋6b，S2＝4a＋7b.∴ S1－S2＝（5a＋6b）－（4a＋7b）＝5a＋6b－4a－7b＝a－b.∵ 每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小，即a＜b，∴ a－b＜0.∴ S1＜S2.
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专题特训十一　不等式（组）中的参数问题
第十一章　不等式与不等式组
类型一　结合不等式的性质，求参数的取值范围
1. 若关于x的不等式（m－1）x＞m－1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　C　）
A. m＞1 B. m≤－1
C. m＜1 D. m≥1
2. 若关于x的不等式（1－a）x＞2可化为x＜ ，则a的取值范围是 　a＞1　.
C
a＞1　
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类型二　已知不等式（组）的解集，求参数的值或取值范围
3. （2024·济宁嘉祥期末）若关于x的不等式（a－1）x＞1－a的解集是x＜－1，则a的取值范围是（　B　）
A. a＞1 B. a＜1 C. a≥1 D. a≠1
4. 已知关于x的不等式组 的解集是－2＜x＜4，则a，b的值分别为（　A　）
A. 3，1 B. 1，3 C. 3，－1 D. －1，3
B
A
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5. 若关于x的不等式m－x＞3的解集在数轴上的表示如图所示，则关于x的方程m＋2x＝－1的解是 　x＝－ 　.
6. 若关于x的一元一次不等式组
的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3＋k有正整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为 　8　.
x＝－ 　
8　
2( ＋)≤2 +1， +1>
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类型三　已知不等式（组）有解或无解，求参数的取值范围
7. 已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（　C　）
A. a＝2 B. a＜2
C. a≤2 D. a＞2
8. 若关于x的一元一次不等式组 无解，则m的取值范围是 　m≤0　.
9. （2024·邯郸期末）若关于x的不等式组 有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围是 　－2≤a＜ 　.
C
m≤0　
－2≤a＜ 　
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类型四　已知不等式（组）整数解的个数，求参数的取值范围
10. 已知关于x的不等式组 有两个整数解，则a的取值范围是（　B　）
A. 2≤a≤3 B. ＜a≤1
C. 2＜a≤3 D. ≤a＜1
B
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11. （2025·重庆沙坪坝期末）对a，b定义一种新运算“ ”，规定：a b＝a－2b.若关于x的不等式组 有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　B　）
A. m≥20 B. 20＜m≤23
C. 20＜m＜23 D. 20≤m＜23
B
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12. 若关于x的不等式组 只有两个整数解，且21t＝2a＋12，要使 的值是整数，则符合条件的a的值的个数是 　4　.
4　
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13. 对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx＋ny）（x＋2y）（其中m，n均为非零常数）.如：T（1，1）＝3m＋3n.
（1） 已知T（1，－1）＝0，T（0，2）＝8，求m，n的值.
解：（1） 由题意，得 解得
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（2） 在（1）的条件下，若关于p的不等式组 恰好有3个整数解，求a的取值范围.
解：（2） 由（1），得T（x，y）＝（x＋y）（x＋2y）.由题意，得 解不等式①，得p＞－1；解不等式②，得p≤ .∵ 不等式组恰好有3个整数解，∴ －1＜p≤ .∴ 整数解为0，1，2.
∴ 2≤ ＜3，解得42≤a＜54.
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类型五　已知方程（组）解的情况，求参数的取值范围
14. 已知关于x，y的方程组 且－1＜x－y＜0，则k的取值范围是（　D　）
A. －1＜k＜ B. －1＜k＜－
C. 1＜k＜2 D. ＜k＜1
D
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15. 已知关于x，y的方程组
（1） 解这个方程组（结果用含m的式子表示）.
解：（1） 记 由①＋②，得3x＝3m＋3，解得x＝m＋1，将x＝m＋1代入②，得m＋1－y＝2m＋3，解得y＝－m－2.∴
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（2） 是否存在整数m，使方程组的解满足x为负数，y为非正数？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在.根据题意，知 解不等式③，得m＜－1，解不等式④，得m≥－2，则－2≤m＜－1.∵ m为整数，∴ m＝－2.
