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(共14张PPT)
10.3　实际问题与二元一次方程组
第2课时　实际问题与二元一次方程组（2）
第十章　二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·咸阳渭城期末）如图，用12张形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形.若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（　B　）
A. B.
C. D.
B
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2. （2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a＋b＝ 　99　.
99　
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3. 如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23厘米，小红所搭的小树高度为22厘米，设每块A型积木的高为x厘米，每块B型积木的高为y厘米，求x＋y的值.
（第3题）
解：依题意，得 解得 ∴ x＋y＝4＋5＝9.∴ x＋y的值为9.
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4. 传说最早出现在夏禹时代的“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.如图②所示的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m＋n的值为（　A　）
A. 6
B. 2
C. 3
D. 4
A
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5. ★（2024·洛阳期末）小宇准备制作数盏灯笼，他用如图①所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成如图②所示的竖式和横式两种无盖灯笼.现有（4b－2a）张长方形宣纸和（3a－5b）张正方形宣纸.若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则x＋y的值为 　 　（用含a，b的式子表示）.
　
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6. 如图，根据图中给出的信息，如果放入大、小球共10个，水面上升到50cm，那么应放入 　4　个大球.
4　
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7. （2024·岳阳期中）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路需要整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天.
（1） 根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下不完整的方程组.
甲： 乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出其中未知数x表示的意义.
甲：x表示 　A工程队工作的天数　；
A工程队工作的天数　
乙：x表示 　A工程队整治的河边道路总长度　.
A工程队整治的河边道路总长度　
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（2） 从甲、乙两名同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米.
解：① 若补全甲的方程组，得 解得 ∴ 15x＝150，10y＝200.∴ A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米.② 若补全乙的方程组，得 解得 ∴ A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米.
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8. 新情境·现实生活 （2025·西安雁塔期末）如图①所示为一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm.因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架.故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的靠背板与座板，如图②，该型号板材长为240cm，宽为50cm（裁切时不计损耗）.
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（2） 在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出符合要求的裁切方案.
方案一：裁切靠背板 　23　块和座板 　2　块.
方案二：裁切靠背板 　16　块和座板 　4　块.
方案三：裁切靠背板 　9　块和座板 　6　块.
23　
2　
16　
4　
9　
6　
【任务一】 拟定裁切方案
（1） 在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 　30　块.
30　
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【任务二】 确定搭配数量
（3） 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材.
解：设用x张板材裁切靠背板16块和座板4块，用y张板材裁切靠背板9块和座板6块.根据题意，得 解得 ∵ 34＋94＝128（张），∴ 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板16块和座板4块，用94张板材裁切靠背板9块和座板6块.设用a张板材裁切靠背板23块和座板2块，用b张板材裁切靠背板9块和座板6块.根据题意，得 解得 ∵ 17＋111＝128（张），∴ 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板23块和座板2块，用111张板材裁切靠背板9块和座板6块.设用c张板材裁切靠背板23块和座板2块，
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用d张板材裁切靠背板16块和座板4块.根据题意，得 解得 （不合题意，舍去）.综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板16块和座板4块，用94张板材裁切靠背板9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板23块和座板2块，用111张板材裁切靠背板9块和座板6块.
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8(共16张PPT)
10.2　消元——解二元一次方程组
第1课时　代入消元法
第十章　二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 把方程5x－y＝6改写为用含x的式子表示y的形式，正确的是（　B　）
A. y＝5x＋6 B. y＝5x－6
C. y＝ x＋ D. y＝ x－
B
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2. 解方程组 下列解法中，最合适的是（　B　）
A. 由①，得s＝ ，再代入②
B. 由①，得t＝3s－5，再代入②
C. 由②，得t＝ ，再代入①
D. 由②，得s＝ ，再代入①
B
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3. （2024·邵阳期末）用代入消元法解方程组 时，把②代入①，正确的是（　C　）
A. 2x－5（3x＋1）＝4
B. 2x－5（1－3x）＝4
C. 2x－5（3x－1）＝4
D. 2x－5（－1－3x）＝4
C
4. 二元一次方程组 的解是 　 　.
　
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5. 解方程组：
（1） （2025·青岛市南期末）
解：记 由②，得y＝3x－11③.把③代入①，得2x＋3（3x－11）＝0，解得x＝3.把x＝3代入③，得y＝3×3－11＝－2.∴ 原方程组的解为
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（2） （2025·兰州安宁期末）
解：将方程组变形为 由②，得x＝9y－2③.把③代入①，得5×（9y－2）＋y＝36，解得y＝1.把y＝1代入③，得x＝7.∴ 原方程组的解为
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6. （2025·凉山）若（3x＋2y－19）2＋｜2x＋y－11｜＝0，则x＋y的平方根是（　C　）
A. 8 B. ±8 C. ± D.
7. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则a＋b的值是（　A　）
A. －1 B. 1 C. －3 D. 3
C
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8. ★若关于x，y的二元一次方程组 与 有相同的解，则a，b的值分别为（　B　）
A. 2，3 B. 3，2
C. 2，－1 D. －1，2
B
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9. 在等式y＝x2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝－6，则（　A　）
A. b＝－3，c＝－4 B. b＝3，c＝2
C. b＝－ ，c＝－ D. b＝－9，c＝8
A
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10. 已知3x2a＋b－3－5y3a－2b＋2＝－1是关于x，y的二元一次方程，则（a＋b）b＝ 　9　.
11. 已知关于x，y的方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是 　 　.
12. （2024·德州期末）已知关于x，y的方程组 的一组解为 则m＋n的值为 　 　.
9　
　
　
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13. 先阅读材料，然后解方程组.
解方程组 时，
可由①，得x－y＝1③，
然后将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，
从而进一步解得x＝0，得到方程组的解为
这种方法被称为“整体代入法”.
请用这样的方法解方程组：
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解：记 由①，得2x－3y＝2③，将③代入②，得 ＋2y＝9，解得y＝4.把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得x＝7.∴ 方程组的解为
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14. 新考法·新定义题 （2025·重庆大足期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy＋by－2（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（1，0）＝a×1×0＋b×0－2＝－2.已知T（2，1）＝5，T（－1，2）＝0，有下列结论：① a＝2，b＝3；② 若T（m，n）＝1，m，n均取整数，则 或 或 或 ③ 若T（x，ky）＝T（y，kx）对任意有理数x，y都成立[这里T（x，y）和T（y，x）均有意义]，则k＝0.其中，正确的结论有 　3　个.