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16. 阅读理解：
解答“已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵ x－y＝2，∴ x＝y＋2.
又∵ x＞1，∴ y＋2＞1，解得y＞－1.
又∵ y＜0，∴ －1＜y＜0①.
同理，可得1＜x＜2②.
由①＋②，得0＜x＋y＜2.
∴ x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
请参照上述方法，解答下列问题：
（1） 已知x－y＝4，且x＞－2，y＜1，则x＋y的取值范围是 　－8＜x＋y＜6　.
－8＜x＋y＜6　
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（2） 已知关于x，y的方程组 的解都为正数.
① 求a的取值范围.
② 已知a－b＝2，求a＋b的取值范围.
解：① 解方程组 得 ∵ x＞0，y＞0，
∴ 解得a＞1.∴ a的取值范围是a＞1.② ∵ a－b＝2，a＞1，∴ a＝b＋2＞1.∴ b＞－1.∴ a＋b＞0.∴ a＋b的取值范围是a＋b＞0.
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11.2　一元一次不等式
第3课时　利用一元一次不等式解决方案问题
第十一章　不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·海口龙华期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元.已知每个足球60元，每个篮球90元，则学校最多可以购买的篮球个数是（　B　）
A. 115 B. 116 C. 117 D. 118
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2. 某商店为了促销某种商品，将定价为每件30元的商品按以下方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折.现有270元，则最多可以购买该商品的件数是（　B　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
B
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3. 小颖家每月的水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元.小颖家每月至少用水 　8　立方米.
8　
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4. （2025·许昌襄城期末）为了丰富课余生活，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价为20元，数独棋每副标价为50元.两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：魔方和数独棋都按9折出售.
乙商店：买两副数独棋送一个魔方.
学校计划订购数独棋40副，魔方若干（多于50个），单独在甲商店或者乙商店购买.
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（1） 若订购魔方的数量是60个，在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？
解：（1） 40×50＋ ×20＝2800（元），∴ 购买魔方和数独棋的总费用是2800元.
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（2） 当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？
解：（2） 设当订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同.由题意，得（40×50＋20x）×0.9＝40×50＋ ×20，解得x＝100.∴ 当订购魔方的数量是100个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同.
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（3） 根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案.
解：（3） 设订购魔方的数量为x个.当50＜x＜100时，甲商店的总费用为（18x＋1800）元，乙商店的总费用为（1600＋20x）元.∴ （18x＋1800）－（1600＋20x）＝200－2x.∵ 50＜x＜100，∴ 100＜2x＜200.∴ 200－2x＞0.∴ 当50＜x＜100时，选择乙商店更省钱.当x＝100时，由（2）可知在甲、乙两家商店购买一样划算.当x＞100时，∵ x＞100，∴ 2x＞200，即200－2x＜0.∴ 当x＞100时，选择甲商店更省钱.∴ 当订购魔方的数量大于50个且小于100个时，在乙商店购买划算；当订购魔方的数量为100个时，在甲、乙两家商店购买一样划算；当订购魔方的数量大于100个时，在甲商店购买划算.
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5. 某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡60元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张1元，不凭会员卡购入场券每张3元，要想购买会员卡比不购买会员卡更合算，则购买入场券的张数要（　B　）
A. 少于30 B. 多于30
C. 少于20 D. 多于20
B
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6. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台的报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，各商场的优惠条件如下表：
商　场 优惠条件
甲商场 甲商场第一台按原报价收费，其余每台优惠25％
乙商场 每台优惠20％
当购买电脑x台时，到甲商场购买更优惠，则x应满足的条件为（　A　）
A. x＞5 B. x＜5 C. x≥5 D. x≤5
A
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7. 某工程队现有大量的沙石需要运输.工程队下属车队有载质量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石.随着工程的进展，车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆（两种卡车都购买），则车队共有 　2　种购买方案.
8. 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案.甲商场的优惠方案：购物价格累计超过300元后，超过300元的部分打7.5折；乙商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超过200元但不超过1000元的部分打8.5折，超过1000元的部分打6.5折.设购物价格累计达到x元，当顾客选择甲商场购物花费少时，x的取值范围是 　450＜x＜1550　.
2　
450＜x＜1550　
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9. （2025·天津期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次付费打八折.设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数）.
（1）
游泳次数 11 12 … x
按方式一付费金额/元 140＋18×11 140＋18×12 … a
按方式二付费金额/元 25×10＋ 25×0.8×1 25×10＋ 25×0.8×2 … b
则a＝ 　140＋18x　，b＝ 　50＋20x　（用含x的式子表示）.
140＋18x　
50＋20x　
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（2） 当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？
解：（2） 140＋18x＝50＋20x，解得x＝45，∴ 当x＝45时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等.
（3） 当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？
解：（3） 根据题意，得140＋18x＜50＋20x，解得x＞45，∴ 当x＞45时，选择方式一付费比较省钱.
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10. 某超市计划购进一批A，B两种型号的头盔.已知购进1个A型头盔和2个B型头盔需要180元；购进2个A型头盔和1个B型头盔需要210元.
（1） 购进1个A型头盔和1个B型头盔各需多少元？
解：（1） 设购进1个A型头盔需x元，购进1个B型头盔需y元.根据题意，得 解得 ∴ 购进1个A型头盔需80元，购进1个B型头盔需50元.
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（2） 该超市计划用不超过3600元购进A，B两种型号的头盔共60个（两种都购进），且销售1个A型头盔可获利40元，销售1个B型头盔可获利30元.若超市要求总利润不低于m元时有且仅有两种进货方案可供选择，求m的取值范围.
解：（2） 设购进a个A型头盔，则购进（60－a）个B型头盔.根据题意，得80a＋50（60－a）≤3600，且40a＋30（60－a）≥m，解得a≤20，a≥ .∵ a为正整数且a只有2个值，∴ ＞18，且 ≤19，解得1980＜m≤1990.∴ m的取值范围是1980＜m≤1990.
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11.2　一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
第十一章　不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·嘉兴期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元，则可列不等式为（　B　）
A. q－p＞1.5 B. q－p≥1.5
C. p－q＞1.5 D. p－q≥1.5
2. 某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（　C　）
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
B
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3. （2025·杭州滨江期末）小滨用100元钱购买笔记本和水彩笔共25件.已知每本笔记本6元，每支水彩笔3元，则小滨最多能买 　8　本笔记本.
4. 一种梨的进价是每千克5.7元，销售中估计有5％的梨正常损耗，商家把售价至少定为每千克 　6　元，才能避免亏本.
8　
6　
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5. 易错题 百货商场中的一种商品的合格率为97％，已知该商品有400件，则该商场至少还需准备多少件商品供消费者退换？
解：设还需准备x件商品供消费者退换.依题意，可得（400＋x）×97％≥400，解得x≥12 ，又∵ x为整数，∴ x的最小值是13.∴ 该商场至少还需准备13件商品供消费者退换.
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6. （2025·重庆沙坪坝期末）推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村.某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙1000千克，收购单价为10元.已知运输和仓储中脐橙质量损失4％，为保证至少获得20％的利润，设销售单价为x元，则可列不等式为（　B　）
B
A. ≥20％
B. ≥20％
C. ＞20％
D. ＞20％
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7. 某文具店销售一款书包，该书包的成本价为每个60元，定价为每个90元.由于商品积压，店老板准备对这款书包打折出售，为使利润率不低于5％，实际售卖时，这款书包最多可以打（　C　）
A. 8折 B. 8.5折 C. 7折 D. 7.5折
C
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8. 如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横、竖格子线的交点）上，这样的多边形称为格点多边形，其面积S＝a＋ b－1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数），该公式称为“皮克定理”.若一个格点多边形的面积为9，则b的最大值为（　D　）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
D
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9. 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大2，且这个两位数小于40，则这个两位数是 　31或20　.