3　
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15. 已知关于x，y的方程组 分别求下列三种情况下a，b的值：
（1） 方程组有无数个解.
（1） ∵ 方程组有无数个解，∴ 解得
（2） 方程组有唯一解.
（2） ∵ 方程组有唯一解，∴ a＋3≠0，解得a≠－3，b为任意实数.
解：记 由①，得x＝y＋5③.将③代入②，得a（y＋5）＋3y＝b－1，即（a＋3）y＝－5a＋b－1.
（3） 方程组无解.
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（3） ∵ 方程组无解，∴ 解得
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专题特训十　二元一次方程组的应用
第十章　二元一次方程组
类型一　和差倍分与配套问题
1. （2024·临沂期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个.应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组为（　C　）
A. B.
C. D.
C
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2. （2024·池州三模）每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物.小明根据专家的建议为自己搭配了一份400g的营养早餐，蛋白质总含量占10％，包括一个谷物面包、一个鸡蛋和一盒牛奶.他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表：
食　物 谷物面包 鸡蛋 牛奶
蛋白质含量占比 14％ 13％ 7％
其中一个鸡蛋60g，则小明这份营养早餐中需要谷物面包 　120　g，牛奶 　220g.
120　
220　
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类型二　几何图形与图文信息问题
3. 新考向·数学文化 幻方的起源与我国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.现将9个不同的整数填入如图所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（　C　）
A. －4，3 B. －4，－3 C. 4，3 D. 4，－3
C
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4. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图①所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计）.若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问：竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
解：设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个.根据题意，得 解得 ∴ 加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的纸板全部用完.
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类型三　经济生活与行程问题
5. 甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙.设甲每秒跑xm，乙每秒跑ym，则可列出的方程组是（　A　）
A. B.
C. D.
A
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6. 某旅行团组织游客到游乐区参观，所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其中去程有26人搭乘缆车，回程有18人搭乘缆车.若本次搭乘缆车的总费用为7200元，则这个旅行团一共有 　28　名游客.
参观方式 搭乘缆车费用
去程及回程均搭乘缆车 300元
单程搭乘缆车，单程步行 200元
28　
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7. （2024·厦门期中）如图，某工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运输费为1.5元/（吨·千米），铁路运输费为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.
（1） 设工厂制成运往B地的产品x吨，工厂从A地购买了y吨原料，求这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元.
解：（1） 依题意，得 解得
∴ 8000×300－400×1000－15000－97200＝1.8878×106（元）.∴ 这批产品的销售款比原料费和运输费的和多1.8878×106元.
（第7题）
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（2） 工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨.若要增加c吨的产品，就要再购买 c吨原料，此时产品的销售款与原料费之差为65000元，同时满足原料总质量是产品总质量的3倍，求c的值.
解：（2） 设原计划从A地购买的原料为m吨，则送往B地的产品为（20－m）吨.根据题意，得
（第7题）
＋ = （ + ),
（ + ) (
＋ )= ，
解得 ∴ c的值为10.

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类型四　盈不足与方案选择
8. （2024·娄底期末）我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意如下：若3人乘1辆车，则空2辆车；若2人乘1辆车，则有9人要步行.求有多少人和多少辆车.有下列方程、方程组：① 设有x辆车，列方程为3（x－2）＝2x＋9；② 设有y人，列方程为 ＋2＝ ；③ 设有x辆车，y人，列方程组为 ④ 设有x人，y辆车，列方程组为 其中，正确的有（　D　）
D
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①②④
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9. （2025·永州新田期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的A，B两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
A型货车数量/辆 2 1
B型货车数量/辆 1 2
累计运货量/吨 10 11
根据以上信息，解答下列问题：
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（1） 1辆A型货车和1辆B型货车都载满货物，一次可分别运多少吨？
解：（1） 设每辆A型货车、B型货车都载满货物一次可分别运x吨、y吨.根据题意，得 解得 ∴ 1辆A型货车载满货物一次可运3吨，1辆B型货车载满货物一次可运4吨.
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（2） 该果园现有31吨水果，计划同时租用A型货车a辆，B型货车b辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案.
解：（2） 由（1），得3a＋4b＝31，∴ a＝ .∵ a，b都是正整数，∴ 当a＝1时，b＝7；当a＝5时，b＝4；当a＝9时，b＝1.∴ 有3种租车方案：方案一：A型货车1辆，B型货车7辆；方案二：A型货车5辆，B型货车4辆；方案三：A型货车9辆，B型货车1辆.
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（3） 在（2）的条件下，若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
解：（3） ∵ A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次，∴ 方案一需租金：1×100＋7×120＝940（元）；方案二需租金：5×100＋4×120＝980（元）；方案三需租金：9×100＋1×120＝1020（元）.∵ 1020＞980＞940，∴ 最省钱的租车方案是方案一，租车费用是940元.∴ 租A型货车1辆，B型货车7辆最省钱，最少租车费为940元.
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9(共12张PPT)
10.1　二元一次方程组的概念
第十章　二元一次方程组
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基础进阶
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素能攀升
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思维拓展
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1. （2025·达州期末）下列方程：① x＋y＝1；② 2x－ ＝1；③ x2＋2x＝－1；④ 5xy＝1；⑤ x－ y＝2.其中，是二元一次方程的为（　A　）
A. ①⑤ B. ①② C. ①④ D. ①②④
2. 若（m－2）x＋3y｜m－1｜＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　C　）
A. 2 B. 2或0
C. 0 D. 任何实数
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3. （2025·咸阳渭城期末）若关于x，y的二元一次方程mx＋y＝5的一个解是 则m的值为（　A　）
A. 2 B. 3
C. －2 D. －3
4. 二元一次方程x＋3y＝10的正整数解有（　C　）
A. 1组 B. 2组
C. 3组 D. 4组
A
C
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5. 新考法·开放题 （2025·郑州金水期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解是 则这个方程可以是 　x＋y＝0（答案不唯一）　（写出一个即可）.