10. 小杰到学校食堂就餐，看到A，B两窗口前面排队的人一样多（设一个窗口前排队的人数为a，a＞8，且a为偶数），就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有8人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加6人.若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，所花的时间比原来少，则a的最小值是 　14　（不考虑其他因素）.
31或20　
14　
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11. （2025·郑州巩义期末）小明爸爸经营了一家商店，他在空余时间关注了甲、乙两种商品的营销情况，他查看这两种商品的进货单和销售统计单，如表所示：
表一：进货单
商品名称 数量/件 单价/元 合计/元
甲 80 50 4000
乙 50 40 2000
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日　期 甲商品销售件数 乙商品销售件数 总售价/元
12月30日 0 1 50
12月31日 1 2 180
元月1日 2 10 660
（1） 分析表中数据，甲商品的售价为 　80　元/件，乙商品的售价为 　50　元/件.
80　
50　
表二：销售统计单
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（2） 小明爸爸发现甲商品销售情况不好，决定从元月2日开始对甲商品进行打折销售，乙商品销售价格不变，在甲商品的单件利润不低于乙商品的单件利润的情况下，求甲商品最多可以打几折.
解：（2） 设甲商品可以打x折.由题意，可得80× －50≥50－40，解得x≥7.5.
∴ 甲商品最多可以打7.5折.
（3） 在（2）的条件下（甲商品按最大折扣销售），甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得的利润是多少？
解：（3） 由题意，可得3×（80－50）＋50×（50－40）＋（80－3）×（80×0.75－50）＝1360（元）.∴ 一共可获得的利润为1360元.
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12. 某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号礼品500件，A型号礼品比B型号礼品多200件.已知三种型号礼品的价格如下表：
型　号 A B C
价格/（元/件） 30 20 10
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（1） 在计划总价不变的情况下，若只购进B，C两种型号的礼品，且B型号礼品的件数不超过C型号礼品件数的2倍，则B型号礼品最多可购进多少件？
解：（1） 设原计划购进B型号礼品x件，则购进A型号礼品（x＋200）件.由题意，得x＋x＋200＝2700－500，解得x＝1000.∴ x＋200＝1200.∴ 原计划购进A型号礼品1200件，B型号礼品1000件，计划总价为30×1200＋20×1000＋10×500＝61000（元）.设购进B型号礼品m件，则购进C型号礼品 ＝（6100－2m）件.由题意，得m≤2（6100－2m），解得m≤2440.∴ B型号礼品最多可购进2440件.
（2） 实际购进时，厂家给予打折优惠，在计划总价不变的情况下，若只购进A，B两种型号的礼品，它们的价格分别打a折、b折（a＜b＜10，a，b均为正整数），且购进的礼品总数比计划多300件，求a，b的值.
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解：（2） 设购进A型号礼品y件，则购进B型号礼品（2700＋300－y）件.由（1），知计划总价为61000元.由题意，得30× ·y＋20× ×（2700＋300－y）＝61000，∴ （3a－2b）y＝1000（61－6b）.∵ a＜b＜10，a，b均为正整数，∴ b≤9.∴ 61－6b＞0.∴ 3a－2b＞0.∵ 2700＋300＝3000，∴ y＜3000.∴ （3a－2b）y＜3000（3a－2b）.∴ 1000（61－6b）＜3000（3a－2b）.∴ 61－6b＜9a－6b，解得a＞ .∴ a＝7，b＝8或a＝7，b＝9或a＝8，b＝9.当a＝7，b＝8时，y＝2600；当a＝7，b＝9时，y＝ （不合题意，舍去）；当a＝8，b＝9时，y＝ （不合题意，舍去）.综上所述，a＝7，b＝8.
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12(共21张PPT)
第十一章整合拔尖
第十一章　不等式与不等式组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 不等式（组）的实际应用
典例1　小太阳幼儿园要把若干个苹果分给一些小朋友，如果每人分5个，那么余7个；如果每人分6个，那么最后一名小朋友分到的苹果少于3个，则小朋友的人数至少有（　A　）
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
A
[变式]某营养快餐的成分为蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物.其中脂肪所占的百分比为5％，所含蛋白质的质量是矿物质的质量的4倍.若这份快餐的总质量是500克，且这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85％，则所含碳水化合物最多有多少克？
解：由题意，可得快餐中所含脂肪的质量是500×5％＝25（克）.设这份快餐中所含矿物质的质量为x克，则所含蛋白质的质量是4x克.由题意，得 ≤85％，解得x≥50.∵ 所含碳水化合物的质量为500－25－x－4x＝（475－5x）克，
∴ 当x＝50时，475－5x取得最大值，最大值为225.∴ 所含碳水化合物最多有225克.
考点二 解含有参数的一元一次不等式（组）
典例2　★已知关于x的不等式组
（1） 当k＝－2时，求不等式组的解集.
解：（1） 当k＝－2时，1－k＝1－（－2）＝3，∴ 不等式组为 ∴ 不等式组的解集为－1＜x≤3.
（2） 若不等式组的解集是－1＜x≤4，求k的值.
解：（2） ∵ 不等式组的解集是－1＜x≤4，∴ 1－k＝4，解得k＝－3.
（3） 若不等式组有3个整数解，求k的取值范围.
解：（3） 由x＞－1，可知当不等式组有3个整数解时，不等式组的整数解为0，1，2，又∵ x≤1－k，∴ 2≤1－k＜3，解得－2＜k≤－1.
[变式]（2025·重庆沙坪坝期末）若整数a使得关于x的方程2（x－1）＋a＝1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　D　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解：（3） 由x＞－1，可知当不等式组有3个整数解时，不等式组的整数解为
0，1，2，又∵ x≤1－k，∴ 2≤1－k＜3，解得－2＜k≤－1.
D
考点三 一元一次不等式组与二元一次方程组相结合
典例3　已知关于x，y的方程组
（1） 若该方程组的解满足x＞0，y＞0，求m的取值范围.
解：（1） 记 由①×2－②，得3x＝3m＋6，解得x＝m＋2.把x＝m＋2代入①，得2（m＋2）＋y＝m＋7，解得y＝3－m.∴ 方程组的解为 依题意，得 解得－2＜m＜3，即m的取值范围是－2＜m＜3.
（2） 根据（1）的结果，化简： ＋｜m＋2｜.
解：（2） ∵ －2＜m＜3，∴ ＋｜m＋2｜＝3－m＋m＋2＝5.
[变式]已知关于x，y的方程组 且它的解满足x为负数，y为正数.
（1） 试用含m的式子表示方程组的解.
解：（1） 记 由①－②，得3y＝2m＋3，解得y＝ .将y＝ 代入②，得x＝ ，∴ 方程组的解是
（2） 求实数m的取值范围.
解：（2） ∵ x为负数，y为正数，∴ 解得－ ＜m＜ ，即实数m的取值范围是－ ＜m＜ .
（3） 化简：｜m＋2｜＋｜m－1｜.
解：（3） ∵ － ＜m＜ ，∴ m＋2＞0，m－1＜0.∴ ｜m＋2｜＋｜m－1｜＝m＋2＋1－m＝3.
1. 已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤4，且关于y的一元一次方程3（y－1）－2（y＋a）＝7的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　A　）
A. －12 B. －9 C. －7 D. －4
A
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2. （2025·杭州期末）已知关于x的不等式组 有下列四个结论：① 若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；② 当a＝3时，不等式组有解；③ 若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是9≤x＜11；④ 若不等式组有解，则a＞3.其中，正确的结论有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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3. 若关于x的不等式组 有且只有2个整数解，且m＝2n，则整数n的值为 　4　.