6. ★若关于x，y的方程（m－3）x＋4y｜2m－5｜＝25为二元一次方程，则m的值为 　2　.
x＋y＝0（答案不唯一）　
2　
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x －2 0 1
y －8 －13
解：（1） － ；－ ；－5；3； .
（2） 写出二元一次方程3x＋2y＝－7的两组整数解.
解：（2） 答案不唯一，如 和
7. （1） 填表，使上下每对x，y的值都是方程3x＋2y＝－7的解.
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8. （2025·北京朝阳期末）若关于x，y的方程组 的解是 则3m＋n的值是（　B　）
A. 4 B. 9 C. 5 D. 11
9. （2025·宝鸡凤翔期末）已知 是二元一次方程x＋ay＝5的一个解，则a的平方根为（　C　）
A. ±1 B. ± C. ± D. ±
B
C
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10. （2024·杭州西湖期中）若x，y取0，1，2，…，9中的数，且3x－2y＝11，则10x＋y的值有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. （2025·南通如皋期末）定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a＋b－1.例如（－2，5）＝－2＋5－1＝2.当满足等式（－5，3x＋2m）＝6的x是正整数时，则正整数m的值为 　3　.
12. 如果 是二元一次方程ax＋by＝－2的一组解，那么3a－2b＋2026的值为 　2024　.
13. 若关于x，y的方程2x＋ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为 　5或3　.
C
3　
2024　
5或3　
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14. 甲、乙两人同时解关于x，y的方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 试计算a2025＋ 的值.
解：根据题意，把 代入4x－by＝－2，得－12＋b＝－2，解得b＝10.把 代入ax＋5y＝15，得5a＋20＝15，解得a＝－1.∴ a2025＋ ＝（－1）2025＋ ＝0.
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15. 已知关于x，y的方程组 的解为 则关于x，y的方程组 的解为（　A　）
A. B.
C. D.
A
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16. 新考法·新定义题 （2025·重庆荣昌期末）如果一个三位自然数 的各位数字互不相等，且满足 － ＝25，那么称这个三位自然数为“新年数”.例如数527，它各位数字互不相等，满足52－27＝25，∴ 527是“新年数”.
（1） 求最小的“新年数”.
解：（1） ∵ － ＝25，∴ a＞b.∴ （10a＋b）－（10b＋c）＝25.整理，得10a－9b－c＝25.要使这个三位数尽可能小，且1＜a＜9或a＝1或a＝9，a为整数，当a＝1时，10×1－9b－c＝25，即－9b－c＝15，此时不存在符合的解；当a＝2时，10×2－9b－c＝25，即－9b－c＝5，此时依然不存在符合的解；当a＝3时，10×3－9b－c＝25，即－9b－c＝－5，∴ b＝0，c＝5，此时满足题意.∴ 最小的“新年数”是 305.
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解：（2） ∵ “新年数”除以3所得的余数是2，∴ 三位自然数 中满足a＋b＋c＝3k＋2.由（1），可知10a－9b－c＝25，要使“新年数”最大，则百位数字尽可能大，当a＝9时，10×9－9b－c＝25，即9b＋c＝65，此时 但9＋7＋2＝18，不满足题意；当a＝8时，10×8－9b－c＝25，即9b＋c＝55，此时 但8＋6＋1＝15，不满足题意；当a＝7时，10×7－9b－c＝25，即9b＋c＝45，此时 或 当b＝4，c＝9时，7＋4＋9＝20＝3×6＋2，满足题意；当b＝5，c＝0时，7＋5＋0＝12，不满足题意.
∴ 当a＝7，b＝4，c＝9时，“新年数”最大，即此时“新年数”为749.
（2） 若一个“新年数”除以3所得的余数是2，求满足条件的所有“新年数”中最大的数.
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16(共15张PPT)
第十章　二元一次方程组
＊10.4　三元一次方程组的解法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 下列方程组中，属于三元一次方程组的是（　C　）
A. B.
C. D.
C
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2. （2025·金华东阳期末）某校七年级有3个班，已知（1）班、（2）班的平均人数与（3）班人数之和为45，（2）班、（3）班的平均人数与（1）班人数之和为48，（1）班、（3）班的平均人数与（2）班人数之和为47，则三个班的总人数为（　B　）
A. 68 B. 70 C. 72 D. 74
B
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3. 三元一次方程组 的解为 　 　.
　
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4. ★在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－2；当x＝2时，y＝7.求：
（1） a，b，c的值.
解：（1） 根据题意，得 由①＋②，得a＋c＝－1④.由③＋②×2，得2a＋c＝1⑤.由⑤－④，得a＝2.把a＝2代入④，得2＋c＝－1，解得c＝－3.把a＝2，c＝－3代入①，得2＋b－3＝0，解得b＝1.∴ a，b，c的值分别为2，1，－3.
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（2） 当x＝－3时，y的值.
解：（2） 由（1），得y＝2x2＋x－3.把x＝－3代入，得y＝2×（－3）2－3－3＝12，即y的值为12.
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5. 若关于x，y，z的方程组 的解是 则a＋b＋6c的值是（　A　）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 6
A
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6. 数形结合思想 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为格点，顶点全在格点上的多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如：如图，三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；格点多边形DEFGHI中S＝7，N＝3，L＝10.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝82，L＝38时，S的值为（　C　）
A. 44 B. 43 C. 100 D. 99
C
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7. 某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱也相同，小丁原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元.若小丁最后购买了7盒甲种礼盒，则他身上的钱剩下（　D　）
A. 1元 B. 3元 C. 5元 D. 7元
D
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8. 若x，y，z满足 ＋（3x－6y－7）2＋｜3y＋3z－4｜＝0，则x＝ 　3　，y＝ 　 　，z＝ 　1　.
9. （2024·南京秦淮二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如：乙烷充分燃烧的化学方程式为2C2H6＋7O2 4CO2＋6H2O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是4×2＋6×1＝14.若正己烷充分燃烧的化学方程式为aC6H14＋19O2 bCO2＋cH2O（a，b，c为常数），则b的值是 　12　.
3　
　
1　
12　
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10. （2025·绵阳梓潼期末）【阅读理解】 求某些代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.