4. （2024·菏泽期末）火车站检票口每分钟可供15人匀速通过，若开放2个检票口20分钟可以检票到无人等候检票，若开放3个检票口14分钟可以检票到无人等候检票，则检票口至少有 　586　人等候检票.
4　
586　
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5. 已知关于x，y的二元一次方程组
的解满足x－y＜0.
（1） 求k的取值范围.
解：（1） 记 由①－②，得x－y＝－2－k.∵ x－y＜0，∴ －2－k＜0，解得k＞－2.
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（2） 在（1）的条件下，若关于x的不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集为x＞1，求整数k的值.
解：（2） ∵ 不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集为x＞1，∴ 2k＋1＜0，解得k＜－ .又∵ k＞－2，∴ k的取值范围是－2＜k＜－ .∴ 整数k的值为－1.
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6. 定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如，不等式x＜－3的解都是不等式x＜－1的解，则x＜－3是x＜－1的“蕴含不等式”.
（1） 在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的“蕴含不等式”的为 　x＞3　.
（2） 若x＞－6是3（x－1）＞2x－m的“蕴含不等式”，求m的取值范围.
解：（2） 解不等式3（x－1）＞2x－m，得x＞3－m.∵ x＞－6是3（x－1）＞2x－m的“蕴含不等式”，∴ 3－m≤－6，解得m≥9.
x＞3　
（3） 若x＜－2n＋4是x＜2的“蕴含不等式”，试判断x＜－n＋3是否为x＜2的“蕴含不等式”，并说明理由.
解：（3） x＜－n＋3是x＜2的“蕴含不等式”.理由：由题意，得－2n＋4≤2，解得n≥1.∴ －n＋3≤2.∴ x＜－n＋3是x＜2的“蕴含不等式”.
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7. （2025·杭州期末）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
（1） 原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
解：（1） 设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x＋30）人.根据题意，得45x＋30＝60（x－6），解得x＝26，∴ 45x＋30＝45×26＋30＝1200.∴ 原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人.
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（2） 若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
解：（2） 设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25－y）辆.根据题意，得 解得5≤y≤7.又∵ y为正整数，∴ y可以为5，6，7.∴ 该校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车.
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（3） 在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆300元，应该怎样租车才最合算？
解：（3） 选择方案1的总租金为300×5＋220×20＝5900（元）；选择方案2的总租金为300×6＋220×19＝5980（元）；选择方案3的总租金为300×7＋220×18＝6060（元）.∵ 5900＜5980＜6060，∴ 租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算.
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7(共15张PPT)
11.1　不 等 式
第1课时　不等式及其解集
第十一章　不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·宜昌模拟）某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，换一种广告语言可以是（　A　）
A. “一罐饮料净重400克，蛋白质含量大于或等于0.5％”
B. “一罐饮料净重400克，蛋白质含量＞0.5％”
C. “一罐饮料净重400克，蛋白质含量＜0.5％”
D. “一罐饮料净重400克，蛋白质含量小于或等于0.5％”
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2. （2024·珠海香洲期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“？”表示的判断条件可能是（　C　）
A. ＜5 B. ＞
C. ＞ D. ＞7
3. （2024·烟台莱州期末）有下列式子：① －3＜0；② 2x＋3y＞0；③ x＝1；④ x2－2xy＋y2；⑤ x≠2；⑥ x＋1＞3.其中，不等式有（　B　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
C
B
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4. ★（2024·聊城冠县期末）若x＝3是某个不等式的一个解，则这个不等式可能是（　D　）
A. 2x－1＜3 B. －3x＋1＞4
C. 6x＋2＞11x－3 D. － x＋4＜1＋ x
D
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5. （2025·宁波余姚期末）根据下列数量关系列不等式：x的5倍大于4的不等式为 　5x＞4　.