例：已知 求2x＋y＋z的值.
解：②－①，得4x＋2y＋2z＝6③.
③× ，得2x＋y＋z＝3.
∴ 2x＋y＋z的值为3.
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【类比迁移】 （1） 已知 求3x＋4y＋5z的值.
【实际应用】 （2） 某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元.本班共45名同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少元？
解：（1） 记 ①＋②，得6x＋8y＋10z＝36③.③× ，得3x＋4y＋5z＝18.∴ 3x＋4y＋5z的值为18.
（2） 设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元.由题意，得 ②－①×2，得a＋b＋c＝10③.③×45，得45a＋45b＋45c＝450.∴ 购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元.
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11. 为丰富同学们的校园生活，学校在七年级开展了丰富多彩的社团活动，某老师对参加音乐社、街舞社、动漫社的同学都准备了A，B两种礼品，初步预算，三个社团各需两种礼品的件数和之比为1∶1∶2，需A礼品的件数之比为3∶5∶8，并且音乐社和街舞社需B礼品的件数之比为3∶2.实际购买时，A礼品的单价比预算低20％，B礼品的单价比预算高20％，A礼品购买件数减少了3.125％，结果发现总费用与预算相等，求实际购买A礼品的总费用与实际购买B礼品的总费用的比值.
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解：设音乐社、街舞社、动漫社需A礼品的件数依次为3x，5x，8x，音乐社需B礼品的件数为3y，街舞社需B礼品的件数为2y，动漫社需B礼品的件数为z.∵ 三个社团各需两种礼品的件数和之比为1∶1∶2，∴
∴ ∴ 3y＝6x，2y＝4x.∴ A礼品的件数为16x，B礼品的件数为6x＋4x＋10x＝20x.设A礼品的预算单价为a元，B礼品的预算单价为b元.由题意，得[16x·（1－3.125％）]·[a·（1－20％）]＋20x·[b·（1＋20％）]＝16xa＋20xb.化简，得12.4ax＋24bx＝16ax＋20bx.∴ 10b＝9a.设b＝9k，则a＝10k.∴ ＝ ＝ .∴ 实际购买A礼品的总费用与实际购买B礼品的总费用的比值为 .
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专题特训九　含字母参数的二元一次方程组
第十章　二元一次方程组
类型一　利用二元一次方程的定义构造方程组
1. （2025·沈阳大东期末）若4xa＋b－3y3a＋2b－4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a－b的值为（　D　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 5
2. 如果关于x，y的方程3x3m－2n－4yn－m＋12＝0 是二元一次方程，那么m，n的值分别为（　D　）
A. 2，3 B. 2，1
C. －1，2 D. 3，4
D
D
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3. 已知关于x，y的方程（m＋3）x｜m｜－2＋y2n＋m＝3是二元一次方程，则m＋n＝ 　2　.
2　
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类型二　利用二元一次方程（组）的解的意义构造二元一次方程组
=6，
＝ 6，
＝ 2，
=6
4. 若 都能使方程 ＋ ＝1成立，则当x＝4时，y的值为（　B　）
A. 1 B. －3
C. D. 3
B
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5. 已知 是二元一次方程组 的解，则6m＋4n的立方根为（　B　）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
B
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6. 定义：二元一次方程y＝ax＋b与二元一次方程y＝bx＋a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x＋1与二元一次方程y＝x＋2互为“反对称二元一次方程”.
（1） 直接写出二元一次方程y＝4x－1的“反对称二元一次方程”： 　y＝－x＋4　.
y＝－x＋
4　
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（2） 若 是二元一次方程y＝3x＋5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
解：二元一次方程y＝3x＋5的“反对称二元一次方程”是y＝5x＋3.∵ 是二元一次方程y＝3x＋5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
∴ 解得 ∴ m＝1，n＝8.
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类型三　已知方程组的错解构造二元一次方程组
7. 解关于x，y的方程组 时，哥哥正确地解得 弟弟因把c写错而解得
（1） 求a＋b＋c的值.
解：（1） 由题意，得3a－2b＝2①，3c＋14＝8②，－2a＋2b＝2③.解方程②，得c＝－2.联立①③，得 由①＋③，得a＝4.把a＝4代入①，得12－2b＝2，解得b＝5.∴ a＋b＋c＝4＋5＋（－2）＝7.
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（2） 弟弟把c写错成了什么数？
解：（2） ∵ 弟弟把c写错而解得 ∴ 设把c错写成了m.∴ －2m－7×2＝8，解得m＝－11.∴ 弟弟把c写错成了－11.
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类型四　利用相同解的方程构造二元一次方程组
8. 已知关于x，y的方程组 与 有相同的解.
（1） 求这个相同的解.
解：（1） 根据题意，得 由①－②，得5y＝15，解得y＝3.将y＝3代入②，得2x－3＝5，解得x＝4.∴ 这个相同的解为
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（2） 求a，b的值.
解：（2） 将 代入ax＋by＝1，得4a＋3b＝1③.将 代入bx＋ay＝6，得4b＋3a＝6④.由③×3－④×4，得－7b＝－21，解得b＝3.将b＝3代入③，得4a＋9＝1，解得a＝－2.∴ a的值为－2，b的值为3.
（3） 小明同学说：“无论m取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（5＋3m）x－（4m＋1）y＝17的解.”这句话对吗？请你说明理由.
解：（3） 对.理由：将 代入（5＋3m）x－（4m＋1）y＝17，得17＝17，∴ 小明同学的这句话是对的.
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9. 已知关于x，y的方程组 和 有相同的解，求 －b的值.
解：由题意，得 由①＋②，得6x＝6，解得x＝1.把x＝1代入②，得1－2y＝3，解得y＝－1.把 代入原方程组中含参数的方程，得 解得 ∴ －b＝3－4＝－1.
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类型五　二元一次方程组的解满足第三个方程
10. 当m为何值时，关于x，y的方程组 的解互为相反数？求此时该方程组的解.
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解：记 由①＋②，得6x＝3m－18，解得x＝ .由②－①，得10y＝－m－18，解得y＝－ .∵ 关于x，y的方程组 的解互为相反数，∴ － ＝0，解得m＝12.把m＝12代入原方程组的解，得x＝ ＝ ＝3，y＝－ ＝－ ＝－3.∴ 当m＝12时，关于x，y的方程组的解互为相反数，此时该方程组的解为
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11. （2025·池州贵池期末）已知关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝1，求k的值.
解：由 得 把x＝1，y＝0代入kx＋（k－1）y＝6，得k＝6.
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类型六　二元一次方程的解与字母的取值无关
12. （2024·南京玄武期末）已知关于x，y的二元一次方程（3＋2m）x＋（m－2）y＋9－m＝0，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，求这组解.
解：（3＋2m）x＋（m－2）y＋9－m＝0可化为（3x－2y＋9）＋m（2x＋y－1）＝0.∵ 不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，∴ 解得
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12(共13张PPT)
10.3　实际问题与二元一次方程组
第3课时　实际问题与二元一次方程组（3）
第十章　二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 丫丫从学校骑自行车出发到图书馆，中途因道路施工步行了一段路，一共用了1.5h到达图书馆.她骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km.设丫丫骑车的时间是xh，步行的时间是yh，则可列方程组为（　B　）
A. B.
C. D.
B
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2. 甲、乙两人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行.如图所示为小华绘制的甲、乙两人两次运动的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意列出的方程组是 　 　.
　
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3. （2024·聊城期末）用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点A的坐标为（－3，9），则点B的坐标为 　（－10，.
（－10，
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4. （2025·梧州藤县期末）七年级某班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“春节”期间的销售情况，如图所示为调查后小敏与其他两名同学进行交流的情景.根据他们的对话，请你分别求出A，B两个超市今年“春节”期间的销售额.
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解：设A超市去年“春节”期间的销售额为x万元，B超市去年“春节”期间的销售额为y万元.根据题意，得 解得 ∴ （1＋15％）×60＝69（万元），（1＋10％）×90＝99（万元）.
∴ A超市今年“春节”期间的销售额为69万元，B超市今年“春节”期间的销售额为99万元.
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5. （2024·绵阳期中）普通火车从绵阳至成都耗时120min，成绵城际快车开通后，时间大大缩短.现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，两车在途中相遇之后，各自用了80min和20min到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（　A　）
A. 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍
A
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6. 三月初某书店销售A，B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍（A书籍、B书籍都有）有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的 ，张老师购买A种打折书籍 　15　本.
7. 我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎.假设前轮胎行驶5000千米报废，后轮胎行驶3000千米报废.如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮胎进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶 　3750　千米.
15　
3750　
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8. （2025·益阳沅江期末）某公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的理念，以发展辣椒产业为主导，有机结合农副产品深加工等产业，其产品深受消费者喜欢.某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱橘子干、3箱调味品的进价共计204元；4箱橘子干、2箱调味品的进价共计336元.
（1） 求每箱橘子干、调味品的进价分别为多少元.
解：（1） 设每箱橘子干的进价为x元，每箱调味品的进价为y元.根据题意，得 解得 ∴ 每箱橘子干的进价为60元，每箱调味品的进价为48元.
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（2） 现公司推出活动，优惠一：购买橘子干满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受）.某商店需要购买橘子干12箱，调味品10箱，问：该商店如何购买更划算？
解：（2） 选择优惠一所需费用为60×12×80％＋10×48＝1056（元）；选择优惠二所需费用为12×60＋48×10－100＝1100（元）.∵ 1056＜1100，∴ 该商店选择优惠一购买更划算.
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9. 某经销商为了打开四季柚的销路，对1000个四季柚进行打包优惠出售，打包的方式及售价如图所示.假设用这两种打包方式恰好全部装完.
（1） 若销售a箱纸盒装和a袋编织袋装四季柚的收入共为950元，求a的值.
解：（1） 由题意，得 64a＋126a＝950，解得a＝5.
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① 若这批四季柚全部售完，则纸盒装四季柚共包装了多少箱？编织袋装四季柚共包装了多少袋？
② 若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装四季柚，其余全部售出，求b的值.
（2） 销售总收入为7280元.
解：（2） 设纸盒装四季柚共包装了x箱，编织袋装四季柚共包装了y袋.① 由题意，得 解得 ∴ 纸盒装四季柚共包装了35箱，编织袋装四季柚共包装了40袋.② 由8x＋18y＝1000，可得x＝ ＝125－ .由题意，得64× ＋126y＝7280，解得y＝40－ .∵ x，y，b都是整数，且x大于或等于0，y大于或等于0，b＞0，∴ b＝9，x＝107，y＝8.∴ b的值为9.
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9(共16张PPT)
10.2　消元——解二元一次方程组
第2课时　加减消元法
第十章　二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 解关于x，y的二元一次方程组 时，若①＋②可以直接消去未知数y，则☉和 的关系是（　B　）
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
B
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2. （2025·银川兴庆期末）利用加减消元法解方程组 下列做法中正确的是（　C　）
A. 要消去y，可以将①×5＋②×2
B. 要消去x，可以将①×5＋②×2
C. 要消去y，可以将①×5＋②×3
D. 要消去x，可以将①×（－5）＋②×2
C
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3. 下表中每一行x，y，t的值都满足方程ax＋by＝t.例如，当第二行中的3，2，5分别对应方程中x，y，t的值时，可得3a＋2b＝5.根据题意，可知b－a的值是 　10　.
x y t
3 2 5
2 3 15
4. （2025·北京期末改编）已知关于x，y的二元一次方程组 若x－y的值为2，则k的值为 　1　.
10　
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5. （2025·中卫沙坡头期末）解方程组：
解：整理，得 ②－①，得6x＝0，解得x＝0.把x＝0代入①，得3y－2×0＝1，解得y＝ .∴ 原方程组的解为
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6. 已知x，y满足方程组 如果①×a＋②×b可得到x＋11y的值，那么a，b的值分别可以是（　B　）
A. 2，－1 B. －7，5 C. －4，3 D. 1，－7
B
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7. 已知关于x，y的方程组 将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，则这个公共解为（　C　）
A. B.
C. D.
C
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8. （2025·银川兴庆期末）若x，y满足 ＋（2x＋3y－13）2＝0，则2x－y的值为 　1　.