6. 如图，xg和5g分别表示天平上两边砝码的质量，则x 　＜　5（填“＞”或“＜”）.
5x＞4　
＜　
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7. 一种药品的说明书上写着“每日用量120～180mg，分3～4次服完.”一次服用这种药的剂量在什么范围？
解：∵ 120÷3＝40（mg），120÷4＝30（mg），180÷3＝60（mg），180÷4＝45（mg），30＜40＜45＜60，∴ 一次服用这种药的剂量在30mg到60mg之间.
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8. （2024·德州乐陵期末）老师和同学们玩猜数游戏.老师在心里想一个100以内的数，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错.甲问：“小于50吗？”老师摇头.乙问：“不大于75吗？”老师点头.丙问：“不小于60吗？”老师点头.老师心里想的数x所在的范围是（　B　）
A. 50＜x＜75或x＝75
B. 60＜x＜75或x＝60或x＝75
C. 50＜x＜60
D. 50＜x＜60或x＝50
B
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9. 我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的一个解.同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫作这个二元一次不等式的一个解.对于二元一次不等式2x＋3y＜10，它的正整数解有（　A　）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 无数个
10. 在数轴上，与原点的距离小于8的点对应的数x满足（　A　）
A. －8＜x＜8 B. x＜－8或x＞8
C. x＜8 D. x＞8
11. 已知（k－5）x｜k｜－4－2y＝1是关于x，y的二元一次方程，则k＋1 　不是　（填“是”或“不是”）不等式x＋2＜2x－1的解.
A
A
不是　
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12. 规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[－2.3]＝－3.若[x]＝2，则x的取值范围是 　2＜x＜3或x＝2　.
13. 对于下列结论：① x为自然数，则x＞1；② x为负数，则x＜0；③ x不大于10，则x＞10；④ m为非负数，则m大于或等于0.其中，正确的是 　②④　（填序号）.
2＜x＜3或x＝2　
②④　
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14. 已知a＜x＜b的整数解为5，6，7.
（1） 当a，b为整数时，求a，b的值.
解：（1） 当a，b为整数时，a＝4，b＝8.
（2） 当a，b为实数时，求a，b的取值范围.
解：（2） 当a，b为实数时，4＜a＜5或a＝4，7＜b＜8或b＝8.
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15. 阅读材料.
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值.
对于｜x｜＜3，x表示到原点距离小于3的点对应的数.从如图①所示的数轴上看：大于－3而小于3的数对应的点到原点的距离小于3，∴ ｜x｜＜3的解集是－3＜x＜3.
对于｜x｜＞3，x表示到原点距离大于3的点对应的数.从如图②所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数对应的点到原点的距离大于3，∴ ｜x｜＞3的解集是x＜－3或x＞3.
请解答下列的问题：
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（1） 不等式｜x｜＜a（a＞0）的解集为 　－a＜x＜a　，不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为 　x＞a或x＜－a　.
（2） 解不等式：｜x－4｜＜2.
解：（2） 对于｜x－4｜＜2，x表示到数4对应的点距离小于2的点对应的数.从如图所示的数轴上看：大于2而小于6的数对应的点到数4对应的点的距离小于2，∴ ｜x－4｜＜2的解集为2＜x＜6.
－a＜x＜a　
x＞a或x＜－a　
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（3） 求不等式｜x－2｜＋｜x＋3｜＜8的解集.
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解：（3） 在数轴上找出｜x－2｜＋｜x＋3｜＝8的解.由绝对值的几何意义，知该方程的解就是在数轴上到2和－3对应的点的距离之和等于8的点对应的数.∴ ｜x－2｜＋｜x＋3｜＝8的解为x＝－4.5或x＝3.5.∴ ｜x－2｜＋｜x＋3｜＜8的解集为－4.5＜x＜3.5.
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