9. 已知x，y满足方程组 求x2＋4y2的值.
解：由①＋2×②，得7x2＋28y2＝119，∴ x2＋4y2＝17.
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10. 已知实数m，n满足m＋n＝5，且 求k的值.三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组 再求k的值.
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值.
丙同学：先解方程组 再求k的值.
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（1） 试选择其中一名同学的思路，解答此题.
解：（1） 选择不唯一，如选择乙同学的思路.记原方程组为 ①＋②，得17（m＋n）＝22k－3.∵ m＋n＝5，
∴ 17×5＝22k－3，解得k＝4.
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（2） 试说明在关于x，y的方程组 中，不论a取什么实数，x＋y的值始终不变.
解：（2） 记方程组为 由①－②，得y＝1.5－0.5a③.把③代入①，得x＝7.5＋0.5a.∴ x＋y＝7.5＋0.5a＋1.5－0.5a＝9.∴ 不论a取什么实数，x＋y的值始终不变.
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11. 新考法·新定义题 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足｜x－y｜＝1，那么我们说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
（1） 方程组 的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由.
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解：（1） 具有“邻好关系”.理由：记 由①－②，得3y＝6，解得y＝2.把y＝2代入②，得x＝3.∴ 方程组的解为 ∵ ｜x－y｜＝｜3－2｜＝1，∴ 方程组的解x与y具有“邻好关系”.
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（2） 若关于x，y的方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值.
解：（2） 记 由①＋②，得6x＝6m＋6，解得x＝m＋1.把x＝m＋1代入①，得y＝2m－4.∴ 方程组的解为 ∵ x与y具有“邻好关系”，∴ ｜x－y｜＝｜m＋1－2m＋4｜＝｜－m＋5｜＝1.∴ 5－m＝±1.∴ m＝6或m＝4.
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解：（3） 存在.将方程组中两式相加，得（2＋a）y＝12.∵ a，x，y均为正整数，∴ 或 易知只有当a＝1时，｜x－y｜＝1.∴ a的值为1，方程组的解为
（3） 已知未知数为x，y的方程组 其中a与x，y都是正整数，是否存在这样的a，使该方程组的解x与y具有“邻好关系”？如果存在，请求出a的值及方程组的解；如果不存在，请说明理由.
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11(共20张PPT)
专题特训八　解二元一次方程组的消元技巧
第十章　二元一次方程组
类型一　相同未知数系数之差的绝对值相等
1. 解方程组：
解：由②－①，得x－y＝－5，即x＝y－5③.把③代入①，得4（y－5）＋7y＝222，解得y＝22.把y＝22代入③，得x＝17.∴ 方程组的解为
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2. 解方程组：
解：由①－②，得2x－2y＝10，即x－y＝5③.由③×5＋②，得12x＝24，解得x＝2.把x＝2代入①，得18＋3y＝9，解得y＝－3.∴ 方程组的解为
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3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－y＝m－1，求m的值.
解：记 由②－①，得3x－3y＝－14.∵ x－y＝m－1，∴ 3（m－1）＝－14，解得m＝－ .∴ m的值为－ .
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4. 解方程组：
解：由①＋②，得4052x＋4052y＝12156，即x＋y＝3，∴ x＝3－y③.把③代入①，得2025（3－y）＋2027y＝6079，解得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1.∴ 原方程组的解为
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类型二　常数项转化相同
5. 解方程组：
（1）
解：由②×2－①，得－x－2y＝0，∴ x＝－2y.将x＝－2y代入①，得－14y－8y＝22，∴ y＝－1.把y＝－1代入x＝－2y，得x＝2，∴ 方程组的解为
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解：原方程组可化为 由④－③，得 － ＝0，即 ＝ .把 ＝ 代入②，得y＝ ，∴ x＝ .∴ 方程组的解是
（2）
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类型三　整体消元
6. 解方程组：
（1）
解：由①×3，得9m－12n＝21，∴ 9m＝21＋12n③.把③代入②，得21＋12n－10n＋25＝0，解得n＝－23.把n＝－23代入①，得3m＋92＝7，解得m＝－ .
∴ 原方程组的解是
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（2）
解：由②×2，得6－5y＝ （x－y），∴ （x－y）＝6－5y③.把③代入①，得6－5y＋y＝5，解得y＝ .把y＝ 代入③，得 x－ ＝6－ ，解得x＝ .∴ 原方程组的解为
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类型四　参数消元

当方程组中有一个方程ax＋by＝c满足c＝2ab时，可设ax＝ab＋abt（或ax＝ab－abt），by＝ab－abt（或by＝ab＋abt），再利用另一个方程求t的值，从而达到快速得解的目的.
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7. 解方程组：
（1）
解：由①，可设2x＝6＋6t，3y＝6－6t，∴ x＝3＋3t，y＝2－2t.将x＝3＋3t，y＝2－2t代入②，得7（3＋3t）－17（2－2t）＝97，解得t＝2.∴ x＝3＋3×2＝9，y＝2－2×2＝－2.∴ 原方程组的解为
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（2）
解：由①，可设5x＝35＋35m，7y＝35－35m，∴ x＝7＋7m，y＝5－5m.将x＝7＋7m，y＝5－5m代入②，得7（7＋7m）＋3（5－5m）＝166，解得m＝3.∴ x＝7＋7×3＝28，y＝5－5×3＝－10.∴ 原方程组的解为
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类型五　换元消元
8. 解方程组：
（1）
解：令x＋y＝m，x－y＝n，∴ 原方程组可化为 解得 ∴ 解得
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（2）
解：令x－4y＝a，x＋5y＝b，∴ 原方程组可化为 解得
∴ 解得
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（3）
解：令 ＝m， ＝n，∴ 原方程组可化为 解得 ∴ 解得
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9. 新考法·阅读理解题 （2025·岳阳期末）数学课上，何老师在讲解题目：“如果关于x，y的二元一次方程组 的解为 那么关于x，y的二元一次方程组 的解是什么？”小超和小宇同学的做法如下：
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小超：先把 代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解.
小宇：通过观察可以发现，把第一个方程组中的未知数x换成x＋y，未知数y换成x－y就是第二个方程组了，因此第二个方程组中的x＋y的值就等于第一个方程组中x的值，第二个方程组中的x－y的值就等于第一个方程组中y的值，所以得到 再求出它们的解就是第二个方程组的解.
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何老师对两名同学的做法进行点评和表扬，并指出小宇同学运用了数学中的“整体思想”“代换思想”“转化思想”.
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下列问题：
（1） 请按照小超的做法写出详细的解题过程.
解：（1） 将 代入 得 解得 将 代入 并整理，得 解得
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（2） 如果关于x，y的方程组 的解是 那么关于x，y的方程组 的解是（　D　）
A. B.
C. D.
D
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（3） 已知关于x，y的方程组 的解是 求关于x，y的方程组 的解（其中a1，c1，a2，c2都为常数）.
（3） 第二个方程组可化为 ∴ 解得
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9(共27张PPT)
第十章整合拔尖
第十章　二元一次方程组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 二元一次方程（组）的解
典例1　（2024·宿迁）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是 　 　.

[变式]定义：关于x，y的二元一次方程ax＋by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫作“交换系数方程”，例如：ax＋by＝c的“交换系数方程”为cx＋by＝a或ax＋cy＝b.
（1） 方程3x＋2y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　 或 　.
（2） 已知关于x，y的二元一次方程ax＋by＝c的系数满足a＋b＋c＝0，且ax＋by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx＋ny＝p的一个解，求（m＋n）m－p（n＋p）＋2023的值.
或 　
解：由题意，得方程ax＋by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为① 或② 方程组①的解为 当a＋b＋c＝0时，方程组①的解为 方程组②的解为 当a＋b＋c＝0时，方程组②的解为 ∴ 方程ax＋by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 将 代入mx＋ny＝p，得－（m＋n）＝p.
∴ m＋n＝－p.∴ （m＋n）m－p（n＋p）＋2023＝－pm－pn－p2＋2023＝－p（m＋n）－p2＋2023＝（－p）2－p2＋2023＝2023.
考点二 解含字母系数的二元一次方程组
典例2　若关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解.求m，n的值.
解：解方程组 得 把 代入方程组 得 整理，得 由①＋②，得7m＝7，解得m＝1.把m＝1代入①，得1＋n＝4，解得n＝3.∴ m的值为1，n的值为3.
[变式]已知关于x，y的二元一次方程组
（1） 若a＝1，请写出方程①的所有正整数解.
= ，
= ，
= ，
= .
解：（1） 将a＝1代入方程①，得2x＋y＝5.∵ x，y都是正整数，∴ 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝1.∴ 当a＝1时，方程①的所有正整数解为
（2） 甲由于看错了方程①中的a得到方程组的解为 乙由于看错了方程②中的b得到方程组的解为 求a，b的值及原方程组的解.
= ，
= ，
= ，
= .
解：（2） 将 代入②，得－2－b＝2，解得b＝－4.将 代入①，得2a＋3＝5，解得a＝1.∴ 原方程组为 由①×4－②，得7x＝18，解得x＝ .由②×2－①，得7y＝－1，解得y＝－ .∴ 原方程组的解为
考点三 二元一次方程组的应用
典例3　新情境·环保意识 （2025·贵港平南期末）小亮和小芬积极参与“践行垃圾分类·助力双碳目标”的活动，一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池.”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，设小亮收集了m节废电池，小芬收集了n节废电池，那么根据题意可列方程组为（　A　）
A. B.
C. D.
A
[变式]（2025·江西）某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率＝ ×100％）如下表：
类　别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30％
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20％
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1） 求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅.
解：（1） 设第一次实验用了x千克粮食糟醅，y千克芋头糟醅.根据题意，得 解得 ∴ 第一次实验用了40千克粮食糟醅，20千克芋头糟醅.
（2） 受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80％.若粮食糟醅中大米占比约为 ，则在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？
解：（2） 设需要准备m千克大米.根据题意，得 ×30％×80％＝（40＋40×2）×30％，解得m＝37.5.∴ 需要准备37.5千克大米.
1. 新考向·数学文化 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图①中的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是 在图②中的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图②所表示的方程组中x的值为3，则被墨水覆盖的图形为（　C　）
A. B. C. D.
C
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2. （2024·南通崇川期末）已知关于x，y的方程组 有下列说法：① 一定有唯一解；② 可能有无数个解；③ 当a＝2时，方程组无解；④ 若方程组的一个解中y的值为0，则a＝0.其中，正确的个数为（　C　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
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3. 若关于x，y的方程组 与 的解相同，则 m－ n的值为 　1　.
4. 对于两个实数x，y，定义运算“*”，使得x*y＝pxy＋qx＋ry（p，q，r是常数）.对于任意的实数x，存在实数e使x*e＝x，又1*2＝5，2*3＝4，这时p＋q＋r＋e＝ 　3或 　.
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3或 　
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5. 当a，b满足什么条件时，关于x的方程（2b2－18）x＝3与关于x，y的方程组 都无解？
解：∵ 方程（2b2－18）x＝3无解，∴ 2b2－18＝0.∴ b＝±3.当b＝3时，原方程组化为 由①×2，得2ax－2y＝2.∵ 方程组无解，∴ 2a＝3，即a＝1.5.当b＝－3时，原方程组化为 由②×2，得2ax－2y＝2.∵ 方程组无解，∴ 2a＝3，即a＝1.5.∴ 当a＝1.5，b＝±3时，方程与方程组都无解.
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6. 小明在解方程组 时发现，若设a－1＝x，b＋2＝y，则方程组可变为 解此方程组，得 即 解得
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( 1)+2(+2)=4，
2( 1)＋(+2)=5.
解：（1） 设 －1＝x， ＋2＝y，则方程组可变为 解此方程组，得 即 解得 　
（1） 请你模仿上述方法解方程组：
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（2） 已知关于x，y的方程组 的解是 请写出关于m，n的方程组 的解.
解：（2） 设5（m＋3）＝x，3（n－2）＝y，则原方程组可变形为 ∵ 关于x，y的方程组 的解是
∴ 解得
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7. （2025·遵义仁怀期末）为加强对学生的爱国主义教育，某校组织七年级（1）班和七年级（2）班的学生到娄山关景区进行红色研学活动.两个班级的师生共62人，其中七年级（1）班师生人数多于七年级（2）班师生人数，且七年级（1）班师生人数不足40.据了解，娄山关景区针对师生的门票价格如下表所示：
门票/张 1～30 31～60 61及以上
单价/元 20 18 16
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已知若两个班分别单独购买门票，则一共应付1170元.
（1） 七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？
解：（1） 设七年级（1）班有x名师生参加红色研学活动，七年级（2）班有y名师生参加红色研学活动.根据题意，得 ∴
∴ 七年级（1）班有35名师生参加红色研学活动，七年级（2）班有27名师生参加红色研学活动.
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（2） 七年级（1）班有3名学生临时因故不能参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？哪种方案最省钱？
（2） 方案一：各自购买门票需32×18＋27×20＝1116（元）；方案二：联合购买59张门票需（32＋27）×18＝1062（元）；方案三：联合购买61张门票需61×16＝976（元）；∴ 有3种购票方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买59张门票；方案三：联合购买61张门票.∵ 1116＞1062＞976，∴ 联合购买61张门票最省钱.
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8. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足｜x｜＋｜y｜＝2n＋1（n为整数），则称该二元一次方程组为“奇解方程组”，比如 的解为 满足｜3｜＋｜2｜＝5＝2×2＋1，则二元一次方程组 就是“奇解方程组”.
（1） 试判断 是否为“奇解方程组”，并说明理由.
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解：（1） 是“奇解方程组”.理由：记 由①＋②，得4x＝20，解得x＝5.将x＝5代入①，得y＝2.∴ 方程组的解为 ∴ ｜x｜＋｜y｜＝7＝2×3＋1.∴ 是“奇解方程组”.
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（2） 若关于x，y的二元一次方程组 是“奇解方程组”，求｜x｜＋｜y｜的最小值.
解：（2） 记 由①－②，得3y＝3a－12，解得y＝a－4.将y＝a－4代入①，得x＝a＋1.∴ 方程组的解为 ∵ 二元一次方程组 是“奇解方程组”，∴ ｜x｜＋｜y｜＝｜a＋1｜＋｜a－4｜＝2n＋1（n为整数）.易得｜a＋1｜＋｜a－4｜的最小值是5，∴ ｜x｜＋｜y｜的最小值为5.
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10.3　实际问题与二元一次方程组
第1课时　实际问题与二元一次方程组（1）
第十章　二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 周末小花和小丽一起去小吃摊品尝鱼丸，小花说：“我的鱼丸比你多7个.”小丽说：“如果你给我8个鱼丸，我的鱼丸数量就是你的2倍.”如果她们说的都是真的，那么她们分别有多少个鱼丸？设小花有x个鱼丸，小丽有y个鱼丸，则可列方程组为（　B　）
A. B.
C. D.
B
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2. （2025·成都简阳期末）“昔锦官之地，有匠作弓与箭.作一弓需三日，作一箭需二日.共费四十日，成弓箭十五.”其大意是：从前在锦官城这个地方，有工匠制作弓和箭.制作一张弓需要三天时间，制作一支箭需要两天时间，总共花费四十天时间，制成弓和箭共计十五件.弓有 　10　张，箭有 　5　支.
3. （2024·东营期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大990.设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则根据题意可列方程组为 　 　.
10　
5　
　
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4. （2024·山西）当下电子产品更新换代的速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，又可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银的质量.
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克.根据题意，得 解得 ∴ 从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克.
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5. （2024·南通如东二模）《算法统宗》中有一个“隔沟计算”的题目：甲、乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上；乙说得甲九只羊，两家之数相当.两人闲坐恼心肠，画地算了半晌.这个题目的意思如下：甲、乙两人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊数多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　B　）
B
A. B.
C. D.
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6. 我国古代有一个数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，则井的深度为（　A　）
A. 8尺 B. 12尺 C. 16尺 D. 18尺
7. 书架上、下两层摆放着若干本图书.若从上层拿10本放到下层，则下层的本数是上层的3倍；若从下层拿10本放到上层，则上层的本数是下层的2倍.上层原有图书 　22　本，下层原有图书 　26　本.
A
22　
26　
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8. （2025·梅州平远期末）某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量.
【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设参加此次活动的总人数为x，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得x＝ 　　　　.”
小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量可以表示为 　　　　辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总人数为 　　　　，这个乘客人数恰好与参加活动的总人数相等，也可得一个方程.”
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【问题解决】
（1） 请按顺序写出小聪和小明分析的结论： 　45y＋15　， 　（y－1），
　60（y－1）　.
45y＋15　
（y－
1）　
60（y－1）　
（2） 根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解.
解：（2） 依题意，可列方程组为 解得 ∴ 参加此次活动的总人数为240，原计划租用45座客车5辆.
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（3） 已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元.若租用同一种车，要使每个参加活动的人都有座位，怎样租车合算？
解：（3） 若租用45座客车，则需租6辆才能保证每个人有座位，费用为6×220＝1320（元）.若租用60座客车，则需租4辆，刚好每辆车都坐满，费用为4×300＝1200（元）.∵ 1320＞1200，∴ 租用60座客车4辆合算.
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9. 近几年来，新能源汽车在我国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产并组装完成288辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的组装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的组装.生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可组装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可组装16辆电动汽车.
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解：（1） 设每名熟练工每月可以组装x辆电动汽车，每名新工人每月可以组装y辆电动汽车.由题意，得 解得 ∴ 每名熟练工每月可以组装4辆电动汽车，每名新工人每月可以组装2辆电动汽车.
（1） 每名熟练工和新工人每月分别可以组装多少辆电动汽车？
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解：（2） 设招聘m名新工人.依题意，得12（2m＋4n）＝288，∴ m＝12－2n.
∵ 0＜n＜5，且n，m均为正整数，∴ 或 或 或 ∴ 工厂有4种新工人的招聘方案，分别为方案1：招聘10名新工人，抽调1名熟练工；方案2：招聘8名新工人，抽调2名熟练工；方案3：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；方案4：招聘4名新工人，抽调4名熟练工.
（2） 如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的组装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
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